Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số

Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏlời cảm ơn chân thành tới: Ban Giám hiệu, các GS, TS dạy chuyên nghành Toán Giải tích,Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm

Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình phituyến phụ thuộc tham số" được hoàn thành tại trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Vuông

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đãnhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị

và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏlời cảm ơn chân thành tới:

Ban Giám hiệu, các GS, TS dạy chuyên nghành Toán Giải tích,Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiệnthuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu

Tiến sĩ Trần Văn Vuông , người thầy kính mến đã tận tìnhhướng dẫn, dạy bảo, động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập

và hoàn thành luận văn

Xin gửi lời cám ơn tới bạn bè, các anh chị trong lớp Toán Giảitích K13 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên và giúp đỡ tôitrong những lúc tôi gặp khó khăn

Xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân đã luôn ở bên cạnhđộng viên, giúp đỡ tôi học tập và hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Tác giả

Phạm Thị Ngân Hà

i

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Vuông.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Tác giả

Phạm Thị Ngân Hà

ii

Mở đầu 1

1.1 Không gian định chuẩn 3

1.2 Không gian Banach 8

1.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 13

1.4 Toán tử compact 16

1.5 Không gian Hilbert 17

1.6 Định lý ánh xạ co Banach và định lí hàm ẩn 22

2 Phương pháp Lyapunov-Schmidt 27 2.1 Điểm rẽ nhánh và ví dụ 27

2.2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt 31

2.3 Bổ đề Morse 33

3 Phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân 42 3.1 Phương pháp nhiễu 42

3.2 Định lí Krasnoselskij 47

3.3 Định lí Rabinowitz 49

3.4 Phương pháp biến phân 53

iii

Tài liệu tham khảo 62

iv

Cp Không gian các hàm khả vi liên tục cấp p

Rn Không gian thực n chiều

C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]kxk Chuẩn của véc tơ x

∅ Tập hợp rỗng

 kết thúc chứng minh

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm và Giải tích hàm có vai trò quan trọng đặc biệtđối với toán học cơ bản và ứng dụng Môn học và lĩnh vực này đã đượcgiảng dạy khá nhiều năm cho sinh viên các năm cuối ở khoa Toán ở cáctrường Đại học Sư phạm và Đại học Khoa học Tự nhiên

Không gian Banach là một phần rất quan trọng của Giải tích hàmnói riêng và chuyên ngành toán Giải tích nói chung Cho X và Y làcác không gian Banach, giả sử f ∈ C(X; Y ), chúng ta thường quantâm đến các tập nghiệm của phương trình f (x) = 0 Tuy nhiên, để cónhững phương pháp tối ưu tìm ra nghiệm của phương trình này, chúng

ta nghiên cứu các phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số có dạng:

f (x, λ) = 0, trong đó f : X × Y → Z , với X, Y , Z là các không gianBanach Thông thường ta xét Y = R Cho các giá trị đã biết λ , cácnghiệm mới có thể xuất hiện "Một số phương pháp giải phươngtrình phi tuyến phụ thuộc tham số" đã nghiên cứu các phươngpháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến Đó chính là lí do tôi đãchọn đề tài này với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về các phương phápgiải của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống,chi tiết về một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyếnphụ thuộc tham số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phituyến phụ thuộc tham số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụthuộc tham số trong không gian Banach như: Phương pháp Lyapunov-Schmidt, phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiêncứu

6 Giả thiết khoa học

Trình bày hệ thống những vấn đề cơ bản về một số phương pháptìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số trong khônggian Banach

Kiến thức chuẩn bị

Không gian định chuẩn, không gian Banach và không gian Hilbert

là các không gian quan trọng trong Giải tích hàm Trong chương nàychúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian địnhchuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, một số tính chất quantrọng và các ví dụ minh họa về các không gian này Cuối cùng chúng tôitrình bày Định lý ánh xạ co Banach và Định lý hàm ẩn

