Vectơ riêng của toán tử (K,Uo) - Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toán tìm vectơ riêng của toán tử K u, 0 - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón.. Các lớp toán tử đó

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn  của  PGS.  TS.  GVCC  Nguyễn  Phụ  Hy.  Tôi  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  chân thành,  sâu  sắc  tới  PGS.  TS.  GVCC  Nguyễn  Phụ  Hy,  người  đã  luôn  quan  tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. 

Tôi  cũng  xin  trân  trọng  cảm  ơn  Ban  Giám  hiệu,  Phòng  Sau  đại  học,  các  thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. 

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường 

ĐH  Công  Nghệ  Giao  Thông  Vận  Tải  –  cơ  sở  Vĩnh  Phúc  cùng  bạn  bè,  đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. 

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

       Tác giả  

  Nguyễn Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.  

 Tác giả

Nguyễn Thị Lý

MỤC LỤC Trang

Mở đầu………5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị……….8

1.1. Không gian định chuẩn  thực……….8

1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón………… 9 

1.3. Không gian  0 u E ……….12

1.4. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự………22

Chương 2 Toán tử ( ,K u0)- lõm chính quy……… 48

2.1.  Các định nghĩa……… 48

2.2 Toán tử ( ,K u0)- lõm chính quy……… 49 

2.3 Toán  tử  ( ,K u0)-  lõm  chính  quy  trong  một  số  không  gian  Banach thực nửa sắp thứ tự……….52

Chương 3 Sự tồn tại vecto riêng của toán tử ( ,K u0)- lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón………63 

Một số định lý……….63 

Kết luận……….71 

Tài liệu tham khảo………72

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toán  tìm  vectơ  riêng  của  toán  tử K u, 0  -  lõm  chính  quy  trong  không  gian  Banach thực với hai nón. Chính vì vậy mà bài toán này đã được nhiều nhà toán học  

lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. 

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán  

tử  phi  tuyến:  Toán  tử  lõm  (1956).  Sau  đó  GS-TSKH  I.A.Bakhtin  mở  rộng  kết quả cho lớp toán tử phi tuyến  K u, 0 - lõm (1984). Các lớp toán tử đó có chung tính  chất u0 -  đo  được  khiến  cho  việc  ứng  dụng  trở  nên  khó  khăn  và  được  xét trong  không  gian  Banach  thực  nửa  sắp  thứ  tự  với  một  nón.  Nhà  toán  học M.A.Kraxnôxelxki  mở  rộng  các  kết  quả  đạt  được  cho  các  lớp  toán  tử  trên  tác dụng  trong  không  gian  Banach  thực  nửa  sắp  thứ  tự  với  hai  nón,  trong  đó  một  nón là tập con của nón còn lại. 

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với lớp toán  tử  lõm  cho  lớp  toán  tử  phi  tuyến  mới  tác  dụng  trong  không  gian  Banach thực với một nón: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0- đo được.  

Với  mong  muốn  tìm  hiểu  sâu  hơn  về  lớp  toán  tử  phi  tuyến  này,  nhờ  sự giúp  đỡ,  hướng  dẫn  tận  tình  của  Thầy  giáo,  PGS.TS  Nguyễn  Phụ  Hy  tôi  đã  

mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Véctơ riêng của toán tử K u  – lõm chính , 0

quy trong không gian Banach thực với hai nón”. 

2 Mục đích nghiên cứu. 

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về véctơ riêng của toán tử 

K u, 0- lõm chính quy tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ  

tự với hai nón giao nhau khác rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính  chất u0 - đo được. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm  hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. 

- Tìm  hiểu về toán tử K u, 0 - lõm chính quy. 

- Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử  K u, 0- lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán 

tửK u, 0 - lõm chính quy, sự tồn tại vectơ riêng của toán tử K u, 0 - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 

Phạm  vi  nghiên  cứu:  Các  tài  liệu,  các  bài  báo  trong  và  ngoài  nước  liên quan  đến  vectơ  riêng  của  toán  tửK u   -  lõm  chính  quy  trong  không  gian , 0Banach thực với hai nón. 

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo về vectơ riêng của toán tử K u, 0 - lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón. 

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất.         

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 

6 Đóng góp của luận văn

  Luận văn trình bày một cách có hệ thống về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, một số tính chất về vectơ riêng và sự tồn tại vectơ riêng của toán tử  

K u, 0– lõm chính quy trong không gian định chuẩn với hai nón. Các kết quả thu được có thể mở rộng cho một số lớp toán tử khác. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán học tương tự khác. 

