Ứng dụng định lý BaBuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Luận văn là sự tổng hợpcác kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụngcủa Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic... Nói cách khác, ta sẽ nghiên

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảngdạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ

vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoànthành luận văn

Hà Nội, tháng 08 năm 2013

Tác giả

Linh Thị Thanh Loan

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi,dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng Luận văn là sự tổng hợpcác kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụngcủa Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Hà Nội, tháng 08 năm 2013

Tác giả

Linh Thị Thanh Loan

Mục lục

Mở đầu 3

Danh mục kí hiệu 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Hàm suy rộng 6

1.1.1 Hàm thử và phân bố 7

1.1.2 Một số phép toán với phân bố 9

1.1.3 Biến đổi Fourier và không gian Schwartz 12

1.1.4 Hàm suy rộng tăng chậm 13

1.2 Không gian Sobolev 14

1.2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 14

1.2.2 Xấp xỉ bởi các hàm trơn 19

1.2.3 Các định lý thác triển 22

1.2.4 Các định lý nhúng 24

1.2.5 Các định lý nhúng compact 25

1.2.6 Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết 26

1.2.7 Lý thuyết vết 28

Chương 2 Định lý Babuˇska – Brezzi và ứng dụng 33

2.1 Bài toán biến phân và định lý Babuˇska – Brezzi 33

2.1.1 Bài toán biến phân 33

2.1.2 Định lý Babuˇ ska – Brezzi 37

2.2 Ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic 40

2.2.1 Phương trình song điều hòa 40

2.2.2 Hệ đàn hồi 45

2.2.3 Hệ Stokes 48

Kết luận 53Tài liệu tham khảo 54

- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định

lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, );

- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏamãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, );

- Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biếnphân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng, )

Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiêncứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm Không phải tính chất định tínhnào cũng được sử dụng trong nghiên cứu định lượng, nhưng các kết quảnghiên cứu định tính thường giúp ta có cái nhìn sâu hơn vào lớp bàitoán được xét và hiểu nó ngày một đầy đủ hơn Đã có rất nhiều cáccông trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hainhà toán học Ivo Babuˇska và Franco Brezzi với định lý Babuˇska-Brezzi,

cho ta một điều kiện để xác định bài toán biến phân có nghiệm duynhất Kết quả này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán họckhác nhau như tối ưu hóa, phương trình vi phân và phương trình đạohàm riêng.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Brezzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi mạnhdạn chọn đề tài “Ứng dụng định lý Babuˇska-Brezzi đối với một

Babuˇska-số bài toán biên elliptic”

Luận văn được cấu trúc thành 2 chương Chương 1 được dành để đưa

ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm suy rộng và không gianSobolev Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuˇska-Brezzi vàứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic

, p ¥ 1

D pΩq : không gian các C8- hàm với giá compact trong Ω.

D1pΩq : không gian các hàm suy rộng trên Ω

S : không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong Rn

S1 : không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên Rn

Wm,ppΩq : không gian Sobolev với 1 ¤ p ¤ 8

W0m,ppΩq : bao đóng của D pΩq trong Wm,p

Wm,2pΩq  HmpΩq; W0m,2pΩq  Hm

0 pΩq

W0,ppΩq  LppΩq; W0,2pΩq  L2pΩq

-mở rộng khái niệm hàm khả vi Nói cách khác, ta sẽ nghiên cứu lớp rộnghơn gồm các đối tượng được gọi là phân bố (hay hàm suy rộng)- trên đó

ta có thể định nghĩa đạo hàm (suy rộng) sao cho các quy tắc tính toánthông thường vẫn đúng Ngoài ra, đối với các hàm trơn, khái niệm đạohàm mới phải trùng với đạo hàm thông thường

Cho f P L2pRq - không gian các hàm bình phương khả tích trên R

Có thể chỉ ra rằng không gian D -các hàm khả vi vô hạn với giá compact

trong R là trù mật trong L2pRq (giá của hàm φ : R Ñ R (hoặc C) là tập

Khi đó, vì L2pRq là không gian Hilbert nên f sẽ hoàn toàn xác địnhkhi biết tích vô hướng của nó với mỗi phần tử của D, nghĩa là, khi biếttất cả các số ³

