Bởi tính thời sự, hấp dẫn và liên quan đến đa ngành, nên lí thuyết toán tử giả vi phân tuyến tínhvẫn được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ nhiều góc độ khác nhau, nhưgiải tích thời gian
Trang 1LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường Thầy luôn hướng dẫn nhiệttình và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm trong quá trình học tập
và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơnchân thành và sâu sắc đối với thầy
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongnhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đãgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bảnluận văn này
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Luận văn không trùng lặpvới những đề tài khác
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Trang 3Mục lục
1.1 Một số không gian hàm 3
1.1.1 Không gian Ck Ω 3
1.1.2 Không gian Lp(Ω) , 1 6 p < +∞ và không gian L∞(Ω) 4 1.1.3 Không gian các hàm thử D(Ω) và không gian đối ngẫu D0(Ω) 6
1.1.4 Không gian Schwartz 7
1.1.5 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm 7
1.2 Phép biến đổi Fourier và Fourier thời gian ngắn 8
1.2.1 Đạo hàm suy rộng 8
1.2.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 9
1.2.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz 10 1.2.4 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 12
1.2.5 Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng tăng chậm 12 1.2.6 Phép biến đổi Fourier ngắn 13
1.3 Không gian Sobolev 15
1.3.1 Không gian Hs,2 15
1.3.2 Không gian Wk,p(Ω), (Ω ⊂ Rn) 15
1.3.3 Không gian Hk(Ω), (Ω ∈ Rn) 16
1.4 Nguyên lý bất định và giải tích thời gian-tần số 17
Trang 41.4.1 Giải tích thời gian–tần số 17
1.4.2 Nguyên lý không chắc chắn 18
1.5 Toán tử giả vi phân 24
1.5.1 Biểu trưng và toán tử giả vi phân 24
1.5.2 Một số tính chất của toán tử giả vi phân trong không gian Sobolev Hs,2(Rn) 31
Chương 2 Tính bị chặn của trong không gian Lp của toán tử giả vi phân đa tuyến tính 32 2.1 Một số biểu diễn thời gian - tần số 32
2.1.1 Ảnh phổ 32
2.1.2 Phân phối Wigner 32
2.1.3 Phân phối Rihaczek 36
2.1.4 Lớp Cohen 36
2.2 Biểu diễn Rihaczek đa tuyến tính và toán tử giả vi phân đa tuyến tính 38
2.2.1 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong L2 39
2.2.2 Tính bị chặn trong Lp(1 ≤ p ≤ 2) 40
2.3 Biến đổi Wigner đa tuyến tính và Biến đổi Weyl đa tuyến tính 41
2.3.1 Biến đổi Wigner đa tuyến tính 41
2.3.2 Mối liên hệ giữa biến đổi Weyl đa tuyến tính với biến đổi Wigner đa tuyến tính 43
2.4 Tính bị chặn trong Lp(1 ≤ p < ∞) 44
Trang 5Tài liệu tham khảo 48
Trang 6RD : Phân phối Rihaczek.
M HD : Phân phối Margenau
W D : Phân phối Wigner
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Toán tử giả vi phân hay toán tử tích phân kì dị được xem như làmột công cụ để giải các bài toán biên đối với một số lớp phương trình đạohàm riêng Lí thuyết này được hình thành từ nửa đầu của thế kỉ 20 quacác nghiên cứu của Hilbert, Fredholm, Riesz, Bởi tính thời sự, hấp dẫn
và liên quan đến đa ngành, nên lí thuyết toán tử giả vi phân tuyến tínhvẫn được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ nhiều góc độ khác nhau, nhưgiải tích thời gian – tần số, lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, Gầnđây, các tác giả thuộc đại học Torino đã phát hiện mối liên hệ được giữagiải tích thời gian - tần số với lí thuyết toán tử giả vi phân ở một số lớptoán tử giả vi phân, chẳng hạn lớp toán tử Kohn – Nirenberg với phân bốRihaczek, lớp toán tử Weyl với phân bố Wigner, lớp toán tử địa phươnghóa với phân bố ảnh phổ tổng quát và đã nghiên cứu tính bị chặn của cáclớp toán tử giả vi phân này trong Lp thông qua các biểu diễn thời gian tần
số tương ứng (xem [3], [4]),
Phát triển theo hướng này, các tác giả của đại học Toronto đã mởrộng mối liên quan giữa các lớp toán tử giả vi phân đa tuyến tính với tíchtensor của các biểu diễn thời gian tần số và cũng thu được những kết quảthú vị về tính bị chặn của một số lớp toán tử giả vi phân đa tuyến tínhtrong Lp thông qua tích tensor các phân bố thời gian tần số này (xem [5])
Nhằm hệ thống hóa sự phát triển của các nghiên cứu trên và được
sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: “Tính bị chặncủa toán tử giả vi phân đa tuyến tính trong không gian Lp(1 ≤ p < ∞)”
để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
2 Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về không gian hàm, biến đổi Fourier, toán tử
Trang 8giả vi phân và một số biểu diễn thời gian tần số quan trọng.
Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trongkhông gian
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về tính chất bị chặn của toán tử giả vi phân
đa tuyến tính trong Lp thông qua tích tensor của một số lớp phân bố thờigian - tần số
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các không gian hàm thử, hàm suy rộng
Nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngắn trên cáckhông gian hàm
Nghiên cứu về giải tích thời gian - tần số, một số lớp phân bố thờigian tần số quan trọng: Rihaczek, Wigner, ảnh phổ tổng quát
Nghiên cứu về toán tử giả vi phân tuyến tính
Nghiên cứu tính bị chặn của toán tử giả vi phân đa tuyến tính trongkhông gian Lp(1 ≤ p < ∞)
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để phân tích tổng hợp tiếpcận vấn đề.Thụ thập các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo trong
và ngoài nước nghiên cứu về toán tử giả vi phân đa tuyến tính
6 Những đóng góp mới của đề tài
Luận văn là tài liệu tổng quan về toán tử giả vi phân đa tuyến tính,giải tích thời gian tần số và mối liên hệ giữa tính bị chặn của toán tử giả
vi phân đa tuyến tính kiểu Weyl với một số lớp phân bố thời gian - tần số
Trang 9Chương 1 Một số khái niệm và kết quả chuẩn
bị
1.1 Một số không gian hàm
1.1.1 Không gian Ck Ω
Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclide
n chiều Rn và Ω là bao đóng của Ω Ta kí hiệu Ck Ω (k = 0, 1, 2 )
là không gian véc tơ các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trong
Ω Ta đưa vào Ck Ω chuẩn kf kCk (Ω) = P
ở đây hằng số C > 0 được chọn sao cho (1.1) được thực hiện và giả sử h làmột số dương tuỳ ý Khi đó hàm ωh(x) = h1nω xh được gọi là nhân trungbình hoá (có bán kính h)
Trang 101.1.2 Không gian Lp(Ω) , 1 6 p < +∞ và không gian L∞(Ω)
Định nghĩa 1.3 Giả sử Ω là tập mở trong Rn và p là một số thực thỏamãn 1 6 p < +∞ Kí hiệu Lp(Ω) là tập hợp tất cả các hàm f xác định
và đo được theo độ đo Lebesgue trên Ω với |f |p khả tích trên Ω , có nghĩalà:
Z
Ω
|f (x)|pdx < ∞
Với phép cộng hai hàm số thông thường và phép nhân hàm với một số,
Lp(Ω) làm thành không gian tuyến tính thực (hoặc phức) Chuẩn của hàm
f thuộc Lp(Ω) , 1 6 p < +∞ , được xác định bởi:
kf kp =
Z
Với chuẩn này Lp(Ω) làm thành một không gian định chuẩn và được gọi
là không gian Lp(Ω)
Định nghĩa 1.4 Một hàm f đo được trên Ω được gọi là bị chặn cốt yếutrên Ω nếu tồn tại một hằng số k > 0 sao cho |f (x)| 6 k hầu khắp nơitrên Ω Cận dưới lớn nhất của các hằng số k đó được gọi là cận trên cốtyếu của f trên Ω và được ký hiệu là esssup
x∈Ω
|f (x)|
Ký hiệu L∞(Ω) là không gian các hàm f bị chặn cốt yếu trên Ω
Chuẩn của hàm f thuộc L∞(Ω) được xác định bởi:
kf k∞ = esssup
x∈Ω |f (x)| = inf {k : |f (x)| 6 kvới hầu khắp nơi x ∈ Ω}
Định lý 1.1 [Định lý Fischer-Riesz] Giả sử Ω là một tập mở trong Rn.Với mỗi p ∈ [1, +∞] , Lp(Ω) là một không gian Banach
Định lý 1.2 L2(Rn) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) =
Z
Rn
u(x)v(x)dx
Trang 11và chuẩn tương ứng
kuk =
Z
Định lý 1.3 Không gian C0∞(Rn) các hàm khả vi vô hạn và tiêu hạn trên
Rn
f (x, y)dy
Rn
... pô này, không gian S không gian đầy.Định lý 1.8 Không gian Schwartz S trù mật không gian Lp(Rn) , ≤
p < ∞
Không gian S không trù mật không gian L∞(Rn)... tắt tốn tử tự liên hợp mộtkhơng gian
Đối với tốn tử tuyến tính A, B kí hiệu giao hốn tử củachúng [A.B] = AB − BA
Bổ đề 1.4 Cho A B tốn tử tự liên hợp (có thể khơng bị chặn) trênmột...
1.1.5 Không gian hàm suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 1.9 Không gian S0(Rn) không gian véc tơ gồm tất cácphiếm hàm tuyến tính liên tục S Mỗi phần tử S0(Rn)