Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2DƯƠNG MINH HOÀNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG MINH HOÀNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA

KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội-2011

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòngSau đại học và các GS, TS giảng dạy chuyên nghành toán giải tích trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi tác giả trongquá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Hào đã trựctiếp hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu luận văn và hoàn chỉnhluận văn

Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót, tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đónggóp đã nhận được của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luậnvăn hoàn chỉnh như hiện tại

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Tác giả

Dương Minh Hoàng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn với đề tài

“Tính chính quy của không gian mầmcác hàm chỉnh hình với giá trị Frechet”

được hoàn thành với sự nhận thức của riêng tác giả, không trùng với bất

kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2011

Tác giả

Dương Minh Hoàng

Mục lục

1.1 Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô 10

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu 17

1.3 Pô la 19

1.4 Hàm chỉnh hình 19

1.4.1 Đa thức trên không gian lồi địa phương 19

1.4.2 Hàm chỉnh hình 25

1.4.3 Không gian mầm các hàm chỉnh hình 28

Chương 2 Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet 31 2.1 Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) trên không gian Frechet 31 2.1.1 Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DN ) 31

2.1.2 Các điều kiện tương đương 32

2.1.3 Một số ví dụ 41

2.2 Bất biến tô pô tuyến tính ( ˜Ω) 44

2.2.1 Khái niệm về bất biến tô pô ( ˜Ω) 44

2.2.2 Các điều kiện tương đương 44

2.2.3 Một số ví dụ 51 Chương 3 Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh

3.1 Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm

các hàm chỉnh hình giá trị Frechet 533.2 Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong

CN với giá trị Frechet có (DN )− chuẩn 553.3 Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact ˜L−

chính quy với giá trị Frechet có (DN ) − chuẩn 603.4 Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có

(LB∞) − chuẩn 67

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt

ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phươngtrên một tập con X nào đó của một không gian lồi địa phương E với giátrị trong không gian lồi địa phương F Điều đó dẫn đến khái niệm mầmhàm chỉnh hình trên tập X Ý nghĩa quan trọng của khái niệm này là sựđịa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét một phần tử cố địnhnào đó, người ta xét lớp các phần tử tương đương đối với phần tử này.Trong khái niệm mầm ta phân ra các đặc điểm chung liên kết các phần

tử tương đương lại với nhau Tập các mầm hàm chỉnh hình H (X, F ) trênmột tập compact X có thể được xét theo hai khía cạnh: Một là, về mặtđại số ta có thể xem nó như là một vành Các tính chất của vành H (X, F )

đã được nghiên cứu rộng rãi; chẳng hạn theo hướng nghiên cứu này ta cóthể xem Bănică – Stănăsilă [2], Đậu Thế Cấp – Nguyễn Văn Khuê [4] , .Mặt khác, H (X, F ) có thể xem như một không gian véc tơ tô pô trang bị

tô pô lồi địa phương tự nhiên bằng cách kết hợp các tô pô của không giancác hàm chỉnh hình trên một lân cận của X Theo hướng nghiên cứu này

ta phải kể đến các công trình nghiên cứu của Chae [5, 6]

Vấn đề nghiên cứu các tô pô lồi địa phương trên không gian H (U, F ) =H(U ) các hàm chỉnh hình trên một tập mở U trong không gian lồi địaphương E được khởi đầu bởi Nachbin [11,12] và Alexander [1] Trong giảitích phức vô hạn chiều, người ta thấy rằng tô pô mở compact hay tô pôhội tụ đều trên các tập con compact của U không chỉ là tô pô tự nhiên duynhất Tô pô τω được đề xuất lần đầu tiên bởi Nachbin [11,12], nó ra đời

từ ý tưởng liên quan đến các phiếm hàm giải tích mang bởi tập compact

Sự ra đời của tô pô mang bởi tập compact mở ra nhiều hướng nghiên cứutrong giải tích phức vô hạn chiều và trở thành công cụ hữu hiệu giải quyết

nhiều bài toán quan trọng trong lĩnh vực này.

Một trong các vấn đề được quan tâm nhiều trong lớp không gian mầmcác hàm chỉnh hình đó là việc đặc trưng các tập bị chặn của nó Nhớ lạirằng, không gian mầm H(K, F ) được xây dựng từ không gian H(U, F )các hàm chỉnh hình trên lân cận mở U của K trong một không gian lồiđịa phương E, với giá trị trong một không gian lồi địa phương F , bằnggiới hạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương Như vậy,không gian mầm H(K, F ) được gọi là chính quy nếu giới hạn quy nạptrên là chính quy Nghĩa là, mỗi tập con bị chặn của H(K, F ) là bị chứa

và bị chặn trong không gian H(U, F ) nào đó Tính chính quy của khônggian mầm H (K, F ) = H (K) đã được nhiều tác giả quan tâm, mở đầu chohướng nghiên cứu này là Chae [5,6] Trong đó, các tác giả xét bài toán chotrường hợp K là một tập con compact của một không gian Banach Cáckết quả này được tổng quát hóa và làm sâu sắc hơn bởi Mujica[10] Năm