đó liên tục, thì ta có thể định nghĩa f như một phiếm hàm tuyến tínhliên tục trên D và định nghĩa f1 thông qua vế phải của (1.1.2) ngay cả

khi f không khả vi, miễn là tích phân có nghĩa

1.1.1 Hàm thử và phân bố

Cho φ là hàm liên tục giá trị thực (hoặc phức) xác định trên tập mởtrong Rn Giá của φ, được viết là supppφq là bao đóng (trong Rn) củatập, trên đó φ  0 (xem (1.1.1)) Nếu tập đóng này là compact, thì φđược gọi là có giá compact

Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên Rn với giá compact là một khônggian vectơ và được ký hiệu bởi D pRnq hoặc đơn giản là D và được gọi

là không gian các hàm thử

Định lý 1.1.1 (C8 - phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương)

Cho Ω € Rn là một tập mở và Ω  ”

i PI

Ωi, Ωi - mở Khi đó, tồn tạicác hàm φi P C8pΩq sao cho

m và φm và tất cả các đạo hàm của nó hội tụ đều tới 0 trên K

Như đã chỉ ra ở phần đầu, ta sẽ khái quát khái niệm hàm bằng cáchxét các phiếm hàm tuyến tính trên D pΩq liên tục đối với tôpô đã đề cập

thử, được ký hiệu bởi D1pΩq Trường hợp Ω  Rn, ta viết đơn giản là

D1.

Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta thấy rằng:

i, Hàm khả tích địa phương là phân bố

ii, Độ đo là phân bố

Ta kết thúc mục này với khái niệm cấp của phân bố

Định lý 1.1.2 Cho Ω € Rn là tập mở Khi đó các khẳng định sau làtương đương:

piq T P D1pΩq

piiq Với mỗi tập compact K € Ω, tồn tại hằng số C  C pKq ¡ 0 và

số nguyên N  N pKq sao cho

với @φ P D pΩq mà supp pφq € K, trong đó }φ}N là giá trị tuyệt đối lớnnhất trên Ω của φ và tất cả các đạo hàm của nó có cấp không quá N Nếu có một số nguyên N thỏa mãn đối với @K thì T gọi là có cấphữu hạn và số N nhỏ nhất được gọi là cấp của T Nếu không thì T đượcgọi là có cấp vô hạn

1.1.2 Một số phép toán với phân bố

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một số phép toán quen thuộc củaGiải tích được áp dụng đối với phân bố

Cho x P Rn với tọa độ px1, , xnq Một đa chỉ số là n - bộ

α  pα1, , αnq , αi ¥ 0, αi
nguyên

Liên kết với đa chỉ số α, ta có các kí hiệu sau:

|α|  α1 αnα!  α1! αn!

xα  xα 1

1 xαn

n , x P Rn

,//.//-

pDαTq pφq  p
1q|α|T pDαφq , φ P D pΩq (1.1.7)Một phép toán quan trọng khác trên các phân bố là phép nhân với

C8 - hàm Cho Ω € Rn là tập mở và tφmu là một dãy trong D pΩq hội

tụ về 0 Khi đó theo công thức Leibniz cổ điển với hàm trơn, dễ dàngthấy rằng ψφm Ñ 0 trong D pΩq Do đó đối với bất kỳ phân bố T , ta có

T pψφmq Ñ 0 Vì vậy ánh xạ được xác định bởi φ Ñ T pψφq , φ P D pΩqvới ψ cố định thuộc C8pΩq và T P D1pΩq xác định một phân bố Ta kýhiệu là ψT Như vậy

Nếu T là một hàm, tức là T  Tf thì ψT  Tψf Vì vậy phép nhân vớimột C8 - hàm của một phân bố là sự mở rộng của khái niệm phép nhâncủa hai hàm Các quy tắc quen thuộc của giải tích vẫn đúng Ví dụ, cho

ψ P C8pRq và T P D1pRq Lấy φ P D pRq Khi đó

d

dxpψT q pφq 
pψT q

dφ



ψdφdx


T

d

dψ

dxφ





ψdTdx

dψ

dxT pφqNhư vậy ta có quy tắc đạo hàm của tích:

Cuối cùng ta xét dãy các phân bố Trên không gian các phân bố

D1pΩq, ta xét tôpô yếu*; tức là ta nói rằng một dãy các phân bố tTmuhội tụ tới phân bố T nếu với mỗi φP D pΩq,

