Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử

Mục đích của khoa học thông tin lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách tối ưu một số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp dụng trong

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến

TS.Trần Thái Hoa, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho em

những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô công tác tại phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ

đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012

Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

2

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Vũ Thị Thu Thuỷ, học viên cao học khóa 2010 – 2012

chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi Các luận

cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2012

Học viên

Vũ Thị Thu Thuỷ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

4.3 Viễn tạo trạng thái lượng tử trong không gian d chiều 50

4

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học

cho qubit Vị trí của mỗi qubit được xác định qua hai thông số

θ, φ 16 Hình 2.2: Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực của quả cầu

Bloch còn trạng thái của qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả cầu Bloch 17 Hình 2.3: Biểu diễn hình học của cổng Hadamard 25 Hình 2.4: Biểu diễn hình học của cổng CNOT 25Hình 2.5 : Các mode ánh ánh khi tới bộ tách chùm BS(T) thì bị phản xạ một

phần và truyền qua một phần 27 Hình 2.6: Trạng thái tích |1變䆀|0變9 khi đi qua bộ tách chùm cho trạng thái rối 28 Hình 2.7: Trạng thái |α變䆀 khi đi qua bộ dịch pha cho ra trạng thái αe 㔨 變䆀 29

Hình 2.8 : Tác dụng của một bộ phận tác chùm B䆀9 1 2⁄ và hai bộ dịch pha

P9 π 2⁄ lên trạng thái|α變䆀|β變9 cho ra trạng thái

α β √2⁄ 變䆀 α β √2⁄ 變9 30 Hình 3.1: Sơ đồ để viễn chuyển một trạng thái hai mode 1 và 2 bất kỳ,

㔨i π 2⁄ Pi π 2⁄ B㔨i 1 2⁄ Pi π 2⁄ , D㔨 ký hiệu một máy đếm photon và U杨 : D :杨 㔨 P㔨 杨: π 40

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành Vật lý học vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành công nghệ cao như: công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hóa, công nghệ thông tin… Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của thế kỷ 20

Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính, kỹ thuật

và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa học thông tin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học Mục đích của khoa học thông tin lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách tối ưu một

số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp dụng trong việc truyền tải và xử lý thông tin Những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan Song, những nghiên cứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên Có thể nói sự bùng nổ của khoa học lượng tử thông tin thời gian gần đây là do hai 2 nguyên nhân cơ bản: Thứ nhất, lý thuyết thông tin cổ điển do Shanmon phát minh ra năm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kỹ thuật điện, tuy đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như xử lý thông tin, mật

mã học, v v…và đạt được những thành công không thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử Thứ hai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi

6

có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này Nổi bật nhất là giải Nobel Vật lý 2012 giành cho Serge Haroche và David J.Wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử

Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của

cơ học lượng tử mà có thể tận dụng để trao đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn toàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit, còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn được gọi là qubit (thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995) Nói chung thông tin lượng tử có thể xem như sự tổng quát hóa hay sự

mở rộng của thông tin cổ điển Bất kì một hệ lượng tử nào cũng có thể xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính với nhau Các photon phân cực, các spin ½, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit

Mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào

để tạo ra, định hướng và sử dụng rối lượng tử để tạo nguồn tài nguyên cho việc xử lý thông tin lượng tử như việc mã hóa thông tin lượng tử, giải mã thông tin lượng tử, truyền thông tin lượng tử,…Trong đó, các trạng thái rối kết hợp thu hút được sự chú ý của các nhà khoa học bởi khả năng ứng dụng rỗng rãi và hiệu quả của nó

Để có hiểu biết tổng quát hơn về khả năng ứng dụng các trạng thái rối

kết hợp, tôi chọn đề tài “Ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong thông tin lượng tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các ứng dụng của các trạng thái rối kết hợp đa mode trong các phương pháp thực hiện viễn chuyển trạng thái lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Từ các khái niệm cơ bản: bit lượng tử, rối lượng tử, trạng thái kết hợp, trạng thái rối kết hợp… và sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính, các phép

đo trạng thái giả Bell, toán tử dịch chuyển thích hợp, cổng lượng tử… nghiên cứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode để tìm ra phương pháp viễn chuyển trạng thái viễn chuyển lượng tử đạt xác suất thành công lớn nhất, thực hiện đơn giản nhất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các trạng thái rối kết hợp và ứng dụng các trạng thái rối kết hợp trong viễn chuyển lượng tử

8

- Một số thiết bị quang học tuyến tính như: bộ tách chùm, bộ dịch

pha,…; các toán tử dịch chuyển, các toán tử lượng tử, để tính toán cách viễn

chuyển trạng thái kết hợp đa mode

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán, thông tin lượng tử để nghiên cứu ứng dụng các trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử

6 Bố cục luận văn

Chương 1: Giới thiệu

Chương 2: Các khái niệm cơ bản

Chương 3: Viễn chuyển lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng các thiết bị quang học

Chương 4: Viễn tạo lượng tử trạng thái rối kết hợp sử dụng toán tử lượng tử

CHƯƠNG 1:

GIỚI THIỆU

Thế kỷ 20 đã chứng kiến sự bùng nổ của vật lý học, trong đó cơ học lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ tột đỉnh của thời kỳ này Từ khi khởi đầu cách đây hơn 100 năm về trước, cơ học lượng tử đã trở thành một phần cơ bản và cốt yếu trong hành trang của các nhà vật lý Chính xác nguyên

lý của nó đã đặt nền móng cho sự vận hành laser, transistor, hiển vi điện tử hay đi-ốt là các thiết bị điện tử không thể thiếu trong xã hội ngày nay Tuyệt vời hơn nữa là các tính toán của nó đã tiên đoán về tính chất của các hạt cơ bản phù hợp với những phép đo thực nghiệm với độ chính xác cao đến kinh ngạc Tuy vậy, ngay từ đầu không phải cơ học lượng tử đã được công nhận là một lý thuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lý Einstein – nhà vật lý vĩ đại của mọi thời đại – đã phủ nhận tính đầy đủ của lý thuyết này Đối với ông, luôn luôn tồn tại một hiện thực khách quan, độc lập với nhận thức của chúng ta, dù

ở cấp độ nào vĩ mô hay vi mô Ông phủ nhận tính xác suất của sự tồn tại các trạng thái lượng tử với quan điểm “ Chúa không chơi xúc xắc” Đặc biệt năm

1935 cùng 2 đồng nghiệp của mình là Podolsky và Rosen, ông đã công bố bài báo “ Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?” [1], trong đó đã vạch ra cái mà tác giả coi như một lỗi lầm có thể chứng minh trong cơ học lượng tử Sự phân tích của EPR yêu cầu chúng ta xét hai hạt xuất hiện từ một sự kiện nào đó sao cho một số tính chất của chúng tương quan với nhau, sau đó bay ra xa nhau Nếu đó một tính chất nào đó của một trong hai hạt ấy thì ngay lập tức sẽ biết tính chất của hạt còn lại Einstein, Podolsky và Rosen lập luận rằng vì điều đó cho phép nhận được sự hiểu biết

10

của hạt mà không cần trực tiếp quan sát, đo đạc nó nên tính chất của hạt phải thuộc nội tại của nó, nghĩa là nó đã được cố định từ trước như tư duy cổ điển quy định chứ không phải bất định như trong cơ học lượng tử Mãi đến năm

1964, John Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức Bell [2] và thật ngạc nhiên nó lại kiểm chứng được tính đúng đắn trong lập luận của EPR trái với mục đích ban đầu của Bell là bảo vệ quan điểm của Einstein Nói tóm lại, cơ học lượng tử là một thuyết đã được kiểm nghiệm rất chi tiết, hữu ích một cách toàn diện và đồng thời rất đáng tin cậy Mặc dù đã quen thuộc đến thấu đáo như vậy nhưng đa phần các nhà vật lý đều thừa nhận rằng họ vẫn chưa hoàn toàn nắm bắt được những điều bí ẩn còn tồn tại trong cơ học lượng tử và sự vận hành nội tại của nó Những thập niên cuối thế kỷ 20 người ta hay nhắc đến thuật ngữ như rối lượng tử (quantum entanglement) [3], viễn chuyển trạng thái lượng tử ( quantum teleportation) [4-7] hay mật mã lượng tử (quantum cryptography)[8],… Chúng được nhắc đến như những điều kì lạ xuất hiện trong khoa học và công nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đang thực dự thu hút đông đảo các nhà khoa học trên thế giới trong những thập niên gần đây

Dựa trên các quy luật của vật lý, toán học, khoa học máy tính và kỹ thuật và sự kết hợp của các chuyên ngành đã tạo nên sự ra đời của khoa học thông tin lượng tử, một lĩnh vực mới của khoa học Mục đích của khoa học thông tin lượng tử là để hiểu làm thế nào để khai thác và cải thiện một cách tối ưu một số nguyên tắc cơ bản của vậy lý được phát hiện trước đó có thể áp dụng trong việc truyền tải và xử lý thông tin Những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết lượng tử được áp dụng vào đó cho phép thông tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử có tính chất kỳ lạ và phản giác quan Song, những nghiên cứu gần đây về lý thuyết này đã mang đến nhiều ngạc nhiên Có thể nói gần đây, khoa học thông tin bùng nổ là do hai yếu tố cơ bản Thứ nhất, lý

thuyết thông tin cổ điển đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như xử lý thông tin, mật mã học, v v…và đạt được những thành công không thể phủ nhận song nó vẫn còn rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng cho sự ra đời của lý thuyết thông tin lượng tử Thứ hai, sự phát triển của khoa học công nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phòng thí nghiệm hiện đại, tinh vi có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lôi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này Nổi bật nhất là giải Nobel Vật lý 2012 giành cho Serge Haroche

và David J.Wineland, những người đã phát minh ra các phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng [9,10], mở ra một kỷ nguyên mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử

Theo lý thuyết thông tin cổ điển, đơn vị cơ bản của thông tin là bit - một hệ vật lý chỉ tồn tại ở một trong hai trạng thái biểu diễn hai giá trị logic không hoặc có, đúng hoặc sai hay đơn giản là 0 hoặc 1 Thông tin bất kỳ đều

có thể biểu diễn bằng các bit dưới dạng một dãy số 0 và 1 Trong các máy tính, bit được biểu diễn giống như trạng thái vật lý của một hệ vật lý nhất định nào đó Khi thông tin được truyền đi dưới dạng các bit cổ điển thì nó có thể dễ dàng bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà không bị phát hiện Vì vậy sự truyền thông tin cổ điển là một cách không an toàn Đến năm 1985 [12] David Deutsch dựa vào tính chất lượng tử song song [13] đã chỉ ra sự tồn tại của máy tính lượng tử với việc xử lý thông tin được mã hóa trong các bit lượng tử một cách hoàn hảo, giải quyết những hạn chế của máy tính cổ điển Hơn thế nữa, lý thuyết lượng tử còn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là trạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ, một mối tương quan phi định xứ vô cùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử, điều mà

12

trong lý thuyết cổ điển không có được Nhờ vào tính chất lỳ lạ đó mà các hạt lượng tử trở nên tương quan mật thiết với nhau đến nỗi mà chúng chia sẻ cùng nhau tính chất rất đặc biệt: một phép đo trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến hạt kia cho dù chúng ở cách xa nhau bao xa Cách đây vài thập niên, rối lượng tử trở thành một chủ đề nghiên cứu sâu của các nhà khoa học quan tâm tới lý thuyết lượng tử và gần đây hơn nữa, nó không những trở thành công cụ để bộc lộ sự huyền bí của cơ học lượng tử mà còn là một nguồn tài nguyên vô cùng có giá trị được các nhà khoa học khai thác một cách hữu ích, đóng vai trò là điều kiện để hoàn thành nhiều nhiệm vụ mang tính chất không tưởng, ví dụ như: viễn chuyển trạng thái lượng tử [4-7], mật mã lượng

tử [8],…

Xử lý thông tin lượng tử như đã nói ở trên là một lĩnh vực hoàn toàn mới có tính chất rộng lớn và bao phủ nhiều vấn đề Bảo mật và truyền tải thông tin là vô cùng quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp tới sự phát triển kinh

tế - chính trị - xã hội của đất nước Chính vì thế con người phải tìm ta những cách thức để thông tin được bảo vệ và truyền đi một cách an toàn nhấ Sự ra đời của máy tính lượng tử đang trở thành một ngành có khả năng thương mại hóa lớn Ngày nay những hệ thống này đã được thí nghiệm thành công trên sợi quang học với độ dài 120km và đã được áp dụng vào các thiết bị bảo vệ

dữ liệu nhạy cảm bằng loại mật mã này vào năm 2004 Đó là những thành tựu trong công cuộc bảo vệ thông tin, tuyền tải thông tin cũng đã cho kết quả không ngờ Đầu năm 2012, các nhà nghiên cứu châu Âu đã sử dụng laser để truyền thành công một photon từ hòn đảo này tới hòn đảo khác cũng nằm trong quần đảo Canary Đúng vào lúc một chùm laser mất đi ở quần đảo này thì một chùm laser giống hệt nó lại xuất hiện ở một quần đảo khác cách đó 143km, mặc dù chùm sáng không hề được di chuyển nhưng vì hai chùm sáng

đó giống nhau nên người ta thấy rằng chùm sáng đã được di chuyển tức thời

Các nhà khoa học gọi đó là sự viễn chuyển trạng thái lượng tử, một khái niệm khi được đã được chứng minh rõ ràng, gây chấn động khoa học hiện đại Đồng thời họ cũng đã khai thác một hiện tượng kỳ lạ của cơ học lượng tử, đó

là rối lượng tử với sự tác động của một kiểu tương quan mà nó còn mang nhiều bí hiểm chờ đợi các nhà khoa học khám phá

