Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân

503.3 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong một số không gian Banach phản xạ, Sobolev.. Lí do chọn đề tài Sự hình thành của Giải tích hữu hạn chiều xuất phát từ việcnghiên cứu điều kiện

—————— ? ——————

ĐINH THỊ HỒNG GẤM

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU

CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Hà Nội-2012

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội-2012

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS NguyễnNăng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫntác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trongnhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích

đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng năm 2012

Tác giả

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng năm 2012

Tác giả

Mục lục

1.1 Không gian Banach 1

1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach 5

1.2.1 Biến phân bậc nhất và đạo hàm 5

1.2.2 Biến phân và đạo hàm bậc cao 9

1.2.3 Một số tính chất cơ bản 9

1.2.4 Định lí Lyusternik 11

1.3 Hàm lồi và dưới vi phân 12

1.4 Một số không gian hàm 16

1.5 Hàm Lipschitz và dưới vi phân Clarke 18

1.5.1 Hàm Lipschitz 18

1.5.2 Dưới vi phân Clarke 20

1.6 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange 22

1.7 Khái niệm bài toán biến phân 28

2 Điều kiện cần cho bài toán biến phân 30 2.1 Phương trình Euler 30

2.2 Điều kiện Weierstrass 33

2.3 Điều kiện Legendre 352.4 Điều kiện Jacobi 382.5 Bài toán đẳng chu 42

3.1 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương yếu 493.2 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương mạnh 503.3 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong một số không gian

(Banach phản xạ, Sobolev) 513.3.1 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian

Banach phản xạ 513.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian

Sobolve W1,1n
55

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Sự hình thành của Giải tích hữu hạn chiều xuất phát từ việcnghiên cứu điều kiện cần cho những bài toán cực trị đơn giản, còn cácbài toán biến phân là một yếu tố quan trọng tác động đến sự hình thànhcủa Giải tích vô hạn chiều Không gian vô hạn chiều của các hàm liêntục và hàm khả vi liên tục, việc phân loại tôpô, những duyên cớ đầutiên cho Phép tính vi phân vô hạn chiều, tất cả những cái đó đều chàođời trong chiếc nôi của Phép tính biến phân Việc nghiên cứu những bàitoán biến phân thực sự đóng vai trò quan trọng trong thực tế cũng nhưtrong lý thuyết (xem[2] và những tài liệu dẫn trong đó)

Bài toán tìm đường lăn nhanh nhất có dạng:

ra chỉ thích ứng với bài toán cụ thể này Ngược lại, anh trai ông là JacobBernoulli đã đề xuất một phương pháp có thể tổng quát hóa được, mở

ra kỷ nguyên của Lý thuyết biến phân (cổ điển)

Sau khi bài toán này được công bố, đã xuất hiện một số bàitoán tối ưu khác có ràng buộc như bài toán đẳng chu cổ điển : tìm đườngcong khép kín có chu vi cho trước sao cho diện tích tạo thành là lớn nhất.Kết quả được Euler trình bày trong tài liệu [3] (1744) là cách xử lý tổngquát đầu tiên cho các bài toán tối ưu có ràng buộc.

Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứunhững khía cạnh khác nhau của các bài toán biến phân (xem [3], [4] và[5] và những tài liệu dẫn trong đó)

Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mongmuốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ củachúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn

đề tài nghiên cứu:

"Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân"

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về những điều kiện cần, đủ tối ưu cho bài toán biếnphân thông qua một số bài toán như: phương trình Euler, điều kiệnWerierstrass, bài toán đẳng chu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng hợp một cách hệ thống một số kết quả về những điều kiệntối ưu cho bài toán biến phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Những bài toán biến phân

+ Phạm vi: Những điều kiện tối ưu trong một số không gianhàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quanđến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lýthuyết tối ưu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi đưa ra những kiến thức cơ bản nhằm bổ trợkiến thức cho các chương sau nên các kết quả không chứng minh

