Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến

17 2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân iii... Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm.. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp

đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quátrình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiềutrong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Bangiám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung cấp kỹ thuậtVĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên vàtạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoànthành luận văn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Nụ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Nụ

Lời cảm ơn i

1.1 Một số không gian của giải tích hàm 3

1.1.1 Không gian metric 3

1.1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.2 Đạo hàm Frechet 7

1.3 Cơ sở của phương pháp tuyến tính hóa 10

1.4 Phương trình toán tử tích phân 11

1.4.1 Các định nghĩa 11

1.4.2 Một số nhận xét 14

1.4.3 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến 17

2 Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân

iii

2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 222.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 222.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình

tích phân phi tuyến 232.2 Phương pháp cầu phương 262.2.1 Phương pháp cầu phương 262.2.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích

phân phi tuyến 272.3 Phương pháp Newton - Kantorovich 312.3.1 Phương pháp Newton - Kantorovich 312.3.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương

trình tích phân phi tuyến 332.4 Sự kết hợp của phương pháp Newton - Kantorovich và

phương pháp cầu phương 39

3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ phương

3.1 Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 463.1.1 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình

tích phân phi tuyến Fredholm 463.1.2 Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến

Fredholm 513.2 Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra 623.2.1 Một số phương pháp giải gần đúng phương trình

tích phân phi tuyến Volterra 62

iv

Volterra 68

v

C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

L(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán thực tế đã dẫn đến việc giải phương trình hoặc hệphương trình tích phân phi tuyến Việc giải chính xác các phương trìnhthường gặp nhiều khó khăn hoặc không thể thực hiện được Vì vậy người

ta nghiên cứu các phương pháp giải xấp xỉ các phương trình nói trên.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn và nghiên cứu về phương trình tíchphân phi tuyến và các cách giải xấp xỉ các phương trình đó nên tôi đãchọn đề tài

“ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phituyến ”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trìnhtích phân phi tuyến, ứng dụng vào giải một số phương trình cụ thể, giải

số trên máy tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ Phân tích các ưuđiểm, nhược điểm của từng phương pháp Nêu các ứng dụng của cácphương pháp vào giải một số phương trình tích phân cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Phương pháp cầu phương

Phương pháp tuyến tính hóa

Phương pháp Newton - Kantorovich

Một số ứng dụng vào các phương trình cụ thể và giải số trên máy

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giảitích hàm, Giải tích số và lập trình cho máy tính

Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa

6 Dự kiến đóng góp mới

Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giảixấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến Nêu lên các ứng dụng củaphương pháp tuyến tính hóa vào giải một số lớp phương trình tích phânphi tuyến

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số không gian của giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Cho X là một tập hợp tùy ý và X 6= φ

Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.

Định lý 1.1.1 Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là khônggian metric đầy đủ

Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ(X, d) Giả sử {xn} là một dãy cơ bản trong F tức là

lim

m,n →∞d(xm, xn) = 0

Suy ra {xn} là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

∃x0 ∈ X : xn → x0, n → ∞Như vậy (xn) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞ Do F là tập đóng nên

x0 ∈ F

Vậy F là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng

S(x0, r) = {x ∈ X : d (x, x0) ≤ r} , r ∈ R+

là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1) và (Y, d2).Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) saocho ∀x1, x2 ∈ X ta đều có d2(A(x1), A(x2)) ≤ αd1(x1, x2) α gọi là hệ

số co của ánh xạ co A

Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh

xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bấtđộng duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x∗ ∈ X thỏa mãn

Ax∗ = x∗, x∗ là giới hạn của dãy (xn) , xn = A (xn −1) , x0 ∈ X tùy ý và

Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = A (xn −1) ,

Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

Nhận xét 1.1 Nếu A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vàochính nó thì A cũng là ánh xạ co từ hình cầu đóng S (x0, r) ⊂ X vàochính nó, nếu d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r, α là hệ số co của A

Chứng minh i, Theo định lý 1.1.1 thì S (x0, r) là không gian metric đầy.

ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α

d(Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ X

⇒ d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ S (x0, r)iii, Ta chứng minh A S (x0, r)

⊂ S (x0, r) tức là với ∀y ∈ S (x0, r) taphải chứng minh d (Ay, x0) ≤ r Thật vậy

d(Ay, x0) ≤ d (Ay, Ax0) + d (Ax0, x0)

≤ αd (y, x0) + d (Ax0, x0) ≤ α.r + d (Ax0, x0)Nếu giả thiết d (Ax0, x0) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x0) ≤ α.r + (1 − α) r = r

⇒ Ay ∈ S (x0, r) ⇒ A S (x0, r)

⊂ S (x0, r)Như vậy nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp dụng trên hìnhcầu đóng của không gian metric đầy đủ

1.1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = Rhoặc C) Một chuẩn trong X, ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ X vào tập

số thực R thỏa mãn các tiên đề sau

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn ( hay độ dài)của véc tơ x

Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong khônggian đó được gọi là không gian định chuẩn

Định lý 1.1.3 Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt

d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ XKhi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.7 Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X đượcgọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu

Toán tử T gọi là đạo hàm Frechet của f tại x0, ký hiệu T = f′

(x 0 ).Như vậy df(x0, h) = 

f′(x0 )

(h)

Định nghĩa 1.2.2 Cho X1, X2, , Xn, n ≥ 2, Y là các không gian địnhchuẩn Ánh xạ f : X1 × X2 × × Xn → Y

Với mọi x = (x1, x2, , xn) ∈ X1 × X2 × × Xn ta cố định

x0 = x0

1, x02, , x0n

∈ X1 × X2 × × Xn.Xét ánh xạ fi : Xi → Y, i = 1, , n,

f(xi i) = f x01, , x0i−1, xi, x0i+1, , x0n
Nếu fi có đạo hàm Frechet tại điểm x0

i thì đạo hàm đó gọi là đạo hàmriêng Frechet của f theo xi tại điểm x0, ký hiệu ∂f∂x

i x0

= fi
′

(x0

i).Khi X1 = X2 = = Xn = Y = R thì đạo hàm riêng Frechettrùng với đạo hàm riêng thông thường

Ví dụ 1.2.1 Ánh xạ f : R → R, ∀x0 ∈ R đạo hàm Frechet f(x′ 0 ) là đạohàm theo nghĩa thông thường của f tại x0

f hai lần khả vi tại x nếu f′ khả vi tại x, nghĩa là tồn tại một toán tửtuyến tính liên tục P : X → L (X, Y ) sao cho với ∀k ∈ X,

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử

f : X → Y gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số dương Lsao cho kf (x1) − f (x2)k ≤ L kx1 − x2k , ∀x1, x2 ∈ X, L gọi là hệ sốLipschitz

Nhận xét 1.2 Toán tử f : X → Y có đạo hàm bị chặn thì liên tụcLipschitz Toán tử f : X → Y có đạo hàm riêng bị chặn thì liên tục

Lipschitz theo biến đó.

1.3 Cơ sở của phương pháp tuyến tính hóa

Giả sử toán tử f : R → R không giả thiết tuyến tính tức phi tuyến

và x0 ∈ R Ta có

f (x) − f (x0) = f(x′ 0)(x − x0) + α (x − x0)trong đó, α (x − x0) là vô cùng bé bậc cao hơn (x − x0) khi x → x0.Khi x → x0 ta lấy xấp xỉ f (x) ≃ f (x0) + f(x′ 0)(x − x0) = ax + b là dạngbậc nhất một biến

Toán tử f : R2 → R có các đạo hàm riêng theo từng biến,

(x0, y0) ∈ R2 Ta có

f (x, y) − f (x0, y0) = fx′ (x0, y0) (x − x0) + fy′ (x0, y0) (y − y0) + α (ρ)trong đó, ρ = p∆2x+ ∆2y,∆x = x − x0,∆y = y − y0 và α (ρ) là vôcùng bé bậc cao hơn ρ khi ρ → 0(x → x0, y → y0) Khi x → x0, y → y0

sẽ được trình bày cụ thể trong chương 2

1.4 Phương trình toán tử tích phân

Khi A là toán tử tích phân thì các phương trình (1.1) và (1.2) gọi

là các phương trình toán tử tích phân hay phương trình tích phân

Khi A không giả thiết tuyến tính tức A phi tuyến thì các phươngtrình (1.1) và (1.2) gọi là các phương trình phi tuyến

trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],tham số λ ∈ R hoặc λ ∈ C, (1.3), (1.4) tương ứng gọi là phương trìnhtích phân phi tuyến loại I và loại II

