Điểm bất động của toán tử (K,Uo)_Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

Hơn nữa, các toán tử trên đượcxét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón.. A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với các lớp toán tử trên tác dụng trong không g

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư-Tiến sĩ-Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyềncho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứukhoa học Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong họctập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốtđẹp chương trình Cao học và luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin và cácđồng nghiệp của trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện Biên đãtạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốtluận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Thủy

Mục lục

4

1.1 Không gian định chuẩn thực 8

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón 10

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực 10

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E 11

1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 17

1.3 Không gian Eu 0 18

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 22

1.4.1 Không gian C 22

1.4.2 Không gian l2 27

1.4.3 Không gian c 35

2 TOÁN TỬ (K, u0)−LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANA 2.1 Các định nghĩa 43

2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0)− lõm chính quy 44

2.3 Toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa 2.3.1 Toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian C 48

2.3.2 Toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian l2 52

3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0)− LÕM CHÍNH3.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)− lõm chính3.2 Ví dụ áp dụng định lí 64

3.2.1 Điểm bất động trong không gian C 64

3.2.2 Điểm bất động trong l2 64

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xétbài toán: Tìm điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy trongkhông gian Banach thực với hai nón Nên bài toán này đã được nhiềunhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu

Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớptoán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa họcI.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0)−lõm(1984) Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0−đo được khiến choviệc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn Hơn nữa, các toán tử trên đượcxét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón Nhà toánhọc M A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với các lớp toán

tử trên tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đómột nón là con của nón còn lại

Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quảđối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trongkhông gian Banach thực với một nón: Toán tử lõm chính quy, trong đókhông yêu cầu có tính chất u0−đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sựgiúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi

đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:

“Điểm bất động của toán tử (K, u 0 )

− lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón”.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu củaluận văn là:

+ Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

+ Tìm hiểu về toán tử (K, u0)−lõm chính quy

+ Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõmchính quy trong không gian Banach thực với hai nón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả

về toán tử (K, u0)−lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử(K, u0)−lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón.+) Phạm vi nghiên cứu:

Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểmbất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quy trong không gian Banachthực với hai nón

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kếtquả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

- Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn

6 Dự kiến đóng góp mới

Nghiên cứu “Điểm bất động của toán tử (K, u0)−lõm chính quytrong không gian Banach thực với hai nón ” sẽ cho ta hiểu biết sâu sắchơn về vấn đề này Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một

số lớp toán tử khác

Luận văn này có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toánhọc liên quan

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩntrên E là một ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu k.k( đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau:

i,∀x ∈ E, kxk ≥ 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử khôngtrong không gian E);

ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, kαxk = |α| kxk;

iii,∀x, y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩntrên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, k.k) hay E.Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy {xn}∞n=1 ⊂ Egọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim

n →∞kxn − xk = 0, hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ saocho ∀n ≥ n0,kxn − xk < ε

Dựa vào các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau:

Định lí 1.1.1 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm{xn}∞n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {kxnk} hội tụ tới kxk, nói khác đikxk là một hàm liên tục của biến x

Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk , ∀x, y ∈ E,hay

kxk − kyk ≤ kx − yk Đổi vai trò của x, y ta lại có: kyk − kxk ≤ kx − yk

xn+ yn → x + y, n → ∞, αn.xn → αx, n → ∞

Nói khác đi hai phép toán x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R)

Chứng minh Do xn → x, n → ∞; yn → y, n → ∞ trong không gian E,nên ta có kxn− xk → 0, n → ∞ và kyn − yk → 0, n → ∞.

Ta lại có

k(xn + yn)− (x + y)k ≤ kxn− xk + kyn− yk

do đó k(xn + yn)− (x + y)k → 0, n → ∞ hay xn + yn → x + y, n → ∞trong không gian E, đồng thời:

kαn.xn− α.xk = kαnxn− αnx + αnx− αxk ≤ kαn(xn− x)k+k(αn− α) xk

≤ |αn| kxn − xk + |αn − α| kxk

Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn|} bị chặn,còn xn → x, n → ∞ trong không gian E nên kxn− xk → 0, n → ∞

Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banachnếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với

một nón

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực

Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian định chuẩn thực E, tập K ⊂ E, Kkhác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điềukiện sau:

a, K là một tập đóng trong không gian E,

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E

Giả sử E là một không gian định chuẩn thực, K là một nóntrong không gian E ta xây dựng một quan hệ ′′ ≤′′ trong E như sau:

Định nghĩa 1.2.2 Trong không gian định chuẩn thực E, một nón Kđược gọi là nón chuẩn nếu tồn tại một số dương N sao cho

∀x, y ∈ K, x ≤ y ta có kxk ≤ N kyk

Định nghĩa 1.2.3 Cho K là một nón trong không gian định chuẩnthực E Với y ∈ K ta nói x ∈ E thông ước với y nếu tồn tại số α, β > 0sao cho αy ≤ x ≤ βy

Định lí 1.2.3 Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước vớix

Chứng minh Vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho:

αy ≤ x ≤ βy do đó β1x ≤ y ≤ α1x hay y thông ước với x

Định lí 1.2.4 Nếu hai phần tử thuộc K\ {θ} cùng thông ước với phần

tử thứ ba thuộc K\ {θ} thì thông ước với nhau

Chứng minh Giả sử hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} cùng thông ước với phần

tử z ∈ K\ {θ} Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho:

Vì vậy tồn tại các số dương α1 = αβ, β1 = βα sao cho α1y ≤ x ≤ β1y hay

x thông ước với y

Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E Kí hiệu

K∗ = K\ {θ} Mỗi x ∈ K∗ gọi là một phần tử dương, ta cũng viết x < ynếu y − x ∈ K∗ Giả sử u0 ∈ K∗, tập hợp tất cả các phần tử x ∈ K∗

thông ước với u0 được kí hiệu là K (u0)

Định lí 1.2.5 Cho E là không gian định chuẩn thực, A ⊂ E là một tậplồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không

Đặt K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A} Khi đó K (A) là một nóntrong không gian E.

Chứng minh Dễ thấy tập A ⊂ K (A), mà A 6= ∅, nên K (A) 6= ∅ Khi

đó tồn tại m, M là các số thực dương sao cho ∀y ∈ A,

y ∈Akyk = m > 0, ∀y ∈ A

+) Ta chứng minh K (A) là tập đóng

Lấy dãy bất kì {un}∞n=1 ⊂ K (A) sao cho lim

n →∞un = u trong không gianE

Nếu u = θ thì u = 0.y, y ∈ A ⇒ u ∈ K (A)

Nếu u 6= θ thì với ε = 1

2 kuk > 0, ∃n0 ∈ N∗ :∀n ≥ n0 ta có:

kun− uk < ε = 1

2kuk Khi đó, |kunk − kuk| ≤ kun − uk < 12 kuk

⇒ 1

2kuk < kunk < 3

2kuk , ∀n ≥ n0 (1.2)Mặt khác, vì un ∈ K (A) nên un = tnyn, tn ≥ 0, yn ∈ A, n ∈ N∗

nghĩa là {tn} là dãy số thực dương bị chặn.

Vì vậy, tồn tại dãy con {tn i} ⊂ {tn} sao cho lim

i →∞tn i = t0.Suy ra 1

2M kuk ≤ t0 ≤ 2m3 kuk nên t0 > 0

Nếu t1 = t2 = 0 hiển nhiên x + y ∈ K (A)

Nếu t1 = 0 hoặc t2 = 0 thì hiển nhiên x + y ∈ K (A)

+) Ku 0 là tập đóng Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ Ku 0, xn → x ∈ E khi

n→ ∞ trong không gian E

Mặt khác, K là nón chuẩn nên tồn tại N sao cho ∀xn ∈ K (∀n ∈ N∗) ,

Nếu x = y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ Ku 0

Nếu x = θ hoặc y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ Ku 0

Nếu x 6= θ, y 6= θ thì do x ∈ K (u0) , y ∈ K (u0) nên tồn tại các số dương

a, b, c, d sao cho:

au0 ≤ x ≤ bu0, cu0 ≤ y ≤ du0 (1.4)Suy ra (a + c) u0 ≤ x + y ≤ (b + d) u0 ⇒ x + y ∈ K (u0) ⇒ x + y ∈ Ku 0.+) ∀x ∈ Ku 0,∀t ≥ 0 ta có tx ∈ Ku 0 Thật vậy,

Thật vậy, vì x ∈ Ku 0, x6= θ nên x ∈ K (u0) ⊂ K hay x ∈ K.