1.1 Không gian Banach

Dưới đây là các định nghĩa và tính chất về không gian Banach và cáckiến thức có liên quan như không gian định chuẩn, dãy hội tụ, hội tụtuyệt đối

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn) Cho X là không giantuyến tính trên trường K X được gọi là một không gian định chuẩntrên trường K nếu tồn tại một chuẩn k.k trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K,thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) kuk > 0 (với kuk là một số thực không âm)

(ii) kuk = 0 nếu u = 0

(iii) kαuk = |α| kuk

(iv) ku + vk 6 kuk + kvk (bất đẳng thức tam giác)

Một không gian định chuẩn trên trường K = R hoặc K = C được gọi

là không gian định chuẩn thực hoặc phức, tương ứng

Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ) Cho (un) là dãy trong không gian địnhchuẩn X, un ∈ X, ∀n.

Ta viết lim

n→+∞un = u

Nếu lim

n→+∞kun− uk = 0 và khi đó ta nói dãy (un)hội tụ tới u

Thay vì viết lim

Điều ngược lại trong trường hợp tổng quát không đúng

Ví dụ 1.1.2 Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thức trên [0, 1] vớichuẩn kP k = max

thì (Pn) là một dãy Cauchy, nhưng nó không hội tụ trong P ([0, 1]).Một số ví dụ minh họa về không gian Banach

Ví dụ 1.1.3 Không gian X := K là không gian Banach trên trường Kvới chuẩn kuk = |u| , ∀u ∈ K

Ví dụ 1.1.4 Chúng ta sẽ chỉ ra rằng không gian l2 bao gồm tất cảnhững dãy số phức x = (xn) sao cho chuỗi

Lấy (an) là một dãy Cauchy trong l2 Giả sử (an) = (αn,1, αn,2, ).Với ε > 0 tùy ý, tồn tại một số N0 thỏa mãn

∞

X

k=1

(|αk| − |αN0,k| + |αN0,k|)26

vuut

∞

X

k=1

|αN0,k|26

vuut

∞

X

k=1

(|αk − αn,k|)2 = 0,

tức là dãy (an) hội tụ tới a trong l2.

Ví dụ 1.1.5 Một ví dụ quan trọng khác của không gian Banach là khônggian C([a,b]) những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn[a, b] Nhắc lại rằng chuẩn trên C([a,b]) được đinh nghĩa kf k = max

[a,b]

|f (x)|.Lấy (fn) là một dãy Cauchy trong C([a,b]) Với ε > 0 tùy ý tồn tại N0 ∈ Nsao cho

kfn − fmk < ε, ∀m, n > N0

và vì vậy cũng có

|fn(x) − fm(x)| < ε, ∀m, n > N0, ∀x ∈ [a, b] (1.3)Điều này kéo theo rằng (fn(x)) là một dãy Cauchy với mỗi x ∈ [a, b].Tính đủ của R (hoặc C) cho phép ta xác định

f (x) = lim

n→∞fn(x) , x ∈ [a, b]

Bây giờ, cho m → ∞ trong 1.3 ta được

|fn(x) − f (x)| 6 ε, ∀n > N0, ∀x ∈ [a, b] (1.4)Lấy x0 ∈ [a, b] Khi đó fN0 là liên tục trên [a, b], tồn tại một số δ > 0thỏa mãn

|fN0(x0) − fN0(y)| < ε,với mỗi y ∈ [a, b] thỏa mãn |x0 − y| < δ Suy ra

|f (x0) − f (y)| 6 |f (x0) − fN0(x0)| + |fN0(x0) − fN0(y)| + |fN0(y) − f (y)|

< ε + ε + ε = 3ε

ở đó |x0 − y| < δ Do đó ta có tính liên tục của f Rõ ràng, 1.4 kéo theo

kfn − f k 6 ε, ∀n > N0,nên dãy (fn) hội tụ đều tới f

Định nghĩa 1.1.4 (Chuỗi hội tụ và hội tụ tuyệt đối) Một chuỗi

là hội tụ tuyệt đối

Trong trường hợp tổng quát, một chuỗi hội tụ tuyệt đối không nhấtthiết hội tụ

Định lí 1.1.6 Một không gian định chuẩn là không gian Banach nếu

và chỉ nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ

Định lí 1.1.7 Một không gian vectơ con đóng của một không gian nach là một không gian Banach

