Ứng dụng phương pháp newton-kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến

Tæi xin cam oan luªn v«n l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi d÷îisü h÷îng d¨n cõa PGS.. Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich.. Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich... Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ph

T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi th¦y gi¡o PGS.

TS Khu§t V«n Ninh, ng÷íi ¢ h÷îng d¨n v  gióp ï tªn t¼nh º t¡cgi£ ho n th nh luªn v«n n y T§m g÷ìng am m¶ nghi¶n cùu khoa håc,nghi¶m tóc trong cæng vi»c cõa th¦y ¢ gióp cho t¡c gi£ câ þ thùc tr¡chnhi»m v  quy¸t t¥m cao khi ho n th nh luªn v«n cõa m¼nh

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y gi¡o d¤y cao håc chuy¶n

ng nh To¡n gi£i t½ch, Ban gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤i håc Tr÷íng ¤ihåc s÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ truy·n thö ki¸n thùc v  t¤o måi i·u ki»ngióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªnv«n n y T¡c gi£ c£m ìn Sð GD-T Qu£ng Ninh, Ban gi¡m hi»u tr÷íngTHPT Tr¦n Phó ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ an t¥m håctªp v  ho n th nh tèt luªn v«n

Xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh v  b¤n b± ¢ còng çng h nh, gióp ït¡c gi£ trong suèt khâa håc th¤c s¾ n y

H  Nëi, th¡ng 11 n«m 2011

T¡c gi£

Tæi xin cam oan luªn v«n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi d÷îi

sü h÷îng d¨n cõa PGS TS Khu§t V«n Ninh

Trong khi nghi¶n cùu luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håccõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

Mët sè k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn v«n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñccæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o cõa ai kh¡c

H  Nëi, th¡ng 11 n«m 2011

T¡c gi£

Mð ¦u 1

1.1 Khæng gian Banach 4

1.2 Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach 5

1.3 To¡n tû tuy¸n t½nh 6

1.4 ¤o h m Fr²chet 9

1.5 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n 12

1.6 Ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n li¶n quan 14

1.6.1 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p 14

1.6.2 Ph÷ìng ph¡p nh¥n suy bi¸n 15

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich 18 2.1 Ph÷ìng ph¡p l m trëi 18

2.1.1 To¡n tû kh£ vi 19

2.1.2 To¡n tû khæng kh£ vi 23

2.2 Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich 26

2.2.1 Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich 26

Urysohn 373.1.2 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n Volterra 393.1.3 Thuªt to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n

theo ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich 413.2 V½ dö 423.3 Ùng döng gi£i g¦n óng tr¶n m¡y t½nh i»n tû b¬ng ph¦n

m·m Maple 13 57

÷ñc ành ngh¾a giúa hai khæng gian Banach F : X −→ Y , theo ph÷ìngph¡p mð rëng â x¥y düng ÷ñc d¢y l°p hëi tö tîi nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (1)

xn+1 = xn − [F0(xn)]−1F (xn), n = 0, 1, 2, (2)

v  ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich.Trong ành lþ mang t¶n m¼nh, Kantorovich ¢ ch¿ ra ÷ñc c¡c i·uki»n cõa gi¡ trà ban ¦u x0 º d¢y (2) hëi tö ¸n nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (1)

âng gâp ch½nh cõa GS Kantorovich l  sû döng c¡c cæng cö Gi£i t½ch

h m º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n cõa Gi£i t½ch sè Æng công ÷a ra ÷ñccæng thùc têng qu¡t cõa b i to¡n vîi nhi·u ùng döng: h» ph÷ìng tr¼nhphi tuy¸n, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  t½ch ph¥n, b i to¡n bi¸n ph¥n,