Viễn chuyển trạng thái lượng tử là một giao thức lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1993 bởi Bennett cùng 5 cộng sự của ông [4] Đây là ví dụ điển hình nhất về vai trò của rối lượng tử trong công nghệ truyền thông Bài toán đặt ra là: Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, họ không gặp nhau kể từ khi tạo được với nhau một cặp rối Nhiều năm sau đó Alcie được giao nhiệm vụ chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử một cách an toàn và nguyên vẹn khi hai người đều không được biết thông tin về nó Đó là một bài toán thực sự khó bởi theo lý thuyết cơ học lượng tử, một trạng thái lượng tử không biết không thể đọc và cũng không thể sao chép được, Alice không thể đọc trạng thái này để gửi thông tin về nó cho Bob Mặt khác, nếu trạng thái này trực tiếp được gửi đi trong không gian thì nó hoàn toàn có khả năng bị thất lạc hoặc đánh cắp rồi làm giả trạng thái, v.v… May mắn rằng họ đã được tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể được hoàn thành chỉ bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển thông báo kết quả phép

đo trên các qubit của mình để Bob thu được trạng thái gốc chỉ bằng các thao tác địa phương Đây là bài toán cổ điển sử dụng rối lượng tử trong việc truyền tải thông tin lượng tử đảm bảo an toàn, chính xác và bảo mật

Việc chuyển thông tin lượng tử khi mà người gửi được biết trạng thái gốc gọi là viễn tạo trạng thái lượng tử (Remote state preparation) [14-17] Trong trường hợp này Alice sẽ thực hiện phép đo của cô ấy trong hai phương thức viễn chuyển trạng thái lượng tử và viễn tạo trạng thái lượng tử khi cùng

14

gửi một trạng thái lượng tử thì trong trường hợp viễn tạo trạng thái lượng tử đòi hỏi ít hơn Tuy nhiên trong viễn tạo trạng thái lượng tử, Alice hoàn toàn biết bí mật thông tin đã được mã hóa trong trạng thái lượng tử Nhưng nếu như Alice là người không đáng tin cậy, cô ấy có thể đem thông tin đó cho người khác biết Vậy làm thế nào để có thể đảm bảo cho việc thông tin cần truyền đi được bảo mật, thậm chí ngay cả với người được giao trách nhiệm gửi? Phương án đưa ra để giải quyết vấn đề rất đơn giản, chỉ cần đưa thêm vào ít nhất một người nữa có nhiệm vụ gửi thông tin, hay cụ thể là quá trình truyền tin này cần có ít nhất hai người gửi thông tin Thông tin nằm trong một

bộ thông số của các trạng thái cần gửi sẽ được tách ra làm nhiều phần theo một quy luật bí mật nào đó do người giao nhiệm vụ quyết định, và mỗi người được gửi cho phép chỉ biết duy nhất một phần thông tin đó nhờ vậy tránh được sự mất toàn bộ thông tin Những giao thức những thực hiện theo ý tưởng này được gọi là đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (Joint remote state prepatation) [18-34] Từ đây, chúng ta có một bài toán truyền tin mới hấp dẫn các nhà khoa học nghiên cứu tìm ra lời giải

Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức đồng viễn tạo trạng thái lượng tử, những người gửi và người nhận ban đầu chia sẻ cùng nhau những trạng thái rối giống như nguồn tài nguyên không thể thiếu cho quá trình thực hiện Bài toán đòi hỏi chúng ta tìm ra những phương pháp giải

để chuyển một trạng thái lượng tử từ một nơi này đến một nơi khác với nguồn rối ban đầu đơn giản, dễ làm và ít tốn kém nhất Tuy nhiên mục đích lớn nhất vẫn là đạt được xác suất thành công cực đại Các nguồn rối rất phong phú, họ

có thể tạo với nhau các cặp rối EPR [1], trạng thái rối GHZ Horne-Zeilinger) [35] hay trạng thái W [36], v.v… việc tạo ra và phân phối rối lượng tử là một vấn đề khó và thực sự tốn kém Bởi vì chúng ta không thể tránh khỏi những nguy hiểm khi luôn có kẻ cố tìm cách để phá hỏng trạng thái

(Greenberger-rối cần tạo, điều đó buộc chúng ta phải có những quy trình nghiêm ngặt để kiểm tra sự chia sẻ các trạng thái cho những người gửi và người nhận Việc tạo rối đôi đơn giản và dễ thực hiện hơn rất nhiều so với việc tạo ra các bộ rối nhiều thành phần hơn, bởi các thao tác kiểm tra khi phân phối cho hai người đơn giản hơn và ít tốn kém hơn do đó việc sử dụng nó là đơn giản nhất và có lợi ích hơn về kinh tế