Do K là một nón nên −x /∈ K ⇒ −x /∈ Ku 0

Vậy Ku 0 là một nón trong không gian định chuẩn thực E

Định lí 1.2.7 Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E,

x + y ∈ K (u0)

Tương tự, nếu x /∈ K (u0) , y ∈ K (u0) thì x + y ∈ K (u0)

+) ∀x ∈ K (u0),∀t ≥ 0 ta có tx ∈ K (u0) Thật vậy,

Nếu x = θ hoặc t = 0 thì hiển nhiên tx ∈ K (u0)

Nếu x 6= θ và t > 0 thì tồn tại dãy {xn} ⊂ K (u0) sao cho xn → x khi

n→ ∞ Do đó {txn} ⊂ K (u0) , txn → x khi n → ∞ hay tx ∈ K (u0).+) ∀x ∈ K (u0), x 6= θ thì −x /∈ K (u0) Thật vậy, vì x ∈ K (u0) nên

x ∈ K Mà x 6= θ và K là một nón nên −x /∈ K Do đó −x /∈ K (u0).Vậy K (u0) là một nón trong không gian E

1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệthứ tự theo nón K trong E gọi là không gian định chuẩn thực nửa sắpthứ tự Một không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự đồng thời làkhông gian Banach thì được gọi là không gian Banach thực nửa sắp thứtự

Định lí 1.2.8 Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theonón K Khi đó:

i, Nếu các dãy {xn} ⊂ E, {yn} ⊂ E, xn ≤ yn,∀n ∈ N∗ và lim

n →∞xn = x,lim

có t (y − x) ∈ K Suy ra ty − tx ∈ K hay tx ≤ ty

iii) Ta có βx − αx = (β − α) x, và β − α ≥ 0, x ∈ K nên (β − α) x ∈ K.Suy ra βx − αx ∈ K hay αx ≤ βx

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắpthứ tự theo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo được nếutồn tại số dương t sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0 Tập hợp tất cả các phần tử

u0 - đo được trong E kí hiệu là Eu 0

Định lí 1.3.1 Cho E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tựtheo nón K, u0 ∈ K\ {θ} Khi đó Eu 0 là một không gian tuyến tính.Chứng minh Ta có E là không gian tuyến tính thực và Eu 0 ⊂ E, do vậy

để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh Eu 0 là không gian con củaE

+) Ta thấy, θ ∈ Eu 0 vì với mọi t > 0 ta có −tu0 < θ < tu0 Suy ra Eu 0

khác rỗng

+) Với mọi x, y ∈ Eu 0 ta có x + y ∈ Eu 0 Thật vậy, vì x, y ∈ Eu 0 nên tồn

tại các số dương t, t′ sao cho

+) Với mọi x ∈ Eu 0, mọi α ∈ R ta có αx ∈ Eu 0 Thật vậy, vì x ∈ Eu 0

nên tồn tại t > 0 sao cho −tu0 ≤ x ≤ tu0

Nếu α ≥ 0 thì −tαu0 ≤ αx ≤ tαu0 Do đó αx ∈ Eu 0

Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t (−α) u0 ≤ (−α) x ≤ t (−α) u0 hay

kxku 0 = inf{t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} (1.5)Chứng minh Dễ thấy θ ∈ Eu 0 và nó đóng kín đối với phép cộng haiphần tử của Eu 0 và phép nhân một số thực với một phần tử của Eu 0 nhưtrong E, nên Eu 0 là một không gian tuyến tính thực

Ta chứng minh công thức (1.5) thỏa mãn các điều kiện của chuẩn:+) Hiển nhiên với mọi x ∈ Eu 0 ta có kxku 0 ≥ 0

Nếu kxku 0 = 0 thì tồn tại một dãy số dương {tn} hội tụ tới 0 khi n → ∞sao cho:

−tnu0 ≤ x ≤ tnu0,∀n (1.6)

Từ (1.6) cho n → ∞ ta có θ ≤ x ≤ θ Vì vậy x = θ

Ngược lại, nếu x = θ thì kxku 0 = inf {t > 0 : −tu0 ≤ θ ≤ tu0} = 0

Vậy kxku = 0 ⇔ x = θ

+) Với mọi x ∈ Eu 0, mọi α ∈ R ta có kαxku 0 = |α| kxku 0 Thật vậy,Nếu α = 0 thì k0.xku 0 = kθku 0 = 0 = 0.kxku 0;

kαxku 0 = k− (−α) xku 0 = k−αxku 0

= −α kxku 0 = |α| kxku 0

Do đó với mọi x ∈ Eu 0, mọi α ∈ R ta có kαxku 0 = |α| kxku 0

+) Với mọi x, y ∈ Eu 0 thì kx + yku 0 ≤ kxku 0 + kyku 0 Thật vậy, với

x ∈ Eu 0, nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương tn sao cho:

−tnu0 ≤ x ≤ tnu0 và tn < kxku 0 + 1

n,với y ∈ Eu 0, nên với mỗi n ∈ N∗ tồn tại số dương t′

n,∀n ∈ N∗.Cho n → ∞ ta có kx + yku 0 ≤ kxku 0 +kyku 0

Như vậy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên Eu 0 và Eu 0 trở thànhkhông gian định chuẩn với chuẩn (1.5) Chuẩn (1.5) thường được gọi là

u0 - chuẩn

Định lí 1.3.3 Nếu K là nón chuẩn trong không gian Banach E thìkhông gian Eu 0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy cơ bản bất kì trong không gian

Eu 0 theo u0 - chuẩn, nghĩa là:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀m, n ≥ n0 ta có kxn − xmku 0 < ε

Suy ra

inf{t > 0 : −tu0 ≤ xn − xm ≤ tu0} < ε

⇒ −εu0 ≤ xn − xm ≤ εu0 (1.7)

Vì −εu0 ≤ xn − xm nên xn− xm+ εu0 ∈ K

Nhưng xn− xm+ εu0 ≤ 2εu0 và K là nón chuẩn nên tồn tại số N dươngsao cho kxn− xm + εu0k ≤ 2Nε ku0k

Mà kxn− xku 0 = inf{t > 0 : −tu0 ≤ x ≤ tu0} nên kxn− xku 0 ≤ ε,

∀n ≥ n0 hay {xn} hội tụ đến x trong Eu 0 theo u0 - chuẩn

Vậy Eu 0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.4.1 Không gian C

1.4.1.1 Không gian tuyến tính thực C

Kí hiệu C = {z = (x + iy) : x, y ∈ R, i là đơn vi ảo } Ta đưa vào Cvới hai phép toán:

tương ứng kí hiệu là C

* Sự hội tụ trong không gian C

Định lí 1.4.1 Cho dãy điểm {zn}∞n=1 = {xn + iyn}∞n=1 và z = x+iy ∈ C.Khi đó

⇒ ∀n ≥ n0 ta có |xn − x| < ε và |yn− y| < ε (1.9)Các bất đẳng thức (1.9) chứng tỏ lim

⇒

q(xn − x)2 + (yn− y)2 < ε, ∀n ≥ n1.Hay ∀ε > 0, ∃n1 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có k zn − z k< ε Do đó dãy điểm{zn} hội tụ tới z trong C

1.4.1.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự C

* C là không gian Banach thực với chuẩn (1.8)

Thật vậy, giả sử dãy {zm}∞m=1 ⊂ C là một dãy cơ bản tùy ý trong C,trong đó {zm} = {xm+ iym} , m = 1, ∞

Theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀m, p ≥ n0,k zm−zp k=

q(xm− xp)2 + (ym− yp)2 < ε,suy ra

|xm− xp| < ε và |ym− yp| < ε, ∀m, p ≥ n0 (1.10)

Các bất đẳng thức (1.10) chứng tỏ với mỗi dãy {xm}∞m=1và {ym}∞m=1 làdãy số thực cơ bản nên tồn tại giới hạn lim

m →∞xm = x, lim

m →∞ym = y

Đặt z = x + iy, theo định lí 1.4.1, dãy {zm} hội tụ tới z khi m → ∞trong C

Vậy C là không gian Banach

* Nón trong không gian Banach thực C

+) Với mọi z ∈ K, mọi t ∈ R, t ≥ 0 ta có tz ∈ K,

z = x + iy, x≥ 0, y ≥ 0 nên tz = (tx) + i (ty) , tx ≥ 0, ty ≥ 0

Suy ra tz ∈ K

+) Với mọi z = x + iy ∈ K, z 6= θ ta có x > 0, y ≥ 0 hoặc x ≥ 0, y > 0nên −x < 0, −y ≤ 0 hoặc −x ≤ 0, −y < 0 do đó,

−z = (−x) + i (−y) /∈ K

Vậy K là nón trong không gian Banach C

* Theo định lí 1.2.2 ta đưa vào C một quan hệ ′′ ≤′′ sắp thứ tựtheo nón K

Ta có nhận xét:

+)Với z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈ C thì z1 ≤ z2 ⇔ x1 ≤ x2 và

y1 ≤ y2 Thật vậy,

z1 ≤ z2 ⇔ z2 − z1 = (x2 − x1) + i (y2 − y1) ∈ K

⇔ x2 − x1 ≥ 0, y2− y1 ≥ 0, tức là x1 ≤ x2, y1 ≤ y2.+)Quan hệ ′′ ≤′′ xác định như trên là một quan hệ sắp thứ tự bộphận