Ba-1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach

Mục này trình bày biến phân bậc nhất và đạo hàm, biến phân và đạohàm cấp cao, một số tính chất cơ bản như định lí về đạo hàm riêng củaSchwartz, qui tắc dây chuyền, định lí hàm ẩn, và định lí Lyusternik vàmột số ví dụ minh họa

1.2.1 Biến phân bậc nhất và đạo hàm

Định nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian tôpô tuyến tính, V

là một lân cận của x ∈ X và F : X → Y Nếu

δF (x, h) := lim

t→0t−1(F (x + th) − F (x)) (1.5)

tồn tại với mọi h ∈ X thì ánh xạ h → δF (x, h) được gọi là biến phânbậc nhất của F tại x.

Nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục Λ : X → Y sao cho

Λh = δF (x, h), ∀h ∈ X thì Λ là đạo hàm Gâteaux, ký hiệu là FG0 (x)hay F0(x) Ta nói: F khả vi Gâteaux tại x Điều này xảy ra khi và chỉkhi tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Λ : X → Y sao cho

F (x + th) = F (x) + tΛh + r (t) ∀h ∈ X

Ví dụ 1.2.1 Cho r và ϕ là tọa độ cực của x ∈ R2 và f (x) = r cos 3ϕ

Ta có δf (0, h) = f (h) Vì δf (0, h) không tuyến tính nên f không khả

vi Gâteaux tại 0 ∈ R2

Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm Fréchet) Nếu X và Y là không gianBanach, F : X → Y khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại toán tử tuyến tínhliên tục Λ : X → Y sao cho

F (x + h) = F (x) + Λh + r (h) với lim

khkX→0

kr (h)kYkhkX = 0.

Khi đó Λ là đạo hàm Fréchet, kí hiêụ là FF0 (x) hay F0(x) Ánh xạ Fđược gọi là chính qui tại x nếu nó khả vi Fréchet tại x và Im F0(x) = Y

Kí hiệu L(X, Y ) không gian của các toán tử tuyến tính liên tục từ Xvào Y , trang bị chuẩn

kΛk = sup

kxkX=1

kΛxkY

Nếu F : X → Y khả vi Fréchet tại mọi điểm trong tập mở V và ánh xạ

x → F0(x) liên tục trên V (hay tại x0 ∈ V ) theo tôpô L(X, Y ) thì ta nói

F khả vi liên tục trên V (hay tại x0) hay F thuộc vào lớp C1

Nếu f là một phiếm hàm và thì x là một điểm dừng

Ví dụ 1.2.2 (Đạo hàm Fréchet của ánh xạ afin) Một ánh xạ A : X → Y

từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y có dạng

A (x) = Λx + a,với a ∈ X và Λ là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y , được gọi là ánh

xạ afin Nếu X và Y là không gian Banach và Λ liên tục thì A khả viFréchet khắp nơi và A0F (x) = Λ

Mệnh đề 1.2.3

(i) Nếu F khả vi Fréchet tại x thì F liên tục và khả vi Gâteaux tại đây:

FG0 (x) = FF0 (x) (ii) Nếu F khả vi Gâteaux tại x thì F biến phân bậc nhất tồn tại ở đóvà

Định lí 1.2.5 (Định lí giá trị trung bình) Cho X và Y là các khônggian topo tuyến tính, U là một tập mở của X, ánh xạ F : U → Y khả viGâteaux tại mọi điểm trên đoạn nối [x, x + h] ⊂ U Khi đó ta có:

(i) Nếu ánh xạ z → FG0 (z) h là một ánh xạ liên tục của [x, x + h] vào Ythì

(ii) Nếu X và Y là không gian Banach thì

kF (x + h) − F (x) − F0G(z) hk 6 sup

06t61

kF0G(x + th) − F0G(z)k · khk Mệnh đề sau đây là một hệ quả của định lí giá trị trung bình

