Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử (LV00265)

Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hi

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS Khuất Văn Ninh đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K11 Toán Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của TS Khuất Văn Ninh

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

MỤC LỤC

Mục lục 3

Mở đầu 5

Chương 1 Một số khái niệm mở đầu……… 7

1.1 Không gian metric………7

1.1.1 Định nghĩa không gian metric……… 7

1.1.2 Tập mở và tập đóng……… 7

1.1.3 Ánh xạ liên tục……… 8

1.1.4 Không gian metric đầy……… 8

1.1.5 Nguyên lý Banach về ánh xạ co……… 9

1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn……… 9

1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp……… 11

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschit……… 13

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz…………16

2.1 Sự tồn tại nghiệm………16

2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ……… 20

Chương 3 Giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn……….25

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong không gian 1 R ……… 25

3.1.1 Định nghĩa……… 25

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm……….25

3.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong không gian R2……….30

3.2.1 Định nghĩa……… ………30

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm……….31

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng

đề cập đến Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rất rộng lớn

và có hiệu lực thực tiễn mạnh mẽ Trong đó có rất nhiều công trình nghiên cứu về việc tìm nghiệm của phương trình toán tử loại hai đặc biệt là phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz x + Ax = f Trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên nhân chỉ có tính chất gần đúng do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên cứu các phương trình toán

tử theo quan điểm xấp xỉ

Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong phú và đa dạng Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có ứng dụng rộng rãi, phương pháp được thực hiện thông qua việc chia nhỏ bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản có thể giải được bằng phương pháp ánh xạ co

Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn các bước theo tham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh

xạ co

Bởi vậy tôi đã chọn đề tài “Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử và ứng dụng của phương pháp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu nói trên của luận văn, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

Nghiên cứu lý thuyết của phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

4 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp lặp qua một số hữu hạn các bước theo tham sốε

và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co để tính nghiệm gần đúng của phương trình

5 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử loại hai trong một số không gian định chuẩn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo

TS Khuất Văn Ninh Tác giả mong rằng luận văn này sẽ có những đóng góp hữu ích trong việc giải và nghiên cứu phương trình toán tử

Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, của thầy giáo TS Khuất Văn Ninh, cảm ơn các thầy (cô) giáo phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ và tạo điều kiện tốt nhất giúp hoàn thành đề tài này

Tác giả

Chương 1 Một số khái niệm mở đầu

1.1 Không gian metric

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực R thoả mãn các tiên đề sau đây:

1 (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ( tiên đề đồng nhất)

2 ( ∀x, y ∈ X) d(x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng)

3 ( ∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x & y Các phần tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đề metric

Không gian metric được ký hiệu là: M = (X, d)

1.1.2 Tập mở và tập đóng Lân cận

Định nghĩa 1.1.2

Cho không gian metric M = (X, d) T a gọi là lân cận của điểm x∈ X trong không gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0 nào đấy

Tập mở và tập đóng Định nghĩa 1.1.3

trong không gian M nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc

A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∉ A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A

x∈A Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục

1.1.5 Nguyên lý Banach về ánh xạ co Định nghĩa1.1.9

gian M 1 vào không gian M 2 gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α , 0 ≤ α < 1 sao cho:

2 (Ax,Ax ) 1 ( , x ), , x

Nguyên lý ánh xạ co

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó

Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ T: X→X thỏa mãn điều kiện:

Khi đó tồn tại duy nhất phần tử x *∈ X sao cho x * = Tx *

, hơn nữa với mọi

−

1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.2

T a gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả mãn các tiêu đề sau đây:

1 (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (Kí hiệu phần tử không là θ )

2 (∀x ∈ X) (∀ α ∈ P) α x = α x

3 (∀x, y ∈ X) x+y ≤ x + y

Số x gọi là chuẩn của vectơ x

Kí hi ệu không gian định chuẩn là X Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề chuẩn

Giả thiết những điều sau đây được thực hiện

2 Đối với số dương a tùy ý, và đối với các x, y tùy ý thuộc D(A) ta có bất

2 Tồn tại hình cầu S = S(x * , r) với tâm x *

1.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Kí hiệu X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính tác động trong

X Trong X xét phương trình toán tử tuyến tính:

x = Ax + f (1.3.1) trong đó f là phần tử cho trước thuộc X

Để giải phương trình (1.3.1) ta xây dựng phép lặp nhờ các đẳng thức sau:

n-1

Ax

n

x = + f , n = 1,2,3… (1.3.2) Trong đó x0∈X là phần tử tùy ý

Định lý 1.3

Khi đó dãy { x n } hội tụ đến nghiệm duy nhất x *

V ậy x* là nghiệm của (1.3.1) Theo nguyên lý ánh x ạ co, x* = lim n

n x

→∞

Ta có:

(*) 1

p n

n n p

một nghiệm duy nhất, nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.3.2)

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz

Xét phương trình loại hai

x + Ax = f Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho trước

x < +x y thì bất đẳng thức x+y < + +x (1 ε)y , ∀ >ε 0 (1.4.3) đúng

Thật vậy, hình cầu K r( ) ≡{v v: ∈X v, ≤r} là một tập bị chặn, đóng và lồi trong không gian Banach X

Do đó giao của hình cầu K(r) với tia P≡{v v: = +x ty x y; , ∈X, 0 ≤ < ∞t }

với điều kiện x <r y, > 0 là một đoạn M r( ) ≡K r( ) ∩ =P {v v: = +x ty, 0 ≤ ≤t t r( )}

trong đó tham biến dương t(r) được xác định từ điều kiện x t r y+ ( ) =r

Vì K r( )1 ⊂K r( )2 khi r1<r2 nên hàm t(r) tăng khi r tăng

Từ điều kiện t(r) tăng với r∈ ( x , +∞ ) và từ bất đẳng thức

x t r y+ ≡ < ≡ +r r x t r y

Suy ra rằng x t y+ 1 ≤ +x t y2 (1.4.4) đối với t1, t2 dương tuỳ ý, t1<t2, và đối với các phần tử tuỳ ý x, y∈X,

Chương 2 Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu

và liên tục Lipschitz

2.1 Sự tồn tại nghiệm

Xét họ một tham biến các phương trình toán tử

x + εAx = f, 0 ≤ ε ≤ 1 (2.1.1) Với ε = 0 ta có phương trình thường x = f

Mà 0<ε0L<1 suy ra ε0A là toán tử co

Giả sử nghiệm của phương trình (2.1.1) là x(ε ) và giả sử x(ε0) tìm được

Chứng minh

Giả sử ánh xạ A thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L

Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N > L và đặt 0 1

F− cũng thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L = 1

Thật vậy sử dụng bổ đề (1.3.1) đối với ánh xạ A ta thu được:

Giả sử hằng số Lipschitz là L và 1

2

L

< Trong trường hợp này có thể lấy số N = 2

Phương trình (2.1.6) tương đương với phương trình

1 1

1 2

y+ A F− y = f (2.1.8) Đầu tiên ta tìm nghiệm y từ phương trình (2.1.8) sau đó đặt y vào (2.1.7) ta sẽ tìm được x Nghiệm y trong phương trình (2.1.8) có thể tìm bằng công thức xấp xỉ của phép lặp đơn

1

1 ( ) , 0,1, 2

2

y+ =− AF− y + f n= (2.1.9)

2.2 Ước lượng tốc độ hội tụ

Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách

tự nhiên là trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp Ta sẽ ước lượng sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng n phép lặp Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1) thoả mãn điều kiện A(0) = 0

Định lý 2.2

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ

{x n N( , )}, N > L, n = 1, 2, …, được dựng với quá trình lặp (2.1.12), hội tụ

đến nghiệm đúng x của phương trình (2.1.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng

1exp(L)-1( , )

Ta đi thiết lập ước lượng

Bài toán 1 (một bước theo tham biến ε )

Xét phương trình

x + ε0Ax = f (2.2.1)

Vì toán tử ε0A là toán tử co với hệ số co q 0L L 1

N ε

n q

q

− , n = 1, 2,…

Mặt khác với phép thay đổi biến ngược, nghĩa là nếu chuyển từ biến y

về biến x cũng sẽ có sai số µ( )n Như vậy sai số của nghiệm xấp xỉ x n thu được sau khi thực hiện n phép lặp trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng sẽ là

n

1 1 1

Ta thu được:

1 exp(qN)-1( , )

* KẾT LUẬN Chương 2 trình bày phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên lục Lipschitz

Phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ phương trình toán tử rất phong phú

và đa dạng Có thể giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng một số phương pháp như phương pháp lặp, phương pháp sai phân, phương pháp Galerkin,… Tuy nhiên những phương pháp này chỉ áp dụng dễ dàng đối với phương trình mà ánh xạ của phương trình là ánh xạ co với hệ số co nhỏ hơn 1

Phương pháp thác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu và liên lục Lipschitz là một quá trình lặp sử dụng một số hữu hạn các bước theo tham biến ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co Ưu điểm của phương pháp này là áp dụng cho cả phương trình mà ánh xạ là ánh xạ co với hệ số co lớn hơn 1

Chương3 Giải phương trình toán tử loại hai trong một số

không gian định chuẩn

Xét phương trình loại hai

x + Ax = f (3.1) trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian X vào X, f là phần tử cho trước

3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (3.1) trong không gian 1

R

3.1.1 Định nghĩa

Ánh x ạ A tác dụng trong không gian 1

phần tử tuỳ ý x1 ,x2 ∈X thì (Ax1−Ax2)(x1−x2)≥ 0

3.1.2 Sự tồn tại nghiệm Định lý

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian R1 là liên tục Lipschitz và đơn điệu Khi đó phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất với phần tử tuỳ ý

Đưa phương trình (3.2) về dạng tương đương

xạ co và dãy các giá trị

x x0, 1=g x( ), ,0 x n+1=g x( ), n . với x0 tuỳ ý thuộc [a, b] sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình (3.3)

) (

;2

24

243sin1

)3

0 π

y x

1

Dùng lập trình Pascal, nếu lấy x0 =0,1 và thực hiện sau 20 phép lặp chỉ

số k với ước lượng cho trước ta thu được kết quả sau:

*Chương trình

type mang1=array[0 100]of real;

var f:file of string;

a:string;

x,z:mang1 ; i,k:integer;

begin assign(f,'vidu2.txt');

repeat i:=i+1;

x[i+1]:=(-2/3)*sin(x[i])-(2/3)*sin(z[k]); until (abs(abs(x[i+1])-abs(x[i]))<0.000000001); z[k+1]:=x[i+1];

reset(f);

for k:=0 to 19 do begin read(f,a);

,(),(()))(

,(),(( 1 1 2 − 1 1 2 1 − 1 + 2 1 2 − 2 1 2 2 − 2 ≥

3.2.2 Sự tồn tại nghiệm Định lý 3.2

Giả sử ánh xạ A tác dụng trong không gian R2, với A= (f1,f2)thoả mãn điều kiện đơn điệu (3.2.1) và f f1, 2có các đạo hàm riêng thoả mãn

= +

b y x f y

a y x f x

) , (

) , (2 1

Trong đó A= (f1,f2) là đơn điệu trên 2

1 2 1

2 1

1

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1

) ( ) )(

(

) , ( )

, ( )

, ( )

, (

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (

X X y

y x x y

y x x y y x x

y y x y

f x x y x

f y y x y

f x x y x f

y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f y x f

y x f y x f y x f y x f y x A y x A

− +

=

− +

− +

=

− +

− +

− +

−

∂

∂ +

−

∂

∂ +

− +

− +

−

≤

− +

−

=

−

β α β

α β

β α

α

η ξ

η ξ

Từ đó suy ra toán tử A thoả mãn điều kiện Lipschitz trên 2

2(arctanx arctany )(

0 2

1

( ) 2

− +

1( , )2

x y

type mang1=array[0 50]of real;

var f:file of string;

a,b:string;

x,y,z,t:mang1;

i,k:integer;

begin assign(f,'vidu.txt');

repeat i:=i+1;

(1/2)*(arctan(z[k])+(1/2)*t[k])+1;

(1/2)*z[k]);

until (abs(abs(x[i+1])-abs(x[i]))<0.0000000001) and (abs(abs(y[i+1])-abs(y[i]))<0.0000000001);

read(f,b);

readln;

end;

end

* KẾT LUẬN Chương 3 trình bày ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số

để giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn Ba ví dụ minh họa thể hiện được vai trò của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

Ta có thể giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn với ánh xạ của phương trình là ánh xạ co với hệ số co lớn hơn 1 bằng phép

thay biến của phương pháp trên để đưa về phương trình toán tử với ánh xạ co

mà hệ số co nhỏ hơn 1, từ đó có thể tìm được nghiệm xấp xỉ duy nhất của phương trình bằng nguyên lý ánh xạ co

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày logic, khoa học các nội dung ở 3 chương Chương 1 trình bày một số khái niệm mở đầu Chương 2 trình bày nội dung của phương pháp trác triển theo tham số đối với phương trình loại hai với toán tử đơn điệu

và liên tục Lipschitz Chương 3 nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử trong một số không gian định chuẩn

Luận văn trình bày thuật toán giải phương trình toán tử loại hai với toán

tử đơn điệu và liên tục Lipschitz trong một số không gian định chuẩn và xây dựng lập trình giải bằng máy tính Các lập trình này có thể áp dụng cho các ví

dụ khác nhau của phương trình toán tử bằng cách thay các số liệu trong lập trình

Việc xây dựng lập trình có vai trò quan trọng trong việc đưa ra nghiệm xấp xỉ của phương trình Nhờ đó việc nghiên cứu ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử sẽ đơn giản hơn

Với phạm vi luận văn và thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và bạn đọc để vấn đề nghiên cứu được hoàn thiện hơn và luận văn trở thành một tài liệu khoa học hữu ích