đề thi thử thpt quốc gia môn toán,đề số 17

Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%

Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%17/50%

Ngày%thi%:%18/03/2015%

Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%

Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%–%Chi%tiết:%www.mathlinks.vn%%

Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!

y=

x + 2−m

x + m2 (1)!với!m!là!tham!số!thực,! m ≠1;m ≠−2.!

1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =−1.!

2 Tìm!m!để!hàm!số!(1)!nghịch!biến!trên!khoảng! (−4;+∞).!

Câu%2%(1,0%điểm).%

a) Giải!phương!trình!

log25(x+1) +

1

2log5 6x+1 =1.!

b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y =log2(x +1)− x3!trên!đoạn![0;1].!!

Câu%3%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!

I= x3−2x + (x −1)e x

0

1

Câu%4%(1,0%điểm).%

a) Cho!số!phức! z = cosx −i.sin x !Tìm!số!thực!x!sao!cho! z −i = 2.!

b) Tìm!số!hạng!chứa! x16!trong!khai!triển!

(x

2−1

x+1)n!biết!n!là!số!tự!nhiên!thoả!mãn!

C n

2= n + 27.!

Câu%5%(1,0%điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!bình!hành!có!

AB = a,AD = a 3,BAD! = 300.!Hình!chiếu!vuông!góc!của!S!lên!mặt!phẳng!(ABCD)!trùng!với! trung!điểm!cạnh!AD,!góc!giữa!SC!và!mặt!phẳng!(ABCD)!bằng! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp! S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(SBD).!

Câu%6%(1,0%điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng!

(P ) : 2x + y + 2z −14 = 0 !Tam!giác!ABC!cân!tại!A!có!B,C!thuộc!mặt!phẳng!(P)!và!nhận!G(3;6;1)!

làm!trọng!tâm,!M(4;8;u1)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Tìm!toạ!độ!điểm!A.!Viết!phương!trình!đường! thẳng!BC.!

Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!nhọn!ABC! (AC > AB).!

Gọi!

D(2;−

3

2)!là!chân!đường!phân!giác!trong!góc!A,!E(u1;0)!là!một!điểm!thuộc!đoạn!AC!thoả!

mãn! AB = AE !Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!phương!trình!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác! ABC!là! x2+ y2+ x −2y −30 = 0!và!A!có!hoành!độ!dương.!

Câu%8%(1,0%điểm) %Giải!hệ!phương!trình

x + y

2 + x2+ y2

2 = 2 x3+ y3

2 3

8x3−4 x + 3 + 6 = 3 x + y

2 ( x + y )

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

(x, y∈ !).!

Câu%9%(1,0%điểm).%Cho!a,b,c!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! a2+ b2+ c2= 2!và! a ≥b !Tìm!giá!

trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!

P=

1

a3+ b2+ c+

1

b3+ c2+ a−

5(a + c)(a + c −1)

4

Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!

y=

x + 2−m

x + m2 (1)!với!m!là!tham!số!thực,! m ≠1;m ≠−2.!

1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =−1.!

2 Tìm!m!để!hàm!số!(1)!nghịch!biến!trên!khoảng! (−4;+∞).!

1 Học!sinh!tự!giải.!

2 Tập!xác!định:!

D= !\ −m

2

{ }.!Ta!có:!

y '=m2+ m −2

(x + m2)2 !

+!)!Hàm!số!nghịch!biến!trên!khoảng! (−4;+∞)khi!và!chỉ!khi:!

x + m2≠ 0

y '< 0

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ ,∀x ∈ (−4;+∞) ⇔

m2+ m −2 < 0

−m2∈ −4;+∞⎡⎣⎢ )

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪ ⇔ −2 < m <1.!

Kết%luận:%Vậy! −2< m <1là!giá!trị!cần!tìm.!!

Câu%2%(1,0%điểm).%

a) Giải!phương!trình!

log25(x+1) +

1

2log5 6x+1 =1.!

b) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y =log2(x +1)− x3!trên!đoạn![0;1].!!

a) Điều!kiện:!

x>−

1

6.!