Mệnh đề 1.2.6 Cho X là một không gian Banach và F là một ánh xạliên tục từ một lân cận U của x0 ∈ X vào không gian Banach Y Giảthiết rằng F khả vi Gâteaux tại mọi điểm của U và ánh xạ x → FG0 (x)

từ U vào L (X; Y ) liên tục Khi đó F khả vi Fréchet trên U và

FG0 (x) = FF0 (x) , ∀x ∈ U

Ví dụ 1.2.7 (Đạo hàm Fréchet của hàm vector) Cho g1(t, x) , , gm(t, x)

là các hàm thực, liên tục trên U ⊂ R × Rn và khả vi liên tục theo x Đặt

g (t, x) = (g1(t, x) , , gm(t, x))[G (x (·))] (t) = g (t, x (t)) , t0 6 t 6 t1

Như vậy G : Cn([t0, t1]) → Cm([t0, t1]) là một hàm liên tục [t0, t1] → Rn

có ảnh nằm trong U Ta sẽ chỉ ra rằng G khả vi Fréchet tại x (·)

Vì U là tập mở nên tồn tại ε > 0 sao cho |x0(t) − x| < ε kéo theo(t, x) ∈ U Nếu kx (·) − x0(·)kC < ε ta có

Nếu với mọi h ∈ X, hàm ϕh(t) := F (x + th) khả vi n lần tại t = 0thì

∂nF (x, h) := d

n

dtnϕh(t)

t=0

(1.6)được gọi là biến phân bậc n của F tại x

Đạo hàm Fréchet bậc n có thể định nghĩa qui nạp: Nếu đạo hàmFréchet (bậc nhất) F0 của F tồn tại trong một lân cận của x Nếu ánh

xạ x → F00(x) tồn tại và liên tục trong lân cận của một điểm thì ta nói

F khả vi liên tục hai lần tại điểm đó

1.2.3 Một số tính chất cơ bản

Định lí 1.2.8 (Định lí về đạo hàm riêng của Schwarts) Cho X, Y và Z

là các không gian Banach, U là tập hợp mở của X × Y và F : U → Z cóđạo hàm (Fréchet) riêng Fx(x, y) và Fy(x, y) tại mọi điểm (x, y) ∈ U Nếu các ánh xạ (x, y) → Fx(x, y) và (x, y) → Fy(x, y) liên tục (theotôpô đều) tại (¯x, ¯y) ∈ U thì F khả vi Fréchet tại đó và

F0(¯x, ¯y) [(ξ, η)] = Fx(¯x, ¯y) [ξ] + Fy (¯x, ¯y) [η] Định lí 1.2.9 (Quy tắc dây chuyền) Cho X,Y và Z là các không gianBanach, U là một tập mở của X, V là một tập mở của Y, F : U → Y

và G : V → Z Cho x ∈ U với F (x) ∈ V Nếu F khả vi Fréchet tại x và

G khả vi Fréchet tại F (x) thì ánh xạ H = G ◦ F cũng khả vi Frétchettại x và H0(x) = G0(F (x)) ◦ F0(x)

Ví dụ 1.2.10 (Đạo hàm Frétchet của hàm Lagrange) Cho L (t, x, y) làmột ánh xạ từ w ⊂ R × Rn× Rn vào Rm, liên tục và khả vi liên tục theo

x và y,x0(·) là một hàm liên tục trên [t0, t1] sao cho

(t, x0(t) , ˙x0(t)) ∈ H0với mọi t ∈ [t0, t1]

Xét ánh xạ

M : C1n([t0, t1]) → Cm([t0, t1])[M (x (·))] (t) = L (t, x (t) , ˙x (t)) , t ∈ [t0, t1]

Ta có

M = M2 ◦ M1,trong đó

[M01(x (·)) z (·)] (t) = (z (t) , ˙z (t))

Áp dụng Định lí 1.2.5 ta có

[M0(x0(·)) z (·)] (t) = Lx(t, x0(t) , ˙x0(t)) z (t) + Ly(t, x0(t) , ˙x0(t)) ˙z (t)

