Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ - Wigner

Chỉ có trường hợp đặc biệt, khi hàm f được lựa chọn là các hàmGauss thì định lý Hudson khẳng định tính dương của biểu diễn này.Trong những năm gần đây, biểu diễn Wigner đã có những mở rộ

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy

đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu tronghọc tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích lệ để tácgiả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyênmôn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đốivới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Cao đẳng Kỹ thuật công nghiệpBắc Giang, khoa Khoa học cơ bản và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Huyền

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Huyền

Mở đầu iv

1.1 Một số không gian hàm 1

1.1.1 Không gian các hàm cơ bản 1

1.1.2 Không gian các hàm suy rộng 2

1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh 3

1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm 4

1.1.5 Biến đổi Fourier 5

1.2 Giải tích thời gian–tần số 11

1.2.1 Nguyên lý không chắc chắn 12

1.2.2 Ảnh phổ 22

1.2.3 Phân bố Wigner 22

1.2.4 Lớp phân bố Cohen 27

1.2.5 Phân bố τ -Wigner 30

2 Tính dương của biến đổi τ -Wigner 44 2.1 Đặt vấn đề 44 2.2 Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ -Wigner 44

iii

1 Lí do chọn đề tài

Biểu diễn thời gian tần số là một dạng toàn phương đặt tương ứngmỗi dấu hiệu f xác định trên Rd một hàm suy rộng Qf (x, ω) xác địnhtrên mặt phẳng Rd× Rd Qf (x, ω) biểu diễn phân bố của năng lượngdấu hiệu đối với biến thời gian x và biến tần số ω và do đó chỉ ra nhữngtần số ω nào của dấu hiệu f được biểu diễn quanh thời điểm x Thôngthường, Qf (x, ω) cần phải thỏa mãn một số tính chất:

- Tính dương: Qf (x, ω) ≥0 với mọi (x, ω) ∈ Rn

- Tính không giãn: Nếu suppf ⊂ I ⊂ Rd thì ΠxQf (x, ω) ⊂ I và tương

f (ω)b

2

và R

Rd

Qf (x, ω)dx = |f (x)|2.Nguyên lý không chắc chắn đã chỉ ra rằng, các tính chất nêu trên làkhông tương thích đối với một loại biểu diễn thời gian- tần số, nghĩa làkhông thể có một loại biểu diễn thời gian- tần số thỏa mãn đồng thời cả

3 yêu cầu trên Do đó, người ta phải đi tìm nhiều biểu diễn thời tần số khác nhau thỏa mãn ít nhất một trong các yêu cầu đó Điển hình

gian-là 3 dạng biểu diễn thời gian - tần số: ảnh phổ, dạng Rihaczek và dạngbiểu diễn Wigner Biểu diễn được phát minh năm 1932 bởi E.Wignertrong bối cảnh cơ học lượng tử được xem như là hàm suy rộng tựa xácsuất trên không gian pha và sau này được giới thiệu trong giải tích tínhiệu bởi J.Ville Hàm suy rộng Wigner thỏa mãn hầu hết các tính chất

iv

nêu bên Tuy nhiên, thông thường hàm suy rộng Wigner không đạt làdương Chỉ có trường hợp đặc biệt, khi hàm f được lựa chọn là các hàmGauss thì định lý Hudson khẳng định tính dương của biểu diễn này.Trong những năm gần đây, biểu diễn Wigner đã có những mở rộngtổng quát hơn, đó là biểu diễn τ - Wigner, mà trong đó, biểu diễn Wignerchỉ là một trường hợp đặc biệt Câu hỏi đặt ra là, định lý kiểu Hudson

có còn đúng trong trường hợp mở rộng hay không

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi τ -Wigner, được sự đồng

ý của hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài nghiêncứu

"Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ -Wigner"

để thực hiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về tính dương của biến đổi τ - Wigner

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về biến đổi τ - Wigner

Trình bày về tính dương của biến đổi τ -Wigner

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi τ - Wigner

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nướcliên quan đến biến đổi τ - Wigner

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấnđề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bàibáo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Dự kiến đóng góp mới

1

1.1.2 Không gian các hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.2 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω) Không gian véctơ cáchàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D0(Ω)

Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi.Chúng ta xét các ví dụ sau:

Dαf : ϕ 7→ (−1)|α|hf, Dαϕi , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + + αn.Nhận xét 1.1.2

1 Với định nghĩa trên thì đạo hàm của một hàm số thuộc C∞(Ω) theonghĩa hàm suy rộng trùng với khái niệm đạo hàm thông thường

2 Mọi hàm thuộc L1loc(Ω) đều có đạo hàm (theo nghĩa hàm suy rộng)mọi cấp

Định nghĩa 1.1.4 Cho fk, f ∈ D0(Ω), k = 1, 2, Ta nói rằng, dãy{fk}∞k=1 hội tụ đến f trong D0(Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu

lim

k→∞hfk, ϕi = hf, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω)

Kí hiệu D0_ lim

k→∞fk = f Định lí 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) là đầy đủ

1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh

Định nghĩa 1.1.5 Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn) làtập hợp S(Rn) =

Với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S (Rn) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn) nếu

1 Hàm ϕ ∈ C∞(Rn) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Zn+ tồn tại

cα,β > 0 sao cho xαDβϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn khi và chỉ khi

S_ lim

k→∞(λϕk + µψk) = λϕ + µψ

3 Với mỗi α ∈ Zn+, phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục

từ S (Rn) vào S (Rn)

4 Tập C0∞(Rn) trù mật trong không gian S (Rn)

Định lí 1.1.5 Không gian S (Rn) là đầy đủ

1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm suy rộng f ∈ D0(Rn) Hàm suy rộng fđược gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m vàmột số dương C sao cho

Chú ý 1.1.6 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) là khônggian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn)

là một hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ f 7−→ Λf là đơn ánh nên ta

có thể đồng nhất f với Λf Cũng như vậy các hàm tăng chậm cũng làcác hàm suy rộng tăng chậm

Ví dụ 2 Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộngtăng chậm

Định nghĩa 1.1.8 Cho fk, f ∈ S0(Rn) , k = 1, 2, Dãy {fk}∞k=1 đượcgọi là hội tụ trong S0(Rn) đến hàm f ∈ S0(Rn), kí hiệu S0_ lim

k→∞fk = f ,nếu

i) Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho

ii) Dãy {fk}∞k=1 là hội tụ trong D0(Rn) đến f

Định lí 1.1.7 Không gian S0(Rn) là đầy đủ

1.1.5 Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1.9 (Biến đổi Fourier) Biến đổi Fourier của hàm f ∈

L1(Rn), kí hiệu là bf hoặc F (f ), là một hàm được xác định bởi

3 Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta còn có thể định nghĩabiến đổi Fourier theo những cách khác như sau

... nghiêncứu

" ;Định lý kiểu Hudson tính dương biến đổi τ -Wigner& #34;

để thực luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu tính dương biến đổi τ - Wigner

3... nghiên cứu

Trình bày biến đổi τ - Wigner

Trình bày tính dương biến đổi τ -Wigner

4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi τ - Wigner

Phạm vi... diễn τ - Wigner, mà đó, biểu diễn Wignerchỉ trường hợp đặc biệt Câu hỏi đặt là, định lý kiểu Hudson< /p>

có cịn trường hợp mở rộng hay không

Với mong muốn hiểu biết sâu biến đổi τ -Wigner,