Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier

Ngoài ra, cũng phải kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phươngtrình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là cácphép biến đổi tích phân.. Để

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức về giải tích tiệm cận 4

1.1 Một số khái niệm về bậc 4

1.1.1 Lời dẫn 4

1.1.2 Các khái niệm về “không” bậc 6

1.1.3 Chú ý 8

1.1.4 Một số ví dụ về bậc 8

1.1.5 Nhận xét 9

1.2 Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận 9

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận 9

1.2.2 Khái niệm về khai triển tiệm cận 10

1.2.3 Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân 11 1.2.4 Một số tính chất của khai triển tiệm cận 14

1.3 Hàm Gamma 18

Chương 2 Phương pháp pha dừng khai triển tiệm cận tích phân loại Fourier 22

2.1 Phương pháp tích phân từng phần 22

2.2 Dạng tương tự của Bổ đề Watson 25

2.3 Phương pháp pha dừng 27

2.3.1 Ý tưởng của phương pháp 27

2.3.2 Phương pháp pha dừng 29

2.3.3 Một số ví dụ 31

2.4 Áp dụng của phương pháp pha dừng 33

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khi giải quyết nhiều vấn đề trong lĩnh vực Vật lý dẫn đến giải một sốcác phương trình Toán học mà nghiệm của nó được biểu diễn dưới dạngcác tích phân Có khá nhiều tích phân như vậy được gắn với những hàmđặc biệt như hàm Bessel, các hàm siêu hình học, Ngoài ra, cũng phải

kể đến một công cụ rất quan trọng để giải quyết các bài toán về phươngtrình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là cácphép biến đổi tích phân Chẳng hạn, nghiệm của bài toán Cauchy đốivới phương trình Sch¨ordinger

iΦt + Φxx = 0được cho bởi công thức

cơ bản về phía cạnh Vật lý, cũng như về mặt Toán học đối với nhữngnghiệm này, người ta thường phải nghiên cứu dạng điệu của chúng khicác biến x và t khá lớn Thông thường, như đối với các bài toán vềchuyển động sóng lớn, quá trình giới hạn thường được quan tâm đến

số phương pháp để khắc phục các nhược điểm của phương pháp trên.Một trong những phương pháp đó chúng ta phải kể đến phương pháppha dừng trong việc xử lý các tích phân dạng này Để hoàn thành luậnvăn tốt nghiệp chương trình Thạc sỹ khoa học Toán học chuyên ngànhtoán Giải tích, tôi chọn đề tài: "Phương pháp pha dừng khai triểntiệm cận tích phân loại Fourier."

Luận văn được cấu trúc thành hai chương Chương một được giành

để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết giải tích tiệm cận.Trong chương hai của luận văn, tôi trình bày phương pháp pha dừngước lượng xấp xỉ tích phân loại Fourier và ứng dụng của phương phápđó

2 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận.Trên cơ sở đó, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ tiệm cận đốivới tích phân loại Fourier - Phương pháp pha dừng

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mụcđích nghiên cứu

4 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa chi tiết môt số kiến thức căn bản về lý thuyết xấp xỉtiệm cận Trình bày phương pháp pha dừng trong việc sử lý xấp xỉ tíchphân loại Fourier Để minh họa cho ý nghĩa của vấn đề được trình bàytrong luận văn, chúng tôi giới thiệu ứng dụng của nó để giải quyết một

số bài toán trong lĩnh vực Vật lý – Toán

1.1 Một số khái niệm về bậc

1.1.1 Lời dẫn

Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng lần đầu tiên bởi E Landau và P

D B Reymond Trước khi giới thiệu các khái niệm này, chúng ta xétđến một bài toán trong thực tế Tính giá trị của tích phân

nhất (phương pháp tích phân từng phần) Tích phân từng phần lầnthứ nhất ta thu được

Lặp lại quá trình này N lần ta được

Vế phải của phương trình này được gọi là một khai triển tiệm cận củaI(ε) tới số hạng N+1 Số hạng này nhỏ hơn rất nhiều so với số hạngthứ N Khẳng định này đúng với tất cả các chỉ số n = 0, 1, 2, , N − 1

Để thấy điều đó, ta hãy xét với n = N Bởi vì ε là số dương đủ nhỏ,nên 1 + εt ≥ 1 và ta có đánh giá

∞

Z

0

e−t(1 + εt)N +2dt ≤

≤ (−1)N +1(N + 1)!εN +1

f (z)g(z)