Phương!trình!tương!đương!với:!

1

2log5(x+1) +1

2log5 6x+1 =1 ⇔ log5(x+1) + log5 6x+1 = 2

⇔ log5(x +1) 6x +1 = 2 ⇔ (x +1) 6x +1 = 25

⇔ (x +1)( 6x +1−5) + 5(x −4) = 0

⇔6(x +1)(x −4)

6x+1 + 5 + 5(x −4) = 0 ⇔ (x −4)

6(x+1)

6x+1 + 5+ 5

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥= 0 ⇔ x = 4

.!

Kết%luận:!Phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x = 4 !!

Chú!ý!có!thể!thực!hiện!các!cách!khác!sau!đây:!

+)!Hàm!số!

y= log25(x+1) +

1

2log5 6x+1đồng!biến!nên!phương!trình!có!tối!đa!một!nghiệm,! mặt!khác!nhận!thấy!x=4!thoả!mãn!phương!trình.!Vậy!nên!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x=4.!

+)!Giải!phương!trình:!!

(x +1) 6x +1 = 25 ⇔ (x +1)2(6x+1) = 252

⇔ (x −4)(6x2+ 37x +156) = 0 ⇔ x = 4 !

b) !Hàm!số!đã!cho!liên!tục!trên!đoạn![0;1].!

Ta!có:!y '= 1

(x+1).ln 2−3x

2≤ 1 2ln 2−3< 0.!

Vậy!hàm!số!nghịch!biến!trên!đoạn![0;1].!

Do!đó! ymin= y(1) = 0; ymax= y(0) = 0.!!!

Câu%3%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!

I= x3−2x + (x −1)e x

0

1

I= x(x2+ e x)−(2x + e x)

0

1

e x + x2)dx

0

1

∫

= (x2

2 −ln e x + x2)1

0=1

2−ln(e +1)

.!

Kết%luận:!Vậy!

I=

1

2−ln(e +1).!!

Câu%4%(1,0%điểm).%

a) Cho!số!phức! z = cosx −i.sin x !Tìm!số!thực!x!sao!cho! z −i = 2.!

b) Tìm!số!hạng!chứa! x16!trong!khai!triển!

(x

2−1

x+1)n!biết!n!là!số!tự!nhiên!thoả!mãn!

C n

2= n + 27.!

a) Ta!có:!

z −i = cos x + (sin x +1).i ⇒ z −i = cos

2x + (sin x +1)2.!!

+)!Theo!giả!thiết!ta!có:!

!

cos2x + (sin x +1)2= 2 ⇔ cos2x + (sin x +1)2= 4

⇔1−sin2x + (sin x +1)2= 4 ⇔ 2sin x + 2 = 4 ⇔ sin x =1 ⇔ x = π

2+ k2π.!

Kết!luận:!Vậy!

x=

π

2+ k2π,k ∈ !.!!!

b) Theo!giả!thiết!ta!có!phương!trình:!

!

n!

2!(n−2)!= n + 27 ⇔

n(n−1)

2 = n + 27

⇔ n2−3n −54 = 0 ⇔ n = 9(t / m)

n = −6(l)

⎡

⎣

⎢

⎢

.!

Vậy! n = 9và!

(x

2−1

x+1)9= C9k (x2−1

x)

k

k=0

9

∑ = C9k (−1)i x 2(k−i ) x −i

i=0

k

∑

k=0

9

i=0

k

∑

k=0

9

Ta!cần!chọn!k,i!thoả!mãn!

0≤ i ≤ k ≤ 9 2k −3i =16

⎧

⎨

⎪⎪

⎩⎪⎪ ⇒ (i;k) = (0;8).!

Vậy!số!hạng!cần!tìm!là! C98.(−1)0x16= 9x16.!!

Câu%5%(1,0%điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!bình!hành!có!

