ệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG 16 2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng... Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu hệ những bất p

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS TS.NguyễnNăng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốtquá trình tôi làm luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao họcchuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu trường THPT Nhã Nam, sởgiáo dục và đào tạo Bắc Giang, bạn bè và người thân đã tạo điều kiệncho tôi trong suốt quá trình theo học và quá trình hoàn thiện bản luậnvăn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Thân Văn Trung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Số liệu và cáckết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặpvới các đề tài khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Thân Văn Trung

Bảng ký hiệu 5

Mở đầu 6 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 8 1.1 Không gian Rn 8

1.1.1 Tích vô hướng 8

1.1.2 Chuẩn 9

1.1.3 Sự hội tụ của dãy 9

1.2 Tập lồi và hàm lồi 10

1.2.1 Tập lồi 10

1.2.2 Tập mở, tập đóng 10

1.2.3 Tập bị chặn và tập Compact 11

1.2.4 Hàm lồi 11

1.3 Dạng toàn phương và hệ bất phương trình toàn phương 12 1.3.1 Dạng toàn phương 12

1.4 Bài toán tối ưu 14

1.4.1 Định nghĩa 14

Chương 2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG 16 2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng 18

2.2 Ứng dụng 23

Tài liệu tham khảo 59

Rn không gian vectơ n chiều

Rn+ tập các vectơ không âm của RnintRn+ phần trong của R+n

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề trong Toán học liên quan đến các bất phương trìnhtoàn phương Những bất phương trình toàn phương thường xuất hiệnmột cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực của Toán học như: Tối ưu hóa,điều khiển tối ưu và kỹ thuật

Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu hệ những bất phươngtrình toàn phương với những khía cạnh khác nhau cùng những ứng dụngcủa chúng và đã thu được nhiều kết quả lý thú Sự tồn tại nghiệm của

hệ bất phương trình toàn phương đóng vai trò quan trọng trong việcnghiên cứu bài toán tối ưu xác định bởi một hàm mục tiêu toàn phương.Nhận biết được vai trò quan trọng của những bất phương trình toànphương, sau khi được học những kiến thức của chương trình cao họcchuyên ngành Giải tích và được sự động viên của PGS.TS Nguyễn NăngTâm tôi quyết định chọn đề tài

“Hệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng

vào lý thuyết tối ưu”

để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về hệ bất phương trình toàn phương

- Áp dụng những kết nghiên cứu đã biết về hệ bất phương trình toànphương vào nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng của nóvào nghiên cứu bài toán tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

6

- Đối tượng: Các bất phương trình toàn phương và toàn phương lồi.

- Phạm vi: Các bất phương trình toàn phương hữu hạn chiều, sự tồn tạinghiệm của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học dựa trên nhữngtài liệu có liên quan đến bất phương trình toàn phương

- Phân tích, tổng hợp kết quả

6 Đóng góp của luận văn

- Nghiên cứu làm rõ sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toànphương lồi, ứng dụng trong lí thuyết tối ưu

- Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà toán học nghiêncứu và công bố về bất phương trình toàn phương lồi

Với cặp phần tử trong Rn: x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) tagọi tổng x + y là phần tử trong Rn cho bởi

Rõ ràng, tích vô hướng < , > là một ánh xạ từ Rn× Rn

vào R Cáctính chất của tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau

a) ||x|| ≥ 0

b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0

c) ||λ|| = |λ|.||x||

d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

1.1.3 Sự hội tụ của dãy

Cho (xk)k∈N ⊂ Rn là một dãy các vectơ Ta nói dãy này hội tụ vềvectơ x ∈ Rn, và kí hiệu

x = lim

k→∞xk.Nếu dãy số thực ||xk − ¯x||k∈N hội tụ về không Tức là

x = lim

k→∞xk ⇐⇒ lim

k→∞||xk − ¯x||) = 0

Theo định nghĩa tập ∅ là tập lồi.

