Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng

được gọi là ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện phụ thuộc tham số.Dưới vi phân bậc hai của một hàm thực suy rộng qua một đối đạohàm của ánh xạ dưới gradient đề xuất bởi Mordukhovich được

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Bùi Thảo Nhung

i

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quang Huy.

Tác giả xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu và các thôngtin trích dẫn trong luận văn là trung thực

Hà Nội, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Bùi Thảo Nhung

ii

Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯xb

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x

∂f (x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của f tại x

Mở đầu 1

iv

được gọi là ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện phụ thuộc tham số.

Dưới vi phân bậc hai của một hàm thực suy rộng qua một đối đạohàm của ánh xạ dưới gradient đề xuất bởi Mordukhovich được nhận biếtnhư là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọngtrong tối ưu và giải tích biến phân Để có thêm thông tin chi tiết nhữngphát triển gần đây và các bình luận về dưới vi phân bậc hai, độc giả cóthể tham khảo trong [11] Quan tâm chính của chúng tôi trong luận vănnày liên quan tới việc tính dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ của các tậplồi đa diện mà khởi đầu nghiên cứu bởi Dontchev và Rockafellar [2], và

áp dụng để khảo sát tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân có tham số

Mordukhovich của ánh xạ nón pháp tuyến F vừa được trình bày và thảoluận trong [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19] Trongtrường hợp ma trận D là một ma trận đơn vị, Yen và Yao [18, 19] lầnđầu tiên thiết lập được một vài đánh giá trên hoặc đánh giá dưới đốiđạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháptuyến F Sau đó dưới một điều kiện độc lập tuyến tính liên quan đếncác ràng buộc hoạt, Nam [12] đã cho các công thức chính xác tính đốiđạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F Gần đây các kếtquả trong [12] vừa được phát triển hơn nữa bởi Qui [14, 15, 16] và Trang[17], ở đó điều kiện độc lập tuyến tính được thay bởi điều kiện độc lậptuyến tính dương Hơn nữa, Qui [15] đã trình bày một công thức chínhxác tính đối đạo hàm Fréchet của F , và sau đó một công thức chính xáctính đối đạo hàm Mordukhovich của F đã được thiết lập trong [6] màkhông đòi hỏi bất kì một giả thuyết chính quy nào Chúng ta dễ dàngthấy rằng các kết quả trong [6, 15] không thể áp dụng để tính đối đạohàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F nếu D không có matrận nghịch đảo việc thiết lập được công thức chính xác tính đối đạohàm Mordukhovich của F là một khâu quan trọng giúp đạt được điềukiện cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của củabài toán bất đẳng thức biến phân có tham số:

Tìm x ∈ Θ(ω) sao cho hf (x, ϑ), u − xi ≥ 0 ∀u ∈ Θ(ω) (0.2)

ở đó f : Rn × Rm

→ Rn là hàm khả vi liên tục Đề tài “Đối đạo hàmcủa ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứngdụng” nhằm thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm của ánh

xạ F xác định trong (0.1) và đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitzkiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân cótham số (0.2)

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu tìm công tức chính xác tính đốiđạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F xác định trong(0.1) và điều kiện cần và đủ đặc trưng tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh

xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là

lý thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich Thiết lập công thức chínhxác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F xácđịnh trong (0.1) Đưa ra đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểuAubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân cótham số (0.2)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, quyhoạch toán học, lý thuyết tối ưu, tối ưu có tham số và tính ổn địnhnghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân vàđạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi và lýthuyết tối ưu

6 Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới)

Nếu đưa ra được công thức chính xác tính đối đạo hàm dukhovich của F xác định trong (0.1) sẽ là một đóng góp có ý nghĩa cho

Mor-lý thuyết dưới vi phân bậc hai Từ đó có thể giúp thiết lập được mộtđặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2)

Chương 1

Đối đạo hàm Fréchet của F

Trong chương này chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản củagiải tích biến phân và đạo hàm suy rộng Đưa ra công thức chính xáctính đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện

có tham số

1.1 Một số kiến thức cơ bản về đối đạo hàm

Cho F : Rm ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị Ký hiệu Limsupx→¯xF (x)

là giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của F khi x → ¯x.Lim sup

x∗k ∈ F (xk) ∀ k = 1, 2,

o.Cho Ω ⊂ Rn, nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∈ Ω được xác định bởi

x−→Ω ¯ x

hx∗, x − ¯xi

kx − ¯xk ≤ 0o,trong đó x −→ ¯Ω x có nghĩa là x → ¯x với x ∈ Ω

Nón pháp tuyến Mordukhovich N (¯x; Ω) thu được từ bN (x; Ω) bằngcách lấy giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlev khi x → ¯x như sau

