TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III Môn : TOÁNThời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề Câu 1 2,0 điểm.. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.. Tính xác suất để
Trang 1TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG III Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề
Câu 1 ( 2,0 điểm) Cho hàm số y= - + x3 3mx + 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A B sao cho tam giác OAB vuông tại,
O ( với O là gốc tọa độ ).
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 2x+ = 1 6 sinx+ cos 2x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
2 3 2 1
2 ln
x
-
Câu 4 (1,0 điểm) a) Giải phương trình 52x+ 1- 6.5x + = 1 0
b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A - ( 4;1; 3)và đường
d + = - = +
- Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm B thuộc dsao cho AB = 27
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A , AB= AC= a , I
là trung điểm của SC , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm
H của BC , mặt phẳng ( SAB)tạo với đáy 1 góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp S ABC và
tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB theo) a
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A( )1; 4 , tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong
của ·ADB có phương trình x- + = y 2 0 , điểm M - ( 4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình
đường thẳng AB
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
ì + + - - = + ï
í
- - + - = -
ï î
Câu 9 (1,0 điểm) Cho a b c là các số dương và, , a+ + = b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
=
Group Facebook: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net
Trang 2ĐÁP ÁN
1 a.(1,0 điểm)
Vơí m=1 hàm số trở thành : y = - + x3 3 x + 1
TXĐ: D=R
2
y = - x + , y'= Û = ±0 x 1
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( 1; +¥ , đồng biến trên khoảng ) ( -1;1 )
Hàm số đạt cực đại tại x = ,1 y = , đạt cực tiểu tại CD 3 x = - ,1 y = - CT 1
lim
®+¥ = -¥ , lim
®-¥ = +¥
0.25
* Bảng biến thiên
y
0.25
Đồ thị:
4
2
2
4
0.25
b.(1,0 điểm)
y = - x + m= - x - m
( )
2
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị Û PT (*) có 2 nghiệm phân biệt Û m >0 **( )
0.25
Khi đó 2 điểm cực trị A( - m;1 2- m m ) , B( m;1 2+ m m ) 0.25
Tam giác OAB vuông tại O Û OA OB = 0
uuur uuur
2
Û + - = Û = ( TM (**) ) 0,25
DeThiThu.Net
Trang 32
m =
2 (1,0 điểm)
sin 2 x + = 1 6sin x + cos 2 x
Û 2 sinx( cosx- 3)+ 2 sin2x = 0
Û 2 sinx( cosx- + 3 sinx )=0
0 25
sin 0 sin cos 3( )
x
=
é
3
(1,0 điểm)
2
= ò - ò = - ò = - ò
0.25
Tính
2 2 1
ln x
x
= ò
Đặt u ln ,x dv 12dx
x
= = Khi đó du 1dx v, 1
-Do đó
2 2 2
1 1
ln
= - + ò
0.25
2
1
J
x
Vậy 1 ln 2
2
4 (1,0 điểm)
a,(0,5điểm)
2 1
5 x+ - 6.5x + = 1 0 2
5 5
x
x
é =
ê
ê =
ê ë
0.25
0 1
x
x
=
é
Û ê = -
ë
b,(0,5điểm)
11 165
Số cách chọn3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
5 6 5 6 135
C C + C C =
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
165=11
0.25
Group Facebook: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net
Trang 45 (1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là u = - uurd ( 2;1;3)
Vì ( )P ^d nên ( )P nhận u = - uurd ( 2;1; 3)
Vậy PT mặt phẳng ( )P là : - 2( x+ 4) ( + 1 y- + 1) ( 3 z - 3)=0
2x y 3z 18 0
Vì BÎd nên B( - - 1 2 ;1t + - +t; 3 3t )
27
Û = Û - + + - + = Û 7t2- 24t + =9 0
0.25
3 3 7
t
t
=
é
ê
Û
ê =
ë
Vậy B -( 7; 4; 6) hoặc 13 10; ; 12
Bæ ç - - ö ÷
0.25
6 (1,0 điểm)
j
A
S
H
K M
Gọi K là trung điểm của AB Þ HK ^ AB (1)
Vì SH ^( ABC ) nên SH ^ AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra Þ AB^SK
Do đógóc giữa ( SAB) với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng ·SKH = 60o
Ta có · 3
tan
2
a
SH = HK SKH =
0.25
Vậy
3
a
Vì IH/ /SB nên IH/ /( SAB Do đó ) d I SAB( ,( ) ) =d H( ,( SAB ) )
Từ H kẻ HM ^SK tại M Þ HM ^ ( SAB )Þ d H( ,( SAB) )=HM 0.25
Ta có 1 2 1 2 12 162
3
3 4
a
HM
Þ = Vậy ( ,( ) ) 3
4
a
DeThiThu.Net
Trang 57 (1,0 điểm)
K C
A
D
M M'
E
Gọi AI là phan giác trong của ·BAC
Ta có : · · ·AID= ABC+ BAI
· · ·
IAD= CAD+CAI
Mà · ·BAI = CAI , · ·ABC= CAD nên · ·AID= IAD
Þ D DAI cân tại D Þ DE^ AI
0,25
PT đường thẳng AI là : x+ - =y 5 0
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI Þ PT đường thẳng MM’ : x- + =y 5 0
VTCP của đường thẳng AB là uuuuur AM = ' ( )3; 5
Þ VTPT của đường thẳng AB là n = r ( 5; 3- )
Vậy PT đường thẳng AB là: 5( x- - 1) ( 3 y - 4)= 0 Û 5x- 3y + =7 0
0,25
8.
(1,0 điểm).
2 2
ì + + - - = + ï
í
- - + - = -
ï î
Đk:
2 2
0
1 0
y
ì + - - ³
ï
- - ³
í
ï - ³ î
Ta có (1) Û - + x y 3 ( x- y)( y+ - 1) 4(y + =1) 0
Đặt u= x- y v, = y + 1 (u³ 0,v ³ )0 Khi đó (1) trở thành : 2 2
u + uv- v =
4 ( )
=
é
Û ê = - ë
0.25
Với u= v ta có x= 2y + , thay vào (2) ta được :1 4y2- 2y- + 3 y- = 1 2y
2
4y 2y 3 2y 1 y 1 1 0
Û - - - - + - - =
0.25
2
0
1 1
y
- +
1 1
y
y
ç - - + - - + ÷
0.25
2
y
Û = ( vì
2
1 1
y y
- +
- - +
-)
Với y = thì2 x = 5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( 5; 2)
0.25
Group Facebook: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net
Trang 6Vì a + b + c = 3 ta có
3a bc+ = a a b c( + + + ) bc = (a b a c + )( + ) £ 2 ç è a+ b+ a+ c ÷ ø
a b+ + a c+ ³ a b a c + + , dấu đẳng thức xảy ra Û b = c
0,25
2 3
b ca
2 3
c ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3
2 khi a = b = c = 1.
0,25
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
DeThiThu.Net