Sau khi Fredholm ÷a ra ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh trongmët b i b¡o cõa m¼nh n«m 1903, lþ thuy¸t to¡n tû t½ch ph¥n ¢ ph¡ttriºn r§t m¤nh m³ v  câ ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc, trong â câ c£

lþ thuy¸t chuéi Fourier v  t½ch ph¥n Fourier Tuy vªy, to¡n tû t½ch ph¥ntuy¸n t½nh v¨n ch÷a ¡p ùng ÷ñc mët sè b i to¡n trong thüc t¸ côngnh÷ trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c Mët thíi gian sau â lþ thuy¸t to¡n

tû t½ch ph¥n phi tuy¸n ÷ñc · cªp v  ¢ ¡p ùng ÷ñc y¶u c¦u cõaTo¡n håc v  thüc ti¹n

Vi»c gi£i x§p x¿ c¡c b i to¡n câ þ ngh¾a thüc t¸ quan trång, °c bi»ttrong giai o¤n hi»n nay vîi sü hé trñ cõa m¡y t½nh i»n tû vi»c n y

c ng trð l¶n câ hi»u lüc Ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich x¥y düng

÷ñc d¢y x§p x¿ hëi tö ¸n nghi»m vîi tèc ë hëi tö tèt, câ thuªt to¡n

rã r ng, câ thº c i °t ÷ñc c¡c ch÷ìng tr¼nh cho m¡y t½nh i»n tû thüchi»n

Vîi c¡c lþ do nh÷ tr¶n chóng tæi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu, nghi¶ncùu s¥u hìn v· Ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich v  ùng döng v o gi£imët lîp b i to¡n câ nhi·u ùng döng trong khoa håc tü nhi¶n, kinh t¸, kÿthuªt - ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n D÷îi sü ành h÷îng v  h÷îngd¨n cõa PGS TS Khu§t V«n Ninh, chóng tæi quy¸t ành chån · t i

"Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich

gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n"

l m · t i khâa luªn tèt nghi»p th¤c s¾ ng nh To¡n gi£i t½ch

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Tr¼nh b y lþ thuy¸t cõa ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich v  ùngdöng º gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n, çng thíi nghi¶n cùugi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n tr¶n m¡y t½nh i»n tû

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

- Ph÷ìng ph¡p Newton  Kantorovich

- Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton  Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n phi tuy¸n

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nh t½chph¥n phi tuy¸n

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu lþ luªn, t i li»u chuy¶n kh£o

- Ph¥n t½ch, têng hñp ki¸n thùc

6 âng gâp mîi cõa luªn v«n

- Gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n tr¶n m¡y t½nh i»n tû

Ki¸n thùc bê trñ

1.1 Khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.1.1 (Khæng gian ành chu©n) Mët khæng gian ành chu©n(hay khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n) l  khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶ntr÷íng P (P = R ho°c P = C) còng vîi mët ¡nh x¤ X → R, ÷ñc gåi

l  chu©n v  kþ hi»u l  k.k thäa m¢n c¡c ti¶n · sau:

1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk;

3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Sè kxk gåi l  chu©n cõa v²c tì x Ta công kþ hi»u khæng gian ành chu©n

l  X C¡c ti¶n · 1), 2), 3) gåi l  h» ti¶n · chu©n

ành ngh¾a 1.1.2 (Sü hëi tö trong khæng gian ành chu©n) D¢y iºm{xn} cõa khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l  hëi tö tîi iºm x ∈ Xn¸u lim

÷ñc gåi l  gåi l  khæng gian Banach, n¸u måi d¢y cì b£n trong X ·uhëi tö.

V½ dö 1.1.1 X²t khæng gian v²c tì k - chi·u Rk, vîi méi x ∈ Rk,

V½ dö 1.1.2 Khæng gian l2 bao gçm t§t c£ nhúng d¢y sè thüc (ho°cphùc) x = (xn) sao cho chuéi P∞

ành ngh¾a 1.2.1 Cho hai khæng gian metric M1 = (X, d1) ;