Các trạng thái rối kết hợp được sử dụng trong thông tin lượng tử rộng rãi, hiệu quả vì các trạng thái này dễ tạo rối, chi phí đầu tư ít, phù hợp với nhiều phương thức truyền trạng thái lượng tử Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng của trạng thái rối kết hợp đa mode trong viễn chuyển lượng tử và viễn tạo lượng tử

lý thông tin trên cơ sở lý thuyết lượng tử

Trạng thái lượng tử của qubit là một vecto trong không gian Hibert hai chiều được biểu diễn dưới dạng

với các thông số α, β là các số phức thỏa mãn điều kiện α: β: 1 và

|0變, |1變 làm thành một hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian đó

Bit cổ điển chỉ có thể ở một trong hai trạng thái là |0變, |1變 nhưng trạng thái của qubit lại là chồng chập tuyến tính của cả hai trạng thái |0變, |1變 do vậy qubit có thể lưu trữ thông tin trong các bit cổ điển và các bit lượng tử đã dẫn đến sự khác nhau về chất ngay từ đầu giữa việc xử lý thông tin của các máy tính cổ điển với các máy tính lượng tử Với việc tìm ra các thừa số nguyên tố của một số nguyên dài hàng trăm chữ số, máy tính cổ điển phải mất hàng tỉ năm nhưng máy tính lượng tử hoàn thành công việc đó trong vài giây Khi quan sát hay đo một bit cổ điển ta luôn thu được giá trị xác định nhưng khi

đo một qubit ta sẽ nhận được ngẫu nhiên một trong hai kết quả với xác suất nhất định nào đó Cụ thể, khi ta đo trạng thái (2.1) trên hệ cơ sở |0變, |1變 ta

thu được ngẫu nhiên một trong hai kết quả |0變 với xác suất : hoặc |1變 với xác suất β: Để xác định toàn bộ thông tin về α, β ta phải trạng thái (2.1) nhiều lần vì sau mỗi lần đo trạng thái ban đầu bị hủy Mọi cố gắng để giải mã toàn bộ thông tin nằm trong trạng thái gốc đều thất bại vì ta không thể tạo ra một trạng thái giống hệt trạng thái ban đầu do có sự ngăn chặn của định lý không thể nhân bản một trạng thái lượng tử bất kỳ Như vậy qubit chứa một lượng thông tin khổng lồ nhưng ta chỉ có thể biết hai giá trị cơ sở của nó, còn các thông tin khác mặc định đã bị ẩn đi Một phép đo lượng tử giống như một

“hộp đen” mà bên trong nó đã xử lý toàn bộ thông tin bị ẩn nhưng ta không thể tiếp cận mà chỉ có thể biết hai kết quả ở đầu ra

Do thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và các trạng thái lượng tử chính xác tới một thừa số pha nên ta có thể biểu diễn qubit (2.1) dưới dạng:

| 變 cos:|0變 sin:e㔨 |1變 (2.2)

với các thông số θ, φ là những số thực

Các tham số θ, φ xác định một điểm trên quả cầu đơn vị gọi là quả cầu Bloch |ψ變 là vecto r xuất phát từ tâm đến một điểm nằm trên quả cầu đó Vecto r được xác định nhờ thông số φ là góc hợp bởi hình chiếu của nó trên mặt phẳng x y với trục x và thông số θ là góc của nó với trục z (hình 2.1)

Hình 2.1: Quả cầu Bloch có bán kính đơn v

cho qubit Vị trí của m

Về bản chất, mỗi điểm tr

qubit Mà mặt cầu thì có vô h

thông tin lượng tử lên đến vô hạn chứ không phải chỉ l

điển Trong khi đó, xét theo mô h

nằm trên cực của mặt cầu n

Hình 2.2: Trạng thái củ

Bloch còn trạng thái củ

18

u Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu di

a mỗi qubit được xác định qua hai thông s

ề bản chất, mỗi điểm trên mặt cầu biểu diễn cho một trạng thái của

ì có vô hạn điểm, do đó, ta thấy ngay khả năng biểu diễn

ến vô hạn chứ không phải chỉ là 0 hoặc 1 nh

ển Trong khi đó, xét theo mô hình này, bit cổ điển chỉ có thể l

ực của mặt cầu này thôi (hình 2.2)

ủa bit cổ điển chỉ có thể nằm ở hai cực củ

ủa qubit có thể nằm ở mọi điểm trên quả

u diễn hình học

ặt cầu biểu diễn cho một trạng thái của

ạn điểm, do đó, ta thấy ngay khả năng biểu diễn

ặc 1 như bit cổ

ổ điển chỉ có thể là một điểm

ủa quả cầu cầu Bloch

Ngoài ra ta cũng có thể biểu diễn trạng thái của qubit dưới dạng ma trận tọa độ:

ρ 杨: I rσ痠痠 (2.3) với I là ma trận đơn vị, σ痠痠 σ , σ , σ trong đó σ , σ , σ là các ma trận Pauli

Bất kỳ hệ lượng tử nào cũng có thể dung để biểu diễn các qubit trong thực tế Ví dụ: trong quang học lượng tử, đối tượng nghiên cứu là các photon thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái phân cực của chúng; trong vật lý nguyên tử qubit được biểu diễn bởi trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích (n=2) của electron trong nguyên tử hydrogen

2.2 Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử

Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1982 bởi Wootter và Zurek [38] Nguyên nhân của hiện tượng này là

do tính chất chồng chập của các trạng thái lượng tử

Định lý không thể nhân bản trạng thái lượng tử được phát biểu như sau: Không thể coppy chính xác một trạng thái lượng tử bất kỳ

Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong quá trình xử lý thông tin lượng

tử Không thể coppy một trạng thái lượng tử làm cho việc sao chép thông tin lượng tử không thể thực hiện được, dẫn đến quá trình chuyển nó từ nơi này sang nơi khác được bảo mật sự bảo mật phân phối khóa lượng tử trong thể thức BB84 đã nói ở trên cũng dựa trên tính chất này Alice gửi cho Bob ngẫu nhiên một trong bốn trạng thái không hoàn toàn trực giao |0變, |1變, | 變, | 變 họ

có thể tin tưởng rằng không có một phép đo nào có thể lấy được thông tin mà không làm nhiễu loạn nó Tuy nhiên, điều đáng nói là cho tới năm 1982 định

20

lý mới chỉ ra nhưng nó lại hoàn toàn phù hợp với mọi quy luật của thuyết lượng tử đã tồn tại trước đó Nếu có thể coppy được một trạng thái lượng tử thì ta sẽ có vô số bản sao của nó và thực hiên các phép đo lên nó mà không làm mất đi trạng thái gốc Như vậy ta có thể xác định được tất cả các thông tin của một trạng thái lượng tử Định lý trên cho thấy ta chỉ có thể được một phần giới hạn thông tin về trạng thái lượng tử bất kỳ, nó khác hoàn toàn với lý thuyết cổ điển vì thông tin cổ điển có thể được đọc và sao chép hoàn toàn mà không hề ảnh hưởng tới trạng thái gốc, vì vậy mà ta chỉ cần một bản sao cổ điển là có thể giải mã đầy đủ thông tin của trạng thái ban đầu Đặc biệt, nếu

có thể sao chép một trạng thái lượng tử bất kỳ thì ta hoàn toàn có thể truyền thông tin đi nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không thông qua việc sử dụng các rối lượng tử, điều này mâu thuẫn với thuyết tương đối của Einstein

Sự phù hợp của định lý với thuyết tương đối đã được chỉ ra trong các bài báo [39-41] Định lý không nhân bản một trạng thái lượng tử cũng ngăn cản các

kỹ thuật sửa lỗi cổ điển trên một trạng thái lượng tử vì không thể sao chép để tạo ra một bản sao trong quá trình xử lý và tính toán để đem ra sử dụng và sửa lỗi Đến năm 1995 Shor đã cung cấp giải pháp sửa lỗi lượng tử đầu tiên để phát hiện và sửa lỗi một trạng thái lượng tử [42]

2.3 Rối lượng tử

Rối lượng tử là điều bí ẩn tuyệt vời của cơ học lượng tử Nó là một trong những nguyên nhân của sự khác nhau giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển Rối lượng tử là sự tồn tại trạng thái chung của hai hay nhiều hệ lượng tử con có mối liên hệ rằng buộc với nhau Khi các hạt lượng tử được rối với nhau thì ta không thể biết được trạng thái riêng của từng hạt mà ta chỉ có thể biết trạng thái tồn tại chung của chúng Để có thể xác định trạng thái riêng của từng hạt ta phải thực hiên các phép đo lên nó Trong lý thuyết cổ điển, các hệ

con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng không có sự tác động của bên ngoài liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với các hệ lượng tử khi mà chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời Tuy nhiên nếu các hệ lượng tử bị rối với nhau thì chúng sẽ không còn tồn tại độc lập nữa, Mỗi tác động lên hệ con này sẽ ảnh hưởng tức thời tới các hệ con khác Mỗi phép đo trên một hệ con bất kỳ có thể cho nhiều kết quả với xác suất nhất định, từ đó

ta xác định được trạng thái của hạt còn lại Điều thú vị là quá trình này không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các hệ con

