Phương pháp giải nhanh phương trình lượng giác

Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông

Ví dụ như các công thức sau

sin x cos x1

cos 2 x 2 cos x   1 1 2sin x

sin 2 x 2 sin cosx x

3sin 3 x 3sin x 4 sin x…

Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không

sin 2 x cos 2 x1

cos 4 x 2 cos 2 x   1 1 2 sin 2x

sin 4 x 2 sin 2 cos 2x x

3sin 9 x 3sin 3 x 4sin 3x…Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau

Với k 0 ta có

sin kx cos kx1

cos 2 kx 2 cos kx   1 1 2 sin kx

sin 2 kx 2sin kx coskx

3sin 3 kx 3sin kx 4 sin kx

1 Dựa vào mối quan hệ giữa các cung

Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn

đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào

Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 4.sin 7

Giải:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

www.DETHITHU.NET

DeThiThu.Net

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

Ta có sin 3 sin cos 3 cos sin 3 cos

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

cos 3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 sin 2 sin 0

Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó

Công thức nhân ba cos 3 x 4 cos 3 x 3cos , sin 3 x x 3sin x 4 sin3x

Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi

cos 3 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 2 cos 1 cos 2 cos sin

2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 4 cos 3cos

Tương tự cho sin 3x

Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 3cos 4 – 8 cos x 6 x 2 cos 2 x 3 0

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

(1 2 cos )(sin 2 x x 1) 0

1cos

2sin 2 1

Điều kiện: sin x 0

Phương trình sin 5 x 5sin x sin 5 x 5sinx

Nhận xét:

Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng

Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai

sin 5 sin 4 sin 2 cos 3 sin 2 4 sin

4 cos 3 sin cos 4 sin cos 3 cos 1

Vậy phương trình vô nghiệm

Hướng 2: Phân tích cung 5 x 2 x 3x, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba

sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos 3 5sin

3sin 4 sin cos sin 2 sin cos 4 cos 3cos 5sin sin cos

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìmx 0;14 nghiệm đúng phương trình: cos 3 – 4 cos 2x x3cos x4 0

32

- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau

sin x cos sin 2 x x  3 cos 3 x 2 cos 4 x sin x

2sinsin







x x

x x

HD:

Điều kiện:

3

22

02cos

k x x

DeThiThu.Net

x x

x x

x x

x

2

1cos2

32

sin2

12cos2

32

cos3cos32sin



3

2 9

26

cos6

1 1 cos 4 cos 4 2 cos 4 cos 4 1 0 1

2sin 2 0

- Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau

(ĐHGTVT – 1999) Giải phương trình: sin 4 cos 4 7cot cot

Nhìn vào phương trình này ta ngĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế

khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3

 có mối quan hệ với nhau như thế nào

Thật vậy sin 3 sin 3 sin 9 3 sin 3 3

2sin)43

Đs:

6

2

,3

Bài tập tự giải:

Bài 1: (Đề 16 III) Tìm nghiệm ;3 )

2(  



x của phương trình sau

x x

2

7cos(

3)

2 Biến đổi tích thành tích và ngược lại

Bài 1: Giải phương trình : sinxsin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x sin 6 x0

sin 0

72

x k

Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn, chính vì thế mà

ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Đs: 2

3

7,

2sinx1 3cos 4 x 2 sin – 4 x 4 cos x3

Đs:

26

7

26

Bài 9: (ĐHCSND – 2000) Giải phương trình: 3 3

cos x sin x sin 2 x sin x cosx

Đs:

22

4 2

2

k x

Bài 15: (ĐHSP I – 2000) Giải phương trình: 3

4 cos x 3 2 sin 2 x 8 cosx

Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và tổng hai cung 6 2 4

cos 2 x cos 4 x cos 6 x 0 cos 4 (2 cos 2 x x 1) 0

cos 4 0

1

8 4 3cos 2

Bài 2: (ĐH – B 2002) Giải phương trình: 2 2 2 2

sin 3 x cos 4 x sin 5 x cos 6x

Chú ý: Có thể nhóm cos12 x cos 8 x   cos10 x cos 6 x0

Bài 3: (ĐH – D 2003) Giải phương trình: sin 2 tan 2 cos 2 0

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0

42

Chú ý: Vì cos x 0 sin x 1 nên ta loại ngay được 2

Khi cos 2 x  1 thì

3cos 6 x 4 cos 2 x 3cos 2 x 1

Vậy hệ trên tương đương sin 2 x 0 cho ta nghiệm

sin 1 cos 1sin cos 1

Bài 5: (ĐHL – 1995) Giải phương trình cos 4 sin 4 1

cos2

42sin2cos3

Phương trình

0cos2

3sin

2

120sincos31

cos22cos1cos

1cos

33

03

k x

Bài 7: (QGHN – 1998) Giải phương trình 2 2 2

sin x cos 2 x cos 3x

Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 tan 3 tan 3(1 sin )2 8cos 2 0

4 2cos

3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0

3 tan 1 sin tan 1 sin tan 0

1 sin tan 3 tan 1 0



TH 2: 1 sin  x tan x 0 sin x cos x sin cos x x0(pt đối xứng với sin và cos)

Giải phương trình này ta được 2 ,

Bài tập tự giải:

Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x +

8

9)4(sin)4(sin4   4  

x x

k k x

k k x

Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình: 2 2  

sin 4 – cos 6 x x sin 10, 5  10x

Đs: 20 10 ,

2

k x

54(sin

2 2   x  2 x

Đs:

12 6

,4

8 2

k x

k x

Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 17 2

sin cos cos 2

sin cos 2 sin 2 cos

1 sin cos (1 sin ) cos

x x

2sin

22

sin4tancot   

cos sin cos 2 2 cos 2

sin cos sin cos sin 2

2sin 2

1

x t

t x

21

Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x

Phương trình 2 sin 2 cos 2 1 sin 4 sin 2 1 0

8 2 sin 2 13cos 2 8 2(1 cos 2 ) 13cos 2 2 cos 2 13cos 2 6 0

cos sin

2(sin 2 cos 2 ) 2(sin 2 cos 2 )

tan x cot x 2 cot 2x

Giải:

DeThiThu.Net

Điều kiện

cos 0

sin 0 sin 2 0

2sin 2 0

cossin)sin(cos

Bài 8: (ĐH – A 2010) Giải phương trình:

1 sin cos 2 sin 

14

cos

x x

7 26

x x

2sin8

12

cot2

12

sin5

92cos52cos8

12cos2

15

2sin2

118

12cos2

15

cos.sin

2

2 2

x x

x

loai x

62

12

cos

)(2

92

0cos

x x

DeThiThu.Net

)cos1(coscos

sincos

cos

x

x x

cos cos 2

x x

x x

cos sin

4sin cos

loai x

x x

x x

x x

x x

x x

x

32

12

cos

)(1

2

cos

012cos2cos24cos2

coscos

.sin

4cos cos

2

x x

cos x 3 sin x sin 2 x 3 1 2 sin x

cosx 3 sin x sin 2 x 3 cos 2x

2

1 sin cos (1 sin ) cos

nên  

2



    không phải là nghiệm của phương trình

Khi cosx 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được 3

Cách 1: Điều kiện: cos x 0

Phương trình 1 3 sin 4 sin cos cos 3sin 4sin cos2

- Ta có thể chia từ đầu hai vế của phương trình cho cos x2

- Nhìn vào phương trình ta thấy xuất hiện tan x và sin 2x ta nghĩ tới mối quan hệ như giữa chúng

2 sin cos

2 tancos

sin 2 2 sin cos

1 1 tancos

x x

x x

,3

k k

 với tan 1  1 2; tan 2  1 2

Bài 4: (ĐHĐN – 1999) Giải phương trình: cos3 x – sin 3x sin – cosx x

Đs:  

1,2

4

Bài 9: (ĐHNN I – B 1999) Giải phương trình: 2    

sin x tanx1 3sin x cos – sin x x 3

b Đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, bậc 4… của một hàm lượng giác

Bài 1: Giải phương trình 2sin 2 x tan 2 x2

Bài 3: (ĐH – B 2004) Giải phương trình:   2

5sin – 2 3 1 sin x   x tan x

tan tan tan 3 2 tan (tan tan 3 ) 2 2 2

cos cos cos 3 cos cos cos 3

Điều kiện: cos 0 sin 2 0

sin 2 0

x

x x

sin cos 2 1 sin sin 2

2 2 sin 2 2 cos 2 2sin 2 1 0

cos sin 2 sin 2 cos

Điều kiện: sin x 0, cos x0

Phương trình s in 2 2 x sin 2 sin x x cos x  1 2cos2x

2cos 1

1

2cos

32

Ta có: cos 3 x sin 3 x 4 cos 3 x 3cos x 3sin x 4sin3 x

4(cos x sin )(1 sin cos ) 3(cos x  x x  x sin ) (cos x  x sin )(1 4 sin cos )x  x x

Và 1 2 sin 2  x  1 4sin cosx x

Cách 2: Quy đồng hai vế… bạn đọc tự giải

c Đưa về các dạng phương trình đối xứng

Chú ý một số dạng đối xứng bậc chẵn với sin va cos

Đặt

2 2

1sin

2cos 2 , 1

1cos

2

t x

t x

Bài 1: (ĐHSP HCM – 2000) Giải phương trình 4 4

4(sin x cos ) x  3 sin 4 x2

Giải:

21

1 sin  x cos x  1 cos  x sin x  1 sin 2x

b Phương trình đối xứng với tan và cot

Bài 1: Giải phương trình: tan 2 x cot 2 x 2(tan x cot ) 6 (*)x 

2(tan x cot ) x 2(tan x cot ) 8 0x

Vậy nghiệm của phương trình là: 7 (k Z)

k

k x

Bài 6: (DLĐĐ – 1997) Giải phương trình: tan x cot x 2 sin 2  x cos 2x

Đs: 4 2  

8 2

k x

k k x

Bài 9: (ĐHYHN – 1998) Giải phương trình: 2 cot 2 – cot 3  x x tan 2 x cot 3x

Phương trình vô nghiệm

Bài 10: (QGHN – 1996) Giải phương trình: tan 2 x – tan tan 3x x 2

Bài 14: (CĐGT – 2001) Giải phương trình: 2 2 2 2

tan tan 3 tan 4 x x x tan – tan 3 x tan 4x

4 2

x k

k k x

Dạng 1:  

2 2

Đặt t a  tan x b  cot x a 2 tan 2 x b  2 cot 2 x t  2 2ab

Thay vào phương trình ban đầu ta được một phương trình bậc 2 theo t

Bài 1: Giải phương trình 4 sin 2 1 2 4 sin 1 7 0

sinsin

x x

x x

cos 2 2 cos 2 cos 2 cos

cos x x cos x x cos x x cosx x

(2) cos x 2 cos x  1 0 (cos x 1) 0 cos x  1 x k  2 (  k )

Bài 2: (ĐHTM – 2001) Giải phương trình 22 2 tan 2 5(tan cot ) 4 0 (1)

sin x x  x  x  

DeThiThu.Net

  , sau khi thay vào

ta được một phương trình đối xứng với tan và cot

Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 (k )

a Môt số bài toán cơ bản

Bài 1: (ĐHNT – D 1997) Giải phương trình 2 tan cot 3 2

sin 2 sin cos 2 cos

8 cos cos 8 cos cos 2 sin

8cos cos 2 sin 1cos 2 sin

Điều kiện cos 0

sin 0

x x

Bài 5: (ĐHTCKT – 1997) Giải phương trình (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan x  x   x

Điều kiện: cosx 0

2sin 2 1

3cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(3cos sin 2) 0

4sin 4 0

Phương trình 2 tan 3  tan  tan 3 cot 2  2 2 sin 2 cos 2

sin 4 cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4

4 sin 4 sin 2 cos 2 cos 2 cos 3 4sin 4 sin cos 3 cos 2 cos 3

4 sin 4 sin cos 3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)

nghiệm này thoả mãn ĐK

8 2 cos x 2 2 sin x sin 3 x 6 2 cos x 1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

22(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )

Bài 12: Giải phương trình 1 2 cos  sin 

2 sin cos x x 2 sinx

sin 2 cos x x 3 2 3 cos x 3 3 cos 2 x 8 3 cos x sin x 3 3 0Giải

3

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2 sin cos 6 sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2cos1

Bài 15: (ĐH – D 2004) Giải phương trình: 2 cos – 1 2 sin x  x cos x sin 2 – sinx x

3

;4

Bài 16: (ĐH – A 2007) Giải phương trình:  2   2 

1 sin  x cos x  1 cos  x sin x  1 sin 2x

4

8 42

cos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2 sin 1)(cos sin 2) 0

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

1 (sincos

30cos6cos

cossin2sin cos

12

cos2

12cos14

1cos

4

1cos

2

1cos

2 2

Bài 22: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:  2 

cos 2 x cos 2 tan x x– 1 2

1 (2)[

cos

1 (cos)cos

1 ()cos

1 )(

1cos0

2cos5cos

2

1cos

2

x

x x

) 1(coscos2

x x

x

www.DETHITHU.NET

DeThiThu.Net

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

Phương trình (1 sin )(cos  2 x x 1) 2(sin  x cos )(1 sin )x  x

(1 sin )[(1 sin )(cos x x x 1) 2(sin x cos )] 0x

2(1 cos )(1 sin ) 0 cos 1

b Một số bài toán đặc biệt

Bài 1: (QGHN – B 1999) Giải phương trình sin 6 x cos 6 x 2(sin 8 x cos )8 x

2x2

3

coscos

sin



x2xx

x1

x2xx

21

3

coscoscos

sin)cos(cos)sin(

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498

(cos sin )(cos sin ) 0

thuần thục các kĩ năng, kĩ sảo, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được

Hi vọng qua chuyên mục nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi, tài liệu không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế vì tuổi đời còn trẻ kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế rất mong các bạn bỏ qua

Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long

Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa

“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao… chào thân ái”

www.DETHITHU.NET

Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

DeThiThu.Net