a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Tiếp tuyến của C tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x + 1
x − 1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ
Ox và Oy lần lượt tại A và B Tính diện tích tam giác OAB
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình cosπ
2 − x
+ sin 2x = 0
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
(
xy − 3y + 1 = 0 4x − 10y + xy2
= 0 (x, y ∈ R)
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân I =
5 Z 1
dx
1 +√ 2x − 1. Câu 5 (1,0 điểm) Cho lăng trụ đều ABC.A0B0C0 có AB = a và đường thẳng A0B tạo với đáy một góc bằng 60◦ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B0C0 Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 và độ dài đoạn thẳng MN
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình (x − 2 − m)√x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d : x + y − 3 = 0,
∆ : x − y + 2 = 0 và điểm M(−1; 3) Viết phương trình đường tròn đi qua M, có tâm thuộc d, cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 3√2
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; −1; 3) và đường thẳng
d: x − 1
y+ 1
z − 3
1 . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d
Câu 9.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i)z + (2 − i)2
= 4 + i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z) z
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và có trọng tâm là G1
3;
1
3 Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P(−2; 0) Tìm tọa độ các điểm B và C
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : 2x − 5y + 4z − 36 = 0 Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình z2
+ (2 − 3i)z − 1 − 3i = 0 trên tập hợp C các số phức
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
a (1,0 điểm)
• Tập xác định: D= \\{1}
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: ' 3 2; ' 0,
( 1)
x
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞;1) và (1;+∞ )
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2; tiệm cận ngang:
lim , lim
- Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
b (1,0 điểm)
1
m
m
+
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là: y=y'(2)(x− + hay :2) 5, d y= − +3x 11 0,25
d cắt Ox tại (11; 0 ,
3
1
(2,0 điểm)
x
'
y
y
+ ∞
− ∞
2
2
2
O
y
Diện tích tam giác OAB là 1 1 11 .11 121
S= OA OB= =
Trang 3Câu Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với sin 2x= −sinx 0,25
sin 2x sin( x)
x x k
k
= − +
⎡
2
(1,0 điểm)
2π
3
π 2π
⎡ =
⎢ = +
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2π,
3
x k= x= +π k2π (k∈] )
xy y
x y xy
− + =
Nhận xét: y=0 không thỏa mãn (1) Từ (1) ta được x 3y 1 (3)
y
−
=
0,25
1
y
⇔ = hoặc y=2 hoặc 2
3
3
(1,0 điểm)
Thay vào (3) ta được nghiệm (x; y) của hệ là ( )5
(2;1), ; 2
2 và ( )3 2
;
Đặt t= 2x−1 Suy ra dx t t= d ; khi x = 1 thì t =1, khi x = 5 thì t = 3 0,25
1
t
( )3
1
ln | 1|
4
(1,0 điểm)
2 ln 2
AA ⊥ ABC ⇒nA BA' là góc giữa 'A B với đáy ⇒nA BA' =60o 0,25
5
(1,0 điểm)
n ' tan '
AA AB A BA a
Do đó ' ' ' ' 3 3
4
a
Gọi K là trung điểm của cạnh BC
Suy ra ΔMNK vuông tại K, có , '
AB a
MK= = NK=AA =a 3 0,25
2
a
Điều kiện: x≥1 Đặt t= x− suy ra 1, t≥0
Bất phương trình đã cho trở thành 3 4
1
t t m t
− +
≥ +
0,25
Xét ( ) 3 4,
1
t t
f t
t
− +
= + với t≥0.Ta có
2 2
( 1)(2 5 5)
( 1)
f t
t
=
+ '( ) 0f t = ⇔ = t 1. 0,25 Bảng biến thiên:
0,25
6
(1,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên ta được bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m≥2 0,25
t
( )
f t
+
− '( )
4
1
2
+∞
A
B
C
A′
K
M
N
B′
C′
Trang 4Câu Đáp án Điểm
Gọi (C) là đường tròn cần viết phương trình và I là tâm của (C)
Do I∈d, suy ra I t( ;3 ).− t 0,25 Gọi H là trung điểm của AB, suy ra 3 2
AB
AH= = và
|2 1|
2
t
IH=d I Δ = −
Do đó IA= IH2+AH2 = 2t2− + 2 5t 0,25
Từ IM IA= ta được 2t2+ + =2 1t 2t2− + suy ra t2 5t , =1
7.a
(1,0 điểm)
Bán kính của (C) là R IM= = 5
Phương trình của (C) là ( x−1)2+ −(y 2)2= 5 0,25
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Phương trình của (P) là 2x y z− + − = 0.12 0,25
Gọi H là giao điểm của d và (P) Suy ra (1 2 ; 1 ; 3 ) H + t − −t + t 0,25
Do H∈( )P nên 2(1 2 ) ( 1 ) (3 ) 12 0.+ t − − − + + − =t t Suy ra t= Do đó 1 H(3; 2;4).− 0,25
8.a
(1,0 điểm)
Gọi 'A là điểm đối xứng của A qua d, suy ra H là trung điểm của đoạn AA' Do đóA'(2; 3;5).− 0,25
2
(3 2 )+ i z+ −(2 )i = + ⇔ +4 i (3 2 )i z= + 1 5i 0,25
1
9.a
(1,0 điểm)
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Suy ra 3
2
AM= AG
JJJJG JJJG
Do đó ( )1
2; 2
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AP, nên có phương
Tam giác ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn tâm M,
bán kính 5 5 Tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ
2
MA=
( )2 2
2 3 0
1 12 ( 2)
x y
− − =
⎧⎪
⎨ − + + =
0,25
7.b
(1,0 điểm)
7, 2
3, 3
⎡
⇔ ⎢ =− =−⎣ Vậy (7;2), ( 3; 3)B C − − hoặc B( 3; 3), (7;2)− − C 0,25
Do IA⊥( )P nên I( 1 2 ;3 5 ;2 4 ).− + t − t + t 0,25
Do I∈( )P nên 2( 1 2 ) 5(3 5 ) 4(2 4 ) 36 0,− + t − − t + + t − = suy ra t= Do đó 1 I(1; 2;6).− 0,25
8.b
(1,0 điểm)
Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A là (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 6)2= 45 0,25
Phương trình z2+ −(2 3 )i z− − =1 3 0i có biệt thức Δ = − 1 0,25
9.b
(1,0 điểm)
- Hết -
A
B
P
M
G
C
M
I
