Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng

- Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu được các hệ thức về phương sai của tọa độ và xung lượng, tính được số hạt trung bình của hệ tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn thành tốt luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao đẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác

Hà Nội, ngày tháng năm 2011

Tác giả

Mẫn Văn Ngữ

PARA BOSON BIẾN DẠNG

tổng quát

44 3.3.1 Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44

3.3.2 Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45 3.3.3 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson

biến dạng q tổng quát

46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay lý thuyết trường lượng tử đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật

lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và các tính chất của

nó Từ đó lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới của các phân tử, nguyên tử hạt nhân và các hạt cơ bản

Trạng thái kết hợp diễn tả trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein là một trạng thái đặc biệt của vật chất và của các hạt vi mô Trong trạng thái kết hợp

hệ thức bất định Heisenbeg đạt giá trị cực tiểu (dấu bằng) Việc nghiên cứu trạng thái kết hợp của các dao động tử đã góp phần giải quyết các bài toán phi tuyến của quang học lượng tử, lý thuyết chuyển pha lượng tử… làm chính xác

và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô

Với mong muốn tìm hiểu rõ hơn về trạng thái kết hợp của các dao động

tử, tôi đã chọn đề tài '' Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng''

2 Mục đớch nghiờn cứu

- Nghiên cứu các dao động tử Para-Boson trong lý thuyết trường lượng tử

và các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q -tổng quát

3 Những vấn đề chính được nghiên cứu

- Tính phân bố thống kê của các hệ dao động tử biến dạng

- Xây dựng trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát

- Các hệ thức về phương sai của toạ độ và xung lượng

- Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt

4 Đối tượng nghiờn cứu và phạm vi nghiờn cứu

6 Những đúng gúp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường sư phạm, nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của giảng viên, học viên cao học

- Xây dựng các trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Boson biến dạng q tổng quát, thu được các hệ thức về phương sai của tọa độ và xung lượng, tính được số hạt trung bình của hệ trong trạng thái kết hợp và xác suất

để trạng thái kết hợp có n hạt

7 Kết cấu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Biểu diễn ma trận của cỏc toỏn tử sinh - hủy Boson

Chương 2: Trạng thỏi kết hợp của cỏc dao động tử Para - Boson

Chương 3: Trạng thỏi kết hợp của cỏc dao động tử Para Boson biến dạng

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ

SINH - HỦY BOSON

1.1 Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính

Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa một chiều:

    là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa ˆp và ˆq

Khi đó ta biểu diễn ˆH theo ˆa và ˆa

Ta biểu diễn các toán tử ˆa và ˆa

ngược lại qua ˆp và ˆq :

a,aˆ ˆ 1

Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử ˆN ứng với trị riêng n

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử ˆNnhư sau:

Kết luận 1:

Các trị riêng của toán tử ˆN là các số không âm

Xét véc tơ trạng thái thu được ˆa n bằng cách tác dụng toán tử ˆa lên véc tơ trạng thái n Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử ˆN và sử dụng công thức (1.10) ta có:

Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái ˆa n

, tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử ˆN , sử dụng công thức (1.11) ta có:

Tương tự như vậy 2 3

N Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất, thỏa mãn:

Mặt khác theo định nghĩa N nˆ min nmin nmin (1.18)

So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau:

Kết luận 3:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử ˆN là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của ˆN được ký hiệu 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện ˆa 0  0

1

51

31

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0, trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E  0  có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng E1   E0 2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng

tử năng lượng  vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E 0, thì

có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử ˆN

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

tử số năng lượng Toán tử ˆa khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với

n 1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử ˆakhi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận

là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử ˆN sẽ là toán tử số hạt, ˆa sẽ là toán tử hủy hạt, ˆa

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E  n  sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng 

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử ˆa tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và toán tử ˆa

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ   n, n, n trong các hệ thức:

n n n n

Chúng ta có

n ,n

n N n n N nn

1.2 Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson

Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt [2]:

Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc

tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử ˆN

lên các véc tơ trạng thái n ta được:

Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó

có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không?

Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và :

Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson

n ' a nˆ  n ' n n 1  n n ' n 1

n ,n 1 '

1 khi n ' n 1n

, hủy Boson ˆa và toán tử số hạt ˆN có dạng:

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương I tôi đã trình bày một cách lôgic, đầy dủ về hình thức luận dao động tử điều hòa: Khảo sát dao động tử điều hòa tuyến tính trong biểu diễn số hạt, nêu ra các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh hạt, hủy hạt

và toán tử số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử đó Đây là cơ sở để chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các vấn

đề ở chương tiếp theo

CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC

DAO ĐỘNG TỬ PARA BOSON

2.1 Trạng thái kết hợp

2.1.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

Xét hệ khí Boson, là hệ các hạt lượng tử đồng nhất có spin nguyên hay bằng không Những hạt như vậy có thể là các photon, các meson hay các nguyên tử trong đó có số electron và số nucleon là chẵn

Khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein cho hệ các hạt đồng nhất Boson, dựa vào tính chất lượng tử của hệ các hạt đồng nhất Boson là không bị chi phối bởi nguyên lý cấm Pauli, tức là số các hạt ở trong cùng một mức năng lượng có thể là tùy ý, Einstein đã tiên đoán về một trạng thái đặc biệt của vật chất đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Sau đây bằng các tính toán cụ thể chúng ta sẽ chứng tỏ được điều tiên đoán của Einstein là hoàn toàn đúng đắn

Năm 2001 giải Nobel Vật lý được trao cho ba nhà khoa học Esic A Cornell, Wolfgang Ketterle và Carl E.Wieman

Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose – Einstein, vì vậy

số hạt trong khoảng năng lượng từ  đến  + d là:

 

Trong đó: f() là số các mức năng lượng trong khoảng  đến +d

 

N  là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng  tức hàm

phân bố Bose – Einstein:    

 

gN

Theo quan điểm lượng tử các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem như các sóng đứng De Broglie

Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng k

2

2

p2m

2m

22m

2

He thì bội suy biến g () = 1

Thay (2.2) và (2.3) vào (2.1) ta thu được số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng  đến  + d bằng:

3

1 2

Lấy tích phân trong khoảng năng lượng từ 0 đến , ta được tổng số hạt của chất khí:

3

1 2

Số hạt dn () trong khoảng năng lượng từ  đến  + d phải là số dương,

vì thế hóa học  phải thỏa mãn điều kiện   0

Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (2.7) sẽ xác định được  và 

là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là: 0

kT 0

kT 2 2 kT 0



 và biến đổi tích phân (2.9) về dạng:

2 c

   

3

1 2

2

2 3

kT 0

hạt có năng lượng  > 0 là N ( > 0) nhỏ hơn tổng số hạt của chất khí Vậy thì

số hạt còn lại có năng lượng bằng bao nhiêu? Vì năng lượng của mỗi hạt không thể âm nên hiển nhiên là số hạt còn lại có năng lượng  = 0 Số hạt đó được tính như sau:

Vậy đối với mọi chất khí Boson có tồn tại nhiệt độ Tc mà ở dưới nhiệt

độ này thì thế hóa học  = 0 Trong khoảng nhiệt độ 0  T  Tc có một số hạt nằm trong trạng thái có năng lượng thấp nhất được xác định bởi công thức (2.13), nghĩa là các hạt đó nằm ở một pha khác mà người ta gọi là pha ngưng

tụ Bose – Einstein đây là một trạng thái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã

dự đoán có thể xảy ra

Khi T = 0K thì tất cả các hạt đều có năng lượng  = 0 Việc tính toán được nhiệt độ ngưng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đó tất cả các chất đều ở trạng thái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng thái khí

Trong 4

2

He lỏng ở nhiệt độ 2,8K người ta đã quan sát được một sự biến đổi trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem như là sự ngưng tụ Bose Ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ 2,8K Hêli lỏng gồm hai thành phần:

Thành phần bình thường mà ta có thể xem như một chất khí Boson còn chưa ngưng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem như một chất khí

Boson ngưng tụ ở mức “không”

Các hạt nằm ở mức “không” của thành phần siêu lỏng của Hêli không

thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung và không thể truyền năng lượng trong chuyển động tương đối Nói khác đi, trong thành phần siêu lỏng 4

