Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,Uo)- Lõm chính quy

NGUYỄN THỊ THU HÀSỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2012... Một trong những hướng nghiên cứu lớn là lý thuyết kh

NGUYỄN THỊ THU HÀ

SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2012

NGUYỄN THỊ THU HÀ

SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG VÀO GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

Mở đầu 6

1.1 Không gian định chuẩn thực 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 9

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn 9

1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực 9 1.3 Không gian Eu0 10

1.3.1 Định nghĩa không gian Eu0 và một số tính chất đơn giản 10

1.3.2 Một số định lý về nón 12

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 15

1.4.1 Không gian Rn 15

1.4.2 Không gian l2 22

1.4.3 Không gian L2[a, b] 28

2 TOÁN TỬ(K,u0)-LÕM CHÍNH QUY 36 2.1 Toán tử (K,u0) lõm 36

2.1.1 Định nghĩa 36

2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u0)-lõm 37

2.1.3 Ví dụ về toán tử (K,u0)-lõm 40

2.2 Toán tử (K,u0)-lõm chính quy 45

2.2.1 Định nghĩa 45

2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K,u0)-lõm chính quy 45

2.2.3 Ví dụ về toán tử (K,u0)-lõm chính quy 48

2

CHÍNH QUY 513.1 Sự tồn tại véctơ riêng dương của toán tử (K,u0)-lõm chính

quy 513.2 Định lý 54

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hyngười thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu vàhoàn chỉnh đề tài

Tôi xin chân thành cảm các GS, TS giảng dạy chuyên ngành toán Giảitích tại Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học ToánGiải tích K14 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đềtài

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giámhiệu trường Cao đẳng nghề Cơ khí nông nghiệp Bình Xuyên – Vĩnh Phúccùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rấtnhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

5

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toántìm vectơ riêng và giá trị riêng của toán tử Chính vì vậy mà bài toán này

đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu

Các nhà toán học lừng danh như Hilbert, Banach, Frechet đã nghiêncứu vấn đề này từ những năm đầu của thế kỉ XX theo nhiều hướng khácnhau Một trong những hướng nghiên cứu lớn là lý thuyết khai triển theocác véctơ riêng của một toán tử, rồi một họ hữu hạn các toán tử Tiếptheo đó, lý thuyết này được phát triển cho một hệ vô hạn các toán tử tựliên hợp, dẫn đến hình thành lý thuyết toán tử tuyến tính trong các khônggian hàm vô hạn chiều mà công lớn thuộc về viện sĩ Bededanxki và cáchọc trò của ông

Đặc biệt, nhà toán học Nga nổi tiếng M.A Kraxnôxelxki đã nghiên cứulớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm (1956) Sau đó GS-TSKH J.A Bakhtin

mở rộng kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K,u0)- lõm (1984) Các lớptoán tử trên có chung tính chất u0- đo được khiến cho việc ứng dụng trởnên khó khăn

Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối vớitoán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong

đó không yêu cầu toán tử có tính chất u0- đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sựgiúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS-TS - GVCC Nguyễn Phụ

Hy tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục củavéctơ riêng dương vào giá trị riêng của toán tử (K,u0)- lõm chính quy”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về toán tử (K,u0)- lõm chínhquy và sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trị riêng củatoán tử (K,u0)- lõm chính quy

6

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

- Tìm hiểu về toán tử (K,u0)- lõm chính quy

- Tìm hiểu về sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trịriêng của toán tử (K,u0)- lõm chính quy

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả vềtoán tử (K,u0)- lõm chính quy, sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dươngvào giá trị riêng của toán tử (K,u0)- lõm chính quy

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liênquan đến véctơ riêng, giá trị riêng của toán tử (K,u0)- lõm chính quy

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Thu thập tài liệu và các bài báo về véctơ riêng, giá trị riêng của toán

tử (K,u0)- lõm chính quy

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 GIẢ THIẾT KHOA HỌC (HAY NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI)Nghiên cứu “Sự phụ thuộc liên tục của véctơ riêng dương vào giá trịriêng của toán tử (K,u0)- lõm chính quy” sẽ cho ta những hiểu biết sâu sắc

về vấn đề này Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho lớp các toán

tử khác Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán họctương tự khác

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến

P≡C), cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k.k (đọc làchuẩn) thỏa mãn các điều kiện sau đây:

gọi là hội tụ tới điểm x∈X, nếu lim

n→∞kxn− xk = 0.Định nghĩa 1.4 Dãy điểm (xn)∞n=1trong không gian định chuẩn X đượcgọi là dãy cơ bản, nếu lim

m,n→∞kxn − xmk = 0.Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach,nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Cho không gian Banach thực E, một tập con khác rỗng

