Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử schrödinger trong một số trường hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN CHÍ HẢI ƯỚC LƯỢNG SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN CHÍ HẢI

ƯỚC LƯỢNG SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG

TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội-2012

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.

Em xin được chân thành cảm ơn TS Tạ Ngọc Trí Sự tận tình chỉbảo của Thầy trong suốt quá trình học tập và làm luận văn đã giúp emtrưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp cận một vấn đề mới

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giảng dạy chuyên ngành ToánGiải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp em nâng caotrình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm luận văn.Tôi cũng xin được cảm ơn Phòng Sau đại học Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, trường Cao đẳng Kinh tế-Kỹ thuật Trung ương, đãluôn quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ,động viên kịp thời để tôi hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Nguyễn Chí Hải

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.

Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoahọc của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Nguyễn Chí Hải

Mở đầu 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Không gian Banach 8

1.2 Không gian Lebesgue Lp 11

1.3 Không gian Lp yếu 12

1.4 Bất đẳng thức Sobolev 13

1.5 Không gian Hilbert 16

1.6 Toán tử tự liên hợp 18

1.7 Toán tử Schr¨odinger 20

1.8 Kết luận chương 1 21

Chương 2 Điều kiện Rollnik 22

2.1 Quan hệ với không gian Lp 23

2.2 Dạng p-không gian 26

2.3 Quan hệ với chuỗi Born 30

2.4 Hạch tích phân 35

2.5 Thế năng miền hữu hạn 38

2.6 Một số ví dụ 39

2.7 Kết luận chương 2 40

Chương 3 Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger 41

3.1 Phương trình tích phân cho trạng thái tới hạn 42

3.2 Cận trên của số các giá trị riêng âm 46

3.3 Kết luận chương 3 49

3

Kết luận 50Tài liệu tham khảo 51

inf M cận dưới đúng của tập số thực M

|| (x)[sgnV (x)] căn của toán tử năng lượng

∂f (x)

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết phổ của toán tử Schr¨odinger đã thu hút được sự quan tâm

và nghiên cứu của nhiều nhà toán học Nó là sự kết hợp chặt chẽ củagiải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier, và có vaitrò quan trọng trong vật lý

Trong cơ học lượng tử chúng ta gặp toán tử Schr¨odinger −∆ + V Trong rất nhiều các trường hợp của V , phổ của toán tử −∆ + V cómột phần giống như phổ của toán tử Schr¨odinger "tự do" −∆, tức là[0, ∞) và một số các giá trị riêng âm Một số trường hợp ta có thể ướclượng được số các giá trị riêng âm đó Việc làm này có ý nghĩa trongvật lý (xem [4], [8], [12] và những tài liệu trích dẫn trong đó) Luận vănnày nghiên cứu một số ước lượng về số giá trị riêng âm của toán tửSchr¨odinger khi toán tử thế năng V được xét trong một số lớp hàm đặcbiệt

Sau khi được học những kiến thức về giải tích hàm, phương trình đạohàm riêng và biến đổi Fourier, cùng với sự định hướng của thầy TS.TạNgọc Trí, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học,mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:

“Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một sốtrường hợp” để làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được các khái niệm và ứng dụng của “Ước lượng số các giá trịriêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp” để bổ sungkiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về toán giải tích , lý thuyết toántử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về “Ước lượng số các giá trị riêng

âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: Nghiên cứu về “Ước lượng số các giá trị riêng âm củatoán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”

• Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu

về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trongmột số trường hợp”

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiêncứu;

• Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thậpđược qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phươngpháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết toán tử

• Tham khảo ý kiến của chuyên gia

6 Những đóng góp của đề tài

• Trình bày được một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về

“Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odingertrongmột số trường hợp” và các tính chất của nó

• Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiêncứu và công bố về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tửSchr¨odinger trong một số trường hợp”

Kiến thức chuẩn bị

Chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cầnthiết về những không gian và những toán tử mà chúng ta cần dùng đếntrong các chương sau Những kiến thức trình bày trong chương này đượcchọn từ các tài liệu [1], [2], [5], [12]

1.1 Không gian Banach

Cho X là một không gian vectơ trên trường số phức C

Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:

1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ;

2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ C và mọi x ∈ X;

4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một khônggian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, đượcgọi là một không gian định chuẩn

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi

x, y ∈ X, đặt

ρ(x, y) = ||x − y||

Khi đó, ρ là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.3 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X nếu limn→∞||xn− x0|| = 0

8

Khi đó, ta kí hiệu

lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0, khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.4 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản, hay dãy Cauchy, nếu

lim

m,n→∞||xm − xn|| = 0

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gianmetric đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = ||x − y||) Khi đó X được gọi làmột không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.Định nghĩa 1.1.6 Cho X và Y là hai không gian véc tơ trên trường C.Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là toán tử tuyếntính nếu A thỏa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X;

2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C

Khi X = Y thì A gọi là toán tử trên X Khi Y = C thì toán tử tuyếntính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.7 Cho X và Y là hai không gian Banach Cho toán

tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định trên không gian véc tơ conD(A) của X vào không gian Y Tập D(A) gọi là miền xác định của A.Tập

KerA = N (A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} ⊂ Xgọi là hạch của A Ta nói A bị chặn trên X nếu D(A) = X và tồn tạihằng số c ≥ 0 sao cho:

||Ax|| ≤ c||x|| ∀x ∈ X

Mệnh đề 1.1.8 Giả sử toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian địnhchuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tươngđương:

• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xácđịnh bởi biểu thức

Mệnh đề 1.1.10 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) cũng

là không gian Banach

Từ định lý trên suy ra X∗ luôn là không gian Banach

Cho (X, S, µ) là một không gian đo được, nghĩa là X là một tập và(i) S là một σ−đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập concủa X sao cho:

∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S

Trong trường hợp X = Rn và S là những tập hợp đo được theo nghĩaLebesgue thì ta nói tắt f (x) là hàm đo được (xem [2], tập 1, tr 125]).Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f (x) trên tập đo được A được kí

Định nghĩa 1.2.1 Cho (X, S, µ) là một không gian đo được Kí hiệu

L1(X, µ) (hoăc L1) là không gian các hàm khả tích trên X với

Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiêu Lp là không gian các hàm số f (x)

có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là|f (x)|p ∈ L1 với

Trong mục này chúng ta trình bày sơ lược về không gian Lp yếu, mộtloại không gian được dùng nhiều trong Vật lý

Hàm phân bố mf(t) (hoặc đơn giản là m(t)) của hàm đo được f trên

không gian đo được (M, µ) được định nghĩa:

mf(t) = µ{x |f (x)| > t}

Bổ đề 1.3.1 (xem [12], chương 1) f ∈ Lp(µ) khi và chỉ khiR0∞tp−1m(t)dt < ∞(1 ≤ p < ∞)

và kf kpp = pR0∞tp−1m(t)dt

Không gian Lp yếu được kí hiệu là (Lp)W và được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.2 f ∈ (Lp)W khi và chỉ khi mf(t) ≤ c/tp với một

c < ∞

Như vậy Lp ⊂ (Lp)W, nhưng có thể chứng minh để thấy rằng Lp là

tập con thực sự của (Lp)W Ví dụ (Lp)W(R) chứa các hàm có dạng x−1/p

Một tính chất quan trọng đối với không gian Lp yếu là bất đẳng thức

khác nhau với f ∈ Lp có thể mở rộng thành f ∈ (Lp)W Vì vậy các tích

phân ban đầu có thể là logarit phân kì lại trở thành hội tụ Một đặc

trưng rất cơ bản của (Lp)W ở dạng không tường minh có trong nghiên

cứu của Calderon, Lions và Peetre, Stein và Weiss (xem [12], Chương I)

Bổ đề 1.3.3 Cho p0 < p < p1 Khi đó f ∈ (Lp)W khi và chỉ khi tồn tại

c0, c1 sao cho với mọi λ, f = f0,λ + f1,λ với

kfi,λkp

i < Ci(λ)1−(p/pi ) i = 0, 1

Chứng minh Chúng minh sơ cấp có thể tìm thấy trong [9] Ý tưởng của

chứng minh, theo ngôn ngữ của mục 2.1, là f ∈ (LpW), thì f> ∈ Lq với

1.4 Bất đẳng thức Sobolev

Trong mục này ta điểm qua một số nội dung về bất đẳng thức Sobolev

sẽ dùng đến trong chương sau:

|f (x)||h(y)|

|x − y|λ dnxdny 6 Cp,r,λ,n|kf kpkhkr,với f ∈ Lp(Rn), h ∈ Lr(Rn) và

sử dụng mở rộng định lý nội suy của Marcinkiewicz Ta trình bày mộtchứng minh đơn giản bằng cách dùng hai công thức nội suy:

i) Định lý nội suy Marcinkiewicz (xem [12]):

Ở đây, ta nói rằng có cùng một ánh xạ trên các không gian Lp nghĩa

là ta có một ánh xạ trên các tổng hữu hạn của các hàm đặc trưng củacác tập có độ đo hữu hạn mà ta thác triển nhờ tính liên tục Ta nói ánh

xạ T : Lp → (Lq)W là ánh xạ bị chặn nếu tồn tại số C không phụ thuộcvào t sao cho mT f(λ) < C[kf kp

λ ]q với mọi f ∈ Lp.i) Định lý nội suy (xem [12]):

Cho q1 6= q2, p1 6= p2 Cho

T : Lpi → Lqi

bị chặn, i = 1, 2 Khi đó, với 0 < t < 1, T : (Lp)W → (Lq)W là bị chặn,trong đó p và q cho bởi (1.1).

Trong phần còn lại của, q, q0 (hoặc q, q0) là cặp chỉ số liên hợp: p−1+(p0)−1 = 1

Bổ đề 1.4.1 Cho f ∈ Lp Nếu g ∈ Lp0, thì f ∗ g ∈ L∞, và kf ∗ gk∞ ≤

kf kpkgkp Nếu f ∈ Lp và g ∈ L1, thì f ∗ g ∈ Lp và kf ∗ gkp ≤ kf kpkgk1.Chứng minh Nếu g ∈ Lp0, vì bất đẳng thức H¨older:

Z

f (x)g(y − x)dx

Bổ đề 1.4.3 tương đương với

Định lý 1.4.5 Cho f ∈ Lp, g ∈ (Lq)W, h ∈ Lr với p−1+ q−1+ r−1 = 2,

p, q, r < ∞ Khi đó

... nghĩa 1.6.5 Cho A toán tử tự liên hợp Tập giải thức của< /p>

A, kí hiệu ρ(A), gồm tất số phức z cho {h(A − z)iφ, φi :

φ ∈ D(A)} đồ thị toán tử bị chặn, nghĩa là: tồn toán tử

bị chặn... = H0 + V dướinhững khía cạnh khác Trong trường hợp người ta thường đặtmột số điều kiện lên toán tử V Chương dành cho việc nghiên cứumột cách chi tiết tính chất khác hàm đo V (x) thỏamãn... dạng B(ψ, φ) =

hψ, Aφi, với A toán tử bị chặn xác định cách

Ứng dụng trực tiếp định lý ta có định nghĩa tốn tử liênhợp bị chặn: Nếu A toán tử bị chặn, B(ψ, φ) = hAψ, φi thoả mãn