Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy , cho tam giác ABC.. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D 4; 2-.. Lập
Trang 1ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x = 3 - 3 x 2 + 2 có đồ thị ( ) C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) C
b) Tìm các giá trị của m để phương trình 1 3 - 3 2 = + 1
2 x 2 x m 2 có ba nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho tana = - 2 và
2
p
a p
< < Tính 2 sin 3cos
5 cos 7 sin
+
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : z + ( 2- i z) = ( 5 3+ i z ) +1
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình : 2( ) ( )
2 log x- - 1 5 log x - + =1 2 0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 3( 2 )
0
2 cos
p
Câu 5 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : 20 5 4 96
ì + - = ï
í + + + =
ï î
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 3 2 1
d - = + = +
-và mặt phẳng ( ) :P x+ + + = y z 2 0 Hãy viết phương trình đường thẳng ( ) D đi qua M ( 3; 0; 3- ) ,cắt đường thẳng ( )d và mặt phẳng ( )P lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm AB
Câu 7 (1,0 điểm).
Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ¢ ¢ ¢có đáy ABClà tam giác vuông tạiAvà AB= a BC, = 2a Biết hình chiếu của B¢ lên mặt phẳng ( ABC) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà góc giữa đường thẳng CC¢ và mặt phẳng ( A B C ¢ ¢ ¢ ) là 0
60 Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa đường thẳng HB¢ và mặt phẳng ( ABB¢ ) theo a.
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc ( Oxy) , cho tam giác ABC Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là3x+ 5y- = 8 0, x- - = y 4 0.
Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại
điểm D ( 4; 2- ) Lập phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
Câu 9 (0,5 điểm) Cho một đa giác đều 8 cạnh Chọn ngẫu nhiên một đường chéo của đa giác Tìm
xác suất để chọn được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất ?
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số dương a b c, , thỏa mãn a+ + = b c 3.
a + b + c ³ + +
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:………
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
NĂM HỌC 20142015 Môn: TOÁN ( Gồm 6 trang)
Tập xác định: D = ¡ Với m=1 ta có = 3 - 2 +
3 2
y x x
Ta có y'= 3x2-6x ; 0 0
2
x y'
x
=
é
= Û ê = ë
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; 0) và (2;+¥ ; nghịch biến trên khoảng) (0; 2)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT=2
Giới hạn: lim , lim
®+¥ = +¥ ®-¥ = -¥
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
1 (2,0 đ) Đồ thị:
f(x)=(x^3)3*(x )^2+2
5
5
x
y
0,25
Phương trình 1 3 - 3 2 = + Û 1 3 - 2 + = + ( )
3 2 2 3 *
Phương trình ( )* chính là phương trình hoành độ giao điểm chung giữa hai đường
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 ,
2 3,
ì = - + ï
í
= +
ï î
số giao điểm giữa( )d và( )C chính là số nghiệm pt( )* 0,25
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Trang 35 1
Vậyphương trình 1 3 - 3 2 = + 1
2 x 2 x m 2 có ba nghiệm phân biệt 5 1
2 m 2
Û - < < - 0,25
sin
sin
cos
a
a
a
× +
2.(1,0đ) Thay tana = - 2
( )
( )
7 2 5 19
A - +
Đặt z= + x yi,( x y, Î ¡,i2 = - Þ = - 1) z x yi Thay vào đẳng thức ta được
z = + i z+ Û - x yi= + i x+ yi + Û - - x yi= x- y+ x+ y i 0,25
1
2
6
x
y
ì
= -
- = -
- = +
ï î
0,25
0,5
3 (0,5 đ) .Điều kiện : x- > Û >1 0 x 1
Đặt t= log3( x - 1) Pt đã cho trở thành : 2 1
2
t - + = Þ = Ú = t t t 0,25
· t= Þ 2 log3( x- = Û - = Û = 1) 2 x 1 9 x 10
1 2 3
t= Þ x- = Û - = x Û = +x
Pt có hai nghiệm x= 10 , x = +1 3
0,25
1,0
1
0 0
1
p
3 2 0
1 cos 2
p
= ò + Đặt
( 1 cos 2 ) 1sin 2
2
du dx
u x
=
ì
=
ì
Þ
ï
3 2
0
x
p
= ç + ÷ - ç + ÷ = + - ç - ÷ =
2
3 1
p p
-0,25
Vậy:
3 1
81 18 12 8
I p p p
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
Trang 4( )
ì + - = ï
í + + + =
ï î
Điều kiện
4 13 0
13 0
0 4 0(*)
x y
+ ³
ì