K⊂E gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây:

N1) K là một tập đóng trong không gian E;

N2) (∀x∈K),(∀y∈K) x+y ∈K;

N3) (∀x∈K),(∀t≥0) tx ∈K;

N4) (∀x∈K),(∀x6= θ) -x ∈/K

1.2.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực

Giả sử E là không gian Banach thực, K là nón trong không gian E, tađưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau:

Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y, nếu y-x ∈ K Khi đó quan hệ "≤" là mộtquan hệ sắp thứ tự trên E Thật vậy,

Do đó quan hệ "≤" là quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón

K Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K đã cho trở thành khônggian Banach sắp thứ tự bộ phận hay không gian Banach nửa sắp thứ tự

Từ định nghĩa, dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau (ngoài các tínhchất và khái niệm đã biết trong lý thuyết tập hợp)

Với yn − xn ∈ K, ∀n = 1, 2 , lim

n→∞(yn− xn) = y − x và K là tập đóngnên y-x ∈ K ⇒ x≤y

Tính chất 1.2 Giả sử u0 ∈ K, x∈ E Khi đó, nếu x≤ tu0 thì x≤ γu0, ∀

1.3.1 Định nghĩa không gian Eu0 và một số tính chất đơn giản

Cho không gian Banach thực E với nón K, giả sử u0 ∈K\{θ} Phần tử

x∈ E gọi là u0 – đo được nếu tìm được hai số không âm t1, t2 sao cho:

−t1u0 ≤ x ≤ t2u0

Ta ký hiệu cận dưới đúng của t1 là α(x), của t2 là β(x) Theo các tínhchất 1.3, 1.4 của mục 1.2.2:

−α(x)u0 ≤ x ≤ β(x)u0 (1.1)Hơn nữa, bất đẳng thức (1.1) còn thỏa mãn với mọi t1>α(x), t2>β(x)

Ký hiệu Eu0 là tập hợp tất cả các phần tử x∈E có tính chất u0- đođược.

−t1u0 ≤ x ≤ t2u0, −t3u0 ≤ y ≤ t4u0

⇒ −(t1 + t3)u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4)u0 ⇒ x + y ∈ Eu0

Mặt khác:

inf(t1 + t3) ≤ t1 + t3 ⇒inf(t1 + t3) ≤ inft1 +inft3;

inf(t2 + t4) ≤ t2 + t4 ⇒inf(t2 + t4) ≤ inft2 +inft4

Chứng minh Giả sử (xn)∞n=1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian

Eu0 theo u0- chuẩn, nghĩa là

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n, m ≥ n0) kxn− xmk < ε

∃x ∈ E sao cho lim

n→∞kxn − xkE = 0

−εu0 ≤ xn − x ≤ εu0, ∀n ≥ n0

Chứng tỏxn−x ∈ Eu0.Do đóx = xn−(xn− x) ∈ Eu0 vàkxn− xk ≤ ε,với ∀n ≥ n0, hay dãy (xn)∞n=1 hội tụ trong Eu0

Vậy Eu0 là không gian Banach theo u0- chuẩn

Định lý 1.2 Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E Khi

đó, K là nón chuẩn khi và chỉ khi:

(∃M > 0) (∀y ∈ K\ {θ}) (∀x ∈ Ey) kxkE ≤ M kxkykykE (1.4)Chứng minh

Theo định nghĩa nón chuẩn:

kgnkE − khnkE

kgnkEkhnkE .hn

≤ 2n(1 + 1n) +

2 n

1 + n1 =

4

n + 1

⇒ lim

n→∞

g n

kg n kE + hn

kh n kE = 0 Mâu thuẫn với (1.5)

Vì vậy, (∃M > 0) (∀y ∈ K\ {θ}) (∀x ∈ Ey) kxkE ≤ M kxky kykE

Định nghĩa 1.8 Cho không gian Banach thực E với nón K

Chuẩn trên không gian E gọi là nửa đơn điệu nếu

(∃N > 0) (∀x, y ∈ K : x ≤ y) kxkE ≤ N kykE.Chuẩn trên không gian E gọi là đơn điệu nếu

(∀x, y ∈ K : x ≤ y) kxkE ≤ kykE.Định lý 1.3 Chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu khi và chỉ khi K

1.4.1.1 Không gian Banach thực R n

Cho không gian véctơ n chiều Rn:

Rn =

n

x = (xj)nj=1; xj ∈ R, j = 1, no, n ∈ N∗

Đối với véc tơ bất kỳ x = (x1, x2, ., xn) ∈Rn ta đặt:

kxk =

vuut

Vậy công thức (1.6) cho một chuẩn trên Rn.