1981, bằng việc mô tả hệ nửa chuẩn sinh ra tô pô của H(K) Dineen [7] đãchứng tỏ rằng H(K) là đầy đủ cùng với giả thiết K là tập compact trongkhông gian lồi địa phương metric Cũng ở đây, nhờ phương pháp được sửdụng để thu được tính đầy của H(K), lần đầu tiên Dineen đã đưa ra đượcmột số đặc trưng về tính chính quy của H(K) khi K là tập compact trongcác không gian không nhất thiết lồi địa phương metric Cũng theo hướngnghiên cứu này ta cần phải kể đến các kết quả của Soraggi [16], Soraggi

đã chỉ ra các ví dụ cũng như các phản ví dụ về tính chính quy của H(K)

Để nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hìnhH(K, F ) với giá trị Frechet và được sự định hướng của TS Nguyễn VănHào em chọn đề tài

"CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦMCÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET"

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận, ba chương cùng tài liệutham khảo

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Chương này dành cho việc giới thiệu các khái niệm liên quan đến việc xétbài toán về tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình vớimiền xác định và miền giá trị là các không gian Frechet Trong đó, chúngtôi đã trình bày các kiến thức quan trọng liên quan đến hướng nghiên cứulà

1 Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô

2 Đối ngẫu và tô pô yếu

3 Pô la

4 Hàm chỉnh hình

Chương 2 Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet.Khác với chương 1, trong chương 2 chúng tôi giới thiệu đến hai bất biến

tô pô tuyến tính là (DN ) và  ˜Ω

trên không gian Frechet Trong đó, đểtạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp tục đi sâu vào việc nghiên cứu củachương sau chúng tôi đã đặc biệt chú trọng đưa ra một số các điều kiệntương đương để một không gian Frechet có tính chất (DN ) và  ˜Ω

1 Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) trên không gian Frechet

2 Bất biến tô pô tuyến tính  ˜Ω

trên không gian Frechet

Chương 3 Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet.Trong chương 3 chúng tôi trình bày hướng nghiên cứu chính của luận văn.Đầu tiên chúng tôi đưa ra mệnh đề nói đến điều kiện cần về tính chínhquy của không gian H(K, F ) với K là tập compact trong CN Chúng tôiquy bài toán về việc xét tính chính quy của giới hạn quy nạp của một dãytăng các không gian Frechet ( (LF ) - không gian) Cũng với kỹ thuật đó,chúng tôi đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính chính quy của không

gian mầm H(K, F ) với K là tập compact ˜L − chính quy trong một khônggian Frechet.

Điều kiện ở đây là không gian Frechet F có tính chất (DN ) Phần tiếptheo trong chương này dành để trình bày kết quả nghiên cứu tính chínhquy của H(K, F ) khi F có tính chất (LB∞) mạnh hơn (DN ), nhưng đốivới tập compact K chỉ cần thỏa mãn điều kiện duy nhất

1 Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàmchỉnh hình giá trị Frechet

2 Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong CN vớigia trị Frechet có (DN ) − chuẩn

3 Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact ˜L − chínhquy với giá trị Frechet có (DN ) − chuẩn

4 Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có (LB∞) −chuẩn

2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tính chính quy của khônggian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với giá trị Frechet

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xuất phát từ việc nghiên cứu điều kiện cần đối với tính chính quy củakhông gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet

Luận văn trình bày một số tính chính quy của không gian mầm các hàmchỉnh hình H(K, F ) với giá trị Frecht có tính chất (DN ), (LB∞)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chính quy củakhông gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có tính chất (DN ),(LB∞)

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp của luận văn Nghiên cứu tính chính quy của

không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền giá trị trong các không gianFrechet có (DN ) − chuẩn, trên các tập compact trong CN và tập compact

˜

L − chính quy Kết quả tương tự cũng được khẳng định cho lớp khônggian mầm có miền giá trị Frechet có (DN ), (LB∞) − chuẩn

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô

Định nghĩa 1.1 Cho E là không gian véc tơ và A là một tập con của Ei) Tập A gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx + µy ∈ A, trong đó

λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1

ii) Tập A được gọi là cân nếu mọi x ∈ A thì λx ∈ A khi |λ| ≤ 1.iii) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân.iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A

v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữuhạn

vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ E, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn |µ| ≥ λ

Định nghĩa 1.2 Một không gian véc tơ tô pô có một cơ sở gồm nhữnglân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương(Không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương.Định nghĩa 1.3 a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K(K = C hoặc K = R) Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và không

âm (hữu hạn) được gọi là một nửa chuẩn nếu

+) p(x) ≥ 0;

+) p(λx) = |λ| p(x);

+) p(x + y) ≤ p(x) + p(y);

với mọi x, y ∈ E, λ ∈ K

b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A, đượcgọi là hàm cỡ của A.