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.1.5

Không  gian  Banach  X   gọi  là  không  gian  Banach  thực  nếu  X   là  không gian con định chuẩn thực. Kí hiệu E

1.2.Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón

1.2.1.Nón trong không gian định chuẩn

1.2.2.Quan hệ sắp thự thự trong không gian Banach thực. 

         Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E. 

  u o x ( t u) o (tu o x)K        xu o,  , t.         Tính chất 1.2.3. 

Giả sử u0K, x0K sao cho  t0 ,  x0 t u0 0. Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất t sao cho x0 t u0 0. 

tính  đóng  của  nón  K  trong  không  gian  E  suy  ra  f1( )K   là  tập  đóng  trong 

        Cho  không  gian  Banach  thực  E  với  nón  K,  giả  sử u0K \    Phần  tử 

xE gọi là u0- đo được nếu tìm được hai số không âm  t t1, 2 sao cho  

         Cho  không  gian  Banach  thực  E  với  nón  K.  Nón    K  được  gọi  là  nón chuẩn nếu : 

(  0)(e e, K : e  e 1)thì  e1e2        Định lí 1.3.1 

         Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E. Khi đó, K là một nón chuẩn khi và chỉ khi : 

11

11

x  y       Định lí 1.3.2

         Chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu khi và chỉ khi K  là nón chuẩn. 

Chứng minh. 

Dãy ( )x n n 1 E

   được gọi là bị chặn theo chuẩn, nếu 

        (M 0) *

( n ) x n E M  

Nón K  được gọi là nón đều nếu mọi dãy không giảm và bị chặn trên bởi phần tử đều có giới hạn. 

Nón K  được gọi là nón đều hoàn toàn nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn đều có giới hạn. 

Vậy, nếu K  là nón đều thì K  là nón chuẩn .          Định lí 1.3.4

         Mọi nón đều hoàn toàn là nón đều. 

  là dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn, nhưng dãy đó không hội tụ, vì  

1 1 =1    ( 1, 2, )

h h  e  k , mâu thuẫn với tính chất đều hoàn toàn của nón K  . 

Do đó, K là nón chuẩn. 

         Tiếp theo ta chứng minh K  là nón đều. Thật vậy, lấy một dãy không 

giảm bất kì ( )x n n1 E

  và bị chặn trên bởi phần tử, nghĩa là        ( h E)  x1x2  x n  ,   x n h, n *. 

Khi đó, dãy (x n x1)n1 là một dãy không giảm các phần tử thuộc K  và bị  

chặn trên bởi phần tử hx1 nên theo định lí 1.3.1, dãy (x n x1)n1 bị chặn  

theo chuẩn nhờ tính chất chuẩn của nón K.Từ đó và từ tính chất đều hoàn  

toàn của nón K, suy ra dãy (x n x1)n1



  hội tụ trong không gian E nên dãy( )x n n1

  cũng hội tụ trong không gian E.     

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.4.1 Không gian n *

n  1.4.1.1 Không gian định chuẩn thực n



          (1.5) Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện của chuẩn: 

Sự hội tụ trong không gian  n

  tương đương với sự hội tụ theo tọa độ. Thật vậy,  giả sử dãy điểm   k 1

n

x x x x   khi  k    trong không gian  n

. Theo định nghĩa 1.1.3 ta có  

x  hội tụ tới x i  khi  k    Sự hội tụ đó gọi là hội tụ theo tọa độ. 

Ngược lại, giả sử dãy điểm   k  1 k , 2 k , ,  k  n

n

x  x x x  , k 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm x x x1, 2, ,x n n

2 2 1

        x i m x i p ,m p, m i0, 1, 2, ,n      (1.7) Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ với mỗi i1, 2, ,n dãy   m 1

.  Vậy  n

 là không gian Banach. 

 Xét K x( ,x x1 2, ,x n) n:x i 0,i1, 2, n n  

  Ta có K là một nón trong  n

.Thật vậy, ta chứng minh K  thỏa mãn các điều kiện về nón. 

*) Với mọi  xK , mọi  t  ,t 0 ta có txK.Thật vậy, ta có 

Ví dụ với x(1,0, ,0),y(0,1,0, ,0) n  không có quan hệ  x y  và  yx. 

Vì vậy  n là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K. 