N (¯x; Ω) := Lim sup

x→¯ x

b

N (x; Ω)

Miền xác định và đồ thị của F được xác định bởi

dom F := {x ∈ Rm| F (x) 6= ∅}, gph F := {(x, y) ∈ Rm×Rn| y ∈ F (x)}

Đối đạo hàm Mordukhovich D∗F (¯x, ¯y) : Rn ⇒ Rm của F tại (¯x, ¯y)

∈ gphF được định nghĩa như sau

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗

∈ Rm (x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph F ) , y∗ ∈ Rn.Tương tự, Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F xác định bởib

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := {x∗ ∈ Rm | (x∗, −y∗) ∈ bN ((¯x, ¯y); gph F ))}, y∗ ∈ Rn.Chúng ta có một mối quan hệ giữa hai khái niệm trên

D∗F (¯x, ¯y)(¯y∗) = Lim sup

(x,y)→(¯ x,¯ y) y∈F (x) y∗→¯ y∗

b

D∗F (x, y)(y∗)

Cho C = (cij)m×n ∈ Rm×n, D = (dij)m×p ∈ Rm×p là các ma trận.Xét tập lồi đa diện có nhiễu

Θ(w) := {x ∈ Rn| Cx ≤ Dw}

phụ thuộc tham số w = (w1, , wp) ∈ Rp

Đặt T := {1, 2, , m} Với mỗi ω ∈ Rp và x ∈ Θ(ω), tập chỉ sốtương ứng cặp phần tử (x, ω) ∈ Rn × Rp được định nghĩa bởi

I(x, ω) := {i ∈ T | Cix = Di}

Lấy (¯x, ¯ω, ¯ξ∗) ∈ gph F với F đã được định nghĩa ở (0.1) Từ [12, Lemma3.1], chúng ta có

N (¯x; Θ(¯ω)) = pos {CiT | i ∈ I(¯x, ¯ω)},trong đó pos {vj| j ∈ J} := nP

bI(¯x, ¯ω, ¯ξ∗) =

i∈I

λiCiT

o,trong đó |T | được kí hiệu là lực lượng của T

(ii) Kết quả được suy ra trực tiếp từ định lý De Morgan’s.

Lấy tùy ý P, Q thỏa mãn P ⊂ Q ⊂ T , đặt

AQ,P := span {CiT | i ∈ P } + pos {CiT | i ∈ Q \ P }và

BQ,P := {x ∈ Rn| hCiT, xi = 0 ∀i ∈ P, hCiT, xi ≤ 0 ∀i ∈ Q \ P },trong đó span {vj| j ∈ J} := nP

i∈J µjvj| µj ∈ R ∀j ∈ Jo và span ∅ ={0}

Với mỗi u∗ ∈ Rn, ta sử dụng kí hiệu

1.2 Công thức tính đối đạo hàm Fréchet của F

Bây giờ chúng ta tìm một công thức để tính nón pháp tuyến Fréchetvới gph F tại (¯x, ¯ω, ¯ξ∗) ∈ gph F

Định lý 1.1 Cho ¯ω ∈ Rp, ¯x ∈ Θ(¯ω), và ¯ξ∗ ∈ N (¯x, Θ(¯ω)) Đặt I :=I(¯x, ¯ω) và I1 := I1(¯x, ¯ω, ¯ξ∗) Lấy λ = (λi)i∈I ∈ L(¯x, ¯ω, ¯ξ∗) và K := {i ∈

I | λi > 0} Giả sử {(Ci, Di) ∈ Rm× Rm| i ∈ I} là hệ độc lập tuyến tính.Khi đó

b

N ((¯x, ¯ω, ¯ξ∗); gph F ) =

n(x∗, ω∗, ξ)

(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K(x∗, ω∗) ∈ span {(CiT, −DiT) | i ∈ I \ I1} + pos {(CiT, −DiT) | i ∈ I1}o

(1.3)Chứng minh Cố định (x∗, ω∗, ξ) ∈ bN ((¯x, ¯ω, ¯ξ∗); gph F ) Khi đó

lim sup

(x,ω,v ∗ )−−−→gph F (¯ x,¯ ω, ¯ ξ ∗ )

hx∗, x − ¯xi + hω∗, ω − ¯ωi + hξ, v∗ − ¯ξ∗i

kx − ¯xk + kω − ¯ωk + kv∗ − ¯ξ∗k ≤ 0. (1.4)Mặt khác, bằng cách đặt ω = ¯ω, ta thay vào [3, Mệnh đề 3.2] dẫn tới(x∗, ξ) ∈