Mệnh đề 1.1 Trong không gian lồi địa phương E, một nửa chuẩn p làliên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc

Chứng minh Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước thìtại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V Do đó, với a là một điểmtùy ý của E, ta có

|p(x) − p(a)| ≤ |p(x − a)| < ε

khi x ∈ a + V 

Định nghĩa 1.4 Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô

pô của nó có thể được xác định bởi một chuẩn p

Mệnh đề 1.2 Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi

nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được Tô pô của mộtkhông gian khả metric luôn luôn có thể xác định được bởi một metric, bấtbiến với các phép tịnh tiến

Chứng minh Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sởđếm được những lân cận của điểm gốc Ngược lại, nếu E có một cơ sở lâncận đếm được, thì vì mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồntại một cơ sở (un) những lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn là hàm cỡ của un Đặt

do đó f là liên tục Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x /∈ Un thì pn(x) ≥ 1, vậy

f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát của E 

Mệnh đề 1.3 Một hàm p : X → R là một cơ sở chuẩn khi và chỉ khi nó

là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một sơ chuẩn khi và chỉ khi nó

là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa chọn một đường thẳngnào

Chứng minh Thật vậy, nếu B là một tập lồi, cân, hút thì dễ dàng thấyrằng hàm cỡ pB của nó nghiệm đúng pB(−x) = pB(x), do đó với mọi α < 0,

pB(αx) = −αpB(−x) = −αpB(x)cho nên

pB(αx) = |α| pB(x)với mọi α và pB là một sơ chuẩn

Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi, vìvới x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có

Mệnh đề 1.4 Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn

Γ tùy ý Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số, trong đómỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục Tô pô ấy là tô pô lồi địa phương và

(∀x 6= 0) (∃p ∈ Γ) p(x) > 0 (1.2).Chứng minh Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1} , với

p ∈ Γ Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương hợpvới cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là theomệnh đề 1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục Tô pô ấy lồi địa phương, với

Định nghĩa 1.5 a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xácđịnh bởi một họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thỏa mãn điềukiện tách (1.2), gọi là không gian đếm được chuẩn

b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gian Frechet

Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là khônggian Frechet.

c) Một tập lồi, cân, đóng và hút trong một không gian lồi địa phương gọi

là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều làlân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi không gian Frechet làkhông gian thùng

Định nghĩa 1.6 Cho I là tập đa chỉ số định hướng tùy ý Với mỗi α ∈ I,cho να : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vàokhông gian lồi địa phương Eα Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên

E sao cho tất cả các ánh xạ να là liên tục Tô pô xạ ảnh trên E là tô pôlồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính η : G → E của một không véc tơ

tô pô G vào E là liên tục nếu chỉ nếu να◦ η là liên tục với mọi α ∈ I.Định nghĩa 1.7 Cho I là tập đa chỉ số định hướng Với mỗi α ∈ I, cho

Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn tạimột ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho

i) uαβ là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I

ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ, với mỗi α ≤ β ≥ γ

Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα, uαβ} được gọi làmột hệ xạ ảnh Không gian con

E =

{xα} ∈ Q

họ không gian định chuẩn

Chứng minh Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một họ

sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X Ta biết là trong một khônggian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập bị chặn

nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1(0) là một không gian con của X

và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1(0) Khi ấy,gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử ˜x ∈ Xp ( ˜x là lớp các

x0 ∈ X với p(x0 − x) = 0) Dựa vào mệnh đề 1.4 ta thấy X chính là giớihạn xạ ảnh của các Xp đối với các up 

Mệnh đề 1.6 Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa phươngđầy là đầy

Mệnh đề 1.7 Nếu E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầythì

E = lim proj

α

\E/kerα,

ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E

Mệnh đề 1.8 Cho E là giới hạn xạ ảnh của không gian lồi địa phương

Eα đối với ánh xạ να Một tập M trong E bị chặn khi và chỉ khi να(M )cũng bị chặn

Định nghĩa 1.8 Cho I là tập đa chỉ số định hướng tùy ý Với mỗi α ∈ Icho να : Eα → E là ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa phương Eαvào không gian E = S

α

να(Eα) Tô pô quy nạp trên E là tô pô mạnh nhấttrên E sao cho tất cả các ánh xạ tuyến tính να là liên tục

Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : E → C là liên tục nếu và chỉ nếu η ◦ να là liên tục với mọi α ∈ I.Định nghĩa 1.9 Cho không gian véc tơ E là tập hợp của một họ cáckhông gian lồi địa phương {Eα} được định hướng bởi quan hệ bao hàm vàmỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục Khi đó, E được trang bị bởi tô

pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạn quy nạpcủa các không gian con Eα và được kí hiệu bởi E = lim ind

α Eα

Ví dụ 1.1 Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là khônggian thương Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một khônggian tuyến tính con của X0, và X = X0/M Gọi η là ánh xạ chính tắc từ

