Đề thi học sinh giỏi Toán thành phố Hà Nội năm 2013 - 2014

Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc C... Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM  2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học: 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (5 điểm)

Cho hàm số y  x3 3x  4 có đồ thị (C)

a Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm 1; 2

2

I  

  là trung điểm của đoạn thẳng

MN

b Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C) Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt là A B C', ', ' Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng

Bài 2: (5 điểm)

a Giải phương trình: 2   2

b Giải hệ phương trình:

3 6 3 4 0

2 4 3 3 2 3 2 0

      





      



Bài 3: (2 điểm)

Cho cá số thực a, b, c sao cho a 0,b  0, 0  c  1 và a2  b2  c2  3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P 2ab 3bc 3ca 6

a b c

 

Bài 4: (3 điểm)

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Đặt xOy , yOz  , zOx  y

Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA OB  OC  a với a > 0

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

a Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM  2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng

AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo  trong trường hợp    60 ,0  900

b Chứng minh rằng: cos os + os 3

2

     

Bài 5: (3 điểm)

Cho dãy số (u n) thỏa mãn điều kiện:

1

2 1

2

2013

, 1, 2,

2014 2014

n

u

u











a Chứng minh rằng (u n) là dãy số tăng

b Với mỗi n 1, nN, đặt

1 1

n n

n

u v

u 



 Chứng minh rằng: v1  v2   v n  2014 với mọi n 1