Tmpφq Ñ T pφq Định lý 1.1.4 Cho Tm Ñ T trong D1pΩq Khi đó với đa chỉ số α bất

kỳ, ta có DαTm Ñ DαT trong D1pΩq

1.1.3 Biến đổi Fourier và không gian Schwartz

Định nghĩa 1.1.3 Cho f P L1pRnq Biến đổi Fourier của f, ký hiệubởi pf , là một hàm xác định trên Rn bằng công thức

xjξj là tích vô hướng trong Rn

Vì f P L1pRnq nên trực tiếp thấy rằng pf pξq là xác định với mỗi

Định nghĩa 1.1.4 Không gian Schwartz, hay không gian các hàm giảmnhanh, S, được cho bởi

Nhận xét 1.1.2 Với hai đa chỉ số α, β bất kỳ, ta có

Dαfppξq  p
2πiq|α|pxαfpxqq^pξq (1.1.13)và

Do đó đối ngẫu của S, được ký hiệu là S1, có thể được đồng nhất vớikhông gian con của D1pRnq

Định nghĩa 1.1.5 Không gian các hàm suy rộng S1 được gọi là khônggian các hàm suy rộng tăng chậm

Định lý 1.1.7 Cho T P S1 và α là đa chỉ số Khi đó

là biên của nó

Định nghĩa 1.2.1 Cho m ¡ 0 là một số nguyên và 1 ¤ p ¤ 8 Khônggian Sobolev Wm,ppΩq được định nghĩa bởi

Wm,ppΩq  tu P LppΩq | Dαu P LppΩq , @ |α| ¤ mu (1.2.1)Nói cách khác, Wm,ppΩq là tập hợp tất cả các hàm thuộc LppΩq saocho các đạo hàm suy rộng lên tới cấp m cũng thuộc LppΩq Rõ ràng

Wm,ppΩq là không gian vectơ Ta trang bị cho nó với chuẩn

}u}m,p,Ω  ¸

|α|¤m

hay tương đương, với 1   p   8,

(vì trong trường hợp này nửa chuẩn và chuẩn giống nhau)

Với L2pΩq- chuẩn sẽ được ký hiệu bởi |.|0,Ω

Không gian HmpΩq có tích vô hướng được định nghĩa bởi

pDαuq^  p2πiq|α|ξαpu, pxem(1.1.18)q

và vì vậy ξαpu pξq P L2pRnq , @ |α| ¤ m

Ngược lại, nếu u P L2pRnq sao cho ξαpu pξq P L2pRnq , @ |α| ¤ m, ta có

Dαu P L2pRnq , @ |α| ¤ m và vì vậy u P HmpRnq Sử dụng bổ đề đại sốsau ta có thể biểu thị điều này dưới dạng tốt hơn

Bổ đề 1.2.1 Tồn tại hằng số dương M1 và M2 chỉ phụ thuộc vào m và

Ưu thế của định nghĩa này có thể khái quát với @s ¥ 0 Nếu s ¥ 0 tađịnh nghĩa HspRnq bởi

1 {p

với u  puiq P pLppΩqqn 1

, tùy thuộc vào việc ta sử dụng công thức(1.2.2) hoặc (1.2.3) cho chuẩn trên W1,ppΩq

Định lý 1.2.1 Với 1 ¤ p ¤ 8, W1,ppΩq là không gian Banach W1,ppΩq

là phản xạ nếu 1   p   8, và tách được nếu 1 ¤ p   8 Đặc biệt, H1pΩq

là không gian Hilbert tách được

Nhận xét 1.2.1 i, Các kết quả của Định lý 1.2.1 cũng đúng đối với

Wm,ppΩq với mọi số nguyên m ¥ 0 Sau này, trừ khi thực sự cần thiết,

ta sẽ chỉ thiết lập các định lý cho không gian W1,ppΩq Mở rộng đếnkhông gian cấp cao hơn sẽ là hiển nhiên

ii, Nếu um Ñ u trong LppΩq và Bum

Bx i Ñ vi trong LppΩq với 1 ¤ i ¤ n,thì u P W1,ppΩq và Bu

Bx i  vi

Định lý 1.2.2 Cho I € R là một khoảng mở và u P W1,ppIq Khi đó,

u liên tục tuyệt đối

Ta có thể kết luận một tính chất quan trọng của W1,ppIq từ định lýtrước, khi I là một khoảng mở bị chặn Chẳng hạn, I  p0, 1q Khi đónếu u P W1,ppIq, ta có thể viết

