Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN ĐÌNH THIỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2013... BỘ GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN ĐÌNH THIỀN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN ĐÌNH THIỀN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Đình Thiền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận vănThạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh

xạ đa trị trong không gian metric nón” do tôi tự làm Các kết quả và tàiliệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Đình Thiền

Mục lục

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 Không gian metric 6

1.2 Không gian metric Hausdorff 14

1.3 Không gian compact 20

1.4 Không gian định chuẩn 23

1.5 Không gian Banach 27

2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 32 2.1 Định nghĩa và ví dụ 32

2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón 38

3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN 48 3.1 Các khái niệm 48

3.2 Các định lý điểm bất động 52

Kết luận 64

Tài liệu tham khảo 65

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cho X là một tập hợp bất kì, ánh xạ T : X → 2X là một ánh xạ đatrị đi từ tập X vào họ các tập con của nó Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x

được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập X Việc nghiêncứu vấn đề này đã góp phần giải quyết đắc lực hàng loạt các bài toán quantrọng Các kết quả của việc nghiên cứu lĩnh vực này đã hình thành nên

“Lý thuyết điểm bất động” (fixed point theory) và gắn liền với tên tuổi củacác nhà toán học lớn như Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski,Kyfan,

Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái niệmkhông gian metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metricbởi một nón định hướng trong không gian Banch thực Các tác giả đã giớithiệu các khái niệm về sự hội tụ của dãy, tính đầy đủ của không gian.Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớp ánh

xạ đơn trị trong các không gian này

Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và các kết quả về điểm bất

động trong không gian metric nón đã được công bố.

Năm 2009, Sh Rezapour and R H Haghi đã công bố kết quả về điểmbất động trong lớp không gian này cho các ánh xạ đa trị qua bài báo

“fixed point of multifunction on cone metric spaces”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ đa trịtrong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của

TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

“Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metricnón”

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong khônggian metric nón

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metricnón

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về “ Không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ

đa trị trong lớp không gian metric nón” qua hai bài báo:

- Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings(2007) của Huang Long Guang, Zhang Xian.

- Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) của Sh.Rezapour and R H Haghi

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp

Đây là một bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ đa trị trongkhông gian metric nón Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về khônggian metric, không gian metric nón và điểm bất động của ánh xạ đa trịtrong không gian metric nón

Luận văn được trình bày gồm ba chương

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, khônggian metric Hausdorff, không gian compact, không gian định chuẩn, khônggian Banach

Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian metricnón và sự hội tụ trong không gian metric nón

Chương 3 trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trịtrong không gian metric nón.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về khônggian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gianđịnh chuẩn và cuối cùng là không gian Banach Sau mỗi khái niệm là các

(X, d).

Ví dụ 1.1.2 Cho C [a, b] là không gian các hàm số nhận giá trị thực xácđịnh và liên tục trên đoạn [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm sốbất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc C [a, b] ta đặt:

d (x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y (t)|.Khi đó (C [a, b] , d) là một không gian metric

Chứng minh Ta có d(x, y) xác định trên C [a, b]

Thật vậy, vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số

|x (t) − y (t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b]

Do đó, hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b] Suy ra hệ thức của

d(x, y) xác định một ánh xạ từ C [a, b] × C [a, b] vào tập số thực R

Vậy (C [a, b] , d) là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.3[1] Cho không gian metric (X, d) , điểm x0 thuộc X

Định nghĩa 1.1.4[1] Cho không gian metric (X, d), lân cận của điểm

x0 ∈ X là mọi hình cầu mở tâm x0 bán kính r > 0

Định nghĩa 1.1.5[1] Cho không gian metric (X, d), một tập hợpG ⊂ X

và điểm x0 ∈ X

Điểm x0 ∈ X được gọi là một điểm trong của tập G nếu tồn tại một lâncận của nó nằm trọn trong tập G, tức là lân cận đó chỉ chứa toàn nhữngđiểm của G