K[x, t, y(t)] gọi là nhân ( hay hạch) của tích phân

Nhân K [x, t, y(t)] được gọi là suy biến ( hay tách) nếu

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],(1.5), (1.6) tương ứng gọi là phương trình tích phân phi tuyến Volterradạng Urysohn loại I và loại II

Đặt u(x) = y(x) − f(x), phương trình (1.6) rút gọn về dạng chínhtắc

trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền

D = [a; b] × [a; b] × R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],(1.11), (1.12) tương ứng gọi là phương trình tích phân phi tuyến Fredholmdạng Urysohn loại I và loại II

trong đó, hàm số P (x, t) liên tục trên miền [a; b] × [a; b] , y(t), f(x), Φ

là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b], (1.14), (1.15) tương ứng gọi làphương trình tích phân phi tuyến Fredholm dạng Hammerstein loại I vàloại II

Nhận xét 1.5 Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II đều cóthể đưa về phương trình tích phân phi tuyến dạng chính tắc tương ứngbằng cách đặt u(x) = y(x) − f(x).

Các phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại II

Một đặc trưng khác nữa của phương trình tích phân phi tuyến là

nó thường có nhiều nghiệm

Nhận xét 1.6 Có một số tính chất chỉ có trong phương trình tích phânphi tuyến mà không có trong phương trình tích phân tuyến tính

Ta xét các ví dụ sau :

Ví dụ 1.4.1 Xét phương trình tích phân Volterra với tính chất phi

tuyến lũy thừa n

Nghiệm của (1.18) phụ thuộc vào tham số n và b

Trường hợp b > 0 : Nghiệm của (1.18) xác định bởi công thức

0 < a < ∞, phương trình (1.17) còn có một nghiệm thực nữa là

Nếu theo thuật ngữ như của phương trình tuyến tính thì λ gọi làgiá trị đặc trưng của phương trình phi tuyến nếu với giá trị λ đó phươngtrình có nghiệm không tầm thường, nghiệm không tầm thường đó gọi lànghiệm riêng.

Suy ra phương trình (1.20) có các khoảng vô hạn của giá trị đặctrưng λ là (−∞; 0) , (0; +∞)

Ví dụ 1.4.3 Xét phương trình tích phân dạng Hammerstein với tínhchất phi tuyến siêu việt

f(t)



có nghiệm tìm thấy từ y(x) = Af(x) , trong đó A là hằng số xác địnhbởi phương trình siêu việt

với µ = R1

0

f(t)g(t)dt

Không xét đến nghiệm tầm thường khi A = 0 thì :

Nếu |λ| < 1|µ| thì phương trình (1.25) và suy ra phương trình (1.24)không có nghiệm thực ( kể cả trường hợp µ = 0)

Nếu |λ| ≥ 1|µ| thì phương trình (1.25) và suy ra phương trình (1.24)

có vô số nghiệm thực

1.4.3 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các

phương trình tích phân phi tuyến

1.4.3.1 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích phânphi tuyến Volterra

i, f(x) là hàm khả tích và bị chặn trên đoạn [a; b];

ii, f(x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong khoảng (a; b)

|f(x1) − f(x2)| ≤ k |x1 − x2| , ∀x1, x2 ∈ (a; b) , k = const, k ≥ 0;iii, K [x, t, y(t)] là hàm khả tích và bị chặn |K| < M, a ≤ x, t ≤ b;

iv, K [x, t, y(t)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y

|λ| M (b − a)