Như vậy nhờ lấy tích phân hai vế ta có

|u p0q| ¤ C
|u|0,p,I |u1|0,p,I

C I

Hơn nữa, nếu x, y P I thì từ (1.2.14), ta có

|u pxq
u pyq| ¤ |u1|0,p,I|x
y|1 {q ¤ }u}1,p,I|x
y|1 {q. (1.2.18)

Từ đây suy ra rằng B là liên tục đồng bậc trong C I

Theo Định lýAscoli – Arzela suy ra B là compact tương đối trong C I

; nói cáchkhác, ánh xạ i : W1,ppIq Ñ C I là toán tử compact Đây là một tínhchất quan trọng của không gian Sobolev

Cuối cùng, ta phải nhắc đến không gian con quan trọng của Wm,ppΩq.Nếu 1 ¤ p   8, ta biết rằng D pΩq trù mật trong LppΩq Hơn nữa,nếu φ P D pΩq thì mọi đạo hàm của φ cũng thuộc D pΩq nên D pΩq €

Wm,ppΩq, đối với bất kỳ m và p Nếu 1 ¤ p   8, ta định nghĩa khônggian W0m,ppΩq như là bao đóng của D pΩq trong Wm,ppΩq Như vậy

W0m,ppΩq là một không gian con đóng của Wm,ppΩq và các phần tử của

nó có thể được lấy xấp xỉ theo chuẩn trong Wm,ppΩq bởi các C8 - hàm

với giá compact Nói chung đây là một không gian con thực sự của

Wm,ppΩq, ngoại trừ khi Ω  Rn như được chỉ ra dưới đây

Định lý 1.2.3 Cho 1 ¤ p   8 Khi đó với m ¥ 0 nguyên bất kỳ,

Cho 1 ¤ p   8 và u P W1,ppΩq Khi đó D tumu € D pRnq sao cho

Ω1 €€ Ω (tức là Ω1 compact tương đối trong Ω).

Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω € Rn là tập mở Một toán tử thác triển Pđối với W1,ppΩq, là toán tử tuyến tính bị chặn

P : W1,ppΩq Ñ W1,ppRnqsao cho P u|Ω  u với mỗi u P W1,ppΩq

Do P là toán tử tuyến tính bị chặn nên

trong đó C ¡ 0 là hằng số, mà nói chung sẽ chỉ phụ thuộc vào Ω và p

Vì vậy nếu Ω là tập sao cho tồn tại toán tử thác triển P thì ta có thểxét W1,ppΩq như là không gian các thu hẹp trên Ω của các hàm thuộc

W1,ppRnq Một điều kiện đủ để tồn tại thác triển P là tính trơn của biênBΩ

Định lý 1.2.5 Nếu Ω là tập mở trong Rn sao cho có toán tử thác triển

P : W1,ppΩq Ñ W1,ppRnq, thì với mỗi u P W1,ppΩq, D tumu € D pRnqsao cho um|Ω Ñ u trong W1,ppΩq

Như vậy định lý trên nói rằng: nếu Ω thừa nhận một toán tử tháctriển thì các phần tử của W1,ppΩq có thể được xấp xỉ bởi các hàmtrong C8pΩq - là hạn chế của các hàm trong D pRnq Tuy nhiên, mộtđịnh lý khác của Meyers và Serrin nói rằng tập tất cả các hàm trong

C8pΩq X W1,ppΩq là trù mật trong W1,ppΩq khi 1 ¤ p   8, với mọi tập

Ω - mở (xem [2])