Điểm x0 ∈ X được gọi là một điểm ngoài của tập G nếu tồn tại một lâncận của nó nằm trọn ngoài tập G, tức là lân cận đó hoàn toàn không chứađiểm nào của tập G

Định nghĩa 1.1.6[1] Cho không gian metric(X, d), một tập hợp G ⊂ X.Tập G được gọi là tập mở trong không gian X nếu mọi điểm thuộc G đều

là điểm trong của G

TậpGđược gọi là tập đóng trong không gianX nếu mọi điểm không thuộc

G đều là điểm ngoài của G

Ví dụ 1.1.7 Không gian metric (X, d) với X = R và metric d là khoảngcách thông thường, d (x, y) = |x − y| Khi đó

a (−1; 1) là một lân cận của điểm 0

b (−1; 1) là một tập mở của R

c [−1; 1] là một tập đóng của R

Định lí 1.1.8[1] Cho không gian metric (X, d), T là họ tất cả các tập

mở trong X thì T là một tôpô trên X

Đặt r = min {r1, r2, , rm} > 0 ta có lân cận S (y, r) thỏa mãn

Vậy T là một tôpô trên X

Định nghĩa 1.1.9[1] Họ T tất cả các tập mở trong không gian metric

(X, d) được gọi là tôpô sinh bởi metric d

Ví dụ 1.1.10 Cho X = R với metric thông thường d (x, y) = |x − y|.Khi đó, họ các khoảng trên R là một tôpô trên R và được gọi là tôpô tựnhiên trên R

Chứng minh Thật vậy,

∅ là tập con của mọi tập hợp nên ∅ ∈ T

R = (−∞; +∞) nên R ∈ T

Hợp các khoảng là một khoảng và giao hữu hạn các khoảng là một khoảng

Do đó họ T các khoảng trên R là một tôpô trên R

Định nghĩa 1.1.11[1] Dãy {xn} trong không gian metric (X, d)được gọi

là hội tụ đến x0 ∈ X, nếu lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Khi đó, viết lim

n→∞xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞ ; điểm x0 được gọi làgiới hạn của dãy {xn}

Nhận xét 1.1.12 Dãy hội tụ trong không gian metric có giới hạn duy nhất

Chứng minh Thật vậy, giả sử lim

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, yn) + d(yn, b)

Ta có điều phải chứng minh.

1.2 Không gian metric Hausdorff

Định nghĩa 1.2.1 [10] Cho (X, d) là một không gian metric CB(X) là

họ các tập con khác rỗng, đóng, bị chặn của X Khi đó:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một tập hợp được xác định bởi

d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A}

2 Khoảng cách từ tập hợp A đến tập hợp B trong X được xác định bởi

HA(B) = sup {d (x, B) : x ∈ A}

3 Khoảng cách Hausdorff giữa tập Avà tập hợp B trongX được xác địnhbởi:

H(A, B) = max {HA(B), HB(A)}

3 Theo định nghĩa về khoảng cách giữa hai tập hợp ta có:

Hay d (a, B) ≤ d (a, c) + sup

c∈C

d (c, B).Suy ra d (a, B) ≤ d (a, c) + HC(B)

Do c là tùy ý trong C nên ta có

d (a, B) ≤ d (a, C) + HC(B).Tương tự, do a lấy tùy ý trong A nên ta có

HA(B) ≤ HA(C) + HC(B)

Định lý 1.2.3 [10] Cho (X, d) là một không gian metric, CB(X) là họcác tập con khác rỗng, đóng, bị chặn của X

Khi đó (CB(X), H) là một không gian metric

Chứng minh Ta đi kiểm tra H là một metric

H (A, B) ≤ H (A, C) + H (B, C).