AB = a,AD = a 3,BAD! = 300.!Hình!chiếu!vuông!góc!của!S!lên!mặt!phẳng!(ABCD)!trùng!với!

trung!điểm!cạnh!AD,!góc!giữa!SC!và!mặt!phẳng!(ABCD)!bằng! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp! S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(SBD).!

!

Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!AD,!ta!có:! SH ⊥ (ABCD).!

Và!HC!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!SC!trên!mặt!phẳng!

(ABCD)!nên! SCH! = 600.!!

Do! BAD! = 300⇒ ADC! =1500.!

Áp!dụng!định!lý!hàm!số!Côsin!cho!tam!giác!HDC!có:!

!

CH = HD2+CD2−2HD.CD cos1500

= a2

4 + 3a2−2.a

2.a 3.(− 3

2 )=a 19

2 !!

Suy!ra:!

SH = HC.tan60

0=a 19

2 3=a 57

2 !!

+)!

S ABCD = 2S ABD = AB.AD.sin30

0= a.a 3.1

2=a2 3

2 !

Vì!vậy!

V S ABCD=1

3SH.S ABCD=1

3.

a 57

2 .

a2 3

2 =a3 19

4 (đvtt).!

+)!Tính!khoảng!cách!từ!A!đến!mặt!phẳng!(SBD).!

Ta!có!

d(A;(SBD))=

AD

HD d(H ;(SBD)) = 2.d(H ;(SBD)).!

Kẻ!HI!vuông!góc!với!BD!tại!I!và!kẻ!HK!vuông!góc!với!SI!tại!K!ta!có! HK ⊥ (SBD) !

+)!Áp!dụng!định!lý!hàm!số!cô!sin!cho!tam!giác!ABD!có!!

!

BD = AB

2+ AD2−2AB.AD cos300= a2+ 3a2−2a.a 3. 3

2 = a!.!

Ta!có!

HI=

2S HBD

BD =S ABCD

2BD =

a2 3

4a =

a 3

4 !

Tam!giác!vuông!SHI!có:!

!

1

HI2= 16

3a2+ 4

57a2 = 308

57a2 ⇒ HK = a

2

57

77 !

Suy!ra:!

d(A;(SBD)) = a

57

77.!!!!!!

Câu%6%(1,0%điểm).!Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng!

(P ) : 2x + y + 2z −14 = 0 !Tam!giác!ABC!cân!tại!A!có!B,C!thuộc!mặt!phẳng!(P)!và!nhận!G(3;6;1)!

làm!trọng!tâm,!M(4;8;u1)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Tìm!toạ!độ!điểm!A.!Viết!phương!trình!đường! thẳng!BC.!

+)!Vì!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!nên!

AG

! "!!

= 2GM! "!! = (2;4;−4) ⇒

3− x A= 2

6− y A= 4 1− zA= −4

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⇒ A(1;2;5).!

+)!Do!tam!giác!ABC!cân!tại!A!nên! BC ⊥ AM !

Ta!có:!

AM

! "!!!

= (3;6;−6) //(1;2;−2),n!"!P = (2;1;2) ⇒ AM⎡! "!!!,n!"!P

⎣

⎢ ⎤⎦⎥ = (6;−6;−3) //(2;−2;−1) !

Ta!có! BC ⊥ AM ,BC ⊥ n!"!P!suy!ra!BC!nhận!(2;u2;u1)!làm!véc!tơ!chỉ!phương.!

Do!đó!BC!đi!qua!M!có!phương!trình!là!

x−4

2 = y−8

−2 =

z+1

−1 !!!!

Kết%luận:!A(1;2;5)!và!

BC :

x−4

2 = y−8

−2 =

z+1

−1 !

Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!nhọn!ABC! (AC > AB).!

Gọi!

D(2;−

3

2)!là!chân!đường!phân!giác!trong!góc!A,!E(u1;0)!là!một!điểm!thuộc!đoạn!AC!thoả!

mãn! AB = AE !Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C!biết!phương!trình!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác! ABC!là! x2+ y2+ x −2y −30 = 0!và!A!có!hoành!độ!dương.!