= 1,hay

f (z) = g(z) + o (g(z)) ; khi z → z0.1.1.3 Chú ý

Khái niệm O - bậc cho ta nhiều thông tin hơn o - bậc đối với các hàmliên quan trong quá trình z → z0 Chẳng hạn

sin z = z + o(z2); khi z → z0cho ta biết sin z − z tiến tới nhanh hơn z2 Tuy nhiên

sin z = z + O(z3); khi z → z0cho ta biết rằng sin z − z tiến tới gần như z3 khi z → z0

1.1.4 Một số ví dụ về bậc

Đối với hàm số f (t) = 5t2 + t + 3, ta có các so sánh về bậc trong một

số quá trình dưới đây

f (t) = o(t), f (t) = O(t2), f (t) ∼ 5t2, f (t) = o 1

t



; khi t → ∞

f (t) ∼ 3; khi t → 0

Những so sánh về bậc của các hàm thường gặp cũng phải kể đến, đó là

t1000 = o(et), cos t = O(1); t → ∞;

sin 1t

xn = o(n3), xn = O(n2) và xn ∼ 5n2; khi n → ∞

(ii) Người ta cũng thường sử dụng ký hiệu f (k)  g(k); khi k → k0đồng nghĩa với f (k) = o (g(k)) ; khi k → k0

1.2 Dãy tiệm cận và khai triển tiệm cận

1.2.1 Khái niệm và ví dụ về dãy tiệm cận

Một dãy hàm {φn(k)} được gọi là một dãy tiệm cận khi k → k0 nếu cómột lân cận của k0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệttiêu (ngoại trừ tại k0) và với mọi n ta có

φn+1 = o(φn); khi k → k0Chẳng hạn, nếu k0 hữu hạn thì {(k − k0)n} là một dãy tiệm cận khi

k → k0, còn {k−n} là một dãy tiệm cận khi k → ∞

1.2.2 Khái niệm về khai triển tiệm cận

số của nó được cho bởi

φm(k)

.Nếu một hàm có khai triển tiệm cận theo nghĩa này ta viết

f (k)

φ0(k) → a0; khi k → k0Trong trường hợp điểm giới hạn x0 là hữu hạn, R là một khoảng mởcủa điểm x0 Điểm x0 có thể là điểm trong hoặc điểm biên và một lâncận của x0 là một khoảng mở |x − x0| < δ Nhưng nếu x0 là điểm vôcùng, chúng ta phải phân biệt giữa x → +∞ (trong trường hợp này

R > 0 có thể coi là một khoảng vô hạn x > a) và x → −∞ (trongtrường hợp này R có thể coi là x < b) Có một số trường hợp khi R làmột tập riêng biệt, chẳng hạn nó có thể là điều kiện cần để tìm mộtkhai triển tiệm cận của tổng riêng thứ n của một chuỗi vô hạn khi n là

đủ lớn, sao cho những bài toán này tồn tại , theo nghĩa bên ngoài củamiền này nó không hội tụ

Biểu thức của khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệmcận Chẳng hạn, khi k → ∞ thì

vì kn và e−k → 0 khi k → ∞ trong miền đã cho

1.2.3 Ví dụ và nhận xét về khai triển tiệm cận của tích phân

Ví dụ 1.1 Tìm khai triển tiệm cận của tích phân

Từ phương trình (1.1) , bằng việc thay ε = 1

Ví dụ 1.2.Tìm khai triển tiệm cận của tích phân

đã cho khi k → ∞ Khi N → ∞ với mỗi cố định thì |RN| → ∞, nênchuỗi phân kỳ Khi k → ∞ và N cố định, thì RN → 0 (chúng ta nhậnđược một khai triển tiệm cận của tích phân đó).

Chuỗi tiệm cận thường cho những xấp xỉ tốt Chẳng hạn, khi k =10;N = 2; sai số giữa giá trị chính xác và hai số hạng đầu tiên củachuỗi là được đánh giá như sau

1.2.4 Một số tính chất của khai triển tiệm cận

Tính duy nhất Cho một dãy tiệm cận{φn(x)}, dãy khai triển tiệmcận của f (x) là duy nhất, nghĩa là an được xác định duy nhất như sau

tiệm cận, chuỗi lũy thừa tiệm cận của g(x) có thể là

∞

P

n=0

anx−n; khi x → +∞

và vì vậy nếu f (x) có một khai triển tiệm cận thì f (x) + e−x cũng vậy,

có nghĩa là f (x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tiệm cận sai kháchàm mũ nhỏ

Tính bằng nhau của các hệ số Nếu ta viết

Các phép toán đại số Giả sử

với α,β là các hằng số Khai triển tiệm cận cũng có thể nhân và chiamiễn là trên một dãy khai triển tiệm cận đủ lớn Nói riêng với cácchuỗi lũy thừa tiệm cận, khi φn(x) = (x − x0)n, các phép toán đó đượcthực hiện như sau

