Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C của hàm số đã cho.. Tính xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam.. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là 600.. Hình chiế
Trang 1Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số:
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số đã cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua ( )
Câu 2 (2 điểm) Tính nguyên hàm ∫ ( )
Câu 3 (2 điểm)
1 Giải phương trình:
2 Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ Chọn ngẫu nhiên 8 người đi hát đồng ca Tính xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam
Câu 4 (2 điểm) Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) √ √
Câu 5 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh
a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a
Câu 6 (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( ) ( ) và mặt phẳng ( ) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng ( ) Xác định hình chiếu vuông góc của A xuống (P)
Câu 7 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
( ) ( ) ( )
1 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất
Câu 8 (2 điểm) Giải hệ phương trình { √ √
√ √
Câu 9 (2 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có
Thời gian làm bài: 180 phút
Trang 2( )( ) √
ĐÁP ÁN
Câu 1: Cho hàm số: ( )
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
TXĐ = R
*
BBT (0,5đ)
Hàm số đồng biến trên ( ), hàm số nghịch biến trên ( ) và ( )
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A ( ), có điểm cực tiểu là B ( )
đổi dấu khi x qua 1 => đồ thị hàm số có điểm uốn ( )
Chính xác hóa đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận ( ) làm tâm đối xứng (0,5đ)
Trang 3(0,5đ)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua ( )
Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị hàm số tại ( ( ))
Phương trình tiếp tuyến tại B: ( )( ) ( ) (0,5đ)
Δ đi qua ( ) ( ) ( ) [ (0,5đ)
Có hai tiếp tuyến cần tìm:
Câu 2:
∫ (
) ∫ ∫ (0,25đ) Tính ∫ Đặt , { (0,25đ)
Tính ∫ ∫ ( ) (0,5đ)
Câu 3:
Trang 41, Điều kiện: (0,25đ)
Phương trình trở thành:
[ ( )
* ( )
2, Số cách chọn ra 8 người là: (0,25đ)
Số cách chọn ra 8 người mà số nữ nhiều hơn số nam là: (0,5đ) Xác suất để chọn được 8 người thỏa mãn là: (0,25đ)
Câu 4:
( ) √ √ xác định trên ( ) (05đ)
( ) √
( ) √
Vậy * + ( ) ( ) √ (0,5đ)
* + ( ) ( ) √
Câu 5
Trang 5Gọi M là trung điểm của BC
Lập luận được góc giữa (SBC) và (ABC) là góc ̂ (0,5đ)
ΔSAM đều cạnh bằng √ √
( ( )
√ √
√
Câu 6:
Chọn ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) (0,5đ)
=>Phương trình mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) (0,5đ)
Hay
Gọi ( ) là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (P), Ta có:
( ) và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ cùng phương (0,5đ)
{
( ) (0,5đ)
Trang 6Câu 7:
a, Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
( )
Ta có:
{
=> (thỏa mãn) (0,25đ)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
=0 (0,25đ)
b,
A (2; 6), B (1; 1), C (6; 3)
Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) √ √
BC > AB > AC => ̂ ̂ ̂ mà cos A > 0 => ΔABC nhọn (0,25đ)
Gọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC Ta có:
AE = AH = AF, suy ra tam giác AEF cân tại A và ̂ ̂
Chu vi ΔHIK = KE + KJ + IF
Trang 7Gọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có:
ME = AE sin = AH sin
Suy ra: Chi vi tam giác HKI là
( )
Dấu “=” xảy ra H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và K, I là giao điểm của EF với AB, AC (0,25đ) Ta chứng minh: ̂ ̂ ̂
Có: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂) ̂ ̂
̂ ̂, suy ra: ̂ ̂ ̂, suy ra tứ giác ABHI nội tiếp, suy ra ̂ ̂
, suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B Tương tự có K là chân đường cao của C xuống AB (0,25đ) Phương trình các đường thẳng: (AB): ( ) ( )
(AH): ( ) ( )
Suy ra ( )
( )
( ) (0,25đ) Câu 8: Điều kiện: [ ]
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
(2) (√ ) √ ( ) ( ) (*) (0,5đ)
Xét hàm số ( ) trên R => Hàm số đồng biến trên R
Trang 8(*) (√ ) ( ) √ thế vào (1) (0,5đ)
(1) √ √
√ √ √ √
√ √ √ ( ) (0,5đ) Đặt √ √ √
Phương trình (**) trở thành *
(0,25đ) - Với √
- Với √ √ , phương trình vô nghiệm vì vế trái
Câu 9: Ta có: ( ) nên
√ (0,5đ)
( )
( )
( )
Trang 9
√
( )
( )( ) √
Lại có: √
( )( ) √ (0,5đ)