 K là nón chuẩn trong  n

. Thật vậy ,

1.4.1.3.Không gian

0

u

E và tập K u( )0 Giả sử u0 ( ,u u1 2, ,u n)K \   

Đặt I1i u: i 0 , I2 i u: i 0, khi đó I  1 ,I2 1, 2, ,n\ I1  

a) Trường hợp I  2  

 K u( )0 x( ,x x1 2, ,x n) :x i 0,iI x1; i 0.iI2.      (1.8) Thật vậy, 

*)  x K u( )0 ta có xK \   và tồn tại các số dương  ,a b  sao cho  

      au0 xbu0 

      au i x i bu i i, 1, 2, n. 

Nếu iI2 thì u  i 0 ta có x  i 0 suy ra x i 0,iI2. 

Nếu iI1 thì u  i 0. Giả sử tồn tại iI1 sao cho x  i 0 ta có au i  0 bu i,  suy ra u  i 0 (vô lí ).  

axmin

i i

i I

m x x

i n i

1.4.2.1.Không gian định chuẩn thực Ca b; 

Dễ kiểm tra Ca b;  xx s   :x s  là hàm số xác định liên tục trên a b  ; 

với hai phép toán thông thường xác định bởi: 

x y s x s  y s s , a b; , 

x s .x s s , a b; , trong đó x x s Ca b; ,y y s Ca b; , n,  là một không gian tuyến tính thực. 

Thật vậy, giả sử dãy hàm  x n n1 Ca b;

   hội tụ tới hàm xCa b; theo chuẩn (1.4). Theo định nghĩa 1.1.3 ta có  lim n 0

Ngược lại, giả sử dãy hàm x s n  Ca b; hội tụ đều tới hàm số x s  trên   a b  , 

Khi đó x s  liên tục trên a b, , nghĩa là x s Ca b;. Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, ta có 

Do đó dãy  x n  hội tụ tới  x  trong không gian  Ca b; . 

1.4.2.2 Không gian Banach thực Ca b;  với một nón

 Ta chứng minh được Ca b;  là không gian Banach với chuẩn (1.10). Thật vậy, giả sử  x n  là dãy cơ bản tùy ý trong không gian Ca b; . Khi đó, 

Do đó dãy hàm x s n   hội tụ đều tới hàm số x s   trên đoạn a b; , nên dãy hàm  x n  hội tụ tới  x  trong không gian  Ca b;. 

gian  Ca b;  thì dãy hàm  x n  hội tụ đều tới  ( )x s  trên a b,  khi  n    Do với 

Khi đó Ca b, là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ phận) theo nón K. 

a) Xét tập K u( )0  

*)Trường hợp I  2  ta chứng minh 

      K u( )0 xx s( )Ca b,: ( )x s 0,sI x s1; ( )0,sI2.      (1.12) Thật vậy, nếu xK u( )0  thì   xK \   và tồn tại số dương  ,  sao cho  

*)Trường hợp I  2  thì có thể không có bao hàm thức ngược lại trong (1.12). Thật vậy, ta có phản ví dụ sau: 

Giả sử xK u( )0  thì tồn tại các số dương  ,   sao cho 

Ta có  ( )x s 0 với  s I2 nên x x s( ) thuộc vế phải của (1.13). 

ax ( )

0min ( )

0 ,

E C  1.4.3 Không gian La b;

1.4.3.1 Không gian định chuẩn thực La b; 

Xét La b;  là tập các hàm số xác định, đo được Lebesgue và khả tích 

Lebesgue trên a b; . Khi đó La b;  cùng với 2 phép toán thông thường: 

x y s x s  y s s , a b; , 

x s .x s s , a b; , trong đó x x s La b; ,y y s La b; ,  là một không gian tuyến tính thực. 

Nếu ta đồng nhất 2 hàm x y, La b;  khi  x y hầu khắp nơi thì ta thu được một không gian vectơ mà ta vẫn kí hiệu là La b; . 

a b

hội tụ h.k.n trên a b;  tới hàm số y s  nào đấy khi  p    Nhờ hệ thức (1.16) 

p a p

p

j k p

p

j k p

2

yx  yx  x x    Vậy dãy x s n   hội tụ với y s  trong không gian La b; . 