Định nghĩa 1.1.1 [4] Ta gọi không gian tuyến tính định chuẩn (haykhông gian định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường K(thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu

là k.k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

Ví dụ 1.1.1 Kí hiệu Rk là không gian thực k chiều Trên Rk ta xácđịnh chuẩn:

kxk =

vuut

Từ đó suy ra

vuut

vuut

kλxk =

vuut

k

X

i=1

|xi|2 = |λ| kxk Vậy Rk với chuẩn (1.1) là một không gian định chuẩn

Định lý 1.1.1 [3] Cho không gian định chuẩn X Với hai điểm bất kì

x, y ∈ X, ta đặt:

d(x, y) = kx − yk Khi đó d là một metric trên X

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh

d : X × X −→ Rd(x, y) = kx − yk ,

là metric trên X

Định nghĩa 1.1.2 [3] Dãy {xn} của không gian định chuẩn X gọi làhội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim

kxn − xk ≥ kxk − kxnk ,và

−(kxnk − kxk) ≤ kxn − xk (1)Lại có:

kxnk = kx + xn − xk ≤ kxk + kxn− xk ,Suy ra

kxn− xk ≥ kxnk − kxk (2)

Thậy vậy, giả sử lim

n→∞(xn− x0) = 0 Theo trên lim

n→∞kxnk = kx0k , chonên

(∃n0) (∀n ≥ n0) kxnk ≤ kx0k + 1

Đặt K là số lớn nhất trong các số kx1k , kx2k , , , kxnk + 1, thì rõràng

Định nghĩa 1.2.1 [4] Không gian định chuẩn X được gọi là không gianBanach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.1 C[a;b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] Ta xácđịnh chuẩn trên C[a;b]:

kλxk = max

a≤t≤b|λx(t)| = |λ| max

a≤t≤b|x(t)| = |λ| kxk Vậy C[a;b] với chuẩn max là một không gian định chuẩn

Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong không gian C[a;b]

Theo định nghĩa dãy Cauchy: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0, ta có:

Suy ra, với mỗi t ∈ [a; b] dãy {xn(t)} là dãy Cauchy trong R Vì R làkhông gian đầy đủ nên dãy {xn(t)} hội tụ.

Vậy x(t) ∈ C[a;b].

Do đó C[a;b] với chuẩn max là một không gian Banach

Ví dụ 1.2.2 Kí hiệu C[a,b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] Taxác định kf k2 =

Giả sử m < n, ta có:

||xn− xm||2 =

Z b a

|xn(t) − xm(t)|dt

=

Z a+b2 +n1

a+b 2

|n(t − a + b

2 ) − m(t −

a + b

2 )|dt+

n,m→∞||xn−xm||2 = 0, suy ra {xn} là dãy Cauchy trong (C[a, b], k.k2)

Ta chỉ ra {xn} không hội tụ trong (C[a, b], k.k2)

Giả sử ∃x ∈ C[a, b] : lim

||xn − x|| ≥

Z b α

|xn(t) − x(t)|dt =

Z b α

Vậy, (C[a, b], ||.||2) không là không gian Banach

Định nghĩa 1.3.2 [3] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn Mộttoán tử A : X → Y gọi là bị chặn, nếu có một hằng số C > 0 để cho

kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X

Giá trị nhỏ nhất của số C thỏa mãn hệ thức trên được gọi là chuẩn củatoán tử A và được ký hiệu là ||A||

Định nghĩa 1.3.3 [3] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, {At ∈ T }

là một họ các toán tử tuyến tính At : X → Y Ta nói rằng họ {At ∈ T }liên tục đồng bậc, nếu với mọi  > 0 đều có δ > 0 để cho với mọi t ∈ T :

kxk < δ ⇒ kAt(x)k ≤ ε

Một họ liên tục đồng bậc thì sẽ bị chặn đều, theo nghĩa chuẩn của mọitoán tử trong họ cùng bị chặn bởi một hằng số K > 0:

kAtk ≤ K, ∀t ∈ T

Định lý 1.3.1 [4] Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử

A : X → Y là một toán tử tuyến tính Ta có ba mệnh đề sau là tươngđương:

1 A liên tục.

2 A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X

3 A bị chặn

Chứng minh

a Trước hết ta sẽ chứng minh 1 suy ra 2.:

Ta thấy hiển nhiên vì nếu A liên tục thì nó sẽ liên tục tại mỗi điểm

x ∈ X, do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X

Theo giả thiết, ta có :

kA(yn+ x0) − Ax0k → 0 ⇒ kAynk → 0 khi n → ∞

Điều này mâu thuẫn với kAynk → 0 khi n → ∞.

Vì vậy nếu toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì nó bị chặn

c Ta chứng minh 3 suy ra 1.:

Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa,

∃C > 0 : kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X (1.4)Lấy một điểm bất kì x ∈ X và dãy điểm tùy ý {xn} hội tụ tới x.Nhờ hệ thức (1.3) ta có:

kAxn− Axk = kA(xn− x)k

≤ C kxn − xk → 0 khi n → ∞

Do đó A liên tục tại điểm x

Suy ra A liên tục

Định lý 1.3.2 [3] (Banach- Steinhaus) Nếu X là không gian Banach,

Y là không gian định chuẩn, thì mọi họ toán tử tuyến tính liên tục{At: X → Y}t∈T mà bị chặn tại mỗi điểm thì sẽ bị chặn đều và do đó sẽliên tục đồng bậc

tại mọi x, cho nên

(∀t ∈ T ) kAtk ≤ 2n0

r .Chứng tỏ họ {At, t ∈ T} bị chặn đều

Định nghĩa 1.4.1 [6] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, toán tửtuyến tính A : X → Y , gọi là toán tử compact nếu toán tử A ánh xạtập bị chặn bất kì trong không gian X thành tập compact tương đối trongkhông gian Y Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục

Nhận xét 1.4.1.

Nếu A là toán tử compact từ không gian định chuẩn vô hạn chiều

X vào không gian định chuẩn Y , thì A không có toán tử ngược bị chặn

Định nghĩa 1.5.1 [3] Cặp (H, < , >) trong đó H là một không giantuyến tính (thực hoặc phức) và

< , >: H × H −→ K(x, y) 7−→< x, y >

là một hàm số (thực hoặc phức), được gọi là một tích vô hướng trong Hnếu các điều kiện sau được thoả mãn:

1 < y, x >=< x, y >, với mọi x, y ∈ H (Kí hiệu < x, y > là số phứcliên hợp của số phức < x, y >)

Ví dụ 1.5.1 C[a;b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với tích vôhướng được định nghĩa:

< f, g >=

Z b a

f (t).g(t)d(t), với ∀f (t), g(t) ∈ C[a;b]

Ta chứng minh C[a;b] là một không gian tích vô hướng.

Thật vậy:

Với ∀f (t), g(t) ∈ C[a;b] ta có:

< g, f > =

Z b a

g(t).f (t)d(t)

=

Z b a

g(t).f (t)d(t)

=

Z b a

g(t).f (t)d(t)

=

Z b a

f (t).g(t)d(t)

=< f, g > Vậy < f, g >=< g, f >, tiên đề 1 thỏa mãn

Với ∀f (t), g(t), h(t) ∈ C[a;b] ta có:

< f + g, h > =

Z b a

(f (t) + g(t)).h(t)d(t)

=

Z b a

f (t).h(t)d(t) +

Z b a

g(t).h(t)d(t)

=< f, h >=< g, h > Vậy < f + g, h >=< f, h > + < g, h >, tiên đề 2 thỏa mãn.Với ∀f (t), g(t) ∈ C[a;b], λ ∈ K ta có:

< λf, g > =

Z b a

λf (t).g(t)dt

= λ

Z b a

f (t).g(t)d(t)

= λ < f, g > Vậy < λf, g >= λ < f, g >, tiên đề 3 thỏa mãn

Với ∀f (t) ∈ C[a;b], λ ∈ K ta có:

< f, f >=

Z b a

f (t)f (t)) ≥ 0, < f, f >= 0 ⇔ f = 0

Vậy < f, f >≥ 0, ∀f (t) ∈ C[a;b], tiên đề 4 thỏa mãn.

Như vậy C[a;b] là không gian tích vô hướng, với tích vô hướng đượcđịnh nghĩa

< f, g >=

Z b a

0 ≤ hx − λy, x − λyi = kxk2 − 2λ hx, yi + λ2kyk ,

cho nên tam thức bậc hai này phải có biệt số không dương:

Nhận xét 1.5.1 Tích vô hướng < x, y > là một hàm liên tục của haibiến x và y theo chuẩn

1

m − 1n

→ 0, khi m, n → ∞

|< xn, yn > − < x, y >| ≤ |< xn, yn > − < x, yn >| + |< x, yn) − (x, y >|

≤ kxn− xk kynk + kxk kyn− yk

≤ C kxn − xk + kxk kyn− yk , ∀n ∈ N∗.Suy ra

lim

n→∞ < xn, yn >=< x, y >

Định nghĩa 1.5.3 [4] Ta gọi một tập H gồm những phần tử x, y, z, nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:

1 H là không gian tuyến tính trên trường K;

2 H được trang bị một tích vô hướng <.,.>;

3 H là không gian Banach với chuẩn kxk =√

< x, x > , x ∈ H

Ví dụ 1.5.2 Trong không gian C[0;1] với tích vô hướng được định nghĩa:

< f, g >=

Z 1 0

n +

1

2 ≤ x ≤ 1trong C[0;1], với các hằng số αn, βn thích hợp

Rõ ràng với n ≥ 3 dãy {fn(x)} là các hàm liên tục với chuẩn đượcsinh bởi tích vô hướng nói trên Thật vậy

1

m − 1n

Hàm f (x) không liên tục trên [0; 1] và do đó không thuộc C[0;1] Vì thế

dãy{fn} không hội tụ trong C[0;1]

Do đó C[0;1] với tích vô hướng nói trên không là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.6.1 [4] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T từ không

gian metric (X, d) vào chính nó gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số k,

0 ≤ k < 1 sao cho

d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X

Định lý 1.6.1 [4] Mọi ánh xạ co T từ không gian metric đầy đủ (X, d)

vào chính nó đều có điểm bất động x∗ duy nhất, nghĩa là x∗ ∈ X thỏa

mãn hệ thức T x∗ = x∗

Chứng minh

Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy xn = T xn−1, (n = 1, 2, )

Vì T là ánh xạ co Banach nghĩa là tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) thỏa mãn:

d(T x1, T x0) ≤ kd(x1, x0)

Ta chứng minh x∗ là điểm bất động của ánh xạ T trong X Ta có:

Suy ra

d(T x∗, x∗) = 0 hay T x∗ = x∗.Nghĩa là x∗ là điểm bất động của ánh xạ T

Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.Giả sử tồn tại điểm y∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T , thì

1 f (a, b) = 0.

2 Đạo hàm riêng fy0 tồn tại trong U và liên tục tại (a, b)

3 fy0(a, b) ∈ Isom(Y, Z)

Khi ấy tồn tại một lân cận mở V1 của a trong X, một lân cận mở V2

của b trong Y sao cho V1 × V2 ⊂ U , và một ánh xạ g : V1 → V2 liêntục tại a sao cho với mọi (x, y) ∈ V1 × V2:

ta có với mọi (y, y0) ∈ V2 :

kF (y) − F (y0) − ϕ(y − y0)k

≤ sup

0<α<1

f0y(x, y + α(y0 − y)) − ϕ ky − y0k ≤ ε ky − y0k Mặt khác, vì ϕ ∈ Isom(Y, Z) nên với mỗi z ∈ Z có một y ∈ Y sao cho

z = ϕ(y) và

kyk ≤ ϕ−1 · kzk Hay

γ kyk ≤ kzk Vậy, với mọi y0 ∈ V2 và mọi z trong ηr0-lân cận của

có một y ∈ V2 hoàn toàn xác định sao cho f (x, y) = 0 và

ky − bk ≤ 1

η kf (x, b)k Đặt y = g(x) thì ánh xạ

g : V1 → V2thỏa mãn (1.7) và bất đẳng thức trên cho thấy rằng khi x → a thì do

f (x, b) → f (a, b) = 0 nên g(x) → b, chứng tỏ g liên tục tại a

Trên đây chúng ta đã tìm hiểu về không gian định chuẩn, khônggian Banach và không gian Hilbert Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu vềmột số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số

Phương pháp Lyapunov-Schmidt

Cho X, Y là các không gian Banach Giả sử f ∈ C(X; Y ), chúng

ta quan tâm đến các tập nghiệm của phương trình f (x) = 0 Tuy nhiên,câu hỏi này quá tổng quát để đưa ra câu trả lời chính xác, thậm chíkhi các không gian X, Y là hữu hạn chiều Do đó dẫn chúng ta đếnviệc nghiên cứu các phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số có dạng:

f (x, λ) = 0, trong đó f : X × Y → Z, với X, Y , Z là các không gianBanach Thông thường ta xét Y = R Đây là việc làm khá thông dụngcho phương trình trên với một họ nghiệm "đẹp" thường được gọi là cácnghiệm tầm thường Tuy vậy, với các giá trị đã biết λ, các nghiệm mới cóthể được xuất hiện và do đó chúng ta có thuật ngữ rẽ nhánh (bifurcation)của tập hợp nghiệm các phương trình đã xuất hiện