M2 = (X, d2) nh x¤ khæng gian M1 v o khæng gian M2 gåi l  ¡nh x¤

co, n¸u tçn t¤i sè α, 0 ≤ α < 1 sao cho:

d2(Ax, Ax0) ≤ αd1(x, x0) , ∀x, x0 ∈ X

Trong mët ph²p ¡nh x¤ tø X v o ch½nh nâ câ thº câ nhúng iºm m 

£nh cõa nâ tròng vîi ch½nh nâ: nhúng iºm nh÷ th¸, tùc l  nhúng iºm

x sao cho Ax = x gåi l  iºm b§t ëng trong ¡nh x¤ Vi»c t¼m iºm b§t

ëng cõa mët ¡nh x¤ l  v§n · câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch, nh§t

l  trong lþ thuy¸t c¡c ph÷ìng tr¼nh (vi ph¥n, ¤o h m ri¶ng, t½ch ph¥n),

v¼ mët iºm x b§t ëng trong ¡nh x¤ A ch½nh l  líi gi£i cõa ph÷ìngtr¼nh Ax = x

ành lþ 1.2.1 (Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach) Måi ¡nh x¤ co A ¡nh x¤khæng gian metric õ (¦y õ) M = (X, d) v o ch½nh nâ ·u câ iºmb§t ëng x∗ duy nh§t

Chùng minh Xem [5]

1.3 To¡n tû tuy¸n t½nh

Cho X, Y l  hai khæng gian ành chu©n

ành ngh¾a 1.3.1 (To¡n tû tuy¸n t½nh) Mët to¡n tû A : X → Y gåi

l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

trong â aij l  nhúng h¬ng sè Ma trªn (aij)m×n gåi l  ma trªn cõa to¡n

tû A D¹ th§y (1.1) l  d¤ng têng qu¡t cõa måi to¡n tû tuy¸n t½nh tø

[a;b]) l  to¡n tû tuy¸n t½nh A gåi l  to¡n tû vi ph¥n

V½ dö 1.3.3 X ≡ Y ≡ C[a;b], Ax (t) = Rb

a

K (t, s)x (s) ds, trong â

K (t, s) l  h m li¶n töc theo 2 bi¸n t, s trong h¼nh vuæng a ≤ t, s ≤ b

A l  to¡n tû tuy¸n t½nh v  ÷ñc gåi l  to¡n tû t½ch ph¥n

ành ngh¾a 1.3.2 (To¡n tû li¶n töc) Gi£ sû X, Y l  hai khæng gian

ành chu©n To¡n tû A : X → Y gåi l  li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u:

∀ {xn} ⊂ X, xn → x0(n → ∞) th¼ Axn → Ax0(n → ∞)

To¡n tû A gåi l  li¶n töc tr¶n X n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm thuëc X

ành ngh¾a 1.3.3 (To¡n tû bà ch°n) To¡n tû A : X → Y gåi l  bàch°n n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè K > 0 sao cho:

kAxk ≤ K kxk , (∀x ∈ X)

ành ngh¾a 1.3.4 (To¡n tû ng÷ñc) To¡n tû A gåi l  câ to¡n tû ng÷ñckhi v  ch¿ khi KerA = {θ} tùc l  ph÷ìng tr¼nh Ax = 0 ch¿ câ mët nghi»mduy nh§t x = θ Kþ hi»u A−1

Nhªn x²t 1.1 A−1 l  to¡n tû tuy¸n t½nh tø ImA l¶n X v 

ành lþ 1.3.3 To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y câ to¡n tû ng÷ñc A−1

li¶n töc khi v  ch¿ khi tçn t¤i h¬ng sè α > 0 sao cho:

kAxk ≥ α kxk , (∀x ∈ X) (1.4)

A−1 ≤ 1

αChùng minh Xem [5]

1.4 ¤o h m Fr²chet

Cho X, Y l  hai khæng gian Banach To¡n tû f : X → Y (khæng nh§tthi¸t tuy¸n t½nh)

ành ngh¾a 1.4.1 Cho x l  mët iºm cè ành trong khæng gian Banach

X To¡n tû f : X → Y gåi l  kh£ vi (theo ngh¾a Fr²chet) t¤i x n¸u tçnt¤i mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A : X → Y sao cho :

