Một số ứng dụng của lý thuyêt điểm bất động

Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao cấp.. Việc nghiên cứu mộtsố ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết điểm bất động, đồn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

Hà Nội-2009

Tôi xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên ngànhToán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng đã trựctiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Văn Hùng.

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quảkhoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Mở đầu 6

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 8 1.1 Lý thuyết không gian mêtric 8

1.1.1 Các định nghĩa 8

1.1.2 Các tính chất đơn giản 8

1.1.3 Ví dụ 9

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric 11

1.1.5 Ánh xạ liên tục 13

1.1.6 Không gian mêtric đầy 14

1.1.7 Tập compact và không gian compact 17

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach 17

1.2.1 Các định nghĩa 17

1.2.2 Ví dụ 19

1.2.3 Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn 20

1.3 Không gian tôpô 21

1.4 Tập lồi, hàm lồi 22

1.4.1 Tổ hợp lồi 22

1.4.2 Định nghĩa hàm lồi và các ví dụ 24

1.5 Định nghĩa nửa liên tục dưới 25

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 26 2.1 Điểm bất động của ánh xạ co 26

2.1.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 26

2.1.2 Ánh xạ co đa trị 27

2.1.3 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co 28

2.1.4 Ánh xạ co yếu 29

2.1.5 Định lý điểm bất động Caristi 30

2.1.6 Nguyên lý biến phân Ekeland 32

2.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 33

2.2.1 Về cấu trúc hình học của không gian Banach 33

2.2.2 Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn 36 2.2.3 Ánh xạ không giãn đa trị 38

2.3 Điểm bất động của ánh xạ liên tục 40

2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 40

2.3.2 Các định lý điểm bất động 42

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 45 3.1 Ứng dụng của lý thuyết điểm bất động cho bài toán phổ thông 45 3.2 Ứng dụng của định lý điểm bất động cho một số bài toán cao cấp 53

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

lý thuyết này, ngoài các định lý tồn tại điểm bất động, người ta còn quantâm đến cấu trúc của tập hợp điểm bất động, các phương pháp tìm điểmbất động và các ứng dụng của chúng Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bấtđộng được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu một

số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn

về lý thuyết điểm bất động, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyếtmột số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giảiquyết một số bài toán thực tiễn khác Chẳng hạn, Lomonosov (1973) đã sửdụng nguyên lý Schauder để chứng minh sự tồn tại không gian con bất biếnkhông tầm thường của một toán tử tuyến tính liên tục trong một không gianBanach nếu nó giao hoán với một toán tử hoàn toàn liên tục trong khônggian đó Hơn nữa, tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động có thể giúp chúng tachỉ ra ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính duy nhất phương pháp tìm điểmbất động và đánh giá được độ chính xác tại mỗi bước lặp Bởi vậy tôi đãchọn đề tài: “Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động” để thựchiện luận văn tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của lý thuyết điểm bất động, sau đó nêu

ra các ứng dụng của nó trong một số bài toán sơ cấp và một số bài toán caocấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng tỏnội dung của lý thuyết điểm bất động và ứng dụng cho một số bài toán sơcấp, một số bài toán cao cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các kết quả về lý thuyết điểm bất động, một số ứng dụng của nó chomột số bài toán sơ cấp và một số bài toán cao cấp Cụ thể, luận văn gồm 3chương:

Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

Chương 2: Lý thuyết điểm bất động

Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết điểm bất động

5 Phương pháp nghiên cứu

* Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo

* Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

1) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất);2) (x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x) (tiên đề đối xứng);

3) (∀x, y ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là mêtric trên X, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần

tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệtiên đề mêtric

Không gian mêtric được ký hiệu là M = (X, d)

Định nghĩa 1.2 Cho không gian mêtric M = (X, d) Một tập con bất kỳ

X0 6= ∅ của tập X cùng với mêtric d trên X lập thành một không gian mêtric.Không gian mêtric M0 = (X0, d) gọi là không gian mêtric con của không gianmêtric đã cho

1.1.2 Các tính chất đơn giản

Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây:1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, , n, n ∈ N∗) d (x1, xn) ≤

nP−1 j=1

Ví dụ 1.2 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, xk) ; y = (y1, y2, yk) thuộckhông gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó) ta đặt:

d (x, y) =

vuut

vuut

k

X

j=1

a2 j

vuut

sao cho chuỗi số dương P∞

n=1|xn|2 hội tụ Với hai dãy số bất kỳ:

x = (xn)∞n=1, y = (yn)∞n=1,thuộc l2 ta đặt:

d (x, y) =

vuu

x = (xn)∞n=1, y = (yn)∞n=1, z = (zn)∞n=1,thuộc l2 và với số p nguyên dương tuỳ ý ta có:

" pX

n=1

|xn − yn|2

#12

≤

" pX

n=1



|xn− zn|2 + |zn − yn|2

#12

" pX

n=1

|zn− yn|2

#12

≤

" ∞X

n=1

|xn − zn|2

#12+

" ∞X

n=1

|zn− yn|2

#12.Cho p → ∞ta được:

d (x, y) =

" pX

n=1

|xn− yn|2

#12

≤

" ∞X

n=1

|xn − zn|2

#12+

" ∞X

n=1

|zn − yn|2

#12

= d (x, z) + d (z, y)

Do đó hệ thức (1.4) thoả mãn tiên đề 3 của mêtric Vì vậy hệ thức (1.4)xác định một mêtric trên l2 Không gian mêtric tương ứng vẫn ký hiệu là l2.Không gian l2 đôi khi còn gọi là không gian Euclid vô hạn chiều

1.1.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.3 Cho không gian mêtric M = (X, d) , dãy điểm (xn) ∈ X,điểm x0 ∈ X Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian Mkhi n → ∞, nếu

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) d (xn, x0) < ε

Ký hiệu:

lim

n →∞xn = x0 hay xn → x0 (n → ∞) Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn) trong không gian M

Ví dụ 1.4 Sự hội tụ của một dãy điểm (xn) trong không gian R1 là sự hội

tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Ví dụ 1.5 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Euclid Rk tươngđương với sự hội tụ theo toạ độ

Thật vậy, giả sử dãy điểm x(n) = 

x(n)j − xj

< ε ∀n ≥ n0∀j = 1, 2, , k (1.5)Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ với ∀j = 1, 2, , k dãy số thực x(n)j 

kĐặt n0 = max {n1, n2, , nk} , thì (∀n ≥ n0) ta có:

x(n)k − xk

+

x(n)k

2

≤ 2 x(n)k

... 1.3 Cho không gian mêtric M = (X, d) , dãy điểm (xn) ∈ X ,điểm x0 ∈ X Dãy điểm (xn) gọi hội tụ tới điểm x0 không gian Mkhi n →... data-page="13">

Định nghĩa 1.5 Ánh xạ f gọi liên tục điểm x0 ∈ X, với dãyđiểm (xn) ⊂ X hội tụ tới điểm x0 M1, dãy điểm (f (xn)) hội tụ tới

f... data-page="12">

Ví dụ 1.4 Sự hội tụ dãy điểm (xn) không gian R1 hội

tụ dãy số thực biết giải tích tốn học

Ví dụ 1.5 Sự hội tụ dãy điểm không gian Euclid Rk