Ví dụ 1.2.11 (Đạo hàm Fréchet của tích phân hàm Lagrange) Với giảthiết như trong ví dụ 1.2.10, ta xét phiếm hàm sau

là một phép đồng phôi tuyến tính Khi đó tồn tại ε > 0, δ > 0 và mộtánh xạ x → y (x) từ quả cầu B (x0, δ) ⊂ X vào quả cầu B (y0, ε) ⊂ Ysao cho:

(i) Hai quan hệ F (x, y) = 0 và y = y (x) là tương đương trên tập

B (x0, δ) × B (y0, ε);

(ii) y (·) khả vi liên tục và y0(x) = −[Fy(x, y (x))]−1 ◦ Fx(x, y (x)).1.2.4 Định lí Lyusternik

Giả sử M là một tập con của không gian Banach X x ∈ X đượcgọi là vector tiếp tuyến tập M tại x0 ∈ M nếu tồn tại ε > 0 và ánh xạ

r : [0, ε] → X, thỏa mãn limt→0kr(t)kt = 0, sao cho

Định lí 1.2.13 (Định lí Lyusternik) Cho X và Y là không gian Banach,

V là một lân cận của x0 ∈ X, và F : V → Y khả vi Fréchet Giả thiếtrằng F chính qui tại x0 (tức ImF0(x0) = Y ) và khả vi liên tục tại x0.Khi đó tập M = {x ∈ U : F (x) = F (x0)} có một không gian tiếp tuyếntại x0 và

Tx0M = KerF0(x0)

1.3 Hàm lồi và dưới vi phân

Phần này trình bày định nghĩa của tập lồi, hàm lồi và một số tínhchất liên quan

Định nghĩa 1.3.1 (Tập lồi) Tập A trong không gian tuyến tính Xđượcgọi là lồi nếu đoạn nối

[x1, x2] := {x ∈ X/x = λx1 + (1 − λ) x2, 0 6 λ 6 1}

giữa hai điểm x1 và x2 bất kỳ thuộc A cũng nằm trong A

Định nghĩa 1.3.2 (Hàm lồi) Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì

domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}

là miền xác định hữu hiệu và

epif := {(α, x) ∈ R × X/f (x) 6 α}

là epigraph của f Hàm f được gọi là thật nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞với mọi x ∈ X

Hàm f là một hàm lồi nếu epif là một tập lồi trong R × X

Mệnh đề 1.3.1 Cho f : X → R lồi khi và chỉ khi

f (λx1 + (1 − λ) x2) 6 λf (x1) + (1 − λ) f (x2) , ∀x1, x2 ∈ X, λ ∈ [0, 1]

(1.8)1.8 được gọi là bất đẳng thức Jensen

Một số ví dụ quan trọng của hàm lồi:

(i) Mọi tập mức dưới

ςαf := {x ∈ X/f (x) 6 α} (1.9)

là lồi (∀α ∈ R)

(ii) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của f là một điểm cực tiểu toàn cục.(iii) Mỗi điểm dừng của f là một điểm cực tiểu toàn cục

Định lí tiếp theo nói về tính liên tục của hàm lồi

Định lí 1.3.3 Cho f là một hàm lồi thật trên X Khi đó bốn mệnh đềsau đây là tương đương:

1 f bị chặn trên tại một lân cận của điểm nào đó;

2 f liên tục tại một điểm nào đó;

3 int (epif ) 6= ∅;

4 int (domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int (domf )

Và ta có

int (epif ) = {(α, x) ∈ R × X/x ∈ int (domf ) , f (x) < α}

Định nghĩa 1.3.3 (Dưới vi phân) Cho f là một hàm lồi thật trên X.Tập

∂f (x) := {x∗ ∈ X∗/f (z) − f (x) > hx∗, z − xi ∀z ∈ X} (1.10)được gọi là dưới vi phân của f tại x Trong Giải tích lồi, dưới vi phânđóng vai trò của đạo hàm Nếu một hàm lồi khả vi Gâteaux tại mộtđiểm thì dưới vi phân tại điểm đó có một phần tử duy nhất là đạo hàmGâteaux