Các kết quả đó không thể mở rộng cho trường hợp p  8 Nếu

Ω  Rn, ta biết rằng cái làm đầy của không gian các hàm liên tục vớigiá compact theo L8 - chuẩn là không gian các hàm liên tục mà triệttiêu tại 8 Vì vậy mặc dù hàm u  1 P W1, 8pRnq nhưng nó không thểđược xấp xỉ bởi các phần tử của D pRnq

tumu € D pRnq sao cho um Ñ u trong LppΩq và Bu m

Bx i Ñ Bu

Bx i, 1 ¤ i ¤ ntrong LppΩ1q Do đó φum Ñ φu trong W1,ppΩq và vì φum P D pΩq nên

Định lý 1.2.9 Cho 1 ¤ p ¤ 8 và u P W1,ppΩq X C Ω Nếu u  0trên BΩ thì u P W1

0 pΩq

Nhận xét 1.2.2 Định lý trên nói rằng các hàm liên tục trên Ω, nếuthuộc W1,ppΩq và triệt tiêu trên biên thì thuộc W1,p

0 pΩq Kết quả đó làphần quan trọng của Định lý vết rằng: W01,ppΩq chính là tập các hàmtrong W1,ppΩq có “giá trị biên”, tức là vết, bằng 0

Định lý 1.2.11 Cho Ω € Rn là tập mở thuộc lớp C1, với biên BΩ bịchặn Khi đó tồn tại toán tử thác triển P : W1,ppΩq Ñ W1,ppRnq.

là một tích vô hướng sinh ra chuẩn |.|1,Ω tương đương với chuẩn }.}1,Ω

Ví dụ 1.2.1 Bất đẳng thức Poincaré không đúng trong miền không

bị chặn Ví dụ, cho Ω  Rn và xét ζ P D pRnq sao cho ζ  1 trên

|x| ¤ 1 và ζ  0 trên |x| ¥ 2 và 0 ¤ ζ ¤ 1 Đặt ζmpxq  ζ px{m q

Khi đó |ζm|1,p,Rn Ñ 0 (nếu n   p) khi m Ñ 8, trong khi |ζm|0,p,Rn ¥measpB p0; mqq Ñ 0 khi m Ñ 8.

1.2.4 Các định lý nhúng

Trong mục 1.2.1 ta đã thấy rằng không gian W1,ppIq có thể đượcnhúng trong không gian các hàm liên tục tuyệt đối, khi I là khoảng mởtrong R Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất của phép nhúngnhư vậy của không gian W1,ppΩq, Ω là tập mở trong Rn

Định lý 1.2.14 (Bất đẳng thức Sobolev)

Cho 1 ¤ p   n Khi đó tồn tại hằng số C  C pp, nq ¡ 0 sao cho

|u|0,p  ,R n ¤ C|u|1,p,Rn, @u P W1,ppRnq (1.2.27)với p1  1

Nhận xét 1.2.3 Hằng số C xuất hiện trong bất đẳng thức Sobolev(1.2.27) có thể được lấy bằng n
1n p.

Định lý 1.2.15 Cho Ω € Rn là tập mở, p  n Khi đó

W01,ppΩq € LqpΩq , @q P rn, 8q Định lý 1.2.16 Cho p ¡ n Khi đó không gian W1,ppRnq là đại sốBanach giao hoán

1.2.5 Các định lý nhúng compact

Trong mục 1.2.1 ta đã thấy phép nhúng của W1,ppIq trong C I làcompact khi I là một khoảng bị chặn Vậy trong các phép nhúng liêntục đã chứng minh trong mục trước, phép nhúng nào là compact? Ví dụsau cho thấy, khi miền không bị chặn thì phép nhúng không compact

Ví dụ 1.2.2 Cho I  p0, 1q € R và Ij  pj, j 1q Lấy f P C1 với giátrong I Ta định nghĩa fj là hàm f nhưng xác định trên Ij nhờ phéptịnh tiến Ta có thể chuẩn hóa f một cách thích hợp sao cho

|fj
fk|0,q,R  21 {qa

nêntfju không thể có dãy con hội tụ trong LqpRq Vì vậy không có phépnhúng của W1,ppRq vào không gian LqpRq là compact Ví dụ này có thể

dễ dàng được khái quát đến Rn và đối với các tập mở giống như nửakhông gian

Trong mục này ta sẽ định nghĩa không gian Sobolev đối với các tham

số thực s thay cho số tự nhiên n

Định nghĩa 1.2.3 Cho 1 ¤ p   8, p1 là số mũ liên hợp của p Đối

ngẫu của không gian W0m,ppΩq mà m ¥ 1 là số nguyên, được ký hiệu bởi