Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến (K,Uo) - Lõm chính quy đều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ LIỆU ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS - T

NGUYỄN THỊ LIỆU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LIỆU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy

HÀ NỘI - 2011

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư - Tiến

sĩ - Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn vàtruyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiêncứu khoa học Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên tronghọc tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng cácquý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹpchương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Ngô SĩLiên - Bắc Giang, tổ Toán - Tin, các đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọiđiều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Thị Liệu

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy.Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Thị Liệu

Mở đầu v

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Không gian định chuẩn thực 1

1.1.1 Các định nghĩa 1

1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 4

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 14

1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực 14

1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E 15

1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 22

1.2.4 Không gian Eu0 23

1.2.5 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 27

Chương 2 Toán tử (K, u0) - lõm chính quy 42

2.1 Toán tử (K, u0) - lõm 42

2.1.1 Các định nghĩa 42

2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0) - lõm 43

2.1.3 Ví dụ về toán tử (K, u0) - lõm 48

2.2 Toán tử (K u0) - lõm chính quy 52

2.2.1 Định nghĩa 52

2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0) - lõm chính quy 52

2.2.3 Ví dụ về toán tử (K, u0) - lõm chính quy 56

iii

Chương 3 Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõmchính quy 593.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0)

- lõm chính quy 593.2 Ví dụ áp dụng 66Kết luận 68

1 Lí do chọn đề tài

Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xétphương trình:

trong đó A là một toán tử tác động trong một không gian hàm nào đó,

x là phần tử phải tìm Phần tử x thoả mãn (1) gọi là điểm bất động củatoán tử A

Người đặt nền móng cho việc nghiên cứu điểm bất động của toán

tử A là nhà toán học người Balan Stefan Banach với nguyên lí nổi tiếng:nguyên lí ánh xạ co (công bố năm 1922) Tiếp đến có nhiều nhà toánhọc có các công trình nghiên cứu về điểm bất động của toán tử trongcác không gian hàm Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đãnghiên cứu lớp toán tử phi tuyến - Toán tử lõm (1956) về điểm bất động

và vectơ riêng; Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Baxtin mở rộng cáckết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0) - lõm (1984)

Các lớp toán tử trên có chung tính chất u0 - đo được Tính chất

u0 – đo được trong định nghĩa toán tử lõm khiến cho việc ứng dụng cáckết quả gặp khó khăn Tuy nhiên tồn tại những lớp toán tử phi tuyếnkhông có tính chất u0 – đo được, nhưng cũng có những tính chất nhưtoán tử lõm Một trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử lõmchính quy

v

Năm 1987, trong bài báo đăng trên tạp chí Toán học, tập XV,

số 1, 27 - 32, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã xây dựng khái niệm toán

tử lõm chính quy và sự mở rộng các định lí quan trọng về điểm bấtđộng đối với toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy Với mong muốn

mở rộng các kết quả tương ứng đối với toán tử lõm chính quy cholớp toán tử phi tuyến (K, u0) – lõm chính quy, tôi đã chọn đề tài:

“Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ nghiên cứu củaluận văn là:

+ Nghiên cứu một số tính chất về toán tử (K, u0) - lõm chính quy.+ Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõmchính quy

+ Vận dụng một số kết quả nghiên cứu vào một số không gian địnhchuẩn thực cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Toán tử (K, u0) - lõm chính quy

+) Phạm vi nghiên cứu:

- Tính chất điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quy;

- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u0) - lõm chính quy;

- Vận dụng một số kết quả nghiên cứu vào một số không gianđịnh chuẩn thực cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Vận dụng (hay áp dụng) một số kết quả nghiên cứu vào một

số không gian định chuẩn thực cụ thể

6 Dự kiến đóng góp mới

- Xây dựng khái niệm toán tử (K, u0)– lõm chính quy và ví dụ

- Trình bày một cách hệ thống các tính chất của toán tử(K, u0) – lõm chính quy

- Một số điều kiện tồn tại điểm bất động của toán tử(K, u0) – lõm chính quy

- Vận dụng các kết quả đạt được trong một số không gian địnhchuẩn thực cụ thể

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian định chuẩn thực

1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn trên

E là một ánh xạ từ E vào R, kí hiệu k.k(đọc là chuẩn), thỏa mãn cácđiều kiện sau:

i,∀x ∈ E, kxk ≥ 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử khôngtrong không gian E);

ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, kαxk = |α| kxk;

iii,∀x, y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk (bất đẳng thức tam giác)

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩntrên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, k.k) hay E.Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm{xn}∞n=1 ⊂ E gọi là hội tụ đến x ∈ E nếu lim

Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm{xn}∞n=1 hội tụ đến x thì dãy chuẩn {kxnk}hội tụ tới kxk Nói khác đikxk là một hàm liên tục của biến x.

Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kykhay

kxk − kyk ≤ kx − yk Đổi vai trò của x, y ta lại có

kyk − kxk ≤ kx − yk

Do đó ta có

|kxk − kyk| ≤ kx − yk Suy ra

Mệnh đề 1.1.3 Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm{xn}∞n=1 hội tụ tới x, dãy điểm {yn}∞n=1 hội tụ tới y và trong R dãy số{αn}∞n=1 hội tụ tới α thì:

kαnxn − αxk = kαnxn− αnx + αnx − αxk

≤ kαn(xn− x)k + k(αn− α) xk

≤ |αn| kxn − xk + |αn − α| kxk

Vì αn → α, n → ∞ nên |αn − α| → 0, n → ∞ và dãy {|αn|} bị chặn;còn xn → x, n → ∞ nên kxn − xk → 0, n → ∞

Do đó |αn| kxn − xk + |αn − α| kxk → 0 khi n → ∞

hay kαnxn− αxk → 0, n → ∞ Vì vậy αnxn → αx, n → ∞ trong khônggian E

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm{xn}∞n=1 ⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim

n,m→∞kxn − xmk = 0hay ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 ta có kxn − xmk < ε

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian định chuẩn E Không gian E gọi làkhông gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ

1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực

1.1.2.1.Không gian R n (n ∈ N∗)

Dễ kiểm tra Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n} (n ∈ N∗)với hai phép toán thông thường

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) ,

αx = (αx1, αx2, , αxn) ,trong đó α ∈ R, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn là mộtkhông gian tuyến tính thực với phần tử không là θ = (0, 0, , 0)

Ta có Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn của phần tử

x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn xác định bởi

kxk =

vuut

X

i=1

x2 i

vuut

x(k)i − xi

< ε, ∀k ≥ k0, ∀i = 1, 2, , n (1.2)Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, , n dãy số thựcn

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

Theo định nghĩa ta có ∀ε > 0, với mỗi i = 1, 2, , n, ∃ki ∈ N∗ : ∀k ≥ ki

x(k)i − xi

o

= kxk + kyk

Hơn nữa sự hội tụ trong D[a;b]m theo chuẩn (1.6) của dãy {xn} tươngđương với sự hội tụ đều của dãy hàm {xn(s)} cùng với dãy các đạo hàmtương ứng đến cấp m hội tụ đều trên [a; b]

n

x(k)n (s)

ohội tụ đều tới đạo hàm x(k)(s) trên [a; b] , (k = 1, 2, , n).Ngược lại giả sử dãy hàm {xn(s)} ⊂ D[a;b]m hội tụ đều tới hàm x (s) cùngvới các dãy đạo hàm

n

x(k)n (s)

ohội tụ đều tới đạo hàm x(k)(s) trên[a; b] , (k = 1, 2, , n)

Ta có {xn(s)} hội tụ đều tới x (s) trên [a; b], nên

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ : ∀n ≥ n0 ta có |xn(s) − x (s)| < ε

m + 1.Suy ra

∀ε > 0, ∃nk ∈ N∗ : ∀n ≥ nk ta có

x(k)n (s) − x(k)(s)

< ε

m + 1.Suy ra

max

a≤s≤b

... k0, ∀i = 1, 2, , n (1.2)Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với i = 1, 2, , n dãy số thựcn

k = 1, 2, hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2,... class="page_container" data-page="16">

1.1.2.2.Không gian C[a;b]

Dễ kiểm tra C[a;b] = x = x (s) : x (s) hàm số xác định liên tục [a; b]

là không gian tuyến tính... định chuẩn với chuẩn xác định (1.6).Thật vậy, ta chứng minh công thức (1.6) thỏa mãn điều kiện củamột chuẩn:

*) Với x ∈ Dm[a;b] x (s) xác định có đạo hàm liên tục