ï + ³
í
ï ³ Þ ³ î
Khi hệ có nghiệm ( x y; ) từ ( ) ( ) ( ) ( )* 4 0
0
x
y
³
ì
Þ + = + > ¾¾® í
³ î
0,25
5 (1,0 đ) Từ phương trình ( )1 theo bất đẳng thức AMGM ta có
5 4x+ y = 2 4x y + 96£ 4x+ + y 96Þ 4x+ £y 24 (3) 0,25
Từ phương trình ( )2 theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có
10= 4x+ 13+ y+ 13£ 2 4x+ + y 26 Û 4x+ ³y 24 4 0,25
x y
Þ + = Û í Û í
Thử lại nghiệm ta tm hệ p trình Vậy hpt có một nghiệm duy nhất ( x y =; ) ( 3;12)
0,25
1,0
Gọi điểm A( 3 2 ; 2+ t - + - - Î t; 1 t) ( )d và điểm B đối xứng với A qua M ( 3; 0; 3- ) ( 3 2 ; 2 ; 5 )
6 (1,0 đ) Do BÎ ( ) ( P Þ 3 2- t) ( + 2- + - + + = Þ =t) ( 5 t) 2 0 t 1 0,25
( 5; 1; 2)
A
Þ - - và B ( 1;1; 4- ) ( )
3 2 3; 0; 3
2; 1;1
3 2
qua M
vtcp u BA
= +
ì
-
ì
= = -
uuur
Vậy pt đường thẳng ( )
3 2 :
3
= +
ì
ï
D í = -
ï = - + î
0,25
1,0
Gọi H là trung điểm của BCÞ B H¢ ^ ( ABC) ( ), gt
0
60 = CC¢ , A B C¢ ¢ ¢ = BB¢ , ABC =B BH ¢ 0,25
7 (1,0 đ) B H¢ = BHtan 600 = a 3 và AC= BC2- AB2 = a 3Þ
2
ABC
a
S = AB AC = Suy ra
2
3
3 3
a
V ¢ ¢ ¢ = BH S = a × = × a (đvtt)
0,25
Gọi M là trung điểm ABÞ AB^ ( B HM¢ ) ( Þ ABB¢ ) ( ^ B HM ¢ )
Do đó ( B H¢ ,( ABB¢ ) ) = ( B H B M¢ , ¢ ) =MB H ·¢ 0,25
MH
B H
¢ = = Þ ¢ =
2
1,0
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
Trang 5M K
H
D
C B
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và
AD Ta kí hiệu nuur uur d,u d
lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là giao điểm
của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
7
;
2
x
x y
M
y
ì
= ï
ïï
- - =
ï î
AD vuông góc với BC nên nuuur uuur AD= u BC = ( )1;1
, kết hợp AD đi qua điểm D suy ra phương trình của AD:1( x- 4) ( + 1 y+ 2)= Û + - = Tọa độ điểm K là0 x y 2 0 nghiệm của hệ phương trình:
( )
3; 1
K
- - = =
+ - = = -
0,25
8 (1,0 đ) Ta chứng minh được K là trung điểm của HD nên H( 2; 4) 0,25
Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa đô điểm A là nghiệm của hệ phương trình
( )
1;1
A
+ - = =
Do B thuộc BC Þ B t t ( ; - 4), kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C( 7- t;3- t )
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
7
t
t
=
é
= Û - - + - - = Û - - = Û ê =
ë uuur uuur
0,25
Do t£ Þ = Þ 3 t 2 B( 2; 2 ,- ) ( )C 5;1 Ta có
( 1; 3 ,) ( 4; 0) AB ( ) 3;1 , AC ( )0;1
AB= - AC= Þ n = n =
Do đó uuur AB= ( 1; 3 ,- ) uuur AC= ( 4; 0) Þ nuuur AB = ( ) 3;1 ,n uuur AC = ( )0;1
Do đó
AB x+ - = y AC y - =
0,25
0,5
9 (0,5 đ) Số cách chọn 2 đỉnh trong 8 đỉnh của đa giác là C Þ 82 số đường chéo của đa giác là
2
Gọi “A là biến cố chọn được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất”
Ta thấy số các đường chéo của đa giác đều 8 đỉnh có độ dài nhỏ nhất là số các cạnh của hình vuông có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đang xét, có hai hình vuông như vậy Þ A = Vậy xác xuất để được một đường chéo có độ dài nhỏ nhất là8
0,25 www.DeThiThu.Net
Trang 6( ) 8 2 0, 4
20 5
A
P A = = = =
W
1,0
+ + + + + ³ Û + + + + + ³ .
( Do 12 12 12 1 1 1
a + b + c ³ ab+ bc+ ca dấu bằng khi a= = b c )
0,25
10.(1,0đ) Áp dụng bất đẳng thức AMGM ta được
( )
2
3 ab bc ca
abc
3 3abc a b c 3 3.3.3 9 VP
abc
Dấu bằng xẩy ra khi a= = =b c 1
0,25
Vậy với các số dương a b c, , thỏa mãn a b c + + = 3.
a + b + c ³ + + dấu đẳng thức Û = = =a b c 1 0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
Trong lời giải câu 7 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Tham gia ngay! Group FB: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Truy c p http://dethithu.net m i ngày đ t i các đ thi th THPT Qu c Gia ( Đ i H c ) các môn TOÁN – ANH – VĂN – LÝ – HÓA – SINH m i nh t,nhanh nh t t các trư ng THPT và trung tâm luy n thi đ i h c trong nư c.Chúng tôi luôn c p nh t đ thi th m i ngày v y nên các b n yên,luôn có các đ thi th m i nh t đ các b n tham kh o
Ngoài ra http://dethithu.net còn đăng t i các tài li u ph c v sĩ t Ôn thi đ i h c v i các chuyên
đ trong tâm
www.DeThiThu.Net
