SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 NĂM HỌC 2011-2012 LONG AN Môn thi: TOÁN TIN CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI Hướng dẫn chấm có 04 trang Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 LONG AN Môn thi: TOÁN TIN CHUYÊN
Ngày thi: 30-6-2011
Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)
Câu I : (1.5 điểm) Rút gọn biểu thức :
A = x 2 x 1 3 1( x)
−
− − − + Với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
Câu II : ( 2 điểm)
Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2mx - m + 1
a) Chứng minh rằng : Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi A (xA ; yA) và B (xB ; yB ) là hai giao điểm phân biệt của (d) và (P)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P =
1
y +y +1
Câu III : ( 1 điểm) Giải hệ phương trình :
x 1 2 y
y 1 2 z
z 1 2 x
+ =
+ =
+ =
Câu IV : (2,5 điểm)
Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) Cát tuyến qua M cắt (O) tại C và D ( C nằm giữa M
và D) Gọi H là giao điểm của OM và AB
a) Chứng minh : MC.MD = MA2
b) Chứng minh : Tứ giác HCDO nội tiếp
c) Chứng minh : HA là tia phân giác của góc CHD
Câu V : ( 1điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + xy – y = 0
Câu VI : ( 1 điểm)
Người ta đặt tùy ý 10 điểm vào trong một tam giác đều có cạnh bằng 3 ( Kể cả trên các cạnh của tam giác) Chứng minh rằng : Ta luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1
Câu VII : ( 1 điểm)
Cho hai số nguyên x , y thỏa mãn : x2+y2 chia hết cho 3
Chứng minh rằng : xy chia hết cho 9
……… Hết …………
ĐỀ DỰ BỊ
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH 10 NĂM HỌC 2011-2012 LONG AN Môn thi: TOÁN TIN CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
Câu I
(1,5 điểm) Điều kiện : x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9
= ( ) ( )
= ( x 32 )( xx 2) x 31
−
(0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)
Câu II
(2 điểm) Câu a ( 1 điểm)Xét phương trình hoành độ giao điểm : x2 – 2mx + m – 1 = 0
∆, = m2 - m + 1 =
2
m
> 0 , ∀m
Nên : Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
Câu b ( 1 điểm)
Vì A (xA ; yA) và B (xB ; yB ) là hai giao điểm của (d) và (P)
Nên : yA = x2A ; yB = x2B Theo vi-ét : xA + xB = 2m
xA.xB = m - 1
Do đó : yA + yB + 1 = x2A + x2B +1
= ( xA + xB )2 - 2xA.xB + 1 = 4m2 - 2m + 3
=
2
2m
11 4 Nên :
1
y +y +1 ≤
4 11
(0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
ĐÁP ÁN ĐỀ DỰ BỊ
Trang 3Vậy : Giá trị lớn nhất của A bằng 4
11 khi m = 1
4
Câu III
(1 điểm)
Giải hệ phương trình :
x 1 2 y
y 1 2 z
z 1 2 x
+ =
+ =
+ =
Điều kiện : x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0 Cộng theo vế các phương trình của hệ , ta có :
x + y + z + 3 = 2 x 2 y 2 z+ +
x 1− + y 1− + z 1− =0
⇔
x 1 0
y 1 0
z 1 0
⇔ x = y = z = 1
Vậy : Hệ có nghiệm ( 1 ; 1 ; 1)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
Câu IV
(2,5 điểm)
a) Chứng minh : MC.MD = MA 2
Hai tam giác : ∆ MAC và ∆ MDA có + ∠M là góc chung
+ ∠ MAC = ∠ MDA = 1
2 sđ»AC
Nên : ∆ MAC ∆ MDA (g.g)
MD= MA Vậy : MC.MD = MA2
b) Chứng minh : Tứ giác HCDO nội tiếp
Ta có : MC.MD = MA2 ( cmt)
MA2 = MH.MO ( ∆MAO vuông tại A và AH ⊥MO) Nên : MC.MD = MH.MO
MH = MD
(0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
H
O M
B
A
D C
Trang 4Do đó : ∆ MHC ∆ MDO (c.g.c)
⇒ ∠MHC = ∠ MDO
Vậy : Tứ giác HCDO nội tiếp
c) Chứng minh : HA là tia phân giác của góc CHD
Vì : Tứ giác HCDO nội tiếp nên ∠ OHD = ∠ OCD và ∠ MDO = ∠MHC ( cmt)
Mà : ∠ MDO = ∠OCD ( ∆ OCD cân) Nên : ∠ MHC = ∠OHD
Suy ra : ∠ AHC = ∠ AHD Vậy : HA là phân giác góc CHD
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Câu V :
( 1điểm)
x2 + xy – y = 0 ⇔ x2 + y(x – 1) = 0 ⇔ x2 – 1 + y(x – 1) = - 1 ⇔ (x – 1 )(x + y + 1) = - 1
Vì : x , y là số nguyên Nên : (x – 1) và (x + y + 1) là ước của - 1
Suy ra : x 1 1x y 1− = 1
+ + = −
x y 1 1
− = −
+ + =
Giải các hệ trên ta được tập nghiệm của phương trình là : (x ; y) = (2; - 4 ) , (0 ; 0)
(0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Câu VI :
( 1điểm)
Chia tam giác đều có cạnh bằng 3 thành 9 tam giác đều có cạnh bằng 1 như hình vẽ
Vì ta đặt tùy ý 10 điểm vào trong một tam giác đều có cạnh bằng 3
Nên theo nguyên tắc DIRICHLET luôn tồn tại hai điểm cùng thuộc 1 tam giác đều có cạnh bằng 1
Hai điểm này có khoảng cách bé hơn hoặc bằng 1
(0,5 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
Câu VII :
( 1điểm)
Nhận xét : Nếu số nguyên x không chia hết cho 3 thì
x = 3k + 1 hoặc x = 3k + 2 Khi đó : x2 ≡ 1 ( mod 3)
Ta xét hai trường hợp : a) Nếu x M 3 thì x2M 3
(0,25 điểm)
Trang 5Suy ra : y2
M 3 vì x2+y2 chia hết cho 3
⇒ y M 3 ( vì 3 là số nguyên tố)
Vậy : xy chia hết cho 9 ( Tương tự khi y M 3 )
c) Nếu x , y không chia hết cho 3 thì
x2 ≡ 1 ( mod 3) và y2 ≡ 1 ( mod 3)
Do đó : x2+y2 ≡ 2 (mod 3 )
Vô lý vì x2+y2 chia hết cho 3
Suy ra : x M 3 và y M 3
Vậy : xy chia hết cho 9
(0,25 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)