Ví dụ 1.2.1 Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.Hình cầu đơn vị trong Rn là tập lồi

Định nghĩa 1.2.2 Cho X ⊂ Rn là tập lồi Ta gọi vectơ v ∈ Rn, v 6= 0,

là phương lùi xa của X nếu

∀x ∈ X, ∀t > 0 =⇒ x + tx ∈ XĐịnh nghĩa 1.2.3 Cho x0 ∈ Rn,  > 0, ta gọi tập

B(x0, ) = {x ∈ Rn : ||x − x0|| < }

là hình cầu mở trong Rn có tâm tại x0, bán kính 

Định nghĩa 1.2.4 Tập U ⊂ Rn gọi là mở nếu với mọi x0 ∈ U , tồn tại

 > 0 sao cho B(x0, ) ⊂ U

Tập F ⊂ Rn gọi là đóng nếu U = Rn\F là mở

Nếu tập F là tập lồi thì ta gọi nó là tập lồi đóng

Ví dụ 1.2.2 Hàm hằng f : X → R, f (x) = α, với mọi x ∈ X là mộthàm lồi.

Hàm afin f : R → Rn, f (x) =< c, x > +α với mọi x ∈ R là mộthàm lồi

Hàm f : Rn → R, f (x) = x3 là một hàm không lồi trên R Thậtvậy với x = −1, y = 0, λ = 12 ta có

f (λx + (1 − λ)y) = −1

8; λf (x) + (1 − λ)f (y) = −

12chứng tỏ f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y) Vậy f (x) = x3 không

là hàm lồi trên R

là ma trận đối xứng, x1, , xn gọi là các biến.

Đôi khi ta viết f (x) = xTQx thay cho f (x) =< x, Qx > Ma trận Qđược gọi là ma trận của dạng toàn phương

Định nghĩa 1.3.1 Hàm toàn phương là hàm có dạng:

f (x) = 1

2 < x, Qx > + < q, x > +c,trong đó x ∈ Rn, Q là ma trận đối xứng cấp n, q ∈ Rn là vectơ, c ∈ R

Ví dụ 1.3.1 Cho hàm toàn phương f (x) = 12{x2

1 + 2x22 − 6x1x2} Rõràng f (x) là dạng toàn phương Ma trận Q có dạng Q =

• Nửa xác định dương nếu < x, Qx >≥ 0, ∀x ∈ Rn, kí hiệu là Q ≥ 0.

• Xác định dương nếu < x, Qx >> 0, ∀x ∈ Rn, kí hiệu là Q > 0

• Xác định âm nếu < x, Qx >< 0, ∀x ∈ Rn, kí hiệu là Q < 0

• Nửa xác định âm nếu < x, Qx >≤ 0, ∀x ∈ Rn, kí hiệu là Q ≤ 0.Định lý 1.3.1 Q là ma trận nửa xác định dương khi và chỉ khi

f (x) = 1

2 < x, Qx > + < q, x >

là hàm lồi

Chứng minh Vì Q là nửa xác định dương nên

với mọi x, y ∈ Rn :< x − y, Q(x − y) >≥ 0, suy ra1

Khi đó, tập C gọi là tập ràng buộc, f (x) gọi là hàm mục tiêu Mỗi vectơ

x ∈ C là một phương án chấp nhận được hoặc lời giải của (1.1) Một lờigiải x∗ ∈ C gọi là nghiệm tối ưu (toàn cục) nếu

trong đó gi : Rn → R, i = 1, , m là các hàm số.

Các bất phương trình gi(x) ≤ 0 gọi là các ràng buộc

Chú ý: Ta có max{f (x) | x ∈ C} = −min{−f (x) | x ∈ C} Vì vậy

ta chỉ xét các bài toán tìm cực tiểu là đủ

Ví dụ 1.4.1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x2 với x ≥ 0 là 0 đạtđược khi x = 0

Ví dụ 1.4.2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x2 + 2x + 2 là 1 đạtđược khi x = −1

Kết luận chương 1:

Chúng ta đã trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian Rn, vàmột số tập con của nó, tập lồi, hàm lồi sẽ được dùng trong các chươngsau

fm(x) = 12< x, Qmx >+ < qm, x > +cm ≤ 0

(2.1)

trong đó fi(x) = 12< x, Qix >+ < qi, x > +ci với 1 ≤ i ≤ n, là các hàmtoàn phương Nếu f1(x), f2(x), , fm(x) là các hàm lồi thì (2.1) là hệ bấtphương trình toàn phương lồi

Gọi tập nghiệm của (2.1) là X Ta có X là tập đóng (vì fi liên tục).Định lý 2.0.1 Nếu các fi(x), i = 1, , m trong (2.1) là các hàm lồi thì