(chó þ r¬ng f0(x) l  mët to¡n tû n¶n kþ hi»u ð v¸ ph£i câ ngh¾a l  tràcõa to¡n tû f0(x) t¤i h, æi khi º tr¡nh nh¦m l¨n ta vi¸t [f0(x)] (h))

ành lþ 1.4.1 Mët to¡n tû ÷ñc ành ngh¾a tr¶n mët tªp con mð cõamët khæng gian Banach l  kh£ vi Fr²chet t¤i mët iºm th¼ nâ li¶n töct¤i iºm â

Chùng minh Cho Ω l  mët tªp mð trong khæng gian Banach X To¡n

tû f : Ω → Y L§y x ∈ Ω v  ε > 0 thäa m¢n x + h ∈ Ω, ð â khk < ε

th¼ kf (x + h) − f (x)k = kA (h) + Φ (x, h)k → 0 khi khk → 0 i·u n ychùng tä r¬ng f li¶n töc t¤i x.

ành lþ 1.4.2 (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m Fr²chet) N¸u mët to¡n tû

câ ¤o h m th¼ ¤o h m â l  duy nh§t

Chùng minh Cho X, Y l  hai khæng gian Banach Vîi méi x ∈ X, gi£

sû A, B l  hai to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc còng l  ¤o h m cõa to¡n tû

f : X → Y t¤i x Khi â (∀h ∈ X) ta câ:

f (x + h) − f (x) = A (h) + ΦA(x, h)

f (x + h) − f (x) = B (h) + ΦB (x, h)Suy ra

A (h) − B (h)

ΦB(x, h) − ΦA(x, h)

khk → θ khi khk → 0Nh÷ng (∀k ∈ X), (∀ε > 0) ta câ: A(k)−B(k)

kkk = A(εk)−B(εk)kεkk Khi ε → 0th¼ εk → θ n¶n v¸ ph£i d¦n tîi θ do â A (k) = B (k) , ∀k ∈ X hay

A ≡ B

ành lþ 1.4.3 Cho X, Y, Z l  nhúng khæng gian Banach thüc N¸u

g : X → Y l  kh£ vi Fr²chet t¤i x ∈ X v  f : Y → Z kh£ vi Fr²chett¤i y = g (x) ∈ Y th¼ φ = f ◦ g công kh£ vi Fr²chet t¤i x v  φ0(x) =

f0(g (x)) g0(x)

Chùng minh Vîi x, h ∈ X, ta câ: φ (x + h) − φ (x) = f (g (x + h)) −

f (g (x)) = f (g (x + h) − g (x) + g (x)) − f (g (x)) = f (d + y) − f (y),

trong â d = g (x + h) − g (x) Do â kφ (x + h) − φ (x) − f0(y) dk =

o (kdk), trong biºu di¹n cõa kd − g0(x) hk = o (khk) Suy ra

∂xj (ma trªn Jacobi cõa f)

ành ngh¾a 1.4.2 Gi£ sû to¡n tû f : X → Y kh£ vi t¤i måi iºmthuëc tªp mð Ω ⊂ X ¤o h m n y nh÷ ¢ ành ngh¾a ð tr¶n l  mëtto¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y , tùc l  f0 : Ω → L (X, Y ) Ta nâito¡n tû f hai l¦n kh£ vi t¤i x n¸u f0 kh£ vi t¤i x ngh¾a l  tçn t¤i mëtto¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc Q : Ω → L (X, Y ) sao cho vîi x, k ∈ Ω câ

f0(x + k) − f0(x) = Q (k) + Φ (x, k) vîi kΦ(x,k)k

kkk → 0 khi kkk → 0

Vîi måi h ∈ X ta câ: f0(x + k) h − f0(x) h = Q (k) h + Φ (x, k) h

hay df (x + k, h) − df (x, h) = Q (k) h + Φ (x, k) h

°t Q (k, h) = Q (k) h, ta th§y Q (k, h) l  to¡n tû song tuy¸n t½nhli¶n töc tø X × X → Y

To¡n tû Q gåi l  ¤o h m c§p hai cõa f t¤i x, kþ hi»u l  f00(x)