Vậy H là một metric trên CB(X) Ta gọi là metric Hausdorff

Do đó (CB(X), H) là một không gian metric, được gọi là không gianmetric Hausdorff

1.3 Không gian compact

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian metric (X, d) Tập K ⊂ X gọi làtập compact nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy conhội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập K gọi là tập compact tương đối nếumọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tửthuộc X

Định nghĩa 1.3.2 [1] Cho không gian metric (X, d) Không gian (X, d)

gọi là không gian compact, nếu tập X là tập compact

Ví dụ 1.3.3 Mọi dãy vô hạn những phần tử của tập bị chặn {xn} trong

R phải chứa mọi dãy con {xnk} hội tụ Vì thế trong không gian metric Rmột đoạn bất kỳ là tập compact, một khoảng bất kỳ là tập compact tươngđối

Ví dụ 1.3.4 Không gian metric C[a,b] là không gian không compact, vìdãy hàm số xn(t) = n trên đoạn [a, b] với n = 1, 2, không chứa dãy connào hội tụ

Định nghĩa 1.3.5 [1] Cho không gian metric (X, d) Tập A ⊂ X Họ

{Gα}α∈I gồm các tập mở trong (X, d) (I là tập chỉ số) gọi là một phủ mở

của A, nếu

α∈I

Gα ⊃ A Khi tập I hữu hạn, thì họ {Gα}α∈I gọi là phủ mởhữu hạn của A

Định lý 1.3.6 [1] Tập K ⊂ X là tập compact trong không gian metric

(X, d) khi và chỉ khi mọi phủ mở {Gα}α∈I của tập K đều chứa một phủ

mở con hữu hạn của K

Chứng minh Giả sử K ⊂ X là tập compact trong không gian metric

(X, d) và họ {Gα}α∈I là một phủ mở nào đó của K nhưng không chứamột phủ mở con hữu hạn nào của K

Vì K là compact, nên có thể phủ K bằng một họ hữu hạn hình cầu bánkính 1, trong số đó phải có ít nhất một hình cầu, ký hiệu S1, sao chotập K1 = K ∩ S1 không thể phủ được bằng một họ con hữu hạn của họ

{Gα}α∈I Tương tự, có thể phủ K bằng một họ hữu hạn hình cầu bánkính 1

2, trong số đó phải có ít nhất một hình cầu, ký hiệu S2, sao cho

tập K2 = K1 ∩ S2 không thể phủ được bằng một họ con hữu hạn của họ

với mọi n = 1, 2, Vì K là tập compact nên dãy {xn} chứa dãy con

{xnk} hội tụ tới phần tử x0 ∈ K, do đó x0 phải thuộc một tập nào đó

Gα0 ∈ {Gα}α∈I Theo giả thiết Gα0 là tập mở, nên tồn tại một hình cầu

S tâm x0, bán kính r > 0 sao cho S ⊂ Gα0 Chọn k0 đủ lớn sao cho

Ngược lại, giả sử K ⊂ X thỏa mãn điều kiện: mọi phủ mở của K đềuchứa một phủ mở con hữu hạn của K, nhưng tồn tại một dãy vô hạn

{xn} ⊂ K không chứa một dãy con nào hội tụ Từ đó suy ra, đối với mỗiđiểm z ∈ K tồn tại một hình cầu mở Sz tâm z và bán kính nào đấy khôngchứa điểm nào của dãy{xn}, có thể trừ chính điểm z ta nhận được một họcác tập mở (Sz)z∈K là một phủ mở của K Theo giả thiết phủ mở đó của

K phải chứa một phủ mở con hữu hạn của K, ký hiệu Sz1, Sz2, , Szm, do

đó {xn} ∈

m

S

j=1

Szj Theo tính chất của dãy hình cầu nói trên, mỗi hình cầu

Szj, ( j = 1, 2, , m) chứa không quá một phần tử của dãy {xn}, nghĩa

là dãy {xn} chỉ có một số hữu hạn phần tử, trái với tính chất vô hạn của

dãy {xn} Mâu thuẫn đó chứng tỏ dãy {xn} phải chứa ít nhất một dãycon hội tụ Suy ra tập K là tập compact tương đối Tiếp theo ta chứngminh K chứa mọi điểm giới hạn của K Giả sử tồn tại một điểm giới hạn

y0 của K không thuộc K Lập các hình cầu đóng S0n tâm y0, bán kính

1

n(n = 1, 2, ) Ta nhận được họ các tập mở Gn = X\S

0

n lập thành mộtphủ mở của K, vì

tỏ K là tập đóng Vì vậy K là tập compact

Định lý được chứng minh

1.4 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.4.1 [1] Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyếntính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K (K =R hoặc

K = C) cùng với một ánh xạ k.k : X → R được gọi là một chuẩn nếu

thỏa mãn các điều kiện sau:

Định lý 1.4.2[1] Mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric.