, L

.1.4.3.3 Các phương trình Hammerstein

Xét phương trình phi tuyến Hammerstein

Định lý 1.4.1 Giả sử có bất đẳng thức |Φ(t, y)| ≤ C1|y| + C2

trong đó, C1, C2 là các hằng số dương và C1 < λ1, λ1 là giá trị đặc trưngnhỏ nhất của nhân P(x, t) Khi đó, phương trình tích phân phi tuyến(1.16) có ít nhất một nghiệm liên tục

Định lý 1.4.2 Nếu với bất kỳ t cố định thuộc đoạn [a; b], hàm Φ(t, y)không tăng theo y thì phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có khôngquá một nghiệm

Định lý 1.4.3 Phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có không quámột nghiệm nếu hàm Φ(t, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y

|Φ(t, y1) − Φ(t, y2)| ≤ σ |y1 − y2|trong đó, 0 < σ < λ1, λ1 là giá trị đặc trưng nhỏ nhất của nhân P(x, t).Định lý 1.4.4 (( không tồn tại nghiệm)) Giả sử P(x, t) ≥ 0, P(x, t) 6= θ,nghiệm riêng y1(x) của nhân P(x, t) tương ứng với giá trị đặc trưngnhỏ nhất λ1 không thay đổi trong miền a ≤ x, t ≤ b Và với điều kiệnΦ(t, y) > λ1y(t), ∀t ∈ [a; b] thì phương trình (1.16) vô nghiệm

• Giả sử nhân P(x, t) của phương trình (1.16) xác định dương, liêntục ( không cần đối xứng, P(x, t) 6= P(t, x)), hàm Φ(t, y) liên tục Ta cócác định lý :

|Φ(t, y)| ≤ a + b|y|n−1, a ≤ x, t ≤ b, |y| < ∞thì phương trình (1.16) có ít nhất một nghiệm

Định lý 1.4.7 Cho nhân P(x, t) dương, liên tục trong miền a ≤ x, t ≤ b.Giả thiết hàm Φ(t, y) liên tục trong miền a ≤ t ≤ b, y > 0, không âmvới y ≥ 0 và dương với y > 0 và với hầu khắp các t Giả thiết một trongcác điều kiện sau được thỏa mãn :

i, Φ(t, y) không giảm theo y và y−βΦ(t, y) không tăng theo y, trong đó

β ∈ (0; 1);

ii, Φ(t, y) không tăng theo y và yβΦ(t, y) tăng theo y, trong đó β ∈ (0; 1).Thì phương trình (1.16) có một và chỉ một nghiệm dương Nghiệmnày là giới hạn của dãy các xấp xỉ liên tiếp

|K (x, t, y1) − K (x, t, y2)| ≤ L |y1 − y2| , L = constVới điều kiện λ < b − aL thì phương trình (1.12) có một và chỉ mộtnghiệm liên tục Nghiệm đó có thể tìm bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp

với hàm y0(x) liên tục tùy ý

Định lý 1.4.9 Giả sử hàm K (x, t, y) liên tục trên miền xác định

hội tụ đến nghiệm y(x) trên đoạn [a; b]

Định lý 1.4.10 Giả sử hàm K (x, t, y) liên tục trên miền xác định

Ω = {a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ b, |y| ≤ ρ}

thì với điều kiện |λ| ≤ (b − a) maxρ

Ω |K (x, t, y)|, phương trình (1.13) có

ít nhất một nghiệm liên tục thỏa mãn |y(x)| ≤ ρ

Định lý 1.4.11 Giả sử hàm K (x, t, y) liên tục trên miền xác định

r →∞

ϕ(r)

r = 0 thì phương trình (1.13) có nghiệm vớimọi λ Trong trường hợp này thì phương trình (1.12) cũng có nghiệmvới mọi λ và f(x) liên tục bất kỳ

Định lý 1.4.12 Giả sử hàm K (x, t, y) liên tục theo x, t, y và thỏa mãnbất đẳng thức 0 ≤ K (x, t, y) ≤ a + L (x, t) y, a ≤ x, t ≤ b, y ≥ 0,

trong đó, L (x, t) là nhân không âm, có giá trị đặc trưng nhỏ nhất thỏamãn điều kiện λ > 1, thì phương trình (1.13) có ít nhất một nghiệmkhông âm liên tục