Q (k, h) gåi l  vi ph¥n Fr²chet c§p hai cõa to¡n tû f t¤i x, kþ hi»u l 

÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh lo¤i II

• N¸u A l  to¡n tû t½ch ph¥n tuy¸n t½nh th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5), (1.6)

l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh

• N¸u A l  to¡n tû t½ch ph¥n nh÷ng khæng gi£ thi¸t tuy¸n t½nh th¼ph÷ìng tr¼nh (1.5), (1.6) l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n t½nh

trong â K[x, t, y(t)](t, s ∈ [a, b]) l  h m sè ba bi¸n li¶n töc; y(x) l  h m

sè ch÷a bi¸t, li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]; ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥nphi tuy¸n Volterra, t÷ìng ùng lo¤i I v  lo¤i II d¤ng Urysohn K[x, t, y(t)]

trong â K[x, t, y(t)](t, s ∈ [a, b]) l  h m sè ba bi¸n li¶n töc; y(x) l  h m

sè ch÷a bi¸t, li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]; ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥nphi tuy¸n Fredholm, t÷ìng ùng lo¤i I v  lo¤i II d¤ng Urysohn

Ta nâi nh¥n K[x, t, y(t)] cõa to¡n tû t½ch ph¥n l  suy bi¸n n¸u

1.6 Ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n li¶n quan

1.6.1 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p

X²t ph÷ìng tr¼nh (1.6), °t T x = λAx + f T li¶n töc Lipschitz:

kT x − T x0k = kλA(x − x0)k ≤ |λ| kAk kx − x0k

X l  khæng gian Banach v  n¸u |λ| kAk < 1 th¼ theo nguy¶n lþ ¡nh x¤

co, ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ nghi»m x∗ duy nh§t, ngo i ra, ph²p l°p:

xn+1 = λAxn+ f (vîi n ≥ 0) (1.11)vîi måi x§p x¿ ban ¦u x0 ·u hëi tö ¸n nghi»m x∗, hìn núa, chóng ta

V½ dö 1.6.1 Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p

N¸u h» ph÷ìng tr¼nh (1.14) câ nghi»m cj th¼ nghi»m c¦n t¼m câ d¤ng

K¸t luªn

Trong ch÷ìng n y ¢ tr¼nh b y ành ngh¾a, mët sè t½nh ch§t cì b£ncõa khæng gian Banach, to¡n tû tuy¸n t½nh, ¤o h m Fr²chet, c¡c ph÷ìngph¡p t½nh t½ch ph¥n li¶n quan v  mët sè v½ dö minh håa ¥y l  ch÷ìngr§t c¦n thi¸t nh¬m hé trñ, bê sung nhúng ki¸n thùc cì b£n phöc vö chonëi dung c¡c ch÷ìng sau Nëi dung ch÷ìng 2 s³ tr¼nh b y ph÷ìng ph¡pNewton - Kantorovich v  mët sè ành lþ cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p â.Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ tham kh£o nëi dung cõa c¡c t i li»u [1], [3],[5], [6], [11]

2.1.1 To¡n tû kh£ vi

ành ngh¾a 2.1.1 Ta nâi r¬ng ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  ph÷ìng tr¼nh l mtrëi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n:

1) kA (x0) − x0k ≤ ϕ (u0) − u0;

2) kA0(x)k ≤ ϕ0(u) n¸u kx − x0k ≤ u − u0

trong â A0(x) l  ¤o h m Fr²chet cõa to¡n tû A (x)

C¡c x§p x¿ li¶n ti¸p cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) v  (2.2) ÷ñc x¥y düngnh÷ sau:

ϕ (un−1) ≤ ϕ (u∗) = u∗, do â un ≤ u∗, ∀n B¥y gií ta chùng minhd¢y {un} khæng gi£m Ta câ u1 = ϕ (u0) = ϕ (γ1) ≥ γ1 = u0 Gi£ sû

un ≥ un−1 Khi â un+1 = ϕ (un) ≥ ϕ (un−1) = un Vªy d¢y {un} khænggi£m, bà ch°n tr¶n n¶n nâ hëi tö Gi£ sû lim

n→∞un = u Chuyºn qua giîih¤n trong un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ta ÷ñc u l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (2.2) Chuyºn qua giîi h¤n un ≤ u∗ ta câ u l  nghi»m d÷îi cõaph÷ìng tr¼nh (2.2);

