Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng (LV00373)

và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng”.2.. Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi và một

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS NguyễnNăng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫntôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đãtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên vàtạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Nguyễn Thị Thanh

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Nguyễn Thị Thanh

Mở đầu 1

1.1 Định nghĩa tập lồi và các tính chất 3

1.2 Định nghĩa hàm lồi và các tính chất 6

1.2.1 Hàm lồi 6

1.2.2 Các phép toán về hàm lồi 11

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi 13

1.3 Kết luận 15

Chương 2 Dưới vi phân hàm lồi 16 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 16

2.2 Một số phép toán dưới vi phân 25

2.3 Kết luận 31

Chương 3 Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi 32 3.1 Một số tính chất cơ bản 32

3.2 Một số ví dụ 35

3.3 Kết luận 41

Rn không gian Euclid n chiều trên tập số thực

N (¯x, Ω) nón pháp tuyến của Ω tại ¯x

∇f (x) hay f0(x) đạo hàm của f tại x

f0(x; v) đạo hàm theo hướng v của f tại x

∂f (x) dưới vi phân của f tại x

và ứng dụng của nó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Dưới vi phân củahàm lồi và ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu các kết quả đạt được về dưới vi phân của hàm lồi

và một số ứng dụng vào bài toán tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ khái niệmdưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất, từ đó trình bày ứng dụngcủa nó trong một số bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Dưới vi phân của hàm lồi và một số tính chất

Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích, giải tích lồi,giải tích đa trị, tối ưu hoá

6 Những đóng góp của đề tài

Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về dưới vi phâncủa hàm lồi và một số tính chất Nghiên cứu ứng dụng của dưới vi phânhàm lồi trong một số bài toán

Tập lồi và hàm lồi

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhấtcủa tập lồi và hàm lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó

1.1 Định nghĩa tập lồi và các tính chất

Định nghĩa 1.1.1 ([3], tr 3, định nghĩa 1.1) Tập A ⊂ Rn được gọi

là lồi nếu với mọi x, y ∈ A và mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì

Định nghĩa 1.1.2 Cho A và B là hai tập hợp tuỳ ý trong Rn

A + B = {a + b | a ∈ A; b ∈ B} ;

αA = {αa | a ∈ A}

Định lý 1.1.2 ([3], tr 4, mệnh đề 1.2) Giả sử Ai ⊂ Rn lồi; λi ∈ R(i = 1, 2, , m) Khi đó λ1A1 + λ2A2 + + λmAm là lồi.

Định nghĩa 1.1.3 Vectơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ

Chứng minh ⇐ / Chọn m = 2, khi đó A là tập lồi theo định nghĩa

⇒ / Giả sử A là tập lồi, ta lấy tùy ý x1, x2, , xm ∈ A; λ1, , λm ≥ 0và

Nếu λm = 1 thì λ1 = = λm−1 = 0 khi đó x = xm ∈ A

Nếu 0 < λ < 1 ta có

1 − λm = λ1 + + λm−1 > 0

B = (x, y); C = (z, t), ở đó y < z Suy ra y + z

2 ∈ A, mâu thuẫn vì A/lồi

⇐ / Giả sử A không lồi, khi đó tồn tại α ∈ (0, 1) và x, y ∈ A, x < y saocho

αx + (1 − α)y /∈ ALấy z ∈ A suy ra

z 6= αx + (1 − α)y ⇒

"

z > αx + (1 − α)y

z < αx + (1 − α)yLại do x < αx + (1 − α)y < y nên A = B ∪ C với

Định nghĩa 1.2.2 ([3], tr 39, định nghĩa 2.4) Hàm f : S → R được gọi

là lồi nếu trên đồ thị của nó là một tập lồi trong S × R Nếu dom f 6= ∅

và f (x) > −∞ với mọi x ∈ S ta nói hàm f là chính thường

Ví dụ 1.2.2 a) Hàm

f : R → R

f (x) = x2epi f = (x; µ) ∈ R × R | f(x) = x2 ≤ µ

là tập lồi trong R × R

Thật vậy, lấy hai điểm bất kỳ (x1, µ1) ∈ epi f, (x2, µ2) ∈ epi f , tức

là µ1 ≥ x12, µ2 ≥ x22

Ta cần chứng minh λ (x1, µ1) + (1 − λ) (x2, µ2) ∈ epi f ; 0 ≤ λ ≤ 1Điều này tương đương với

(λx1 + (1 − λ)x2, λµ1 + (1 − λ)µ2) ∈ epif

⇔ λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ (λx1 + (1 − λ)x2)2

⇔ λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ λ2x12 + (1 − λ)2x22 + 2λ(1 − λ)x1x2

Mà λµ1 + (1 − λ)µ2 ≥ λx12 + (1 − λ)x22

λx12 + (1 − λ)x22 ≥ λ2x12 + (1 − λ)2x22 + 2λ(1 − λ)x1x2

⇔ (λ − λ2)x12 +

(1 − λ) − (1 − λ)2

epi f = (x; µ) ∈ R × R | f(x) = x3 ≤ µ không lồi trong R × R

Thật vậy, lấy hai điểm bất kỳ (0, 0) ∈ epif, (−1, −1) ∈ epif , lấy

Nếu A là tập lồi, A ⊂ Rn thì δ( | A) là hàm lồi

Thật vậy, khi x ∈ A thì epi δ = {(x, µ) ; µ ≥ 0} là tập lồi

Khi x /∈ A thì epi δ = ∅ là tập lồi

Vậy epi δ lồi nên δ( | A) là hàm lồi

Định lý 1.2.1 ([3], tr 40, định lý 2.1) Giả sử A là tập lồi trong Rn,hàm f : A → (−∞; +∞] Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1)

∀λ ∈ [0; 1]; ∀x, y ∈ A

Chứng minh ⇒ / Giả sử f là hàm lồi, ta có thể xem như λ ∈ (0; 1) vìvới λ ∈ {0; 1} thì (1.1) hiển nhiên đúng

Lấy r = f (x); s = f (y) Vì f lồi suy ra dom f lồi

Thật vậy, dom f là hình chiếu trên X của epi f

Nếu x, y ∈ dom f suy ra λx + (1 − λ)y ∈ dom f (vì dom f lồi) suy

ra f (λx + (1 − λ)y) = +∞

Do epi f lồi nên với mọi (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epi f ; λ ∈ (0; 1) ta cóλ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epifsuy ra f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s

Vậy f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)

⇐ / Giả sử (1.1) đúng Lấy tùy ý (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epi f ; λ ∈ [0; 1]

Ta phải chứng minh

λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f

Vì (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epif nên f (x) ≤ r; f (y) ≤ s Từ đó suy ra

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s

hay (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f

Vậy λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f

Chứng minh Không giảm tổng quát, giả sử λi ≥ 0 (i = 1, , m)

Ta có, nếu xi ∈ dom f thì f (x/ i) = +∞; λif (xi) = +∞ Khi đó (1.2)hiển nhiên đúng

Do dom f lồi nên nếu f (xi) < +∞; i = 1, , m thì

(λ1x1 + + λmxm; λ1f (x1) + + λmf (xm) ∈ epi f

Từ đó suy ra f (λ1x1 + + λmxm) ≤ λ1f (x1) + + λmf (xm)

Mệnh đề 1.2.1 ([3], tr 42, mệnh đề 2.1) Giả sử f : Rn → R, f là hàmlồi khi và chỉ khi

f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s;

∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f (x) < r; f (y) < s

Định nghĩa 1.2.3 ([3], tr 43, định nghĩa 2.5) Một hàm f xác định trên

Rn được gọi là thuần nhất dương nếu f (λx) = λf (x) với mọi x ∈ Rn;mọi λ > 0

Định lý 1.2.3 ([3], tr 44, định lý 2.4)

Hàm thuần nhất dương f : Rn → (−∞; +∞] là lồi khi và chỉ khi

f (x + y) ≤ f (x) + f (y); ∀x, y ∈ Rn (1.3)

Chứng minh ⇒ / Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x, y ∈ Rn

Vậy epi f đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng

Hay λ(x1, r1) + (1 − λ)(x2, r2) ∈ epi f với mọi λ ∈ [0; 1]

Từ đó suy ra epi f là lồi, suy ra f là hàm lồi

Định lý 1.2.4 Một hàm thực một biến ϕ(t) khả vi trong một khoảng

mở (a, b) ⊂ R lồi khi và chỉ khi ϕ0(t) là hàm tăng

Chứng minh ⇒ / Lấy t1 < t2 < t3 với t1, t2, t3 ∈ (a, b), bởi vì hàm ϕ(t)lồi và

t2 = t3 − t2

t3 − t1t1 +

t2 − t1

t3 − t1t3.Cho nên

Cho t2 → t1+ rồi cho t2 → t3− ta có

ϕ(t1)λ

f1 + f2 lồi không chính thường nếu A ∩ B = ∅.

Thật vậy, f1+ f2 lồi theo Định lý 1.2.6, ta chứng minh f1 + f2 khôngchính thường

Ta có, nếu x ∈ A thì x /∈ B khi đó f2(x) = +∞ nên

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = +∞ suy ra x /∈ dom (f1 + f2)

Nếu x ∈ B thì x /∈ A khi đó f1(x) = +∞ nên

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) = +∞ suy ra x /∈ dom (f1 + f2)

Vậy dom (f1 + f2) = ∅, do đó f1 + f2 lồi không chính thường

Định lý 1.2.7 ([7], tr 33, định lý 5.3) Cho C là một tập lồi trong Rn+1

và đặt

f (x) = inf {µ | (x, µ) ∈ C} Khi đó f là hàm lồi trên miền xác định

Chứng minh Lấy µ1, µ2 ∈ R; λ ∈ (0; 1)

Giả sử f (x) < µ1; f (y) < µ2, ta có

f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)µ1 + λµ2.Thật vậy theo định nghĩa f ta có

f ((1 − λ)x + λy) = inf {µ | ((1 − λ)x + λy, µ) ∈ C}

Vì f (x) < µ1 nên với ε = µ − f (x) > 0; tồn tại µ1 : (x, µ1) ∈ C và

µ1 < f (x) + ε

Do đó f (x) < µ1 < µ1

Tương tự, từ f (y) < µ2 suy ra tồn tại µ2 : (y, µ2) ∈ C và µ2 <

f (y) + ε1 mà f (y) < µ2 < µ2

Từ trên ta có ((1 − λ)x + λy; (1 − λ)µ1 + λµ2) ∈ C

và (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1 + λµ2

Do đó f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1 + λµ2

Từ đây suy ra f lồi theo mệnh đề 1.2.1

1.2.3 Tính liên tục của hàm lồi

Định nghĩa 1.2.4 Cho X là không gian định chuẩn

1) Ta nói rằng f là hàm Lipschitz trên tập D ⊂ X, nếu tồn tại số k saocho

|f (x) − f (x0)| ≤ kkx − x0k, ∀x, x0 ∈ D

2) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X, nếu tồn tại số

ε > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D

3) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D, nếu nó Lipschitz địaphương tại mọi điểm của D

Mệnh đề 1.2.2 ([8], tr 44, mệnh đề 2.3) Một hàm lồi chính thường ftrên Rn là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó

Định lý 1.2.8 ([8], tr 55, định lý 2.2) Cho một hàm lồi chính thường

f trên Rn Ta có các khẳng định sau là tương đương:

i) f là liên tục tại điểm x0 ∈ Rn;

ii) f là bị chặn trên tại lân cận của x0 ∈ Rn;

iii) int(epi f ) 6= ∅;

iv) int(dom f ) 6= ∅ và f là Lipschitz trên mỗi tập bị chặn chứa trongint(domf );

v) int(domf ) 6= ∅ và f là liên tục trên int(domf )

Chứng minh [(i) ⇒ (ii)] Nếu f là liên tục tại một điểm x0 thì tồn tạimột lân cận U của x0 thỏa mãn f (x) < f (x0) + 1 với mọi x ∈ U

[(ii) ⇒ (iii)] Từ giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của x0 và c > 0 sao

cho f (x) ≤ c, với mọi x ∈ U Đặt

x, x0 thỏa mãn x ∈ C, x0 ∈ C

|f (x) − f (x0)| ≤ k kx − x0k ,điều này chứng minh cho tính Lipschitz của f trên C

(iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng

Ví dụ 1.2.5 Hàm f (x) = x2, x ∈ R là hàm lồi liên tục trên R.

Hàm f (x) = −∞, x ∈ R là hàm lồi không liên tục trên R

1.3 Kết luận

Trong chương này chúng ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất

cơ bản của tập lồi và hàm lồi cùng với một số ví dụ minh họa

Một trong những ứng dụng chính của lý thuyết vi phân là tìm cực trịcủa các phiếm hàm Tuy nhiên khi tìm cực trị của một số phiếm hàmkhông trơn (không khả vi) tại một số điểm thì lý thuyết vi phân nêutrên không vận dụng được Do đó, trong chương tiếp theo ta sẽ mở rộngkhái niệm vi phân cho dưới vi phân của hàm lồi

Dưới vi phân hàm lồi

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những kiến thức cơ bản củadưới vi phân của hàm lồi cần dùng trong quá trình nghiên cứu một sốbài toán tối ưu không trơn

f tại x0 và được kí hiệu là ∂f (x0)

Hàm f được gọi là dưới khả vi tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

Nhận xét 2.1 Rõ ràng rằng x∗ ∈ Rn là một dưới gradient của f tại điểm

x0 nếu và chỉ nếu tồn tại α ∈ R sao cho hàm affine x → hx∗, xi + αkhông trội hơn f khắp nơi và bằng f (x0) tại điểm x0

Bổ đề 2.1 Với một hàm lồi chính thường bất kì luôn tồn tại hàm nonafin Nếu x0 ∈ int(domf ) thì tồn tại hàm non afin đúng của f tại x0.Định lý 2.1.2 ([8], tr 62, định lý 2.6) Cho f là hàm lồi chính thườngtrong Rn Với bất kì tập bị chặn C ⊂ int(domf ) thì tập ∪

x∈C∂f (x) làkhác rỗng và bị chặn Đặc biệt ∂f (x0) là khác rỗng và bị chặn tại mỗi

x0 ∈ int(domf )

Chứng minh Lấy x0 ∈ int(domf ) Khi đó f có hàm non afin đúng tại x0

có nghĩa là tồn tại một hàm afin h sao cho h(x) ≤ f (x) với mọi x ∈ Rn

và h(x0) = f (x0), suy ra h(x) = hx∗, x − x0i + f (x0); x∗ ∈ ∂f (x0) do đó

∂f (x0) 6= ∅ với mọi x0 ∈ int(domf )

Lấy C là tập bị chặn C ⊂ int(domf ), khi đó tồn tại r > 0, C + rB ⊂int(domf ) Với B là kí hiệu hình cầu đơn vị trong Rn Cố định x ∈ C tacó

hx∗, y − xi + f (x) ≤ f (y) ∀y ∈ Rn; x∗ ∈ ∂f (x)

Nhưng theo định lý 1.2.8 thì tồn tại γ > 0 thỏa mãn

|f (x) − f (y)| ≤ γ ky − xk ; ∀y ∈ C + rB

Do đó |hx∗, y − xi| ≤ γ ky − xk với mọi y ∈ C + rB tức là

|hx∗, ui| ≤ γ kuk với mọi u ∈ B

Nếu x∗ = 0 thì kx∗k = 0

Nếu x∗ 6= 0 thì u = kxx∗∗ k ∈ B và do đó Dx∗,kxx∗∗ k

E

≤ γ

Suy ra kx∗k ≤ γ với mọi x∗ ∈ ∂f (x)

Vì f là Lipschitz trên C + rB với hệ số Lipschitz γ > 0 nên với mỗi

ở đó mỗi h ∈ Q0 có dạng h(x) = ha, xi − α với kak ≤ γ; α ∈ R

Ta xét một số ví dụ về dưới vi phân hàm lồi

Ví dụ 2.1.7 ([8], tr 63, ví dụ 2.1)

Cho f : Rn → R là một hàm lồi thuần nhất dương, nghĩa là f : Rn →

R là hàm lồi thỏa mãn f (λx) = λf (x), λ > 0 Khi đó

∂f (x0) = {x∗ ∈ Rn| hx∗, x0i = f (x0), hx∗, xi ≤ f (x), ∀x} (2.2)Thật vậy, sử dụng dưới vi phân hàm lồi ta tính dưới vi phân của hàmtrên

Vậy f (x) ≥ hx∗, xi với mọi x ∈ Rn

Ngược lại, nếu x∗ thuộc vào vế phải của (2.2) thì

f (x) = minky − xk với y ∈ C

Kí hiệu πC(x) là hình chiếu của x trên C, ta có: kπC(x) − xk =minky − xk với y ∈ C và hx − πC(x), y − πC(x)i ≤ 0, ∀y ∈ C Khi đó

ở đó NC(x0) kí hiệu nón pháp tuyến của C tại x0 và B(0, 1) là hình cầuEuclide đơn vị.

Nón pháp tuyến NC(x0) của một tập lồi C ∈ Rn tại một điểm x0 ∈ Rn

được xác định bởi công thức

NC(x0) =

({x∗ ∈ Rn : hx∗, x − x0i ≤ 0, ∀x ∈ C} nếu x0 ∈ C,

∅ nếu x0 ∈ C./Thật vậy, lấy x0 ∈ C, ta có f (x0) = 0 Khi đó x∗ ∈ ∂f (x0) kéo theo

hx∗, x − x0i ≤ f (x) với mọi x ∈ Rn Do vậy, trong trường hợp đặc biệtthì hx∗, x − x0i ≤ 0 với mọi x ∈ C, nghĩa là x∗ ∈ NC(x0)

Hơn nữa hx∗, x − x0i ≤ f (x) ≤ kx − x0k với mọi x ∈ C

Với trường hợp x0 ∈ C, khi đó/

x∗ ∈ ∂f (x0) ⇔ hx∗, x − x0i ≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ Rn

Do vậy, lấy x = πC(x0) thay vào ta có

hx∗, πC(x0) − x0i ≤ f (πC(x0)) − f (x0)

⇔ hx∗, πC(x0) − x0i ≤ − kπC(x0) − x0k

⇔ hx∗, x0 − πC(x0)i ≥ kπC(x0) − x0k Mặt khác, lấy x = 2x0 − πC(x0) thay vào ta có

hx∗, x0 − πC(x0)i ≤ kπC(x0) − x0k

Suy ra hx∗, x0 − πC(x0)i = kπC(x0) − x0k, và do đó x∗ = x0 − πC(x0)

kx0 − πC(x0)k.Ngược lại, giả sử x∗ = x0 − πC(x0)

2 = −∞.

Từ ví dụ này ta thấy đạo hàm theo hướng có thể không tồn tại Tuynhiên, nếu f là hàm lồi thì đạo hàm của nó theo mọi hướng luôn luôntồn tại Ta sẽ chứng minh được khẳng định này trong định lý sau.Định lý 2.1.3 ([8], tr 65, mệnh đề 2.20) Cho f là một hàm lồi chínhthường và x0 ∈ domf Khi đó

i) f0(x0, u) tồn tại với mỗi hướng u ∈ Rn và thỏa mãn

u ∈ Rn, dưới vi phân ∂f (x0) là compact và

f0(x0, u) = max {hx∗, ui | x∗ ∈ ∂f (x0)} (2.6)

Chứng minh (i) Chứng minh tồn tại

f (x) = f

λ

bị chặn trên ở trên U Khi đó, bởi (i), có f0(x0; u) ≤ f (x0 + u) − f (x0),theo đó f0(x0; u) cũng bị chặn trên ở trên U , và do vậy f0(x0; u) là hữuhạn và liên tục trên Rn Điều kiện (2.5) khi đó kéo theo rằng ∂f (x0) làđóng, và do đó compact vì nó bị chặn bởi Định lý 2.1.2 Trong tính thuầnnhất của f0(x0; u), một hàm affine mà đạt được tại điểm đó phải có dạng

hx∗, ui, với hx∗, ui ≤ f0(x0; u) với mọi u, nghĩa là từ (ii), x∗ ∈ ∂f (x0)

2.2 Một số phép toán dưới vi phân

Cho hàm f : Rn → R lồi, chính thường và λ > 0, ta có

∂(λf )(x) = λ∂f (x)

Thật vậy với x ∈ domf , do f lồi, chính thường và λ > 0 thì λf cũng

là lồi, chính thường và x ∈ dom(λf )

Chứng minh Giả sử với p1 ∈ ∂f1(x); p2 ∈ ∂f2(x) theo định nghĩa ta có:

f1(y) ≥ f1(x) + hp1, y − xi ∀y ∈ Rn,

f2(y) ≥ f2(x) + hp2, y − xi ∀y ∈ Rn.Cộng vế với vế ta thu được (f1+f2)(y) ≥ (f1+f2)(x)+hp1 + p2, y − xi

Do đó p1+ p2 ∈ ∂(f1+ f2) nên ta có ∂f1(x) + ∂f2(x) ⊂ ∂(f1+ f2)(x).Ngược lại, nếu p ∈ ∂(f1 + f2)(x0) thì hệ

U = (a + U ) − a ⊂ domf1− domf2 = A(D), nghĩa là 0 ∈ intA(D) Theo

đó, bởi Định lý 2.2.1 thì tồn tại t ∈ Rn thỏa mãn

ht, x − yi + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − hp, x − x0, i] ≥ 0 (2.7)với mọi (x, y) ∈ domf1 × domf2

Với (x, y) /∈ domf1 × domf2 thì rõ ràng (2.7) đúng, suy ra

ht, x − yi + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − hp, x − x0, i] ≥ 0với mọi x ∈ Rn và mọi y ∈ Rn

Lấy y = x0 ta được

hp − t, x − x0i ≤ f1(x) − f1(x0), ∀x ∈ Rn,nghĩa là p − t ∈ ∂f1(x0)

Tiếp theo lấy x = x0 ta được

ht, y − x0i ≤ f2(y) − f2(x0), ∀y ∈ Rn,nghĩa là t ∈ ∂f2(x0)

Vì vậy, p = (p − t) + t ∈ ∂f1(x0) + ∂f2(x0)