Phương pháp giải hệ phương trình sai phân của bài toán biên phương trình Eliptic.. Lời nói đầuPhương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công tr
Trang 1đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng đã định hướng chọn đề tài và tậntình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này
Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và còn có thiếu sót nhất định Em xin chân thành cảm ơn đãnhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnhọc viên
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Bùi Văn Lương
Trang 2Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng,Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỨNG
DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNGTRÌNH ELIPTIC" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bảnthân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả
Bùi Văn Lương
Trang 3Mục lục
Lời nói đầu 4
Chương 1 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng 6
1.1 Các kí hiệu và định nghĩa chung 6
1.1.1 Về miền trong R n 6
1.1.2 Về đạo hàm 6
1.1.3 Về các không gian 7
1.1.4 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng 7
1.1.5 Các phương trình đặc biệt 8
1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 9
1.3 Các bài toán biên của phương trình Eliptic 10
Chương 2 Phương trình sai phân 11
2.1 Các khái niệm cơ bản 12
2.1.1 Định nghĩa 12
2.1.2 Tính chất của sai phân 14
2.2 Phương trình sai phân tuyến tính 17
2.2.1 Định nghĩa 17
2.2.2 Nghiệm 18
2.2.3 Tuyến tính hóa 23
2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một 25
2.3.1 Định nghĩa 25
2.3.2 Nghiệm 25
Trang 42.3.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ncủa phương trình sai phân tuyến tính
cấp một không thuần nhất 26
2.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên 29
2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 31
2.4.1 Định nghĩa 31
2.4.2 Nghiệm 32
2.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 35
Chương 3 Giải bài toán biên phương trình Eliptic bằng phương pháp sai phân 38
3.1 Sai phân hóa bài toán biên của phương trình Eliptic 38
3.1.1 Bài toán biên Đirichlê 38
3.1.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hóa bài toán biên Đirichlê 39
3.1.3 Thí dụ 44
3.1.4 Bài toán biên Nơman Sai phân hóa biên kiện ∂u/∂n 45
3.2 Phương pháp giải hệ phương trình sai phân của bài toán biên phương trình Eliptic 48
3.2.1 Vài điều chú ý 48
3.2.2 Về việc giải lặp các hệ phương trình đại số tuyến tính 52
3.2.3 Phép lặp Iacôbi và phép lặp Zayđen 55
3.2.4 Phép giảm dư quá hạn kế tiếp (phép lặp SOR) 57
3.2.5 Phép lặp luân hướng (phép lặp ADI) 60
3.2.6 Các phép lặp khối 64
3.3 Sự hội tụ của bài toán biên sai phân phương trình Eliptic 66 3.3.1 Đường lối chung để chứng minh sự hội tụ 66
3.3.2 Cách chứng minh cụ thể 67
Kết luận 70
Trang 5Tài liệu tham khảo 71
Trang 6Lời nói đầu
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ 18 trong các công trình của những nhà toán học nổi tiếng nhưƠle, Đalambe, Lagrăng và Laplaxơ như là một công cụ quan trọng để
mô tả các mô hình của vật lý và cơ học Những bài toán có nội dung
tương tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay và là một trongcác nội dung cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Chỉ đếngiữa thế kỷ 19 và đặc biệt là trong các công trình của Riemann, phương
trình đạo hàm riêng mới trở thành công cụ mạnh trong những lĩnh vựckhác của toán học lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng thường xuyênxuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thuỷ động học, cơ
học lượng tử, điện học, điện – từ trường
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giảiđúng Nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển Vấn đề tìm
nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng nhiều khi không thể
và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp Bởi vậy trong nhiềutrường hợp ta chỉ tìm được nghiệm gần đúng của các phương trình đạo
hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp để giải gần đúngcác phương trình đó
Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là một
trong những phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vựckhoa học, kỹ thuật Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc
giải phương trình sai phân Một trong những ứng dụng của phương
Trang 7pháp này là giải bài toán biên phương trình đạo hàm riêng, trong đó có
phương trình Eliptic là một trong những phương trình đạo hàm riêngquan trọng
Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn các ứng dụng của sai phân,
cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn VănHùng, tôi xin giới thiệu đề tài:
“ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC”
Trang 8Tích vô hướng: x.y =
r 2
Trang 9Với hàm số z = f (x, y) Thay cho viết ∂f
trên toàn bộ A
được hiểu tương tự như trên
không gian, t là biến thời gian
liên tục trên A với mọi α ≤ k, 0 ≤ β ≤ n
∂Ω là tập các điểm biên của Ω
1.1.4 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng
biến và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương trình đạo hàm
riêng
Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất một đạo hàm cấp m vàkhông chứa đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình đạo hàm
Trang 10Thí dụ: Xét hàm 2 biến u = u(x, y).
đạo hàm riêng cấp 2 và nó tuyến tính
Trang 11Phương trình Poison: ∆u = f (x) Khi f (x) = 0 trên Ω ta có phương
trình Laplace
u(x, t)
1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng
Nếu các hệ số A, B, C không phụ thuộc vào x, y thì ta có biệt thức:
D =
... data-page="15">
có sai phân hữu hạn cấp là:
Từ sau, khơng có nhầm lẫn với tỉ sai phân, ta gọi tắtsai phân hữu hạn sai phân gọi sai phân cấp sai phân
của sai phân cấp k − hàm số... phân< /h3>
Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi
nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Nội dung đưa tốn cầnxét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân( tức hệ... x∗n vào phương trình sai phân rút gọn, ta được
phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số Điều làm tănghiệu ứng dụng phương trình sai phân Sau ta lấy số
ví