2) Chùng minh t÷ìng tü 1);

3) Tø 1) v  2) suy ra 3)

ành lþ 2.1.1 Gi£ sû to¡n tû A câ ¤o h m li¶n töc trong h¼nh c¦u

S (x0, r), h m sè ϕ (u) kh£ vi trong o¤n [u0; u0] v  ph÷ìng tr¼nh (2.2)

l  ph÷ìng tr¼nh l m trëi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) Ngo i ra gi£ sû r¬ngph÷ìng tr¼nh (2.2) câ ½t nh§t mët nghi»m tr¶n o¤n [u0; u0] Khi âph÷ìng tr¼nh (2.1) câ ½t nh§t mët nghi»m x∗ v  kx∗ − x0k ≤ u − u0,trong â u l  nghi»m d÷îi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) Nghi»m x∗ l  giîi h¤ncõa d¢y x§p x¿ (2.3) Ngo i ra

kxn− x∗k ≤ u − un, n = 1, 2, (2.5)trong â un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, ; u0 = u0

Chùng minh Ta chùng minh d¢y {xn} ⊂ S (x0, r) v  nâ l  d¢y hëi tö.V¼ ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  ph÷ìng tr¼nh l m trëi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1)n¶n kx1 − x0k ≤ u1 − u0 = r, do â x1 ∈ S (x0, r) Gi£ sû x1, x2, , xn ∈

S (x0, r) v 

kxk+1− xkk ≤ uk+1 − uk (2.6)Khi â kxn+1− xnk = kA (xn) − A (xn−1)k =

Theo quy n¤p ta chùng minh ÷ñc r¬ng ∀k = 0, 1, 2, ; xk ∈ S (x0, r)

v  (2.6) óng vîi måi k Tø (2.6) ta câ

kxn+p − xnk ≤ kxn+p − xn+p−1k + + kxn+1 − xnk

≤ un+p − un+p−1+ + un+1 − un = un+p − un (2.7)Theo bê · 2.1 th¼ d¢y {un} hëi tö ¸n u do â lim

n→∞xn = x∗ Chuyºnqua giîi h¤n trong (2.3) khi n → ∞ ta ÷ñc x∗ l  nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh (2.1)

B§t ¯ng thùc kxn − x∗k ≤ u − un, n = 1, 2, ÷ñc suy ra tø (2.7)n¸u n = 0, p → ∞; cán ¡nh gi¡ (2.5) ÷ñc suy ra tø (2.7) n¸u cho

p → ∞

ành lþ 2.1.2 (T½nh duy nh§t nghi»m) Gi£ sû c¡c i·u ki»n cõa ành

lþ 2.1.1 ÷ñc thüc hi»n, ngo i ra ϕ (u0) ≤ u0 v  ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ

nghi»m duy nh§t u∗ ∈ [u0; u0] Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.1) câ nghi»m duynh§t trong S Nghi»m â l  giîi h¤n cõa d¢y {˜xn} vîi

˜

xn = A (˜xn−1) , n = 1, 2, (2.8)trong â ˜x0 l  nghi»m tòy þ trong S Tèc ë hëi tö ÷ñc x¡c ành bðicæng thùc:

k˜xn− x∗k ≤ un − u∗ (2.9)trong â

un = ϕ (un−1) , n = 1, 2, (2.10)Chùng minh Ta câ ˜x1−x1 = A (˜x0)−A (x0) =

Khi â

k˜xn+1− x0k ≤ k˜xn+1 − xn+1k+kxn+1− x0k ≤ (un+1 − un+1)+(un+1 − u0)

