Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

Tuy nhiên khi ứng dụng các kết quả đạt được về lớp toán tử lõm và u0-lõm đều thì điều kiện u0- đo được lại trở nên phức tạp trong một số trường hợp.. Hơn nữa, có những lớp toán tử phi tu

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy

người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT Mê Linh đã tạo điều kiện về thời gian cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ đề tài

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

MỤC LỤC

Mở đầu

Trang Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị .8

1.1 Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực 8

1.1.1 Các định nghĩa 8

1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực 9

1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 18

1.2.1 Một số định nghĩa và tính chất 18

1.2.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 25

1.2.3 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự .26

1.3 Không gian E u0 34

1.3.1 Định nghĩa không gian E u0 34

1.3.2 Một số tính chất về không gian E u0 34

1.3.3 Một số ví dụ về không gian E u0 37

Chương 2: Toán tử u0- lõm và toán tử lõm chính quy đều 40

2.1 Toán tử u0-lõm .40

2.1.1 Các định nghĩa 40

2.1.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử u o −lõm 41

2.1.3 Ví dụ về toán tử u o −lõm .44

2.2 – Toán tử lõm chính quy đều .46

2.2.1 Các định nghĩa .46

2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính quy đều .47

2.2.3 Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều .49

Chương 3: Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều 51

đó cho lớp toán tử u0- lõm (1958) và u0-lõm đều trong luận án tiến sĩ khoa học của mình (1959, 1963)

Tuy nhiên khi ứng dụng các kết quả đạt được về lớp toán tử lõm và u0-lõm đều thì điều kiện u0- đo được lại trở nên phức tạp trong một số trường hợp Hơn nữa, có những lớp toán tử phi tuyến tuy không thoả mãn điều kiện u0- đo được nhưng lại có các tính chất phổ dụng như toán tử lõm – đó là toán tử lõm chính quy

Ở nước ta vào những năm 1980, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu và đạt được một số kết quả cho lớp toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu lớp toán tử này có tính chất u0- đo được

Với mong muốn tìm hiểu sâu về toán tử lõm chính quy đều, cùng với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều”

Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm chính quy đều và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử này

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số tính chất về toán tử lõm chính quy đều và điểm bất động

của loại toán tử này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất đã có về điểm bất động của toán tử

o

u −lõm

- Trên cơ sở những tính chất về điểm bất động của toán tử u o −lõm, nghiên cứu một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử lõm chính quy đều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Toán tử lõm chính quy đều, điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu lý luận và tài liệu tham khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp mới

Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều và một số ví dụ áp dụng

CHƯƠNG I :

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 – Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực

1.1.1 – Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1.1: Cho không gian tuyến tính thực E Một chuẩn trên E là một

ánh xạ từ E vào R, kí hiệu là • ,thỏa mãn các tiên đề sau :

Định nghĩa 1.1.1.2 : Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm ( )x n n∞=1 ⊂Egọi là hội

tụ tới x∈Enếu lim n 0

Định nghĩa 1.1.1.3 : Cho không gian định chuẩn E Dãy điểm ( )x n n=∞1⊂E gọi là

dãy cơ bản trong E nếu :

Định nghĩa 1.1.1.4 : Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi

dãy cơ bản trong E đều hội tụ về một phần tử thuộc E

1.1.2 – Một số không gian định chuẩn

Vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên c0

2) Sự hội tụ trong không gian c0 tương ứng với sự hội tụ đều của dãy số thực Giả sử dãy ( )( ) 1

s s

0 1

⇒ hội tụ về y trong không gian c0

3) c0là không gian Banach

Theo định nghĩa dãy cơ bản thì :

1) M a b[ ], là không gian đinh chuẩn với chuẩn của phần tử x=x t( ) cho bởi :

Vậy M a b[ ], là không gian định chuẩn

2) Sự hội tụ trong không gian M a b[ ], tương ứng với sự hội tụ đều của dãy hàm bị chặn trên [ ]a b,

Thật vậy, giả sử dãy hàm { n( ) } 1 [ ],

Ngược lại, giả sử dãy hàm { }n 1 [ ],

Vậy (x n( )t ) hội tụ về x t( ) trong không gian M a b[ ],

3) Không gian M a b[ ], là không gian Banach với chuẩn xác định bởi (1.4) Thật vậy:

Giả sử (x t n( ) )là một dãy hàm cơ bản thì( ) ( *) ( )

Mà theo (1.5) : x m( )t −x n( )t < ∀ε, m n, ≥n0 , ∀ ∈t [ ]a b, , không phụ thuộc

t nên cho n→ ∞, ta được x t n( ) ( )−x t < ∀ ∈ε, t [ ]a b, ⇒ Dãy {x t n( ) }n∞1

i. ∀ =x x t( )∈D m[ ]a b, Ta có :

Vậy công thức (1.6) xác định một chuẩn trên D m[ ]a b,

2 Sự hội tụ trong D m[ ]a b, đối với chuẩn (1.6) tương đương với sự hội tụ

đều của dãy hàm khả vi liên tục cấp m trên [ ]a b cùng với dãy đạo hàm của nó , Thật vậy, giả sử dãy hàm { }x n n∞=1 hội tụ đến hàm x=x t( ) trong không gian D m[ ]a b, Ta có:

lim n 0

với dãy đạo hàm ( )k ( )

a t b n

x x t a b n n

εε

≤ ≤

⇒{x t n( ) }hội tụ tới x t( )trong D m[ ]a b,

iv Không gian D m[ ]a b, là không gian Banach với chuẩn (1.6)

Giả sử ( )x n =(x n( )t ) là một dãy cơ bản tùy ý trong không gian D m[ ]a b,

− <

− < ∀ ≥ ∀ ∈

(1.7)

Với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc [ ]a b, dãy (x t n( ) )n∞1

= là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại lim n( ) ( )

Lặp lại lí luận đã áp dụng cho đạo hàm cấp 1, ta nhận được dãy đạo hàm ( )k 1 ( )

Từđó dãy ( )x n ∞n=1 ⊂ D m[ ]a b, hội tụ tới x trong không gian D m[ ]a b ,

Vậy D m[ ]a b, là không gian Banach

1.2 – Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự

1.2.1 – Một số định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.2.1.1 : Cho không gian Banach thực E, tập K ⊂E K, ≠ ∅ Tập K

được gọi là nón trong không gian E nếu K thỏa mãn các tính chất sau :

N 1) K là tập đóng trong không gian E ;

N 2) ∀x y, ∈K x: + ∈y K ;

N 3) ∀ ∈ ∀ ∈x K, t R t: ≥ 0 thì tx∈K ;

N 4) ∀ ∈x K x, ≠ 0 : − ∉x K

Nhận xét : Nếu K là nón trong không gian định chuẩn E thì K là một tập lồi

Giả sử E là không gian Banach thực, K là nón trong E Khi đó với hai

phần tử x y, ∈E viết x≤ ynếu y− ∈x K Quan hệ “≤” này là một quan hệ thứ tự trên

E và ta gọi là quan hệ sắp thứ tự theo nón K

Thật vậy,

• ∀ ∈x E x: − = ∈x θ K nên x≤x

• ∀x y, ∈E mà x≤ y và y ≤xta chứng minh x = y:

Định nghĩa 1.2.1.2 : Nón K trong không gian định chuẩn E được gọi là nón chuẩn

nếu tồn tại số dương Nsao cho ∀x y, ∈K x; ≤ yta đều có x ≤N y.

Định nghĩa 1.2.1.3 : Cho K là một nón trong không gian định chuẩn E Kí hiệu

Nhận xét : Cho x y, ∈K Nếu x thông ước với y thì y thông ước với x.

Bởi vì nếu x thông ước với y thì ∃ α β , > 0sao cho :

αy x βy 1 x y 1 x

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇒y thông ước với x

Định lý 1.2.1.1 : Cho F⊂E F, ≠ ∅ là tập lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không Đặt K F( ) {= ∈x E x: =tz t, ≥ 0, z∈F} Khi đó K F( )là một nón trong không gian Banach E

Chứng minh :

Có F ⊂K F( )⇒K F( )≠ ∅ Ta chứng minh K F( )thỏa mãn bốn tiên về đề nón :

Bây giờ ta đi chứng minh K F( )là tập đóng

Lấy một dãy bất kì { }u n ∞n=1 ⊂K F( )sao cho lim n

Do vậy tồn tại dãy con { }t n i i∞1 { }t n n∞=1

= ⊂ sao cho lim 0

⇒ θ ∈F Trái giả thiết F không chứa θ

Nếu t1 + =t2 0 thì t1 = =t2 0 ⇒u0 = θ, không đúng giả thiết

Vậy − ∉u0 K F( )

Do đó K F( )là nón trong không gian định chuẩn E □

Định lý 1.2.1.2 : Nếu K ⊂E là một nón chuẩn trong không gian định chuẩn E,

.

n n

n n

n n

u x d

.

n n

n n

N x c

h

h u x

Nếu t > 0a) Với

0

u

x= θ ⇒tx= ∈ θ K b) Với x≠ θ và x∈K u( )0 thì tồn tại c d, > 0

E u ∈K Khi đó ( )0

K u (bao đóng của K u( )0 ) cũng là một nón trong không gian E

,

x →x y →y khi n→ ∞

Nếu có x hoặc y thuộc K u( )0 thì ta hiểu dãy tương ứng là x n = ∀x, n

hoặc y n = ∀y, n Nếu x hoặc y không thuộcK u( )0

⇒ αx∈K u( )0

iv. x∈K u( )0 ⊂K ⇒ − ∉x Kkhi x≠ θ

→ − ∉x K u( )0 Vậy K u( )0 là một nón □

1.2.2 – Không gian Banach nửa sắp thứ tự

Định nghĩa 1.1.2.1 : Không gian định chuẩn E cùng với quan hệ sắp thứ tự theo

nón K được gọi là không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự (hay không gian sắp thứ tự

bộ phận)

Một không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự E đồng thời là không gian

Banach thì gọi là không gian Banach nửa sắp thứ tự

Mệnh đề 1.1.2.1 : Cho E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K Khi ấy :

x= x x x trong không gian c0 Cần chứng minh x∈K

Vì sự hội tụ trong không gian c0 là sự hội tụ đều của dãy số thực nên khi ấy

( )

lim n s n, 1, 2,

Với mỗi n thì x( )n s ≥ ∀ 0, s nên x n ≥ ∀ 0, n

n n

x y

4) Xét trong không gian c0 với nón

Giả sử tồn tại i∈I1 sao cho x i = 0

Suy ra αu0 ≤ ≤x βu0⇒ αu i ≤ 0 mà αu i > 0 (do u i > 0 với i∈I1) Điều này vô lí

Do vậy x i > ∀ ∈ 0, i I1.

Vậy x∈G

Ngược lại nếu x∈G:

- Với i∈I2⇒ x i = 0 ⇒ ∃α β, > 0 sao cho α 0 ≤ ≤ 0 β 0 ⇒ α u i ≤ ≤x i β u i

- Với i=I1 ⇒ V ì I1 h ữu hạn nên tồn tại

maxmin

i i

i I

x x

Với mỗi t∈[ ]a b, cố định có x t n( )≥ ∀ ≥0, n 1 Do sự hội tụ trong M a b[ ],

tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm trên [ ]a b, nên x t n( )→x t( ) trên đoạn

iv. ∀ ∈x K x: ≠ θ cần chứng minh − ∈x K

Do x∈K⇒x=x t( )≥ 0 mà x≠ θ nên tồn tại t0 ∈[ ]a b, để x t( )0 > 0 ⇒ −x t( )0 < 0 ⇒ − ∈x K

Lấy dãy hàm ( )x n ∞n=1 tùy ý trong F và giả sử x n →x khi n→ ∞ Do sự hội tụ

trong M[a, b] tương đương sự hội tụ đều của dãy hàm trên [a, b] nên x t n( ) hội tụ đều đến x t( ) trên [a, b] khi n→ ∞

Vậy F không chứa phần tử không và bị chặn Theo định lý 1.2.1.1 thì

K(F) là một nón

3) Quan hệ thứ tự “ ≤” được định nghĩa:

Với x y, ∈M a b[ ], , viết x≤ y nếu y− ∈x K

Có x≤ y⇒ y− ∈x K hay (y−x t)( )≥ ∀ ∈ 0 t [ ]a b, ⇒x t( ) ( )≤ y t ∀ ∈t [ ]a b,

Với hai phần tử tùy ý của M[a, b] có thể không có quan hệ “≤”

Không gian M[a, b] cùng với quan hệ sắp thứ tự định nghĩa ở trên là một

không gian Banach nửa sắp thứ tự

Khi ấy tồn tại số m=α.c> 0, M =β.c> 0 để m≤ x t( )≤M ∀ ∈t [ ]a b,

x G

- Ngược lại, nếu x t( )∈ →G x t( )∈M a b[ ], và tồn tại m> 0, M > 0, m≤M

sao cho m≤x t( )≤M ∀ ∈t [ ]a b, Suy ra c.m x t( ) c.M t [ ]a b,

Xét trong không gian D m[ ]a b,

1) Tập hợp K ={x= x t( )∈D m[ ]a b, sao cho x t( )≥ ∀ ∈ 0 t [ ]a b, } là một nón trong

Giả sử ( )x n n∞=1 ⊂ K hội tụ tới x trong D m[ ]a b, . Cần chứng minh x∈K

Với mỗi t cố định thuộc [a,b] thì x t n( )≥ ∀ ≥0, n 1 Do sự hội tụ trong D m[ ]a b,tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm trên [ ]a b, nên x t n( )→x t( ) trên [ ]a b,

Vậy K là một nón trong D m[ ]a b,

2) Quan hệ thứ tự ”≤” trong D m[ ]a b, được định nghĩa như sau:

Giả sử x y, ∈D m[ ]a b, Viết x≤ y nếu y− ∈x K

Ta có x≤ y⇒ y− ∈x K hay (y−x t)( )≥ ∀ ∈ 0, t [ ]a b,

Như vậy x≤ ⇔y x t( ) ( )≤ y t , ∀ ∈n [ ]a b,

Không gian Banach D m[ ]a b, cùng với quan hệ sắp thứ tự như trên được

gọi là không gian Banach nửa sắp thứ tự

3) Xét không gian D2[ ]1, 2 với tập K ={x=x t( )∈D2[ ]1, 2 :x t( )≥ ∀ ∈ 0 t [ ]1, 2}

Tập K là một nón trong không gian D2[ ]1, 2 do áp dụng 1.2.3 với m= 2,a =1,b =2

Nếu x∈K u( )0 thì x t( )≥ 0 và ∃ α β , > 0 sao cho αu0 ≤ ≤x βu o

1 2 1,2

Chứng minh:

∀x y, ∈E u , tồn tại các số dương t t, ′ sao cho:

−tu0≤ ≤x tu0 và −t u′ 0 ≤ ≤y t u′ 0 Khi đó có: − +(t t u′) 0 ≤ + ≤ +x y (t t u′) 0

Đặt t1= + >t t′ 0 ⇒ −t u1 0 ≤ + ≤x y t u1 0 ⇒x+ ∈y E u0

Mặt khác: ∀ ∈ ∀ ∈ α R, x E u0 ⇒ x∈E Khi ấy ∃ >t 0 sao cho: −tu0 ≤ ≤x tu0

Với α ≥ 0 ⇒ −t uα 0 ≤ αx≤t uα 0⇒ đặt t1= αt > 0Với α < 0 ⇒t uα 0 ≤ αx≤ −t uα 0⇒ đặt t2 = − >tα 0 Như vậy trong cả hai trường hợp đều tồn tại số dương t1 = α αt( > 0) hoặc

⇒ là không gian tuyến tính □

Định lý 1.2.3.2: Giả sử E là không gian Banach nửa sắp thứ tự theo nón K, *

0

u ∈K Khi đó

Do định lí 1.2.3.1 nên vế phải của (1.11) tồn tại

Ta chứng minh ba tiên đề đối với công thức (1.11):

αx u0 = inf{t> − 0 : tu0 ≤ αx≤tu0}

Chuẩn (1.11) được gọi là u0−chuẩn

Định lý 1.2.3.3: Nếu K là một nón chuẩn trong không gian Banach E thì

0

u

E là không gian Banach theo u −chuẩn

Chứng minh:

Giả sử { }x n n∞=1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian

0

u E

đó x n−x m E ≤ε(1 2 + N u) 0 E, ∀n m, ≥n0 Suy ra { }x n n∞=1 là dãy cơ bản trong không

gian Banach E nên tồn tại x∈E sao cho lim n E 0

Vậy E u0 là không gian Banach theo u0−chuẩn □

1.3.3 Ví dụ về không gian

0

u E

1.3.3.1 Xét không gian Banach nửa sắp thứ tự c0 theo nón

Ngược lại nếu x thuộc vế phải của (1.13), vì I1 hữu hạn nên tồn tại

1 1

i

i I i

i I

x t

1.3.3.3 Trong không gian D m[ ]a b, với u t0( )= >c 0 ta có

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A gọi là dương trên nón K nếu AK ⊂K; Toán tử A

gọi là dương nghiêm ngặt trên nón K, nếu∀ ∈x K \ { }θ ta đều có Ax∈K \ { }θ

Định nghĩa 2.1.2 Toán tử A gọi là đơn điệu trên nón K nếu ∀x y, ∈K mà x≤ y

i) A dương và đơn điệu trên nón K

ii) A là u o −đo được trên nón K

iii) ∀ ∈x K \ { }θ , ∀ ∈t (0;1) ta có Atx>tAx

Định nghĩa 2.1.5 Giả sử u o∈K \ { }θ Phần tử x∈K \ { }θ gọi là thông ước với

o

u nếu tồn tại α α= ( )x >0, β β= ( )x >0 sao cho αu o ≤ ≤x βu o

Kí hiệu K u( )o là tập tất cả các phần tử x∈K \ { }θ thông ước với u o

Nhận xét: Nếu A là toán tử u o −đo được thì Ax∈K u( )o

Định nghĩa 2.1.6 Giả sử u o∈K \ { }θ Toán tử A gọi là u o −lõm nếu

i) Ta chứng tỏ với ∀ ∈α ℝ*+ ta có αA là toán tử u o −đo được trên nón K.

*) Do A là toán tử dương trên nón K nên ∀ ∈x K ⇒ Ax∈K

⇒ là toán tử dương trên nón K

*) Do toán tử A đơn điệu trên nón K nên∀x y, ∈K , x≤ y ⇒ Ax≤ Ay

⇒ là toán tử đơn điệu trên nón K

*) Do toán tử A là u o −đo được trên nón K nên ∀ ∈x K \ { }θ tồn tại

Do đó toán tử αA là u o −đo được trên nón K

ii) ∀ ∈x K \ { }θ , ∀ ∈t (0;1) ta có Atx>tAx (do A là toán tử lõm trên nón K )

.Atx tAx