Không gian định chuẩn thực tương ứng ký hiệu là Rn

Rn cùng với chuẩn (1.6) thường gọi là không gian Eukleides n chiều.Hơn nữa, không gian định chuẩn thực Rn với chuẩn xác định bởi công thức(1.6) là một không gian Banach thực Thật vậy,

* Trước hết ta chứng minh sự hội tụ trong không gian Rn là sự hội tụtheo tọa độ: Giả sử điểm x(k) = (x(k)j )nj=1, k=1,2, hội tụ tới x = (xj)nj=1

trong không gian Rn Theo định nghĩa, ta có:

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N∗) (∀k ≥ k0) x(k)j − xj < ε

hay

vuut

n

X

j=1

Suy ra với mỗi j = 1, 2, , n dãy số thực (x(k)j )nj=1 hội tụ tới số thựcxj,

j = 1, 2, , n Sự hội tụ như thế được gọi là sự hội tụ theo tọa độ

Ngược lại, giả sử điểm x(k) = (x(k)j )nj=1, k=1,2, hội tụ theo tọa độ tới

x = (xj)nj=1 trong không gian Rn Theo định nghĩa với mọi j = 1, 2, , n

dãy (x(k)j )nj=1 hội tụ tới xj thì (∀ε > 0) (∃kj ∈ N∗) (∀k ≥ kj)

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N∗) (∀k ≥ k0) x(k)j − xj < ε

hay

vuut

n

X

j=1

Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ với mỗi j = 1,2, ,n dãy xkj là dãy

số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn:

lim

j→∞x(k)j = xj, ∀j = 1, 2, , n

Đặt x = (x1, x2, , xn), ta nhận được dãy đã cho hội tụ theo tọa độ

đương với sự hội tụ theo tọa độ nên dãy cơ bản x(k) đã cho hội tụ tới xtrong không gian Rn

Do x(k) là dãy cơ bản tùy ý nên Rn là không gian Banach thực

1.4.1.2 Nón trong không gian Banach thực R n

K = nx = (x)nj=1 ∈ Rn : xj ≥ 0, ∀j = 1, no (1.8)

là một tập nón Thật vậy,

+) Hiển nhiên K⊂Rn, K6= ∅ (do θ ∈K)

Lấy trong K dãy tùy ý hội tụ đến phần tử x = (xj)nj=1 ∈ Rn điều đó

có nghĩa là

∀ε > 0, ∃k0 ∈ N∗, ∀k ≥ k0 ta có: x(k)− x ≤ ε

⇔ ∀k ≥ k0 :

vuut

n

X

j=1

thức (1.8) là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Thật vậy,

(1.8) là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Từ đây ta chỉ ra được nón K còn là một nón chuẩn Thật vây:

∀e1, e2 ∈ K, e1 = (xj)nj=1, e2 = (yj)nj=1, xj, yj ≥ 0, ∀n ∈ N∗ :

ke1k = ke2k = 1

⇔

vuut

1.4.2.1 Không gian Banach thực l 2

Cho không gian véctơ l2 , trong đó

kxk = 0 ⇔

vuut

vuut

Vậy công thức (1.10) xác định một chuẩn trên l2

Không gian định chuẩn thực tương ứng kí hiệu là l2

l2 là một không gian Banach thực Thật vậy,

Giả sử: x(k) = x(k)
∞n=1 ∈ l2, k = 1, 2, là một dãy cơ bản tùy ý trong

l2 Theo như định nghĩa dãy cơ bản, ta có

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N ) (∀k ≥ k0) (∀p ∈ N ) : x(k+p)n − x(k)n < ε

2

⇔

vuut

∞

X

n=1

x(k)n

x(k)n

Chứng tỏ dãy cơ bản x(k) = x(k)
∞n=1 hội tụ đến x ∈ l2

Vậy l2 là không gian Banach

1.4.2.2 Nón trong không gian Banach thực l2

Trong không gian Banach l2, tập

∞

X

n=1

x(k)n − x(0)n

... (x(k)j )nj=1 hội tụ tới số thựcxj,

j = 1, 2, , n Sự hội tụ gọi hội tụ theo tọa độ

1.4.2.1 Không gian Banach thực l 2

Cho khơng gian véctơ l2 ,