2

He không

có xuất hiện lực nội ma sát (độ nhớt)

Như vậy việc chuyển Hêli từ trạng thái lỏng về trạng thái siêu lỏng (chuyển pha loại hai) có thể xem như là sự xác nhận lý thuyết về sự ngưng tụ của khí Boson Tuy nhiên với đồng vị 3

2

He lỏng thì không có thành phần siêu lỏng ở nhiệt độ thấp, bởi vì số nucleon trong hạt nhân là lẻ, nó có Spin bán nguyên và do đó nó tuân theo thống kê Fecmi – Dirac

Dựa vào biểu thức (2.11) ta thấy rằng nhiệt độ chuyển pha Tc phụ thuộc vào nồng độ hạt (N/V)

Bảng nhiệt độ chuyển pha Tc và nồng độ hạt (N/V) của một vài vật liệu siêu dẫn

Không giống như trạng thái Fock trong biểu diễn số hạt, trong đó hạt thì xác định còn pha thì tùy ý Trạng thái kết hợp có pha dao động nhỏ nhưng

số hạt thì lại hoàn toàn tùy ý Vì lý do này nên về mặt toán học trạng thái kết hợp mà ta ký hiệu  có thể được coi như là trạng thái riêng của toán tử hủy dao động thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng

Chúng ta có một số kết quả như sau:

- Trong hình thức luận dao động tử điều hòa các toán tử tọa độ và toán

tử xung lượng được biểu diễn qua các toán tử ˆa và ˆa

là:

1 2

2iˆ

Để thuận tiện thay cho các đại lượng tọa độ và xung lượng ta dùng các đại lượng không thứ nguyên như sau:

ˆˆP,Q

2.2 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson

Khi bậc của thống kê Para p thì thống kê Para trở về thống kê Bose-1Einstein và thống kê Fermi-Dirac tương ứng

Trong không gian Fock tồn tại một trạng thái chân không thỏa mãn các

Toán tử số dao động tử N được biểu diễn qua các toán tử sinh, toán tử hủy và bậc của thống kê Para như sau:

n n ch½nn+p-1 n lÎ

2.2.3 Thống kê Para Bose

Trị trung bình của một đại lượng vật lí F tương ứng với toán tử F được tính theo công thức:

với  là năng lượng dao động của một hạt, khi đó chúng ta tính được hệ thức sau:

eZ

2.2.4 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para-Bose

Về mặt toán học các trạng thái kết hợp mà ta ký hiệu là z có thể coi như là các trạng thái riêng của toán tử hủy dao động và thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng sau:

nghiệm của phương trình này là:

     

 

n za

p

n 0 p

p

n 0 p

xe

1 2 1

với m là khối lượng của dao động tử,  là tần số của dao động

Từ đại số (2.33) chúng ta chứng minh được hệ thức sau:

Đối với trạng thái kết hợp xác định giới hạn này tăng lên khi bậc thống

kê Para tăng

KẾT LUẬN CHƯƠNG II Trong chương II chúng tôi đã nghiên cứu một cách hệ thống về trạng thái kết hợp: Đã xây dựng được trạng thái kết hợp, tính các biểu thức về phương sai của tọa độ và xung lượng, tính số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp và xác suất để trạng thái kết hợp có n hạt, đồng thời chúng tôi đã nghiên cứu trạng thái kết hợp của dao động tử Para - Boson, đây là công cụ toán học của lý thuyết biến dạng và là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu chương tiếp theo

CHƯƠNG III: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ

PARA BOSON BIẾN DẠNG

3.1 Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q

 , có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Nếu q là thực, q – số có thể biểu diễn như sau: q e

2 2

1 1

là giai thừa chuẩn

Các hàm cơ bản của biến dạng q:

 

n n q

n 1

2 n n q

n 0

2 n n q

3.1.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q

Dao động tử điều hòa biến dạng q được định nghĩa theo các toán

Điều kiện liên hợp Hamitic  aˆq   aˆq

q q

q

q q

Với ˆa và q ˆaq

là các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q Cơ sở của không gian Fock được xác định bởi sự tác động liên tiếp của toán tử sinh ˆaqlên trạng thái chân không đã bị hủy bởi ˆa q