T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ { ¯ξ∗}⊥∗ ×T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ { ¯ξ∗}⊥ (1.5)

Do đó, từ [14, Bổ đề 4.3] suy ra

(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K.Mặt khác, bằng cách đặt v∗ = ¯ξ∗, ta có

lim sup

(x,ω)→(¯ x, ¯ ω)

¯ ξ∗∈F (x,ω)

hx∗, x − ¯xi + hω∗, ω − ¯ωi

kx − ¯xk + kω − ¯ωk ≤ 0 (1.6)Với mỗi λ ∈ L(¯x, ¯ω, ¯ξ∗), đặt

Ω(λ) = {(˜x, ˜ω) | hCiT, ˜xi − hDTi , ˜ωi = 0, i ∈ I \ I0(λ), hCiT, ˜xi − hDiT, ˜ωi ≤

0, i ∈ T \ (I \ I0(λ))}

Ta cần chứng minh rằng, với mọi (x, ω) ∈ Ω(λ) gần (¯x, ¯ω), ¯ξ∗ ∈ F (x, ω)

Thật vậy, với mỗi (x, ω) ∈ Ω(λ), ta có x ∈ Θ(ω), và do đó, I \ I0(λ) ⊂

I(x, ω) Điều đó có nghĩa ¯ξ∗ phải thuộc vào F (x, ω) = pos {CiT | i ∈

Rõ ràng, với mỗi j ∈ I1 phải tồn tại λ ∈ L(¯x, ¯ω, ¯ξ∗) sao cho j ∈ I0(λ)

Điều này có nghĩa với mỗi j ∈ I,

(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K(x∗, ω∗) ∈ span {(CiT, −DTi ) | i ∈ I \ I1}+pos {(CiT, −DiT) | i ∈ I1}o.

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta cố định (x∗, ω∗, ξ) sao cho(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K và

(x∗, ω∗) ∈ span {(CiT, −DiT) | i ∈ I \ I1} + pos {(CiT, −DiT) | i ∈ I1}o

Từ [3, Mệnh đề 3.2] và [14, Bổ đề 4.3] ta có ξ ∈ T (¯x; Θ(¯ω)) ∩ { ¯ξ∗}⊥ vàtồn tại λi ≥ 0 và µi ∈ R sao cho

Rõ ràng, Q \ I1 ⊂ I \ I1 Nếu ¯ξ∗ 6= 0 thì v∗k 6= 0 với k đủ lớn Khi đó, từ[15, Bổ đề 2.1], với mỗi k tồn tại Γk ⊂ Q sao cho Ci, i ∈ Γk,là độc lậptuyến tính, và vk∗ ∈ pos {CT

i | i ∈ Γk} Bằng cách lấy một dãy con nếu

cần thiết, ta có thể giả sử rằng Γk = Γ với mọi k Vì limk→∞vk∗ = ¯ξ∗ nên

ta có ¯ξ∗ ∈ pos {CT

i | i ∈ Γ} Tức là Q \ Γ ⊂ I1 Suy ra I \ I1 ⊂ (Q \ Γ) \ I1,nên, I \ I1 ⊂ Q \ I1 và (1.11) được chứng minh Bên cạnh đó,

Tiếp theo chúng ta đưa ra công thức tính đối đạo hàm Fréchet của

... data-page="18">

Đối đạo hàm Mordukhovich F

Trong chương trình bày cơng thức tính đối đạo dukhovich ánh xạ nón pháp tập lồi đa diện có tham số

Mor-2.1 Bổ đề tập số< /h3>

Các khái... (3.3)Như [7-10] tài liệu tham khảo đó, tốntính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich hàm ẩn

đa trị (ϑ, b) 7→ G(ϑ, b) dẫn tới việc tính đối đạo hàm hàm đa trị(x, ϑ, b) 7→ F (x, ϑ,... ϑ, b) Hơn nữa, f (x, ϑ, b) tổng hàm khả vi

và ánh xạ nón pháp F (x, b) := N (x; Θ(b)) nên ta cịn phải tính đối? ?ạo hàm F áp dụng quy tắc tổng đối đạo hàm cho đẳngthức [10, Định lí 1.62]