∞

X

n=0

dn(x − x0)ntrong đó

có thể lấy tích phân từng số hạng (nếu f (x) khả tích gần x = x0) Vìvậy, nếu

Ví dụ 1.3 Hai hàm

f (x) và g(x) = f (x) + e

−1 (x−x0)2 sin

e

1 (x−x0)2



khác nhau bởi một hàm trội nhỏ và vì vậy chúng ta có cùng chuỗi lũythừa tiệm cận khi x → x0 Tuy nhiên f0(x) và

g0(x) = f0(x) − 2(x − x0)−3cose

1 (x−x0)2 + 2(x − x0)−3e

−1 (x−x0)2 sin e

1 (x−x0)2

không có cùng chuỗi lũy thừa tiệm cận khi x → x0 Tuy nhiên nếu f0(x)tồn tại, là khả tích và

1(x − 1)2 ∼ 1

x2 + 2

x3 + ; khi x → +∞

(cả hai chuỗi này là khai triển Taylor của các hàm tương ứng)

hội tụ với mọi giá trị dương của x.

Một số dạng biểu diễn tích phân khác Hàm Gamma có một sốbiểu diễn tích phân dưới đây Bằng phép biến đổi u = e−t ta nhận đượcΓ(x) =

Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) (1.7)

Γ(−x) = Γ(x − 1)

−x ; x 6= 0, 1, 2, (1.8)Thực hiện việc tính toán đơn giản đối với tích phân suy rộng, ta có

Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3.Γ(3) = 3.2.1 = 3!

Bằng quy nạp ta thu được hai công thức được viết như sau

Γ(n + 1) = n.Γ(n) = n 3.2.1 = n! (1.9)Γ(n) = (n − 1).Γ(n − 1) = (n − 1) 3.2.1 = (n − 1)! (1.10)

Để nhận được một số giá trị đặc biệt khác cần thiết cho việc sử dụngsau nay, ta thực hiện một số phép biến đổi đơn giản sau Trước hết,bằng cách đặt t = u2 ta được

Γ 12

Một số ví dụ áp dụng tính toán Ở đây, chúng ta trình bày một

số các ví dụ áp dụng các giá trị đặc biệt trên đây trong việc tính một

số biểu thức liên quan đến hàm Gamma Tìm một số giá trị sau

(i) Tính giá trị của biểu thức

Γ(x + n)Γ(x − n).

Sử dụng công thức (1.5) liên tiếp ta được

Γ(2n)Γ(n) =

Γ(n + 1

2)

√π.21−2n.

Γ(2n)21−2n2nΓ(n)2nΓ(n + 1) =

Γ(2n)21−nΓ(n)2.4.6 2n.Nhưng

1.3.5 (2n − 1) = 1.2.3 (2n − 2)(2n − 1)

2.4.6 (2n − 2) =

Γ(2n)Γ(n)2n−1.Vậy

Γ(n + 1

2)

√πΓ(n + 1) =

1.3.5 (2n − 1)2.4.6 2n .

Chương 2

Phương pháp pha dừng khai triển

tiệm cận tích phân loại Fourier

Đối với phương pháp pha dừng, người ta nghiên cứu dáng điệu tiệmcận của các tích phân có dạng

I(k) =

b

Z

a

f (t)eikφ(t)dt; khi x → ∞, (2.1)

ở đó φ(t) và f (t) là các hàm một biến thực liên tục Điều đó không làmgiảm tính tổng quát đối với trường hợp f (t) là hàm biến phức Bởi vìkhi tách riêng phần thực và phần ảo của nó, thì tích phân trở thànhtổng của hai tích phân có dạng (2.1) Một trường hợp đặc biệt của cáctích phân như vậy khi φ(t) = t là biến đổi Fourier được xác định bởi

đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi giới thiệu phương pháp đơn giảnnhất để xấp xỉ tích phân Fourier Như đã giới thiệu, việc xấp xỉ cáctích phân người ta thường nghĩ đến trước hết là phương pháp tích phântừng phần Thế nhưng phương pháp này thường không thực sự hiệuquả mà nó chỉ thực hiện được trong một số trường hợp nào đó Để tiếpcận vấn đề chính, chúng tôi giới thiệu cách xử lý này đối với các tíchphân loại

(n)

(a)+ 1(ik)m

b

Z

a

eiktf(m)(t)dt;

.Với m = N ta có thể chia đoạn lấy tích phân thành những đoạn nhỏsao cho trong mỗi đợn đó hàm f(N +2) liên tục Khi đó, lấy tích phântừng phần đối với RN ta hoàn thành phép chứng minh.