        0,n0N*, n n0: x n x   

Hay 

( ) ( )

b n a

   K là nón chuẩn. Thật vậy, x y, K , x  thì ta có  0y x s( ) y s( ) h.k.n trên a b,  do đó  

Chương 2

TOÁN TỬ K u - LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANACH , 0

THỰC VỚI HAI NÓN 2.1.Các định nghĩa

         Giả  sử E  là không  gian  Banach  thực,  K0  và  K  là  hai  nón  cố  định trong không gian E, E trở thành không gian nửa sắp thứ tự nhờ nón K, A E: E là toán tử phi tuyến nào đó. Kí hiệu  là phần tử không của không gian E. Phần tử 

 

\

xK   gọi là phần tử dương, phần tử  xK gọi là phần tử không âm; Phần 

tử  xE  mà  x gọi là phần tử âm, còn phần tử  xE  mà  x gọi là phần tử không dương. Giả sử u0K \   

         Giả sử u0K0 \  Toán tử A gọi là u0- đo được trên nón K0 , nếu 

Toán tử A gọi là ( ,K u0)-lõm chính quy , nếu   

1) A là dương và đơn điệu trên nón K0; 

2)  x K0 \  , t (0,1),  AtxtAx ; 

3) x y, K u0( ),0  t (0,1) mà xty,  ( , , ) sao cho x y t AxtAyu o.   Dưới đây ta giả thiết K K0   và u0K K0 \   

2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử ( ,K u0)-lõm chính quy. 

          k k 0

A x tA y u Theo lập luận trên  k \ , k \ 

A xK  A yK   Khi đó   (A x A y t k , k , )0 

Hiển  nhiên, 0cb11,  vì  nếu cb11  thì  y0 cb x1 0 x0,  mâu  thuẫn  với  giả thiết trên. 

Xét ánh xạ :  

2.3.1 Toán tử ( ,K u0)- lõm chính quy trong không gian n

Giả sử không gian Banach thực n (n 3) nửa sắp thứ tự theo nón  

Do sự hội tụ trong  n là sự hội tụ theo tọa độ nên với mỗi  j1,n cố định ta có 

( )lim j k j

* Với mọi xK0, mọi t  ,t 0 ta có txK0.Thật vậy, vì xK0 nên 

    x ( ,x x1 2, ,x n),x2  x x1, j 0,j3,n. 

    tx(tx tx1, 2, ,tx n),tx2 t x1  tx tx1, j 0, j 3,n. 

Suy ra txK0. 

 * Với mọi x( ,x x1 2, ,x n)K x0,     j0 1, 2, ,n x, j0 0. 

+) Với  j 0 1 ta có x2  x1   0 x2   0 x2   0 x1   x K0. +) Với  j 0 2 ta có 

x   x   x K0. Nên    x ( x1,x2, ,x n)K0. 

3 tx j t x3 j 0 , j j0. Nên  AtxtAx 

Do đó  x K0 \   và  t 0;1 ta có  AtxtAx. 

0 2

Vậy A là toán tử ( ,K u0)-lõm chính quy  

2.3.2 Toán tử ( ,K u0)-lõm chính quy trong không gian La b, . 

Giả sử không gian Banach thựcLa b, nửa sắp thứ tự  theo nón  

; ,2

Vậy K u0( )0 F. 

 Cho toán tử A L: a b,  La b,  

3

0,

2( ) ( )( )

Vậy AK0  K0 hay A  là toán tử dương trên K0. 

* x y, K0,  x   hay  y y  x K, nghĩa là  ( )y t x t( )0 h.k.n trên a b, . 

Hiển nhiên , nếu xty thì t 1. 

Gọi  t0 là số lớn nhất sao cho xt y0  , thì  

1 0

Chứng minh

Giả sử x y. Khi đó một trong hai phần tử xy y, x không thuộc K. 

 Giả sử  x y K. Theo định lý 3.1.2 ta có 0, nên 1A cũng là toán tử 

Ta lại có  f  liên tục trên   nhờ tính liên tục của phép nhân một số thực với phần 

tử thuộc E và phép cộng hai phần tử thuộc  E. Từ đó và tính đóng của nón K trong không gian E suy ra tính đóng của tập  1

( )

f  K

.  Theo nhận xét trên tập   1

 Định lý 3.1.5. 

Giả sử toán tử ( ,K u0)-lõm chính quy A  thỏa mãn các điều kiện  

i) Toán tử A bị chặn theo chuẩn và bị chặn trên bởi u0trên  K0. 

ii) (x n)K u0( )0  sao cho x1x2   đều có sup(Ax n)x*K u0( )0  iii) Đạo hàm tiệm cận  Q  của toán tử  A theo nón  K0vecto riêng 

0( )0

q

x K u  tương ứng với giá trị riêng q   và 0 q bằng bán kính phổ  ( )r Q   của toán tử Q Khi đó toán tử có vecto riêng trong  K u0( )0