X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương đương

ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ

iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bịchứa và bị chặn trong Eα

iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bịchặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ra mọilưới {xα} ⊂ B là E − Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα − Cauchy

Mệnh đề 1.9 ([13], p.58 − 59, proposition6.4) Cho E = lim indEn

n

là giớihạn quy nạp chặt của dãy các không gian con En Khi đó

i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E;

ii) Nếu En là đóng trong En+1, với mọi n thì E = lim indEn

n

là giớihạn quy nạp chính quy Cauchy;

iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy

Định nghĩa 1.11 Một không gian lồi địa phương E là một (DF ) − khônggian nếu

a) E có một dãy cơ bản của các tập bị chặn

b) Mọi hợp đếm được bị chặn mạnh của các tập con đồng liên tụccủa E là đồng liên tục

Mệnh đề 1.10 ([8], p.77, corollary2) Một (DF ) không gian tựa đầy làđầy

Mệnh đề 1.11 ([10], p.78, Theorem9) Cho E là giới hạn quy nạp của mộtdãy tăng của (DF ) − không gian En Khi đó, E là một (DF ) − không

gian và mỗi tập con bị chặn của E bị chứa trong bao đóng E của một tậpcon bị chặn của En.

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu

Định nghĩa 1.12 E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường

vô hướng Hàm < · >: E × F → K được gọi là một dạng song tuyến tínhnếu

a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x 7→< x, u > là dạng tuyến tính trên E.b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u 7→< x, u > là dạng tuyến tính trên F Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; < · >) hoặc viết (E, F ) trong đó < · >:

E × F → K là dạng song tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện

(DE) nếu < x, u >= 0 với mọi x ∈ F thì x = 0;

(DF) nếu < x, u >= 0 với mọi x ∈ E thì u = 0;

Ví dụ 1.2 1 Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) 7→< x, u >xác định cặp đối ngẫu < E, F >

2 Giả sử E là không gian véc tơ và E∗ là đối ngẫu đại số của nó Khi đódạng (x, u) 7→ u(x), x ∈ E, u ∈ E∗ xác định cặp đối ngẫu < E, E∗ >

3 Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô

E0 Khi đó dạng (x, u) 7→ u(x), x ∈ E, u ∈ E0 cho ta cặp đối ngẫu

< E, E0 >

Định nghĩa 1.13 Giả sử < E, F > là cặp đối ngẫu Với mọi u ∈ F xácđịnh nửa chuẩn pu trên E bởi công thức

pu(x) = |< x, u >| , x ∈ E

Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn {pu, u ∈ F } ký hiệu

là σ(E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu < E, F >

Mệnh đề 1.12 Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu thì σ(E, F ) là tô pô lồiđịa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn

(E, σ (E, F ))0 = F

Chứng minh Từ điều kiện (DF) thì σ(E, F ) là tô pô Hausdorff Vì pu liêntục với mọi u ∈ F , nên ta suy ra F ⊂ (E, σ(E, F ))0 Mặt khác giả sử

f ∈ (E, σ(E, F ))0 Khi đó tồn tại u1, u2, , un và ε > 0 sao cho

|f (x)| ≤ 1; với mọi x ∈ W (u1, u2, , un, ε) Đặc biệt

f (x) = 0; với mọi x ∈ E

Do đó u1(x) = u2(x) = = un(x) = 0 Vậy f là tổ hợp tuyến tính của

u1, u2, , un, tức là f ∈ F Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phươngyếu nhất trên E để

(E, σ(E, F ))0 ∈ F Định nghĩa 1.14 Giả sử < E, F > là cặp đối ngẫu Tô pô lồi địa phương

ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu < E, F > Nếu (E, ξ)0 = F

Mệnh đề 1.13 Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của E,thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu < E, F >.Chứng minh Ta chỉ cần chứng tỏ

c`ξA = c`σ(E,F )A,với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu

Trong đó c`ξA ký hiệu bao đóng của A đối với ξ Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξnên c`ξA ⊆ c`σ(E,F )A Giả sử a /∈ c`ξA, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ Eđối với tô pô ξ sao cho (a + U ) ∩ A = ∅ Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)0 = Fsao cho f (a + U ) ∩ f (A) = ∅ Do đó f (U ) là mở, nên f (a) /∈ f (A) Từ đó,suy ra tồn tại δ > 0 để

|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ∀x ∈ A

Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân cận của a đối với tô

pô σ (E, F ) không giao với A 

1.3 Pô la

Định nghĩa 1.15 Giả sử (E, E0) là một cặp đối ngẫu và A ⊂ E Khi đó,tập hợp

{x0 ∈ E0 : sup {|hx, x0i| ≤ 1 : x ∈ A}}

được gọi là một pôla (trong E0) của A và ký hiệu bởi A0

Mệnh đề 1.14 Giả sử (E, E0) là một cặp đối ngẫu Pôla trong E0 củacác tập con của E có các tính chất sau đây