= un+1 − u0 ≤ r ⇒ ˜xn+1 ∈ STheo quy n¤p ta câ (2.11) óng ∀k = 1, 2, Theo bê · 2.1 suy ralim

n→∞x˜n = lim

n→∞xn = x∗

Nh÷ vªy, ta chùng minh ÷ñc vîi x§p x¿ ban ¦u tòy þ, d¢y c¡c x§px¿ li¶n ti¸p hëi tö ¸n x∗ Suy ra (2.1) câ nghi»m duy nh§t Tø (2.11)cho n → ∞ ta ÷ñc (2.9)

2.1.2 To¡n tû khæng kh£ vi

Trong tr÷íng hñp to¡n tû A khæng kh£ vi th¼ c¡c ành lþ 2.1.1, 2.1.2

câ thº mð rëng nh÷ sau

ành ngh¾a 2.1.2 Ta nâi r¬ng ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  ph÷ìng tr¼nh l mtrëi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n:

1) kA (x0) − x0k ≤ ϕ (u0) − u0;

2) kA (x) − A (y)k ≤ ϕ (u) − ϕ (v) n¸u kx − yk ≤ u − v

ành lþ 2.1.3 Gi£ sû to¡n tû A x¡c ành trong h¼nh c¦u S v  ph÷ìngtr¼nh (2.2) l  ph÷ìng tr¼nh l m trëi cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) Ngo i raph÷ìng tr¼nh (2.2) câ ½t nh§t mët nghi»m tr¶n [u0; u0], khi â ph÷ìngtr¼nh (2.1) câ ½t nh§t mët nghi»m x∗ (kx∗ − x0k < u − u0) Nghi»m â

l  giîi h¤n cõa d¢y (2.3) v  tèc ë hëi tö ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc(2.5)

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta ph£i chùng minh r¬ng d¢y {xn} ⊂ S v  l 

d¢y hëi tö Tø i·u ki»n cõa ành lþ suy ra kx1 ư x0k ≤ u1 ư u0 n¶n

x1 ∈ S Gi£ sû x1, x2, , xn ∈ S v 

kxk+1 ư xkk ≤ uk+1ư uk, k = 0, 1, , n ư 1 (2.12)v¼ kxnư xnư1k ≤ un ư unư1 v  kxn+1ư xnk = kA (xn) ư A (xnư1)k n¶n

n→∞xn = x∗ Chuyºn qua giîi h¤n trong (2.13)khi n → ∞ ta ÷ñc x∗ l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) Trong (2.13)

°t n = 0 v  chuyºn qua giîi h¤n khi p → ∞ ta ÷ñc kx∗ ư x0k ≤ uưu0.Trong (2.13) cho p → ∞ ta ÷ñc b§t ¯ng thùc (2.5)

ành lþ 2.1.4 Gi£ sû c¡c i·u ki»n cõa ành lþ 2.1.3 ÷ñc thüc hi»n.Ngo i ra ϕ (u0) ≤ u0 v  ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ nghi»m duy nh§t u∗ ∈[u0; u0] Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.1) câ nghi»m duy nh§t trong S Nghi»m

â l  giîi h¤n cõa d¢y x§p x¿ (2.8) Tèc ë hëi tö ÷ñc x¡c ành bði cængthùc (2.9)

Chùng minh Ta câ k˜x1 ư x1k = kA (˜x0) ư A (x0)k ≤ ϕ (u0) ư ϕ (u0) =

u1 ư u1 v  k˜x0 ư x0k ≤ r = (u0 + r) ư u0 = u0 ư u0

kxn+1− xn+1k = kA (xn) − A (xn)k ≤ ϕ (un) − ϕ (un) = un+1− un+1Khi â

Theo bê · 2.1 suy ra lim

n→∞x˜n = lim

n→∞xn = x∗.Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc vîi x§p x¿ ban ¦u tòy þ d¢y c¡cx§p x¿ li¶n ti¸p hëi tö ¸n x∗ suy ra ph÷ìng tr¼nh (2.1) câ nghi»m duynh§t Tø (2.14) cho n → ∞ ta ÷ñc (2.9)

P0(xn) (xn − xn+1) = P (xn) , n = 0, 1, 2,

trong â xn+1 l  nghi»m.