X là tập lồi Do đó, X lồi đóng

Chứng minh Lấy x, y ∈ X và t ∈ [0, 1] Ta cần chỉ ra

tx + (1 − t)y ∈ X

Thật vậy lấy i ∈ {1, , m} vì f là hàm lồi ta được

2 < (1 − t)y, Q(1 − t)y > + < qi, tx > + < qi, (1 − t)y > +ci

Ta có (t(1−t)[< x, Qy > + < y, Qx >≤ t(1−t)(< x, Qx >)+ < y, Qy >nên:

vậy

tx + (1 − t)y ∈ X

1, , m Ta kí hiệu X() là tập nghiệm của hệ trên.

Định lý 2.1.1 Cho  = (k1, k2, , km), ki ≥ 0 Kí hiệu X() là tậpnghiệm của hệ sau:

Nếu không, ta có thể giả sử ||xk|| → ∞.

Trong trường hợp này chia (2.2) cho ||xk||2 và cho k → ∞, sử dụng

Mâu thuẫn với Q1u = 0 và q1Tu = 0

Vậy khi m = 1 ta có điều phải chứng minh

Bây giờ, ta giả sử (theo phương pháp qui nạp) rằng định lí đúng với

m ≤ l

Xét trường hợp m = l + 1 Cho {xk} là nghiệm có chuẩn nhỏ nhấttrong X(), nếu {xk} có dãy con bị chặn thì tập hợp tất cả các điểm tụcủa dãy con bị chặn này đều nằm trong X(0) và định lí hiển nhiên đúng.Xét ||xk|| → ∞ Như trước, ta cho u = lim

fl(x) ≤ 0

Dẫn tới điềm mâu thuẫn với qTi u = 0 và Qiu = 0 với 1, 2, , l + 1.

Ví dụ 2.1.1 Ví dụ này chỉ ra rằng tính lồi của các hàm số

fi, i = 1, 2, , m trong định lý là cần để Định lí 2.1.1 đúng

Xét hệ bất phương trình tuyến tính sau: 1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 0

Rõ ràng hệ này không có nghiệm, tức là X = Ø Mặt khác, hệ bị nhiễu

1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ , có nghiệm với mỗi  > 0 Do đó X() 6= Ø Điềunày chứng tỏ Định lí 2.1.1 không còn đúng nếu tính lồi của các hàm

fi, i = 1, 2, , m, mất đi

Hệ quả 2.1.1 Với ánh xạ tuyến tính tuyến tính (hoặc affine), sự tạoảnh của miền lồi trong Rn được xác định bởi ràng buộc toàn phương lồi

là tập đóng

Chứng minh Cho miền lồi X = X(0) và cho y = Ax + a là ánh xạ afine,

ở đây, A là ma trận và a véc tơ có số chiều tương ứng với chỉ số của matrận

||y∗ − Axk− a||2 ≤ ||y∗ − yk||, fi(xk) ≤ 0, i = 1, 2, , m, ∀k (2.5)Xét hệ phương trình toàn phương lồi (biến x) sau:

||y∗ − Axk − a|| ≤ 0, fi(x) ≤ 0, i = 1, 2, m

Từ (2.5), hệ này có nghiệm khi vế phải của bất phương trình thứ nhất

bị nhiễu trên ||y∗− yk||, ∀k Cho k → ∞ và sử dụng Định lí 2.1.1, ta kếtluận rằng hệ trên có nghiệm x∗

Mặt khác, tồn tại x∗ ∈ X sao cho y∗ = Ax∗ + a, y∗ ∈ Y Do đó Y làtập đóng

Sau đây ta xét vài ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương

Hệ quả 2.2.1 Xét bài toán có ràng buộc toàn phương lồi sau:

đó bài toán có nghiệm tối ưu

Chứng minh Giả sử f∗ > −∞ là kí hiệu của cận dưới đúng của f0(x)trên miền chấp nhận được của (2.6) Khi đó, tồn tại dãy xk trong miềnchấp nhận được sao cho:

f0(xk) ≤ f∗ + 1

k, fi(x

k

) ≤ 0, i = 1, 2, , m

Theo định lí 2.1.1, ta có f0(¯x) ≤ f∗, fi(¯x) ≤ 0, i = 1, 2, , m, nghĩa là

¯

x là một nghiệm Điều đó chứng tỏ (2.6) có nghiệm tối ưu

Có thể đưa ra câu hỏi liệu có thể bỏ được tính lồi của hàm mục tiêu

f0 trong bài toán trên

Ví dụ sau chỉ ra rằng điều đó là không thể

Ví dụ 2.2.1 Xét bài toán tối ưu hóa sau trong R4

f (xk1, xk2, xk3, xk4) = ( 1

k2 − 1) → −1,cùng với (2.7), chỉ ra rằng cận dưới đúng của f0 trên tập chấp nhận được

là −1 Tuy nhiên bất đẳng thức (2.6) cũng chỉ ra rằng cận dưới đúngnày không thể đạt được bằng bất cứ véc tơ chấp nhận được nào

Nhận xét 2.2.1 Ví dụ trên cho ta thấy nếu tập chấp nhận được liênquan đến bất phương trình toàn phương lồi không tuyến tính và ma trậnHessian của hàm mục tiêu có hai giá trị riêng âm, khi đó cận dưới đúng

có thể không đạt được

Kết luận chương 2: Trong chương này chúng ta đã trình bày một

số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương,ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương vào lý thuyết tối ưu

Với A là ma trận ta có A = A.(xxT) = xTAx với mọi x ∈ Rn.

Sau đây chúng ta sẽ đưa ra các bổ đề cơ bản và những kết quả vềhàm toàn phương lồi

Những kiến thức trong chương này chủ yếu lấy từ [4] và các trích dẫntrong đó

Bổ đề 3.1.1 (Định lí Dine) Cho f, g : Rn → R xác định bởi

Bổ đề này được biết nhiều hơn với hàm toàn phương đồng nhất Bổ

đề Polyak sau đậy đưa ra kết quả của ba hàm toàn phương thuần nhất

Bổ đề 3.1.2 (Bổ đề Polyak (xem [7])) Cho n ≥ 3 và gọi f, g, h : Rn → Rxác định bởi:

Bổ đề 3.1.3 (S-bổ đề (xem [8])) Cho f, g : Rn → R xác định bởi:

3.2.1 Hệ hai bất phương trình toàn phương

Trong phần này chúng ta sử dụng các định lí thay thế cho hệ bấtphương trình liên quan đến hàm toàn phương Kết quả có được bằngcách khái quát định lí Dine cho nón liên tục, được xác định như sau:Định nghĩa 3.2.1 Tập K ⊂ Rn là một nón liên tục nếu K ∪ (−K) làmột không gian con của Rn

Chúng ta kiểm tra hàm bậc hai thuần nhất với nón liên tục

*Hệ toàn phương thuần nhất

Định lý 3.2.1 (Tổng quát định lí Dine) Cho f, g : Rn → R được xácđịnh bởi

f (x) = 1

2x

TAfxvà

g(x) = 1

2x

TAgxtrong đó, Af, Ag ∈ Sn×n

Cho K là nón liên tục của Rn khi đó{(f (x), g(x)) : x ∈ K}

là tập lồi

Ví dụ 3.2.1 Cho K = R2+ và cho f, g : R2 → R xác định bởi:

ở đó

f (0, 1) = −1g(1, 0) = 1

Từ đó cho thấy a(1, −2) ∈ Ω và b(−1, 1) ∈ Ω

Tuy nhiên, a+b2 = (0,−12 ) không thuộc Ω

Nếu không phải thì tồn tại x1, x2 ≥ 0 sao cho

x21 + 2x1x2 − x22 = (x1 + x2)2 − 2x22 = 0và

−2x21 + 2x1x2 + x22 = −1

2 .Khi đó x1 = (√

2 − 1) − 2(√

2 − 1)2 ≥ 0,

ta đã đi đến mâu thẫn Vậy trong ví dụ này Ω không lồi

Dựa vào sự tổng quát của định lí Dine ta đưa ra một dạng của định

lí Gordan mở rộng cho định lí Yuan

Định lý 3.2.2 (Định lí Yuan tổng quát) Cho f, g : Rn → R xác địnhbởi:

f (x) = 1

2x

TAfxvà

g(x) = 1

2x

TAgxtrong đó, Af, Ag ∈ Sn×n Cho K là nón liên tục khi đó một trong cáckết quả sau là đúng