Các định lý 1.4.1 đến 1.4.12 có thể xem trong [7]

Một số phương pháp giải xấp xỉ

phương trình tích phân phi tuyến

2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

2.1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Cho toán tử A từ không gian Banach X vào chính nó

Xét phương trình toán tử loại II

trong đó, f ∈ X cho trước, λ ∈ R hoặc λ ∈ C

Đặt

T x = λAx + fGiả sử tìm được điều kiện để T là ánh xạ co với hệ số co α ∈ [0; 1)

Do X là không gian Banach nên X là không gian metric đầy đủ.Theo nguyên lý ánh xạ co thì phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất

x = x∗

Dãy lặp

xn+1 = λAxn+ f, n = 0, 1, 2, (2.2)với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X đều hội tụ đến nghiệm x∗

Ta có các đánh giá sau :

22

kxn− x∗k ≤ 1 − α kα x1 − x0k

kxn− x∗k ≤ 1 − α kα xn− xn −1k

Có thể mở rộng hơn khi T chưa là ánh xạ co nhưng Tk là ánh xạ

co với hệ số α ∈ [0; 1) thì phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất x∗ làgiới hạn của dãy lặp (2.2) và tốc độ hội tụ là

kxn− x∗k ≤ (√k

α)n− k

k .kxk − x∗kQuá trình tìm nghiệm của phương trình (2.1) bằng cách xây dựngdãy lặp (2.2) gọi là phương pháp xấp xỉ liên tiếp

2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải phương trình tích

phân phi tuyến

Xét phương trình tích phân phi tuyến loại II

trong đó, f ∈ C[a;b] cho trước, hàm K [x, t, y(t)] liên tục trên

D = [a; b] × [a; b] × R, cần tìm y ∈ C[a;b]

a {K [x, t, y(t)] − K [x, t, y(t)]} dt, ∀y, y ∈ C[a;b]

Xét biểu thức K [x, t, y(t)] − K [x, t, y(t)], cố định hai biến x, t vàcoi K [x, t, y(t)] là hàm biến y Áp dụng định lý Lagrange theo biến y

Suy ra T là ánh xạ co từ C[a;b] vào chính nó

Do C[a;b] là không gian metric đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ cothì T có điểm bất động duy nhất y = y∗, tức là T y∗ = y∗, theo (2.4) tacó

Suy ra y∗ là nghiệm của phương trình (2.3).

Cũng theo nguyên lý ánh xạ co thì y∗ là giới hạn của dãy (yn)

yn = T yn −1, n = 1, 2, , y0 ∈ C[a;b] cho trước tùy ý,

Như vậy việc giải phương trình (2.3) bằng phương pháp xấp xỉ liêntiếp gồm các bước sau :

1) Kiểm tra các điều kiện : hàm K [x, t, y(t)] và đạo hàm riêng K′

y(x, t, y)liên tục trên D = [a; b] × [a; b] × R và α := M (b − a) |λ| < 1 trong đó,

yn(x) → y∗(x) = x, n → ∞

Thay y∗(x) = x vào phương trình (2.5) thỏa mãn

Vậy y∗(x) = x là nghiệm đúng của phương trình (2.5)

2.2 Phương pháp cầu phương

2.2.1 Phương pháp cầu phương

Bản chất của phương pháp cầu phương là sự thay thế tích phânbằng tổng hữu hạn

Chia đoạn [a; b] bởi các điểm a = x1 < x2 < < xn = b, ta có

trong đó, Ak, xk tương ứng là các hệ số và nút của công thức cầu phương,

εn[ϕ] là phần dư của công thức cầu phương, Ak ≥ 0,

n

P

k=1

Ak = b − a.Tùy thuộc vào việc chọn quy tắc tính mà có các công thức cầuphương với các đại lượng Ak, xk, εn tương ứng

trong đó, tk = xk, k = 1, n, xk là các nút của công thức cầu phương.