N¸u tçn t¤i [P0(xn)]−1 th¼

xn+1 = xn− [P0(xn)]−1P (xn) , n = 0, 1, 2, (2.16)Ph÷ìng ph¡p x¥y düng c¡c x§p x¿ xn nh÷ tr¶n gåi l  ph÷ìng ph¡pNewton - Kantorovich

N¸u d¢y {xn} hëi tö ¸n x∗ v  x0 ÷ñc chån g¦n x∗ th¼ c¡c to¡n tû

P0(xn) v  P0(x0) s³ g¦n nhau i·u â l m cì sð cho vi»c thay th¸ cængthùc (2.16) b¬ng cæng thùc sau ìn gi£n hìn:

yn+1 = yn − [P0(y0)]−1P (yn) , n = 0, 1, 2, ; y0 ≡ x0 (2.17)Ph÷ìng ph¡p x¥y düng d¢y {yn} nh÷ tr¶n gåi l  ph÷ìng ph¡p Newton

- Kantorovich c£i bi¶n

Sau ¥y chóng ta n¶u mët sè i·u ki»n õ º d¢y (2.16) ho°c d¢y(2.17) hëi tö

2.2.2 Mët sè ành lþ cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p Newton -

Kan-torovich

ành lþ 2.2.1 Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n:

1) to¡n tû P ÷ñc x¡c ành trong S v  câ ¤o h m c§p hai P00(x) li¶ntöc trong S;

2) h m sè ψ (u) , (u0 ≤ u ≤ u0) hai l¦n kh£ vi li¶n töc;

3) tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc Γ0 = [P0(x0)]−1;

4) c0 = ψ0−1(u

0 ) > 0;5) kΓ0 P (x0)k ≤ c0 ψ (u0);

6) kΓ0 P00(x0)k ≤ c0 ψ00(u) n¸u kx − x0k ≤ u − u0 ≤ r;

7) ph÷ìng tr¼nh

câ ½t nh§t mët nghi»m trong o¤n [u0; u0]

Khi â d¢y x§p x¿ x¥y düng theo ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovichc£i bi¶n (2.17) hëi tö ¸n nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.15) Tèc ë hëi tö

÷ñc x¡c ành bði cæng thùc:

kyn− x∗k ≤ u − vn (2.19)trong â u l  nghi»m nhä nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.19), vn ÷ñc x¡c ànhbði c¡c ¯ng thùc:

vn = vn−1 + c0ψ (vn−1) , n = 1, 2, , v0 = u0 (2.20)Chùng minh Ta ÷a v o mët sè kþ hi»u

A (x) = x − Γ0P (x)

ϕ (u) = u + c0ψ (u)Khi â c¡c ph÷ìng tr¼nh (2.15) v  (2.19) câ thº ÷ñc thay th¸ b¬ngnhúng ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng:

cán c¡c x§p x¿ li¶n ti¸p (2.17) v  (2.20) ÷ñc x¡c ành bði c¡c ¯ng thùc:

yn = A (yn−1) , y0 = x0

Nh÷ vªy A (x) ≡ x − Γ0 P (x) , ϕ (u) = u + c0 ψ (u) thäa m¢n c¡c

i·u ki»n cõa ành lþ 2.1.2 suy ra ành lþ ÷ñc chùng minh

p döng ành lþ 2.2.1 ta câ ành lþ sau ¥y v· t½nh duy nh§t nghi»m

ành lþ 2.2.2 (T½nh duy nh§t nghi»m) Gi£ sû c¡c i·u ki»n cõa ành

lþ 2.2.1 ÷ñc thäa m¢n, ngo i ra ψ0(u) ≤ 0 Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.18)

câ nghi»m duy nh§t tr¶n o¤n [u0; u0] th¼ ph÷ìng tr¼nh (2.15) câ nghi»mduy nh§t

B¥y gií ta chuyºn sang nghi¶n cùu c¡c x§p x¿ cõa ph÷ìng ph¡p ton - Kantorovich