Ta sẽ xem xét một hệ lượng tử như thế nào sẽ được gọi là rối? Ta xét trạng thái lượng tử N N 2 qubit xác định trong không 杨 : …

có dạng:

|Φ杨: 變 α杨|00 … 00變 α:|00 … 01變

αl|00 … 10變 α杨: |00 … 00變 杨:… (2.4) với các thông số α㔨 i 1,2, , 2 là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa: ∑ |α: 㔨|:

㔨 杨 1 Nếu trạng thái |Φ杨: 變 thỏa mãn điều kiện:

|Φ杨: 變 | 杨變 |Φ杨變 … |Φ 變 với | 㔨變 (2.5) thì trạng thái |Φ杨: 變 được gọi là trạng thái tích hay trạng thái rời của N qubit

Nếu ngược lại: |Φ杨: 變 | 杨變 |Φ杨變 … |Φ 變 (2.6) thì |Φ杨: 變 gọi là trạng thái rối của N qubit

Sau đây ta xét trường hợp cụ thể đối với hai qubit A và B trong không gian Hilbert 4 chiều Chọn một cơ sở gồm 4 vecto trực chuẩn

22

|00變, |01變, |10, |11變 , khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit được viết dưới dạng:

|ψ變갈m α|00變갈m β|01變갈m γ|10變갈m δ|11變갈m (2.7) với các α, β, γ, δ là các số phức bất kỳ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

α: β: γ: δ: 1 Ở đây ta có thể dễ dàng chứng minh được:

· Nếu αδ βγ thì trạng thái trên là trạng thái tích hay trạng thái rời

· Nếu αδ βγ thì trạng thái trên là trạng thái rối của hai hạt A và B

Thật vậy, nếu αδ βγ thì với mọi số phức bất kỳ ta có

Đây là trạng thái tích của hai qubit A và B

Ngược lại, nếu αδ βγ thì |ψ變갈m β|0變 |1變 갈 |0變 |1變 m, trong trường hợp này, hai qubit A và B rối với nhau

Nếu công thức trên α β 杨: và β γ 0 thì:

|Ψ變갈m |B , 變갈m √:杨 |00變 |11變 갈m (2.9)

Đây chính là |Φ 變갈m một trong bốn cặp rối EPR Ba cặp rối còn lại có

|B , 變갈m √:杨 ∑ 1 |l變갈|l n變m (2.13)

với phép là phép cộng trong hệ nhị phân Đồng thời ta cũng tim được công

thức tổng quát biểu diễn ngược lại như sau:

|mn變갈m |m變갈|n變m √:杨 ∑杨 1 B , 變갈m với m, n 0,1 (2.14)

Xem xét các công thức trên ta thấy rằng các trạng thái EPR thỏa mãn là

các trạng thái rối Một trạng thái EPR được đặc trưng bởi hai bit thông tin, bit

chẵn lẻ (Φ hay Ψ và bít pha (+ hay -) Khi hai hạt lượng tử được chia nhau

một trong bốn cặp rối trên thì không thể biết trạng thái rối của cả hệ nếu chỉ

thực hiện phép đo địa phương lên từng hạt bởi mỗi phép đo chỉ có thể xác

định một phần thông tin của trạng thái, chẵn lẻ hoặc pha Điều này có ý nghĩa

rất quan trọng bởi thông tin được mã hóa trong các trạng thái đó mang ý nghĩa

bảo mật tuyệt đối, ngăn chặn hoàn toàn sự đánh cắp thông tin khi mà hai hạt

được rối với nhau không lại gần nhau

Giả sử Alice muốn chuyển cho Bob hai bit cổ điển thay vì phải chuyển

đi hai qubit thì Alice chỉ phải gửi đi một qubit khi hai người tạo với nhau một

24

trong bốn trạng thái EPR, |Φ 變 4 chẳng hạn Ở đây qubit A của Alcie, B của Bob Alice có thể dùng các toán tử địa phương để chuyển đổi qua lại các trạng thái EPR cho nhau

Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thêm về các trạng thái rối khác như trạng thái rối GHZ và trạng thái rối W, đó là các trạng thái rối của ba hạt lượng tử trở lên

Đối với rối ba, GHZ và W có dạng như sau:

|GHZ變갈md √:杨 |000變 |111變 갈md (2.15) |W變갈md √l杨 |100變 |010變 |001變 갈md (2.16)

Các trạng thái rối 3 GHZ có thể được viết dưới dạng tổng quát sau:

G , , 變갈md √:杨 ∑杨 1 |k, k m, k n變갈md (2.17) tạo thành tám vecto cơ sở cho phép đo GHZ

Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ và W có dạng:

tử mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu thấu đáo độ rối của một hệ lượng tử

gồm hai qubit Việc xác định độ rối đối với trạng thái lượng tử rối nhiều thành phần như rối ba (GHZ,W) hay trạng thái khóm (cluster states) hay các trạng thái qudit (một hệ lượng tử trong không gian d chiều),… là rất khó và chưa được giải quyết triệt để