Thật vậy, với hai phần tử z1, z2 bất kỳ thuộc C có thể không có quan hệ

Ta đi chứng minh: Cu 0 = G Thật vậy:

+) Giả sử z = x1+ ix2 ∈ Cu 0,∃t > 0 sao cho:

−tu0 ≤ z ≤ tu0 hay −tuj ≤ xj ≤ tuj(j = 1, 2)

Với j ∈ I2 ta có uj = 0 ⇒ xj = 0 Do đó z ∈ G hay Cu 0 ⊂ G.

+) Ngược lại, lấy z = x1 + ix2 ∈ G thì xj = 0, j ∈ I2

Do I1 6= ∅, với j ∈ I1 nên min

Với j ∈ I2 ta có uj = 0, nên xj = 0

Do đó z ∈ M hay K (u0) ⊂ M.

+) Ngược lại,

giả sử z = x1 + ix2 ∈ M với xj = 0, j ∈ I2; xj > 0, j ∈ I1 (j = 1, 2).Với j ∈ I1 ta có uj > 0 và xj > 0

Chọn

a =

min

j ∈I 1{xj}max

j ∈I 1{uj} > 0, b =

max

j ∈I 1{xj}min

αx = (αx1, αx2, , αxn, )trong đó α ∈ R , x = (x1, x2, , xn, ) ∈ l2, y = (y1, y2, , yn, ) ∈ l2 làkhông gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, , 0, ).

1.4.2.2 Không gian định chuẩn thực l 2

* Ta đưa vào không gian tuyến tính thực l2 chuẩn của phần tử

x = (x1, x2, , xn, )∈ l2 xác định bởi:

kxk =

vuut

Do đó kx + yk ≤ kxk + kyk.

Vậy công thức (1.11) xác định một chuẩn trên l2 Không gian định chuẩntương ứng kí hiệu là l2

* Sự hội tụ trong không gian l2

Giả sử dãy điểm x(k) ∞

k=1 với x(k) = x(k)1 , x(k)2 , , x(k),n  ∈ l2 hội tụtới điểm x = (x1, x2, , xn, )∈ l2 khi k → ∞ trong không gian l2,

(k)

i − xi

2

< ε

Suy ra

x

(k)

i − xi

< ε, ∀k ≥ k0,∀i = 1, ∞ (1.12)Các bất đẳng thức (1.12) chứng tỏ với mỗi i = 1, ∞ dãy số phức nx(k)i ohội tụ tới xi khi k → ∞, sự hội tụ đó được gọi là sự hội tụ theo tọa độ.Tuy nhiên, sự hội tụ theo tọa độ không dẫn đến sự hội tụ theo chuẩntrong không gian l2

Ví dụ: Lấy dãy điểm x(k,m) =



m

m + k + n

∞ n=1

trong đó k, m ∈ N∗, k làchỉ số dãy còn m là tham số nguyên dương

Với mỗi m,k cố định tùy ý ta có,

k=1 không hội tụ theo chuẩn đến x trong l2

1.4.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l 2

* l2 là không gian Banach thực với chuẩn (1.11)

Thật vậy, giả sử dãy x(m) ∞

m=1 ⊂ l2 với x(m) = x(m)1 , x(m)2 , , x(m)n , 

là một dãy cơ bản tùy ý trong l2

Khi đó theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈∗: ∀m, p ≥ n0, x(m) − x(p) < ε hay

vuut

∞

X

i=1

2

+ 2P∞

i=1

x

(m 1 ) i

2

< 2ε + 2P∞

i=1

x

(m 1 ) i

2

< +∞

Do đó x ∈ l2.

x(m) − x ≤ ε

Vậy l2 là không gian Banach

* Nón trong không gian Banach thực l2

(k)

i − x(0)i

... tham số nguyên dương

Với m,k cố định tùy ý ta có,

k=1 không hội tụ theo chuẩn đến x l2

1.4.2.3 Không gian Banach thực nửa thứ tự l 2...

* l2 không gian Banach thực với chuẩn (1.11)

Thật vậy, giả sử dãy x(m) ∞

m=1 ⊂ l2 với x(m) = x(m)1... độ không dẫn đến hội tụ theo chuẩntrong khơng gian l2

Ví dụ: Lấy dãy điểm x(k,m) =



m

m + k + n

∞ n=1

trong