Chứng minh Xét không gian định chuẩn (X, k.k)

Vậy d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), ∀x, y, z ∈ X.

Khi đó (X, d) là một không gian metric

Ví dụ 1.4.3 Cho không gian vectơ n chiều En, trong đó

En = {x = (x1, , xn) : xk ∈ R∨ xk ∈ C} Đối với vectơ bất kỳ

Khi đó En là không gian định chuẩn

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của Định nghĩa

1 Hiển nhiên

vuut

2 Với mọi x ∈ En, ∀λ ∈ K, ta có

kλxk =

vuut

Suy ra k · k là một chuẩn trên En

Vậy (En, k · k) là một không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.4.4[1] Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X gọi

là hội tụ đến điểm x ∈ X, nếu lim

n→∞kxn − xk = 0

Ký hiệu

3) Nếu dãy điểm{xn}hội tụ tới x, dãy điểm {yn}hội tụ tới y trong khônggian định chuẩn X, dãy số {αn} hội tụ tới α, thì

xn+ yn → x + y (n → ∞), αxn → αx (n → ∞)

Định nghĩa 1.4.6[1] Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X gọi

là dãy Cauchy, nếu

lim

m,n→∞kxn− xmk = 0

1.5 Không gian Banach

Định nghĩa 1.5.1 [1] Không gian định chuẩn X gọi là không gian nach, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một điểm thuộc X (Hay khônggian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach)

Ba-Ví dụ 1.5.2 Không gian l2 gồm tất cả những dãy số phức x = {xn} saocho chuỗi

|xn|2 là không gian Banach

Chứng minh Lấy dãy {an} là một dãy Cauchy trong l2 Giả sử {an} ={αn,1, αn,2, }

Với ε > 0 tùy ý, tồn tại số N0 thỏa mãn:

Ta sẽ chứng minh a là một phần tử của l2 và dãy {an} hội tụ tới a

Thật vậy, từ (1.5.1) cho m → ∞ ta được:

Suy ra dãy a = {αn} là một phần tử của l2.

Hơn nữa, khi ε là nhỏ tùy ý thì (1.5.2) ta suy ra

2 +

12n < t 6 1

12

R

12

R

12

|xn(t) − xm(t)| dt

Vì |xn(t) − xm(t)| ≤ 1 nên d (xn, xm) ≤ 1

2n → 0 khi n → ∞, do đó

{xn(t)}là một dãy Cauchy Dễ dàng thấy rằng dãy Cauchy này không hội

tụ tới một điểm thuộc C[0,1]L

Thật vậy, giả sử dãy {xn(t)} hội tụ tới một x (t) nào đó trong C[0,1]L , tứclà:

|xn(t) − x (t)| dt,

cho nên ta phải có

12

R

0

|xn(t) − x (t)| dt → 0, khi n → ∞,

R

12

|xn(t) − x (t)| dt → 0, khi n → ∞

Nhưng ta lại có:

12

Chương 2

KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm về nón, nónchuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không gianBanach thực Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric nón, khônggian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón

nón, P ⊂ E, ta định nghĩa quan hệ thứ tự 6p trong P như sau:

x 6p y khi và chỉ khi y − x ∈ intP

( intP là phần trong của P)

Định nghĩa 2.1.4 [10] Cho E là không gian Banach thực, P là một nóntrong E

Nón P được gọi là chuẩn tắc (normal cone) nếu có số M > 0 sao cho

Khi đó P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc M = 1 trong R2

Chứng minh Thật vậy, theo ví dụ 2.1.2 thì P là một nón