!

Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!có!tâm!

I (−

1

2;1)!,! bán!kính!bằng!5 5

2 !

Gọi!H!là!giao!điểm!của!AI!và!đường!thẳng!DE.!

+)!Xét!hai!tam!giác!ABD!và!AED!có:!

+! AB = AE,BAD ! = EAD! ,!AD!chung!nên!tam!giác!ABD!

bằng!tam!giác!ADE.!!

Suy!ra:! AED ! = ABC! !

Ta!có:!

HAE ! = ICA! = 1800− AIC!

2 = 900− ABC! !

Suy!ra:! AHE ! = AED ! + HAE ! = ABC! +(900− ABC!) = 900.!Vì!vậy!AI!vuông!góc!với!đường!thẳng! DE.!!

+)!Ta!có:!

DE

! "!!

= (−3;3

2) //(2;−1).!!!!

+)!Đường!thẳng!AI!đi!qua!I!và!vuông!góc!với!DE!nên!có!phương!trình!là! 2x − y+2= 0 !

Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!

2x − y + 2 = 0

x2+ y2+ x −2y −30 = 0

⎧

⎨

⎪⎪

x = 2, y = 6

x = −3, y = −4

⎡

⎣

⎢

+)!Đường!thẳng!AD!đi!qua!A,D!có!phương!trình!là! x −2= 0.!

Gọi!A’!là!giao!điểm!thứ!hai!của!AD!và!đường!tròn!(C),!toạ!độ!điểm!A’!thoả!mãn!

x= 2

x2+ y2+ x −2y −30 = 0

⎧

⎨

⎪⎪

x = 2, y = 6

x = 2, y = −4

⎡

⎣

⎢

+)!Đường!thẳng!BC!đi!qua!D!và!vuông!góc!với!IA’!có!phương!trình!là!

! x −2y−5= 0 !

Toạ!độ!điểm!B,C!thoả!mãn!hệ!

x −2y −5 = 0

x2+ y2+ x −2y −30 = 0

⎧

⎨

⎪⎪

x = 5, y = 0

x = −3, y = −4

⎡

⎣

⎢

Suy!ra!B(5;0),!C(u3;u4)!hoặc!B(u3;u4),!C(5;0).!

Đối!chiếu!với!điều!kiện!AC>AB!ta!có:!B(5;0)!và!C(u3;u4).!

Kết%luận:!Vậy! A(2;6),B(5;0),C(−3;−4) !!

!

Câu%8%(1,0%điểm) %Giải!hệ!phương!trình

x + y

2 + x2+ y2

2 = 2 x3+ y3

2 3

8x3−4 x + 3 + 6 = 3 x + y

2 ( x + y )

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

(x, y∈ !).!

Điều!kiện:! x,y ≥0.!

Ta!có:!

!

x2+ y2

4(x + y)2=x + y

2 !

Do!đó!

VT(1)≤ 2

x2+ y2

2 ⇒VP(1)= 2 x3+ y3

2

3 ≤ 2 x2+ y2

2 !

Suy!ra:!

!

(x

3+ y3

2 )

2≤ (x2+ y2

2 )

3⇔ 2(x3+ y3)2−(x2+ y2)3≤ 0

⇔ (x − y)2(x4+ 2x3y + 2xy3+ y4)≤ 0 ⇔ x = y

.!

Do!vậy!phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với:! y = x !

Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!

!

4x3−2 x + 3 + 3 = 3x ⇔ 4x3−3x −1+ 2(2− x + 3) = 0

⇔ (x −1)(4x2+ 4x +1) + 2(1− x)

2+ x + 3= 0

⇔ (x −1)(4x2+ 4x +1− 2

2+ x + 3)= 0

⇔ (x −1)(8x2+ 8x + (2x +1)2 x + 3) = 0 ⇔ x =1

.!