Ta giả thiết rằng |λεn[Ky]| nhỏ và có thể không cần tính đến Trongphương trình (2.7) thay x = xi ta có

Hệ (2.8) là hệ phương trình đại số có n phương trình và n ẩn

y1, y2, , yn chưa biết Giải hệ (2.8) ta tìm được các giá trị y∗

Ta có thể có được hàm eyn(x) theo một quy tắc khác, như sử dụng

đa thức Lagrange hoặc đa thức Newton với các giá trị y∗

1, y∗2, , y∗n tại

>for i from 1 to (n-1) do A[i]:=1/n od:

>for i from 0 to n do f[i]:=1+19/36*x[i] od:

>for i from 0 to n do for j from 0 to n do K[i,j]:=1/3*x[i]*x[j] : od: od:

eqn[16],eqn[17],eqn[18],eqn[19],eqn[20])) :

>for i from 0 to n do lprint(y[i]=subs(sols,y[i])) : od;

x Nghiệm đúng Nghiệm xấp xỉ Sai số

2.3 Phương pháp Newton - Kantorovich

2.3.1 Phương pháp Newton - Kantorovich

Xét phương trình toán tử dạng

trong đó, F là toán tử phi tuyến xác định và khả vi trong hình cầu đóng

S(x◦, r) = {x ∈ X, kx − x◦k ≤ r}

của không gian Banach X

Các xấp xỉ được xây dựng như sau :

Lấy x0 ∈ S bất kỳ Giả sử toán tử F có đạo hàm F′(x) liên tụctrong S và x∗ là một nghiệm của (2.11) :

F(x∗) = 0

⇔ F (x0) − F (x∗) = F (x0)Thay F (x0) − F (x∗) bởi giá trị gần đúng F(x′ 0)(x0 − x∗) suy ranghiệm của phương trình

F(x′ n)(xn− x) = F (xn) , n = 0, 1, 2,

trong đó, xn+1 là nghiệm

Nếu tồn tại [F′(xn)]−1 thì

xn+1 = xn− [F′(xn)]−1F (xn) , n = 0, 1, 2, (2.13)Phương pháp xây dựng các xấp xỉ (xn) như trên gọi là phương phápNewton - Kantorovich

Nếu dãy (xn) hội tụ đến x∗, x0 được chọn gần x∗ thì các toán tử

F′(xn) và F′(x0) sẽ gần nhau Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế côngthức (2.13) bằng công thức đơn giản hơn

un+1 = un − [F′(u0)]−1F (un) , n = 0, 1, 2, , u0 ≡ x0 (2.14)Phương pháp xây dựng các xấp xỉ (un) như (2.14) gọi là phươngpháp Newton - Kantorovich cải biên

Sau đây là một số điều kiện đủ để dãy (2.13) hoặc (2.14) hội tụ :Định lý 2.3.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn :

1) F xác định trong S và có đạo hàm cấp hai F ” (x) liên tục trongS;

vn = vn −1 + c0ϕ vn−1

, n = 1, 2, , v0 = t0.Định lý 2.3.2 Giả sử các điều kiện của định lý 2.3.1 được thỏa mãn,ngoài ra ϕ′(t) ≤ 0 Khi đó, nếu phương trình (2.15) có nghiệm duy nhấttrên đoạn [t0, t1] thì phương trình (2.11) có nghiệm duy nhất

Định lý 2.3.3 Giả sử các điều kiện của định lý 2.3.1 được thỏa mãn.Khi

đó, các xấp xỉ của phương pháp Newton - Kantorovich (2.13) hội tụ đến

nghiệm của phương trình (2.11), tốc độ hội tụ xác định bởi công thức

kxn− x∗k ≤ t − tn trong đó, t là nghiệm nhỏ nhất của phương trình(2.15), tn xác định bởi đẳng thức tn = tn −1 + cn −1ϕ tn −1

, t0 = t0 ,

n= 1, 2, , cn = −1

ϕ′ tn
.Định lý 2.3.4 Giả sử F hai lần khả vi liên tục trong S và thỏa mãncác điều kiện :

1) Tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Γ0 = [F′(x0)]−1;

kx∗ − xnk ≤ 1

2n(2h)

2 n

.ηh

2.3.2 Phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình

tích phân phi tuyến