i) A0 là lồi, cân và σ (E, E0) −đóng;

cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô)E0 của E là tập hợp E0 =

∪U0, U ⊂ u Trong đó U0 được lấy trong đối ngẫu đại số E∗

Chứng minh Với mọi x0 ∈ E0 thì x0 là một dạng tuyến tính liên tục trên

E Nên có thể tìm được U ∈ u sao cho |< x, x0 >| ≤ 1, ∀x ∈ U Vậy

x0 ∈ U0, U ∈ u và do đó x0 ∈ ∪U0, U ∈ u Ngược lại giả sử x0 ∈ E∗ và

x0 ∈ U0 với U ∈ u nào đó, thế thì x0 liên tục trên E, vậy x0 ∈ E

1.4.1 Đa thức trên không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.16 Cho E và F là một không gian véc tơ trên trường C.Một ánh xạ L : En → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó tuyếntính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại Ký hiệu tập hợp tất

cả các ánh xạ n tuyến tính bởi La(nE; F )

Định nghĩa 1.17 Một ánh xạ n tuyến tính L : E → C được gọi là đốixứng nếu

L (x1, x2, , xn) = L xσ(1), xσ(2), , xσ(n)
,

với mọi x1, x2, , xn ∈ E và σ là phép hoán vị bất kỳ của n số tự nhiênđầu tiên Chúng ta ký hiệu Lsa(nE; F ) là không gian véc tơ của tất cả cácánh xạ n tuyến tính đối xứng từ E vào F

Một ánh xạ n tuyến tính đối xứng có thể liên kết với ánh xạ n tuyến tínhbởi toàn ánh chính tắc s : La(nE; F ) → Lsa(nE; F ) được xác định bởi côngthức

Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn của các đa thức thuần nhất

từ E vào F Ta ký hiệu Pa(E; F ) là không gian véc tơ tất cả các đa thức

từ E vào F

Ví dụ 1.3 Giả sử L : Cn× Cn

→ C là một ánh xạ 2 tuyến tính trên Cn Khi đó tồn tại một ma trận A = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n sao cho

L (z, w) = X

1≤i≤n 1≤j≤n

aijzizj

Trong trường hợp tổng quát không có sự tương ứng 1-1 giữa các đa thức nthuần nhất và các ánh xạ tuyến tính Tuy nhiên nếu chỉ hạn chế trên tậphợp các ánh xạ n tuyến tính đối xứng chúng ta thu được một tương ứng

duy nhất Theo định nghĩa của các đa thức n thuần nhất và toán tử đốixứng biểu đồ sau giao hoán

∧ là một đơn ánh Do đó, chúng ta nhận được một song ánh chính tắc giữakhông gian các ánh xạ n tuyến tính đối xứng và không gian các đa thức nthuần nhất trên E

Định lý 1.1 (Công thức phân rã) Cho E và F là hai không gian lồi địaphương trên C Khi đó, nếu L ∈ Lsa(nE; F ) và x1, x2, , xn ∈ E, thì

Nếu m1 = m2 = = mn = 1 thì P

εj=±1 i≤j≤n

mj = 0 với j nào đó Khi đó chúng ta nhận được

Chứng minh Bởi công thức phân rã L ∈ Lsa(nE; F ) đồng nhất bằng 0 nếu

và chỉ nếu ˆL đồng nhất bằng 0 Do đó, ánh xạ ∧ là tuyến tính có hạt nhânbằng 0 và là đơn ánh Như vậy, nó là một song ánh tuyến tính

Cho A là một tập con của không gian lồi địa phương E và hàm f : A → C,

và β là một nửa chuẩn trên F ta đặt

kf kβ,A = sup

x∈A

β (f (x)) Định lý 1.2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và A

là một tập lồi, cân trong E và β là một nửa chuẩn trên F Khi đó, ta có

ˆL

β,A ≤ kLkβ,An ≤ n

n

n!

ˆL

X

ε i =±1 1≤i≤n

Bởi vì A là lồi, cân nên nếu xi ∈ A; với mỗi i = 1, 2, , n và εi = ±1 thì

Từ đó, chúng ta nhận được

kLkβ,An ≤ 1

2n 1n!

X

ε i =±1 1≤i≤n

Bổ đề 1.1 ([7], Lemma1.12) Giả sử L ∈ Lsa(nE; F ) và P = ˆL ∈ Pa(nE; F )thì với mọi x, y ∈ E và λ ∈ C ta có

L(x)n−r(y)r

L(x)n−r(y)r

Bổ đề 1.2 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C Nếu A

là một tập cân trong E và x ∈ E, thì

kP kβ,A ≤ kP kβ,x+A.Hơn nữa, nếu λ 6= 0, λx ∈ E và A là một tập lồi thì

kP kβ,x+A ≤



1 + 1λ

n

kP kβ,A.Chứng minh Ta có

x + A ⊂ 1

λA + A =



1 + 1λ

A

kP kβ,A.Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục trên khônggian lồi địa phương E được ký hiệu bởi P (nE, F ) Không gian véc tơ tất

cả các đa thức liên tục trên E được ký hiệu bởi P (E, F ) 