Ví dụ 1.3.4 (Dưới vi phân của chuẩn) Từ định nghĩa ta có

x∗ ∈ ∂ k0k ⇔ kzk > |hx∗, zi| ∀z ∈ X ⇔ kx∗k 6 1

Suy ra ∂ k0k = {x∗ ∈ X∗/ kx∗k 6 1} (1.11)Bây giờ ta chứng minh rằng

∂ kxk = {x∗ ∈ X∗/ kx∗k = 1, hx∗, xi = kxk} nếu x 6= 0 (1.12)Nếu kx∗k = 1 thì kzk > hx∗, zi Do đó hx∗, xi = kxk suy ra kzk − kxk >

hx∗, z − xi Vậy x∗ ∈ ∂ kxk Ngược lại, nếu x∗ ∈ ∂ kxk thì

− kxk = k0k − kxk > hx∗, 0 − xi = − hx∗, xi

⇔ kxk = k2xk − kxk > hx∗, 2x − xi = hx∗, xihay kxk = hx∗, xi Thêm vào đó, với mọi z ∈ Xvà λ > 0 ta có

kλz + xk − kxk = hx∗, λzi

⇔ z + x

λ − 1

λ kxk = hx∗, zi ,suy ra

kzk > hx∗, zi ∀z ∈ X(khi cho λ → ∞) Kết hợp với kxk = hx∗, xi, ta nhận được kx∗k = 1.Như vậy 1.12 đã được chứng minh Hệ quả của định lí Hahn-Banach vàkết quả trên chỉ ra rằng ∂ kxk 6= ∅ với mọi x ∈ X

Ví dụ 1.3.5 (Dưới vi phân của hàm chỉ định) Với mọi x ∈ A thì

∂δ (x |A) khác rỗng vì nó đều chứa 0 Từ định nghĩa ta có

Định lí 1.3.6 (Định lí Moreau- Rockafellar) Nếu f1 và f2 là hàm lồithật trên X thì

là chuẩn Euclid của x = (x1, , xn) ∈ Rn

Tôpô được cảm sinh qua chuẩn này được gọi là Tôpô hội tụ đều.Không gian Cmn ([t0, t1])

Cmn ([t0, t1]) là không gian của các ánh xạ khả vi liên tục m-lần từ[t0, t1] vào Rn, với chuẩn

kx (·)k = kx (·)kCn

m = max

06i6m x(i)(·)

C n.Không gian Lnp ([t0, t1])Rn

Khi l 6 p < ∞thì Lnp([t0, t1]) kí hiệu không gian Banach của các ánh

xạ đo được Lebesgue từ [t0, t1] vào Rnvới Rt1

t [x (t)]dt < ∞

Lnp([t0, t1]) thường được gọi là không gian Lebesgue.

Khi p = 2, Ln2 ([t0, t1]) trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng

x(i)(t0)

+ x(m)(·)

p,hay

Khi p = 2 thì Wm,2n ([t0,t1]) là không gian Hilbert với tích vô hướng(x (.) |y (.)) =

y(i)(t0)

+

Z t 1

t 0

x(t)(m)

... Bài toán tối ưu hàm Lagrange

Định nghĩa 1.6.1 (Bài toán tối ưu) Bài toán tối ưu tổng quát đượcphát biểu sau:

min f (x) với điều kiện x ∈ D, (P 1)hoặc

max f (x) với điều. .. (x∗) f (x) ∀x ∈ Dđược gọi nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu toàn cục, nghiệmcực tiểu tồn cục, nghiệm tốn (P1).Người ta mộtnghiệm tối ưu phương án tối ưu hay lời giải toán cho. Điểm x∗ ∈ D gọi... nghiệm tối ưu toán( P1) Nếu toán có nghiệm tối ưu x∗ viết x∗ =arg {f (x) |x ∈ D }

Điểm x∗ ∈ Dđược gọi nghiệm tối ưu địa phương nghiệm cựctiểu địa phương toán