Bởi!vì! 8x2+ 8x + (2x +1)2 x + 3 > 0,∀x ≥ 0.!

Kết%luận:!Hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x;y) = (1;1).!!!!!!

Cách%2:!Nhận!thấy!phương!trình!đầu!của!hệ!có!dạng!đẳng!cấp!nên!ta!có!thể!đặt!y=t.x!đưa!về!

giải!phương!trình!với!t.!

Nhận!thấy! x = 0không!là!nghiệm!của!hệ!nên!xét!với! x >0đặt!

t=

y

x ≥ 0phương!trình!thứ!nhất! của!hệ!trở!thành:!!

Ta!có:!

!

(t

3+1)(t3+1)(1+1) ≥ (t2+1)3⇒ t3+1

2

3 ≥ t2+1

2 ≥t+1

2 ⇒VT ≤VP.!

Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! t =1.!!

Vì!vậy!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!có:! y = x !

Bình%luận:!Ta!có!thể!suy!ra!bất!đẳng!thức!trên!như!sau:!

! 2(t3+1)2−(t2+1)3= (t −1)2(t4+ 2t3+ 2t +1) ≥ 0,∀t ≥ 0.!

Do!đó!

t3+1

2

3 ≥ t2+1

2 !!!!

+)!Tổng!quát!ta!có:!

!

(t n +1)(t n+1)(1+1) (1+1)

(n−2) lân

!#####"##### ≥ (t$ 2+1)n⇒ t n+1

2

n ≥ t2+1

2 !

Do!đó!phương!trình!đầu!của!hệ!có!thể!cho!dạng!tổng!quát:!

!

x + y

2 + x2+ y2

2 = 2 x n + y n

2

Bài%tập%tương%tự%}%%

Bài%số%01.%Giải!hệ!phương!trình!

x + y

2 + x2+ y2

2 = 2 x4+ y4

2 4

x3−3x −1= 8−3y2

⎧

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

.!!

Câu%9%(1,0%điểm).%Cho!a,b,c!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! a2+ b2+ c2= 2!và! a ≥b !Tìm!giá!

trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!

P=

1

a3+ b2+ c+

1

b3+ c2+ a−

5(a + c)(a + c −1)

Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!ta!có:!

(a3+ b2+ c)(a + b2+ c3)≥ (a2+ b2+ c2)2,

a3+ b2+ c≤

a + b2+ c3

(a2+ b2+ c2)2;

(b3+ c2+ a)(b + c2+ a3)≥ (a2+ b2+ c2)2,

b + c2+ a3≤ b + c2+ a3

(a2+ b2+ c2)2

.!

Vì!vậy!

1

a3+ b2+ c+

1

b3+ c2+ a≤

a + b2+ c3

(a2+ b2+ c2)2+ b + c2+ a3

(a2+ b2+ c2)2

=a + b + b2+ c2+ a3+ c3

4

≤a + b + (b + c)2+ (a + c)3

4

≤a + b + (a + c)2+ (a + c)3

4

.!

Suy!ra:!

!

P≤a + b + (a + c)2+ (a + c)3

4 −5(a + c)(a + c −1)

4

=(a + c)3−4(a + c)2+ 5(a + c) + a + b

4

.!

Ta!có:! a+b ≤ 2(a2+ b2)≤ 2(a2+ b2+ c2)= 2.!

Và!đặt! x = a+c ⇒ f (x) = x3−4x2+ 5x ≤ 2.!

Vì!vậy!

P≤

a + b + f (x)

4 ≤2+ 2

4 =1.!Dấu!bằng!đạt!tại! a = b =1,c = 0.!

Vậy!giá!trị!lớn!nhất!của!P!bằng!1.!!!!!

Bằng!cách!tương!tự!ta!chứng!minh!được:!

Bài%số%01.%Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! a+b +c = 3 !Chứng!minh!rằng!

!

1

a3+ b2+ c+

1

b3+ c2+ a+

1

c3+ a2+ b≤1.!

!

!!!!

!

!

!!