Biểu thức này cho ta (λ1, λ2) ∈ R2+\{(0, 0)} và ii) đúng

Định lý 3.2.2 cũng được biết đến trong các trường hợp cụ thể, nóđược thiết lập bởi Yuan khi cho K = R

Hệ quả 3.2.1 (S - bổ để thuần nhất) Cho K là nón liên tục và cho

ở đó,Af, Ag ∈ Sn×n Giả sử rằng tồn tại x0 ∈ K sao cho g(x0) < 0, khi

đó các kết quả sau là tương đương:

λ1f (x) + λ2g(x) ≥ 0Nếu λ1 = 0 thì λ2g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K Đây là mâu thuẫn với giả sửrằng tồn tại x0 ∈ K sao cho g(x0) < 0 Vậy λ1 6= 0 và ii) đúng

Hệ quả 3.2.2 Cho a ∈ Rn và cho f, g : Rn → R xác định bởi:

Chứng minh Chỉ cần chỉ ra nếu i) sai thì ii) đúng Giả sử i) không đúng,nếu a = 0 thì ii) đúng bằng cách áp dụng định lí Yuan tổng quát với

K = Rn

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng a 6= 0, khi đó tồn tại xsao cho aTx = −1 < 0

Cho K = {x ∈ Rn, aTx < 0}, khi đó K là nón liên tục của Rn

Theo định lí Yuan tổng quát tồn tại

* Hệ toàn phương không thuần nhất

Sau đây chúng ta đưa ra một số định lí để nghiên cứu về hệ bấtphương trình toàn phương không thuần nhất

Định lý 3.2.3 (Định lí Yuan không thuần nhất)

ở đó, Af, Ag ∈ Sn×n; bf, bg ∈ Rn; cf, cg ∈ R

Ag = Ag, bg = bg + Aga0, cg = cg + 1

2a

T

0Aga0

Xác định hai hàm thuần nhất ef1,eg1 : Rn+1 → R Xác định bởi:

Như vậy S0 × R+ là nón lồi liên tục và ef1,eg1 là các hàm thuần nhất.

Theo Định lí 3.2.2 (Định lí Yuan tổng quát) tồn tại (λ1, λ2) ∈ R2+\{(0, 0)}sao cho với mọi (x, t) ∈ S0 × R ta có:

không có nghiệm.

Do vậy i) sai Nhưng ta thấy rằng ii) cũng không đúng Nếu không tồntại ∃(λ1, λ2) ∈ R2+\{(0, 0)} sao cho λ1f (x) + λ2g(x) ≥ 0 với x ≥ 0 trongnghiệm riêng, ta có 0 ≤ λ1f (0) + λ2g(0) = −λ2

Do đó λ2 = 0 và λ1 > 0 Vì vậy f (x) > 0, ∀x Điều này là không thể.Bây giờ ta đưa ra S-bổ đề tổng quát cho phép chúng ta diễn đạt tối

ưu toàn cục của một bài toán tối ưu hóa toàn phương đơn và hệ tuyếntính toàn phương

Hệ quả 3.2.3 (S-bổ đề tổng quát) Cho S0 là một không gian con vàcho a0 ∈ Rn xác định bởi:

Giả sử rằng tồn tại x0 ∈ a0+ S0 sao cho g(x0) < 0 Khi đó những kếtquả sau là tương đương:

x ∈ R+a0 + S0không có nghiệm

x ∈ R+a0 + S0cũng không có nghiệm.

Bây giờ từ định lí 3.2.3 tồn tại (λ1, λ2) ∈ R2+\{(0, 0)} sao cho:

Nếu λ1 = 0 thì λ2g(x) ≥ 0, ∀x ∈ a0 + S0, bằng cách giả sử tồn tại

x0 ∈ a0 + S0 sao cho g(x0) < 0, điều này buộc λ2 = 0 mâu thuẫn vớithực tế là (λ1, λ2) 6= (0, 0)

Do đó, λ1 6= 0 và ii) có được bằng cách chia (3.3) cho λ1

*Điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu hóa toàn cục

Xét bài toán tối ưu toàn phương sau:

, H ∈ Rm×n, bf, bg ∈ Rn, cf, cg ∈ Rn

Ta giả thiết rằng có tồn tại một nghiệm của bài toán (Q, P ) Bâygiờ chúng ta có một điều kiện hoàn toàn tối ưu của bài toán tối ưu hóa