Mệnh đề 1.16 Cho E và F là các không gian lồi địa phương trên C và

P ∈ Pa(nE; F ) Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) P là liên tục;

(b) P liên tục tại gốc;

(c) bị chặn trong lân cận nào đó của điểm gốc;

(d) là bị chặn địa phương (nghĩa là bị chặn trong lân cận của mỗiđiểm)

Chứng minh Các kéo theo (a) ⇒ (b) ⇒ (c) là tầm thường Theo Bổ đề1.2, thì ta nhận được (c) ⇔ (d) Vấn đề còn lại là ta chứng minh (c) ⇒ (a).Cho A ∈ Ls(nE; F ) và giả sử ˆA = P Theo công thức phân rã và (c) tồntại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho kAkVn = M < ∞ Với x0 ∈ E tùy

ý chọn α > 0 sao cho αx0 ∈ V Theo Bổ đề 1.1, chúng ta có

sup

1

M

n

→ 0,khi n → ∞ Như vậy P liên tục tại x0 và việc chứng minh được hoàn

1.4.2 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.19 Một tập con U của không gian lồi địa phương E đượcgọi là mở hữu hạn nếu U ∩ F là một tập con mở của không gian Euclide

F với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E

Các tập con mở hữu hạn của E xác định một bất biến tô pô tf Các tf lâncận cân lập thành một cở sở đối với tf lân cận của 0 trong E

Định nghĩa 1.20 Một hàm f xác định trên tập con mở hữu hạn chiều

U của không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địaphương F được gọi là Gateaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu với mỗi

Định nghĩa 1.21 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U

là tập con mở hữu hạn trong E Một ánh xạ f : U → F được gọi là chỉnhhình nếu nó G chỉnh hình và với mỗi ξ ∈ U thì hàm

Định nghĩa 1.22 Một ánh xạ f từ tập con mở U trong không gian lồiđịa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là bị chặn địaphương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận Vξ của ξ trong U saocho f (Vξ) là tập bị chặn trong F

Mối quan hệ giữa ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phương đượcphản ánh trong kết quả sau

Mệnh đề 1.17 ([13], Theorem1.2.8) Giả sử f là ánh xạ từ tập con mở Utrong không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F Khi

đó, các điều kiện sau là tương đương

(i) f là chỉnh hình;

(ii) f là G −chỉnh hình và liên tục;

(iii) f là G −chỉnh hình và bị chặn địa phương

Bổ đề 1.3 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U là mộttập con mở của E Khi đó, nếu f ∈ HG(U, F ) thì f là liên tục khi U đượccho bởi tô pô mở hữu hạn

Chứng minh Dễ dàng thấy rằng tf là tô pô giới hạn quy nạp được chobởi các ánh xạ bao hàm U → E, ở đó U chạy trên tất cả các không giancon hữu hạn chiều của E Do đó một hàm f xác định trên một tập con tf

mở của E là liên tục nếu và chỉ nếu hạn chế của nó lên mỗi phần hữu hạnchiều của U là liên tục Nhưng các hàm nhiều biến là liên tục nên chúng

ta nhận được điều cần chứng minh 

Mệnh đề 1.18 Nếu U là một tập con mở hữu hạn trong không gian véc

tơ E và f ∈ HG(E) thì với mỗi ξ ∈ U tồn tại duy nhất một dãy các đathức thuần nhất trên E

( ˆdmf (ξ)m!

với mọi y trong tf lân cận nào đó của 0.

Chứng minh Cố định điểm ξ ∈ U Với mỗi số nguyên dương m ta đặt

Pm,ξ = 1

2πiZ

|λ|=ρ x

f (ξ + λx)

λm+1 dλTheo Bổ đề 1.3, hàm f là liên tục nên tích phân

Pm,ξ = 1

2πiZ

x1, x2, , xn ∈ Ethì ta có

Cho V là một tf lân cận cân của 0 sao cho ξ + V ⊂ U Nếu x ∈ V thì

ξ + {λx : |λ| ≤ 1} là một tập con compact của U Do đó, tồn tại ρ > 1 saocho ξ + {λx : |λ| ≤ ρ} ⊂ U Theo Bổ đề 1.3, hàm f là liên tục và ta có

sup

|λ|<ρ

|f (ξ + λx)| = Mx < ∞

ta thấy rằng dãy (Pm,ζ)∞m=0 được xác định duy nhất bởi f 

Trong quá trình chứng minh Mệnh đề 1.18 chúng ta cũng đã chứng tỏ đượcrằng

Mệnh đề 1.19 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho f ∈ HG(U ) , ξ ∈ U, ρ > 0

và B là một tập con cân của E sao cho ξ + ρB ⊂ U thì với mọi số nguyênkhông âm m ta có