Bây giờ ta xác định độ rối lượng tử của một trạng thái hai qubit a và b trong không gian Hilbert hai chiều 䆀 và 9 bằng một đại lượng “độ dồng

quy” C (concurrence) Gọi |0䆀變, |1䆀變 |09變, |19變 là hai vecto cơ sở trực chuẩn trong ( 9 Trạng thái của hai qubit a và b trong ( là:

|Ψ變䆀9 c |00變䆀9 c 杨|01變䆀9 c杨 |10變䆀9 c杨杨|11䆀9 (2.20) với điều kiện chuẩn hóa ∑杨 c㔨i : 1

㔨,i Độ đồng quy C của trạng thái trên là:

nếu C |Ψ變䆀9 1 thì |Ψ變䆀9 rối cực đại

2.4 Tạo rối lượng tử

Rối lượng tử là nguồn tài nguyên quan trọng không thể thiết trong quá trình xử lý thông tin lượng tử Tuy nhiên, trong thực tế, việc tạo rối lượng tử

26

không đơn giản và rất tốn kém cho dù cơ sở lý thuyết cho phép làm được điều

đó Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ dừng lại ở việc trình bày hai cách đơn giản để tạo ra các trạng thái rối, đó là dùng các cổng lượng tử và dùng các thiết bị quang học

*Cách thứ nhất: dùng các cổng lượng tử để tạo các trạng thái rối Đầu tiên, muốn tạo được một trạng thái rối EPR ta cần hai qubit a và b có dạng:

|0䆀變, |1䆀變 |09變, |19變 Làm thế nào để chúng rối với nhau thành trạng thái

EPR? Để làm điều đó ta sử dụng một cổng lượng tử Hadamad (H) và một cổng lượng tử controlled- NOT( CNOT)

· Cổng lượng tử Hadamard hoạt động trên một qubit được xác định bởi công thức sau:

· Cổng lượng tử controlled-NOT là cổng lượng tử tác động lên hai qubit

với hai đầu vào và hai đầu ra, được biểu diễn như sau:

CNOT杨:|x變杨|y變: |x變杨|x y變: (2.25)

với x, y 0,1 CNOT杨: với qubit 1 được gọi là qubit điều khiển, qubit 2 là

qubit bia Ma trận biểu diễn CNOT có dạng như sau:

Ta dễ dàng thấy: CNOT CNOT

CNOT: I

Tiếp theo, ta dùng 1 cổng lượng tử Hadamard 杨 tác dụng lên qubit a

và một cổng ྠà t杨: chỉ tác dụng lên qubit a và dùng qubit b làm bia, ta thu được ở đầu ra cac trạng thái rối EPR (hình 2.3)

28 CNOT杨:H杨|1變杨|1變: √:杨 |00變 |11變 杨: (2.34)

Tương tự, ta sẽ tạo trạng thái rối ba GHZ từ ba trạng thái qubit a,b,c bằng

cách dùng 1 cổng lượng tử Hadamard 杨 tác dụng lên qubit a và một cổng

ྠà t杨: chỉ tác dụng lên qubit a và dùng qubit b làm bia, một cổng ྠà t杨lchỉ tác dụng lên qubit a và dùng qubit c làm bia ta thu được ở đầu ra các trạng thái rối GHZ (hình 2.4)

CNOT杨:CNOT杨lH杨|1變杨|1變:|0變l √:杨 |101變 |010變 杨:l (2.41)

CNOT杨:CNOT杨lH杨|1變杨|1變:|1變l √:杨 |100變 |011變 杨:l (2.42)

Như vậy ta đã tạo được trạng thái rối EPR và GHZ bằng các cổng

lượng tử Hadamrd H và CNOT

Ngoài ra, ta cũng có thể tạo các trạng thái rối từ các thiết bị quang học tuyến tính gồm một bộ tách chùm 50:50, một bộ dịch pha và một trạng thái ban đầu như sau:

csq 變 N α√2變䆀 α√2變䆀 (2.43)

trong đó N 2 1 e | | 杨 :⁄ là các thừa số chuẩn hóa

Bộ tách chùm là một trong những thiết bị quang quan trọng trong các

sơ đồ tính toán và tạo ra trạng thái rối kết hợp Bộ tách chùm có thể xem như một tấm gương bán mạ Khi ánh sáng đi qua nó thì sẽ bị phản xạ một phần và truyền qua một phần Tác dụng chính của bộ tách chùm là trộn hai chùm ánh sáng mode a và mode b lại với nhau và được mô tả bởi toán tử Unita như sau:

Hoàn toàn tương tự ta có thêm các biểu thức sau: