Giải bài tập đại số và hình học lớp 9 (tập 1)

Căn bậc hai Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho xŸ = a.. Căn bậc hai số học Định nghĩa: Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x ma x’ =a.. Với số thự

PHAN | DAI SO

Chương I CñN BậC Hái - CAN BAC BA

Bài 1 CĂN BẬC HAI

A/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Căn bậc hai

Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho xŸ = a

- Mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối

nhau Số dương kí hiệu là Ja, s6 ôm kí hiệu là — vÍa

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính nó, ta uiết JO = 0

- Số thực œ âm không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức

va không có nghĩa hay không xác định

2 Căn bậc hai số học

Định nghĩa: Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số

không âm x ma x’ =a

Với số thực a dương, người ta gọi số Ja là căn bậc hơi số học

của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của số 0

Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số

không âm

3 Liên hệ giữa phép khai phương và thứ tự

Dinh ii: V6i a, b là các số dương, ta có:

a) So sánh 2

Ta có: 2 =

điái

à v3 V4 mà 4> 3= V4 > V3 =2> v3

h một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện

hữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m

Cách khác: Có thể nhẫm theo cách giải hình học là “cắt” đổi hình

hlí:a>b>0© Xa > b

Đ5 nân V31 >5

10 hlí:a>b>0 ca? >b?

<= 0 < 2Vab| (Bat dang thie ding vi Jab > 0)

Vậy với mọi số|

x>2 x<2

“hi hay [ YÃ, c =8 cx <8

Vậy với -2 < x< 2 thì V4-x? có nghĩa

© x-1=2V2x>(?- 1) = 8x’ x‘- 10x? + 1=0

Nhu vay x la nghiém eda phuong trinh: x* — 10x? +1=0

Dat x= ¡giả sử x là số hữu tỉ thì P tối giản

Suy ra: x là số vô tỉ

Bài 9 Tìm giá trị của x để các biểu thức sau được xác định:

a) Biến đổi biể

biểu thức thì biểu thức VA được gọi là căn thức

, còn biểu thức A được gọi là biểu thức lấy căn

nghĩa hoặc điều kiện xác định của VA là A>0

hào của a thì các căn thức sau có nghĩa?

b) v-ða ; c) V4-a; d) V8a+7

“Giải

khi ¡ >0=a>0

la >-ða>0>a<0

DO Copy,

©) J4-a có nghĩa > 4-a>0>a<4

a) Xuất phát tị

4-2 b) Theo câu a),

Bài 3 Rút gọn các

lỗ >0 >x?— 8x+16>0

x-4>1 x>5 l© |x-4| >1 Pane

Cách 1: Ta có `

(3-2 hay (7 — &

(2) © x+l-x=2<e0x= 2 (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2

LUYỆN TẬP Học sinh tự giải

Bài 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP

KHAI PHƯƠNG

A/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT

« Định lí

Nếu a>0,b >0 thì vab = VaxVb

Từ định lí này ta suy ra quy tắc khai phương một tích

Quy tắc: Muốn khai phương một tích của các số không âm ta có

17

DO Copy

thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

2 Nhân các căn thức bậc hai

Quy tắc: Muốn nhân các căn thức bậc 2 của các số không âm, ta

có thể nhận các số dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) \Í0,86a° với ạ < 0 b) Va*(3~a)? với a >3

e) 4J27.484-~a)f với a > 1 d) ` với a>b

điái

a) 0,36a* = 0,36 Ja® = 0,6./al =-0,6a (voi a> 3)

b) va*(3~a)? =|va'.V(3-a)5 = |a?|.13 - al = -a2(3 ~ a) (với a > 3)

©) 427.48 -a)Ì = V12961-a)* = vĩ296./(1~a)

= 36.|1 -— al? = -36(1 — a) (véi a > 1)

DO Copy,

.\Ja*(a-b}? = Ễ va‘ la—b)? = bo fa||a—0|

1

a-

d)

a’(a—b) = a’ (v6ia>b>0)

Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) vé6ia>0; b) isa [© v6ia>0;

a c) V5a /45a — 3a với a > 0; d) (3 — a) J0,2.V180a?

Giải

3°V8 V38 V4 |2 viazo= [|= 4 nen /@, [= 8 2| 2 3 8 2

b) Đáp số: 26

©) V5a.J45a - 3a = võ”.3”a? - 3a = 15|a| — 3a

Với a >0 = 15|a| ~ 3a = 15a - 3a = 12a

a) (8 -a)*— J0,2.V180a? = (3 - a)*- V36a? =(3—a)’-6lal

*Với a>0 = 6|aÌ = 6a

(3~a)?~ 6laÌ =9 — 6a + a?— 6a = a?— 12a + 9

* Với a < 0 => 6Ìla| =—6a

(‹3—a)?— 6|a| =9— 6a+a?+6a=a?+9 Bài 5 Khai phương tích 12.30.40 được:

Bai 4 Cho a,b>0

Khi nào xảy ra đ;

= 4V9.2-6+2V3 = 12/2 6+ 2/8 l6 - v3 + 1}= 12/2 - 6+ 9/3

- v3)⁄3 = V36 + V81 -=6+9- 8 =12 2V5 - V2) =(2V5)?~ (V8)? = 90-~ 8 = 18

các giá trị của x, y, z thỏa mãn đẳng thức:

đổi tương đương, ta có:

b<va+vb © (a+b)° <(Va + Vb)’

©®a+b<a+2Vvab +bc vab >0

ối cùng luôn đúng nên ta có đpem Dấu đẳng thức

khi a.b = 0 © a = 0 hoặc b = 0

chứng minh rằng: va - b > Ja — Jb (a>b) lảng thức?

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy

b) V17?~8? = V7+8\(17-8) = V25.9 = V25 v9 = 5.3 = 15

21 j

D0 Copy,

¡ch đảo của nhau

tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

én lal =-a

{3 =b-2=-V3 -2< 0 nên |b—83| =3—b 2Ì =~8a(3 — b) = 6(3 + V3)

Vay x = : là nghiệm của phương trình đã cho

1+b)#<(Va +VB}= Va+b< va + Vb (dpem)

b)-V5 va -2 Giải

6 và (23 } = 12

? >(2V3)?° 4> 23 V5 va 2:

à 4<ð= V4 < J5 9< V5

b =2 >— v5 Vậy: ~ V5 <- v2 Bai 4 LIEN HE GIUA PHEP CHIA VA PHEP

A/ TOM TAT Lit

khai phương một thương oi trong đó a > 0 và b > 0, ta

phương các số a; b rồi chia các kết quả cho nhau

2 Chia hai căn thức bậc 2

24 chia căn thức bậc 2 của số a không âm cho căn bậc

dương, ta có thể chia số a cho số b rồi lấy căn bậc

2 Vìx<0nên |x| = —x, ta có: ðxy Bie = —Bxy 5% = _ 25%

25“

DO Copy

C/ BAI TAP LAM THEM

Khi 46 A= _ 2b|a - bị 2b|a - bị

1(lja, fb _Ja-b| a+b-|a — b|

2\Nb Va) 2vab

-Néva>bthi a-—72(@=>) _, a+b-a+b

~ Nếu a<bthì A<_P(b-4) _ b(b-a) a+b+a-b a

26

B9 Copy

DO Copy,

1) -1 < x< Ò: vế trái của phương trình âm còn vế phải không

âm Phương trình vô nghiệm

2) x > 1: phương trình tương đương với:

1) -1) =0e> Jx(x-1) =1

7 0ox 2 (vi x 21)

B9 Copy

>2 xy +x+y =2 xy +(vx) +/ y) =(ve+ Wy)

Vay: 2ÿ Ỷ WE easy (Je + Vv)

a -1) )+a = b) Ta có: JJa+ - =e te -Š 4 a?—~1 ae

289.41 _ [289.41 _ (289 _ 289 _ 17

| V 164° \V 441 ~ 4 W4 2

a | 149°-76° _ | (149 -76).(149 + 76)

\457? —384 ~ \(457 ~384)(457 + 384)

_ [73.225 _ V225 _ 15 _Ý73841 V841 29

Bài 2 Giải phương trình:

27(a — 3)?

a) ab’ sử với a<0;bz0 b) —ng — Với 4> 8;

2 ce) TH với b< 0 và a> -1ỗ;

12a + 4a” _ V(3+2a)? * |B+2a| _ 3+2a 2a+3

=1 a) jœ&~8)” =9 |x-3|=g2|X 39 x-3=-9 |x=12

x=-6 Vay x = -6 hoặc x = 12

ông, mỗi ô vuông cạnh 1em, cho bốn điểm M,N, P,Q

lo cạnh, đường chéo và diện tích của tứ giác MNPQ

DO Cory

se Tứ giác MNP@Q có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi

Hình thoi này lại có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông

Bai 5 BANG CAN BAC HAI

Một công cụ tiện lợi khi chưa có máy tính

Khi chưa có máy tính, để tìm căn bậc hai người ta thường dùng

bảng tính sẵn các căn bậc hai Dưới đây là một phần của bảng

tính căn bậc hai (bảng IV) trong cuốn “Bảng số với 4 chữ số thập

phân” của V.M Bra-di-xơ

Khi đời dấu phẩy trong số N đi 2, 4, 6 chữ số thì phải dời dấu

phẩy theo cùng chiều trong số VN đi 1, 2, 3 chữ số

Dùng bảng trên, ta tìm được căn bậc hai số học của các số

dương, chính xác với 4 chữ số và từ đó tìm được cả hai giá trị căn

bậc hai của số dương

BANG CAN BAC HAI (trích)

1, Tìm căn bậc hai của số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100

Ví dụ 1: Tìm 116,8 Tra bảng tìm giao của dòng 16, (cột N) và cột

8, ta thấy số 4,099 Số đó là giá trị gần đúng cia J16,8 với 4

chữ số Từ đây, ta xác định được cả hai giá trị (gần đúng) của

căn bậc hai của số 16,8 là 4,099 và -4,099

Ví dụ 2: Tìm 439,18 Tra bảng tìm giao của dòng 39, và cột 1, ta

thấy số 6,253 Tra tiếp theo dòng đó đến cột hiệu chính 8, ta

thấy số 6 Vậy J/39,18 có giá trị gân đúng là 6,259

2 Tìm căn bậc hai của số lớn hơn 100

Để thực hành nhanh, bhi tìm căn bậc hai của số không âm

lớn hơn 100 hoặc nhó hơn 1, ta dùng hướng dẫn của bảng: “Khi

đời dấu phẩy trong số N đi 2, 4, 6 chữ số thì phải dời dếu

phẩy theo cùng chiều trong số VÑ đi 1, 9, 3 chữ số” (uí dụ 3

mình họa trường hợp dời dấu phẩy ở số 16,8 sang phải 2 chữ số

nên phải dời dấu phẩy ở số 4,099 sang phải 1 chữ số; uí dụ 4

mình họa trường hợp dời dấu phấy ở số 16,8 sang trái 4 chữ số

nên phải dời dấu phẩy ở số 4,099 sang trái 2 chữ số)

Dùng bảng số để tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau đây rồi dùng

máy tính bỏ túi kiểm tra và so sánh kết quả (từ bài 1 đến bài 5)

Bài 1 5,4; 7,2; 9,5; 31; 68

và vab Cách tính nào nhanh hơn và so độ chính xác cao hơn?

Giai

Va = 3,4 x 1,844

vb = J5,1 = 2,256 Va.Jb = 1,844.2,256 = 4,164

Vab = J3,4.5,1 = 17,34 = 4,164

Cách tính sau nhanh hơn và có độ chính xác cao hon

Bài ð Chứng tỏ rằng, các số tự nhiên nhỏ hơn 16 nhưng lớn hơn 9

đều không phải là số chính phương

37

DO Copy}

số'ra ngoài dấu căn

hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích thích

số ra ngoài dấu căn

b) V108; c) 0,1 ¥20000 ; e) V7.68.a?

e) V7.638.a? = V7,7.9a° = 7.3lal = 21|a|

Bài 2 Đưa thừa số vào trong dấu căn:

Bai 4 Giải phương trình:

a)2/3x - 4Vâ3x =37-~ 33x b)3Vðx -5V8x +7VIBÊX =98

Giaé a) 2V8x —-43x = 97 — 38x

39 DO Cory]

1-4a+ 4a?) = ae 2a| =2V5a E1

u thức để lấy căn (bài 6 và bài 7)

Do SỐ có nghĩa nên a và b cùng dấu

EI = Al vay: 9a" _ avab bị b \36b ~ 2b e) 3xy lộ =342xy

xy

* Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa

(từ bài 8 đến bài 10)

uf £ vx +Jy

vx=Jy x-y

2ab_ ab(Va-Vb) - 2ab(Vva — Vb)

C/ BAI TAP LAM THEM

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu số:

6 444-243

(1+ v2)’ - (vay 3+2/2-3 2/2 4

DO Copy}

15a” - Bay15 + 16 = (aVIõ ) ~ 2.4.a V15 +4?=(av15 - 4)?

Như vậy: A = (av15 - 4Ÿ =|avs -4|

Tiếp theo, ta biến đổi a:

x đều thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình

h đã cho có hai nghiệm: x = 4 — Mĩ,x=4+ V7

+V6-x <2

Vì vậy phương trình có nghiệm cần phải có

vi v5 < vã = |5 - vã | = vã - v2

2+1 ab b) ab,ll+ ae ae " li V1+a°b

47

DO Cory}

~ Với a, b cùng dấu, ab > 0 thì ta có kết quả vVI+a?b?

— Với a, b trái dấu, ab < 0 thì ta có kết quả — V1 + a°b°

đ Aa+jab _ brs ABV vb) _ Vata + Vb)(Va ~ vb)

- Yala - Đi a với a#b a-b

Chú ý: Ta có |thể giải gọn hơn như sau:

Bài 3 Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)

a)ab+bvVa + fa +1; b) Vx” — Jy? + Sty — Jay?

Gidi

b) vx? - Jy? 4) - Ixy? = (Vx? + + Vx” y)—CÍy* + day?)

= Vx? (JK + 5) ARGe + amide + dove of

xy>0=» Vx =2, Jy? =y

Bài 4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

Vì J24 < J29 < v32 < V45 nên ta sắp xếp theo thứ tự tăng

dân như sau: 2/6 ; v29; 442; 35

AVX at Sh (X20; A |X Y= 0, B #0

49

DO Copy

2 Muốn thực hiện các phép tính căn bậc 2

Trước hết ta thực hiện các phép biến đổi đơn giản (đưa thừa SỐ ra

ngoài dấu căn) khử mẫu số của biểu thức dưới dấu căn, trục căn

thức ở mẫu số)| Sau đó ước lược các căn đồng dạng

a) va +4 4bV2ða" + ðaV16ab? - 29a

=õva + 20abVJa + 20abVa — 6 Va =~—Va;

b) 5aV64ab® — V3.v12a°b° + 2abVðab - 5bV8la'b

= 40abvab - 6abVab + 6abvab - 45ab /ab = -Bab Vab Bài 3 Cho biểu thức:

= V6x+16 - V9x+9 + V4x+4 + VX+Ï với x>~—1

50

DO Copy

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16

giải a) V6ix>-1

N = b(va + Vab? +e)

M: N= {vi va a >0; vab' “+e >0)

ab(a - Vab

_ Vgp „3b — bVAb _ aVab - bíah - ab + bab — aÍ vab - b)

53

Ro, Cory}

o-để: -_xx-l# „ aly _Xx+jy _ tn en NOR ee!

Bai 6 Tính giá trị của các biểu thức Sau:

e) Ta có: C = V2a” - 4a\2 +4 = (a2 -2) = lav2 -2|

a) Biến đổi vế trái, ta có:

xửx- 3xÚy - y(y +22 ty y „ 3Vy (Vx - vy)

4 2)'=8

Bai 8 a) Cho bidh thie: p = +?) — 8s

vx-— Chứng minh rằng: P = “Ve khi 0<x<2

vx khix>2

b) Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào

giá trị của biến: l

ast vVx+1+vx-1 | x+1 749-1 Với x> 1 K (VJx+l-vVx-1 Vx+Í+vx-I

R-| x+3/x+2 x+4/x+3 x+BVx+6 2“ „ ðX+t1., VX+10 vào

Giải

x+2)”~8x>0 6 a) Điều kiện: 4 x >0 2 nu

2 q=1, veri + ve-i , (Ve+ ~x =1)

Vậy giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào giá trị của

Vậy giá trị của biểu thức R không phụ thuộc vào giá trị của

81 Gidi a) Với a > 0, b|> 0, ta có:

a) Với a > 0 và a z 0 Ta có:

- ⁄8Œ-a)+-a) d-a)* - (1-a)(1+ va) va)

1- va" "q-a}# q-a#

-(-4d-a) _¡ _vp

đị-a)?

b) Với a + b > 0|và b z 0 Ta có:

_ a+b a”bf a+b lalb?

“RF szBab+br ° “EP sp “la SYP

PS Copy

Bài 4 Cho biểu thức B = V16x+16 - V9x+9 + /4x+4 + vVx+1

va(WJa-1) Va-1)° (Ja-1)?

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho xỔ = a

Chú ý: Mỗi số thực œ đều có duy nhất một căn bậc 3

Ri hiệu: Căn bậc ba cia sé ala Ya

2 Tinh chat

a) Liên hệ giữa thứ tự uà căn bậc 3:

Nếu a< b thì Ÿa < %b

điải a) Cách 1:

đãi

2 +1-(V2~1) = V2 +1- J2 +1= 3

BO Cory}

—- 3x? + 3x—1 = 2x +5

F1)” =2x+B @x~1=9x+5 © x =6

+2x+ð = 3x? T—2x+13 +} 2x+5 = 3x? -2x+18 o4x=8ox=2

5 AVB = VA?B (với A> 0 va B>0)

6 AVB =-—VA?B (với A < 0 và B > 0)

Câu 1 Học sinh tự giải

Câu 2 Học sinh tự giải

Câu 3 Học sinh tự giải

Câu 4 Phát biểu và chứng minh định lí về mối quan hệ giữa phép

nhân và phép khai khương Cho ví dụ

Qiải

Định lí: Với hai sé a va b khéng am, ta c6: Jab = Ja.Jb

Ching minh: Vi a> 0 va b> 0 nén Va.Vb xéc dinh va khong am

Ta có: (va vb )? s (va )?(VB )? = a.b

Vậy: Ja.Vb 1a can bac hai sé hoc ciia a.b, tite la: Jab = Ja.Jb

Ví dụ: * /25.16 = /25.J16 = 5.4 = 20

* /32./2 = J322 = J64 =8

Cau 5 Phát biểu và chứng minh định lý về mối quan hệ giữa phép

chia và phép khai phương Cho ví dụ

65

DO Copy,