1m!kPm,ξkB ≤ 1

ρm sup

x∈ξ+ρB

kf kB = 1

ρmkf kξ+ρB.Định nghĩa 1.23 Cho U là một tập con mở trong không gian lồi địaphương E Một hàm f : U → C được gọi là chỉnh hình trên U nếu với mỗi

ξ ∈ U tồn tại Pn,ξ ∈ P (En) ; n = 0, 1, 2, sao cho chuỗi

∞

P

n=0

Pn,ξ(x − ξ)nhội tụ đều về hàm f (x) với mọi x trong lân cận nào đó của ξ

Định nghĩa 1.24 Cho E và F là không gian lồi địa phương và K là mộttập compact của E Trên S

U ⊃K

H(U, F ) với U là tập mở chứa K trong E,

ta xác định quan hệ tương đương ∼ như sau f ∼ g nếu tồn tại một lâncận W của K mà trên đó f và g hoàn toàn được xác định, hơn nữa ta

có f |W = g |W Không gian véc tơ nhận được từ các lớp tương đương trên

đây được ký hiệu bởi H(K, F ) Các phần tử của nó được gọi là các mầmcủa các hàm chỉnh hình hoặc vắn tắt hơn chỉ gọi là mầm chỉnh hình trên

K Nếu f là một hàm chỉnh hình xác định trên một tập con mở của E vàchứa K thì ta cũng ký hiệu bởi f là lớp tương đương trong H(K, F ) Tô

pô tự nhiên trên H(K, F ) được cho bởi giới hạn quy nạp trong phạm trùcác không gian lồi địa phương

H(K, F ) = lim ind

U ⊃K [H (U, F ) ; τω]

ở đó U chạy trên tất cả các tập mở trong E chứa K Tô pô của H(K, F )không thay đổi nếu chúng ta hạn chế chúng tới mỗi thành phần liên thôngcủa U T K Bởi tính duy nhất của thác triển chỉnh hình, ánh xạ chínhtắc H (U, F ) → H (K, F ) là đơn ánh và chúng ta đồng nhất H(U, F ) vớimột không gian véc tơ con của H(K, F ) Theo cách đồng nhất này ta thấy

x∈U

|f (x)|

Mệnh đề 1.20 H∞(U, F ) là một không gian Banach

Chứng minh Giả sử cho {fn} là một dãy Cauchy trong H∞(U, F ) và fđược xác định trên U như giới hạn theo từng điểm của {fn} Khi đó f là

G − chỉnh hình và bị chặn trên U nên f ∈ H∞(U, F ) Vì vậy có fn → fhội tụ đều trên U

Từ đó [H (K, F ) , τ ] là giới hạn quy nạp của các không gian Banach, vàkhông khó khăn ta có thể chứng tỏ τ là tô pô Hausdorff Nhưng vấn đềtrong trường hợp của một không gian lồi địa phương metric E, H(K, F )không là giới hạn quy nạp chặt (cho V ⊃ U ⊃ K, V và U là tập con mởcủa E thì chuẩn trên H∞(U, F ) cảm sinh một chuẩn trên H∞(V, F ) mà

có thể chặt hơn chuẩn trên H∞(V, F ) ).

Ký hiệu cs (E) là tập hợp tất cả các nửa chuẩn liên tục trên một khônggian lồi địa phương E Cho α ∈ cs (E), Eα kí hiệu là không gian véc tơ

E được sinh bởi nửa chuẩn α, và E/α là không gian định chuẩn liên kết

Eα/α−1(0) 

Mệnh đề 1.21 Ta có

H(K, F ) = lim ind

U ⊃K H∞(U, F ) Chứng minh Do K là tập compact trong U nên

H(K, F ) = ∪

U ⊃KH∞(U, F ) Tính liên tục của ánh xạ đồng nhất

lim ind

U ⊃K H∞(U, F ) → lim ind

U ⊃K (H (U, F ) , τω)thu được từ tính liên tục của ánh xạ bao hàm

H∞(U, F ) → (H (U, F ) , τω) Ngược lại, giả sử p ∈ cs

lim ind

U ⊃K H∞(U, F )



Để chứng tỏ rằngp ∈ cs

lim ind

U ⊃K (H(U, F ), τω)

, ta chỉ cần chứng tỏ được

p ∈ cs (H(U, F ); τω) với U ⊃ K cố định Cho V là mở với K ⊂ V ⊂ U Bởi vì p ∈ cs (H(V, F )), tồn tại C(V ) > 0 sao cho

p (f ) ≤ C (V ) sup

x∈V

|f (x)| ;với mọi f ∈ H∞(V, F ) và cũng đúng với mọi f ∈ H (U, F ) Do đó p là nửachuẩn trên H(U, F ), mang bởi tập compact K 