Chúng ta chú ý, trong trường hợp N = 0 phương trình (2.3) chỉ còn lạidưới dạng

(n − 1)!

(ki)n +



; khi k → ∞

2.2 Dạng tương tự của Bổ đề Watson

Đối với phương pháp Laplace, người ta sử dụng bổ đề Watson để xử lýhai trường hợp quan trọng

(i) Chứng minh xấp xỉ tiệm cận của phương pháp Laplace;

(ii) Tính tích phân Laplace khi φ(t) là hàm đơn điệu tại [α, β] nhưng

f (t) không đủ trơn tại t = α

Tương tự như vậy, trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một kết quảtương tự như bổ đề Watson để xử lý các tích phân loại Fourier Đểnhận được bổ đề này, trước hết ta tính các tích phân sau đây

trong đó γ, v là các hằng số thực mà γ > −1 và p là số nguyên dương.Trước hết, chúng ta xét trường hợp v > 0, như trong Ví dụ 2.2 để sửdụng định lý thặng dư Cauchy, người ta sử dụng phép đổi biến u = vrpchuyển đường lấy tích phân lên nửa mặt phẳng trên từ trục thực t dọctheo tia của góc π

Giả sử f (t) triệt tiêu trơn vô hạn tại t = b (nghĩa là, f (t) và tất cả cácđạo hàm của nó triệt tiêu tại t = b) và f (t) cùng các đạo hàm của nótồn tại trong (0, b] Thêm nữa, giả sử rằng

để nhận được phương trình (2.7) Một cách tự nhiên, chúng ta chỉ cầnđến dạng khai triển của I(k) trong lân cận của điểm t = 0 Phép chứngminh chi tiết của công thức khai triển này được đưa ra bởi Erdelyi [4],dựa trên phép lấy tích phân từng phần với

Việc phân tích để tìm ra khai triển tiệm cận của tích phân loại Fouriercũng gần giống như phương pháp Laplace Giả thiết rằng f là hàm liêntục, φ là hàm khả vi hai lần và φ0 triệt tiêu trong [a, b] chỉ tại điểm

t = c và φ00(c) 6= 0 Chúng ta sẽ chỉ ra rằng khi k lớn dạng xấp xỉ củaphương trình (2.1) được cho bởi công thức sau

k |φ00(c)|e

iµπ

4 ; µ = sgnφ00(c) (2.8)

Tính chất tiệm cận của phương trình (2.8) được chứng minh dưới đâybằng cách sử dụng Bổ đề 2.1 Thực ra, phương trình (2.8) có thể suyrộng được vì Bổ đề 2.1 cho phép f (t) suy biến tại t = c Mặt khác, đểđơn giản từ nhận xét mang tính trực giác trên đây, chúng ta giả sử f

và φ là các hàm trơn vô hạn (nghĩa là tất cả các đạo hàm của chúngtồn tại) trên khoảng mở nào đó không chứa c



và

f (t) ∼ β(t − c)γ + o ((t − c)γ) ; (2.9)khi t → c; γ > −1 Khi đó, ta có

k |α|

γ+12+o



k−(γ+1)2



; k → ∞(2.10)với µ = sgnα

Chứng minh Tương tự như chứng minh của phương pháp Laplace,

chúng ta cũng chia [a, b] thành hai nửa khoảng [a, c) và (c, b] Gọi Ia và

Ib là các tích phân tương ứng trên mỗi nửa khoảng đó Mục đích củagiả thiết f (t) triệt tiêu trơn vô hạn tại các điểm đầu mút là việc địaphương hóa sự phân bố chính giá trị của tích phân đang xét tại cácđiểm dừng Để phân tích cách thức xử lý tích phân Ib, chúng ta đặt

2|α|γ+12

, u → 0+ (2.14)

Do đó, đối với tích phân Ib(k) chúng ta thấy rằng F (u) triệt tiêu trơn

vô hạn khi u → |φ [b] − φ(c)|, và dáng điệu tiệm cận của nó khi u → 0+được cho bởi phương trình (2.14) Do đó, từ Bổ đề 2.2 ta suy ra rằng

Phương pháp pha dừng khai triển< /h3>

tiệm cận tích phân loại Fourier< /h3>

Đối với phương pháp pha dừng, người ta nghiên cứu dáng điệu tiệmcận tích phân có dạng... xét khai triển tiệm cận tích phân

Ví dụ 1.1 Tìm khai triển tiệm cận tích phân

Từ phương. .. giới thiệu phương pháp đơn giảnnhất để xấp xỉ tích phân Fourier Như giới thiệu, việc xấp xỉ cáctích phân người ta thường nghĩ đến trước hết phương pháp tích phântừng phần Thế phương pháp thường