Định nghĩa 2.1.1 [8] Giả sử X, Y, Z là các không gian Banach,

f : X × Y → Z là liên tục Với mọi λ ∈ Y ta có:

f (0, λ) = 0

Điểm (0, λ0) ∈ X × Y được gọi là một điểm rẽ nhánh (bifurcation point)nếu với mọi lân cận của nó trong X × Y chứa một nghiệm (x, λ), x 6= 0

của phương trình:

Nhận xét 2.1.1 Định nghĩa đảm bảo sự tồn tại một dãy {(xn,λn)} cácnghiệm không tầm thường, sao cho xn → 0 và λn → λ0 khi n → ∞.Nhưng không đảm bảo sự tồn tại các nhánh nghiệm liên tục (x(λ), λ)với x(λ) → 0 khi λ → λ0

Định lý 2.1.1 [8] Cho f : X × Y → Z là hàm khả vi

Nếu (0, λ0) ∈ X × Y là một điểm rẽ nhánh, thì ∂xf (0, λ0) : X → Zkhông phải là một phép đẳng cấu

Nếu ∂xf (0, λ0) là một phép đẳng cấu, thì ∂xf (0, λn) bị chặn với n đủ lớn

và nghịch đảo của nó cũng bị chặn, độc lập với n

Khi f (0, λn) = 0, ta có:

xn = −(∂xf (0, λn))−1R(xn, λn)

Với hằng số C > 0, độc lập với n, ta có:

kxnk ≤ C kR(xn, λn)k Vậy ∂xf (0, λ0) không là một phép đẳng cấu

Ví dụ 2.1.1 Cho X = Y = Z = R Đặt f (x, λ) = x − x2λ Với một

số thực λ bất kì thuộc R, điểm (0, λ) không là điểm rẽ nhánh Tập cácnghiệm được cho bởi trục x nghĩa là tập hợp các điểm (0, λ) với mọi

λ ∈ R và hai nhánh của hypebol xλ = 1 Chú ý rằng ∂xf (0, λ) = 1, làánh xạ đồng nhất trên R.

−x3 1

!

thì ∂xf (0, λ) = (1 − λ)I không là một phép đẳng cấu chỉ với λ = 1 Tuynhiên, (0, 1) không phải là điểm rẽ nhánh Thật vậy, ta thấy rằng nếu(x, λ) là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0 thì x41 + x42 = 0 Vìvậy chỉ có các nghiệm đó là các nghiệm tầm thường Do đó, điều kiệnđưa ra trong định lí trên chỉ là điều kiện cần không phải là điều kiện đủ

Ví dụ 2.1.3 Cho X = Y = Z = R, f (x, λ) = x + x3 − λx

Vì (0, λ) luôn là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0 Hơn nữa,

x 6= 0 và (x, λ) là một nghiệm thì: x2 = λ − 1

Thật vậy, phương trình không có các nghiệm không tầm thường với

λ ≤ 1, trong khi có một nhánh các nghiệm không tầm thường cho bởiparabol được rẽ nhánh bởi nhánh tầm thường tại (0, 1)

Ta lại có:

∂xf (0, λ) = (1 − λ)không là phép đẳng cấu chỉ tại λ = 1

Ví dụ 2.1.4 Cho X = Z = R2 và Y = R Giả sử:

f (x, λ) = Ax − λxtrong đó Ax = βx + C(x) và C(x) được cho bởi:

Do ∂xf (0, λ) = (β − λ)I và rẽ nhánh chỉ có thể xảy ra tại (0, β) Nên nếu(x, λ) với x 6= 0, λ 6= β là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0, thìvới i = 1, 2, ta có

γxi(x21 + x22) = (λ − β)xi

Phương pháp Lyapunov-Schmidt

Cho... tập nghiệm phương trình f (x) = Tuy nhiên,câu hỏi tổng quát để đưa câu trả lời xác, chíkhi khơng gian X, Y hữu hạn chiều Do dẫn đếnviệc nghiên cứu phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số có dạng:... dụngcho phương trình với họ nghiệm "đẹp" thường gọi cácnghiệm tầm thường Tuy vậy, với giá trị biết λ, nghiệm cóthể xuất có thuật ngữ rẽ nhánh (bifurcation)của tập hợp nghiệm phương trình