Chương 2 Một số bất biến tô pô tuyến tính

trên không gian Frechet

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu tính chính quy của khônggian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với E, F là các không gian Frechet

và K là tập compact trong E Những kết quả này liên quan đến một số bấtbiến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet Đây là những khái niệmmới, được đưa ra bởi D.Vogt vào những năm 80 của thế kỷ trước Nhờnhững khái niệm này, người ta có được sự phân loại đẹp đẽ các không gianFrechet Trước khi đưa ra kết quả chính, trong chương này chúng tôi trìnhbày một số khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính trên lớp không gianFrechet cùng với các điều kiện tương đương đối với tính chất này liên quanđến kết quả trình bày ở chương sau

Từ đây, ta luôn ký hiệu E là một không gian Frechet với một hệ cơ bảnđếm được tăng các nửa chuẩn

2.1.1 Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DN )

Định nghĩa 2.1 Cho E là một không gian Frechet với một dãy tăng đếmđược các nửa chuẩn {k kk}k∈N xác định tô pô của E Ta nói E có tính chất

(DN ) nếu tồn tại p ∈ N và d > 0 sao cho với mọi q tồn tại k ∈ N và C > 0thỏa mãn

kxk1+dq ≤ Ckxkkkxkdp;với mọi x ∈ E

Lưu ý Tính chất (DN ) không phụ thuộc vào hệ các nửa chuẩn xácđịnh tô pô của E; Tính chất (DN ) được di truyền qua các không gian con;Không gian Frechet có tính chất (DN ) thì nó có chuẩn liên tục và chuẩnnày được gọi là (DN ) − chuẩn

2.1.2 Các điều kiện tương đương

Định lý 2.1 Không gian Frechet E có tính chất (DN ) nếu và chỉ nếu tồntại p ∈ N và d > 0 sao cho với mọi q ∈ N đều tìm được k ∈ N và D > 0thỏa mãn

Uq0 ⊆ DrdUk0 + 1

rU

0 p

với mọi r > 0

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử E ∈ (DN ) Khi đó, theo định nghĩa tồn tại p ∈ N

và d > 0 sao cho với mọi q ∈ N đều tìm được k ∈ N và D > 0 thỏa mãn

k k1+dq ≤ Ck kkk kdp

Từ đó, ta nhận được

k kq ≤ Ck kkk kdp

1 1+d

≤ Drdk kk+ 1

rk kp; r > 0với hằng số D nào đó phụ thuộc vào d và C Thật vậy đặt

d

(1 + d)1+d

và ta xét hàm

f (r) = Drdkxkk + 1

rkxkp;với x cố định thuộc E Ta tìm minimum của f (x) khi r > 0 Ta có

f0(r) = dDrd−1kxkk − 1

r2kxkpvà

f00(r) = d (d − 1) Drd−2kxkk + 1

r3kxkp.Bởi vì f0(r) = 0 nếu

r = r1 =

h(Ddkxkk)−1kxkpi

1 1+d

và f0(r) > 0 với mọi r > 0 nên f00(r1) > 0 Điều đó chứng tỏ rằng hàm sốđạt cực tiểu tại r = r1 và giá trị cực tiểu của hàm số là

f (r1) =Drd+11 kxkk + kxkpr1−1

=

hD(Ddkxkk)−1kxkpkxkk + kxkp

i h(Ddkxkk)−1kxkpi

1 1+d

1 1+d

với mọi x ∈ E Vậy ta có

min

r>0 f (r) =

Ckxkkkxkdp

1 1+d

.Bây giờ ta chứng minh

Uq0 ⊂ DrdUk0 + 1

rU

0

p.Thật vậy nếu x ∈



DrdUk0 + 1

rU

0 p



Drdm + 1

rn



≤ Drd|x (m)| + 1

r |x (n)|

|x (t)| ≤ Drd|x (u)| + 1

r |x (v)|

≤ Drdkxkk + 1

rkxkpvới mọi x ∈ E và mọi t ∈ Up0 Do đó, với mọi r > 0 ta có

kxkq ≤ Drdkxkk + 1

rkxkp; với mọi x ∈ Ehay

chọn d = 1 thì điều kiện này là hiển nhiên.

Điều kiện cần.Do định lý 2.1 với mọi r > 0 ta có

kxkq ≤ 2qDkxkk.kxkp

Từ đó, ta nhận được bất đẳng thức

kxk2q ≤ 4Dkxkk.kxkp.Chọn C = 4D ta được điều phải chứng minh 

Bây giờ chúng ta xét thêm một điều kiện cần và đủ để một không gianFrechet nào đó có tính chất (DN ) Tiêu chuẩn này liên quan đến khônggian các ánh xạ tuyến tính liên tục Giả sử E, F là các không gian Frechet,L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Với mỗi

kAxkn ≤ Mn; x ∈ U

Định lý 2.3 Cho E, F là hai không gian Frechet, khi đó các điều kiệnsau là tương đương

kAxkn ≤ Mn; x ∈ U

Định lý 2.3 Cho E, F hai không gian Frechet, điều kiệnsau tương đương