Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O.. Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.. a Chứng minh: ∆OEM vuông cân.. Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng
Trang 1PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH LỚP 8
NĂM HỌC 2014 - 2015
Đề thi môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm)
Cho biểu thức
2
3 x 3x 27 3x x 3
= + − ÷ − + + ÷
a) Nêu điều kiện xác định rồi rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để giá trị của A < -1
Câu 2 (2,5 điểm).
a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
Câu 3 (1,0 điểm).
Cho các số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2014 + y2014 + z2014 = 3
Tính giá trị của biểu thức: P = x25 + y4 + z2015
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia
AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME // BN
c) Từ C, kẻ CH ⊥ BN (H ∈ BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (với k ∈N*) Chứng minh rằng: 4S + 1là bình phương của một số tự nhiên
Hết
-Họ và tên thí sinh: SBD:
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1a
ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3
A =
:
0,5 1 1b
Với x ≠ {-3;0;3} ta có:
+
< − ⇔ − < − ⇔ > ⇔ >
Kết hợp với điều kiện ta có 0 < x ≠ 3 thì A < -1
0,5 0,5 2a x3 - 3x - 2 = 0 ⇔(x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
⇔ (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 ⇔(x - 2)(x + 1)2 = 0
⇔ x = 2; x = - 1
0,5 0,5 2b
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 3; 1
x= y=
0,5 0,5 0,5
3
Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx <=> 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx)
<=> (x - y )2 +( y – z)2 + (z – x)2 = 0
<=> x = y = z
Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = 3 => x = y = z = ±1
Với x = y = z = 1 thi P = 3
Với x = y = z = -1 thì P = -1
0,25 0,25 0,25 0,25
4a
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
B =C =
BE = CM ( gt )
⇒ OE = OM và µ ¶
O =O
Lại có ¶ ¶
O +O = · 0
90
BOC= vì tứ giác ABCD là hình vuông
⇒ ¶ µ
O +O = · 0
90
EOM = kết hợp với OE = OM ⇒∆OEM vuông cân tại O 0,5
4b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = CD và AB // CD 0,25
Trang 3+ AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ AM BM
Ta có : AM AE
4c
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ⇒OME OH B· = · ' ( cặp góc đồng vị)
Mà ·OME=450 vì ∆OEM vuông cân tại O
1
⇒∆OMC : ∆BMH’ (g.g)
0,25
'
OM MC
BM MH
OBM MH C
Vậy ·BH C BH M MH C' =· ' +· ' =900⇒CH'⊥BN
Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đpcm) 0,25
5
Ta có:
k(k + 1)(k + 2) = 1
4k (k + 1)(k + 2) 4=
1
4k(k + 1)(k + 2) [(k+ − −3) (k 1)] = 1
4k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -
1
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1
= (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)