Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợi

Đầu những năm 1950, Arrow [4] và Debreu [8] đạt được bước tiếnquan trọng trong lí thuyết kinh tế học phúc lợi với những mô hình kinh tế có thể không lồi trên các dữ liệu lồi.. Dựa trên c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————–

NGUYỄN VĂN XÁ

NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG

TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————–

NGUYỄN VĂN XÁ

NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ VÀ ÁP DỤNG

TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội - 2013

Tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các cá nhân và các tập thể,trong đó có Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và Trường Trung họcPhổ thông Yên Phong số 2 (huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh) Đặc biệt,tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn PGS TS Nguyễn Quang Huyngười đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Văn Xá

Tôi xin cam đoan rằng nội dung của luận văn này không trùng lặpvới các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Văn Xá

R : Trường số thực

N = {1, 2, , n, } : Tập hợp tất cả các số nguyên dương

E : Không gian Banach trên trường số thực

E∗ : Không gian đối ngẫu (liên hợp) của không gian Banach E

BX : Hình cầu đơn vị đóng trong không gian X có tâm tại gốcint A, cl A, bd A : Lần lượt là phần trong, bao đóng, biên của tập A

u −→ x: Nghĩa là u → x và u, x ∈ ΩΩ

x → a+ hoặc x ↓ a: Nghĩa là x → a và x > a, với x, a ∈ R

x → a− hoặc x ↑ a: Nghĩa là x → a và x < a, với x, a ∈ R

Danh mục kí hiệu 3

Mở đầu 5

Chương 1 NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ 9

1.1 Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến 9

1.2 Các nguyên lí cực trị 30

Chương 2 ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI 38 2.1 Mô hình không lồi của kinh tế phúc lợi 38

2.2 Định lí phúc lợi tổng quát thứ hai 51

Kết luận 72

Tài liệu tham khảo 73

1 Lí do chọn đề tài

Mô hình cân bằng Walras cổ điển của kinh tế phúc lợi và mở rộng của

nó từ lâu đã được công nhận như là một phần quan trọng của lí thuyếtkinh tế và các ứng dụng Các khái niệm tối ưu Pareto và những biến thểcủa nó đóng một vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu về cân bằng vàtrợ giúp việc đưa ra các quyết định tốt nhất đối với các nền kinh tế cạnhtranh

Một cách tiếp cận cổ điển để nghiên cứu tối ưu Pareto trong các môhình kinh tế với dữ liệu trơn là đưa về các bài toán quen thuộc của quyhoạch toán học và sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc nhất với các nhân

tử Lagrange Theo cách này, các kết quả quan trọng đạt được trong thậpniên 30, 40 của thế kỉ trước chỉ ra rằng biên của các ước lượng thay thếđối với tiêu dùng và sản xuất là bình đẳng với nhau tại bất kì phân bổtối ưu Pareto của tài nguyên; xem [14, 21, 12]

Đầu những năm 1950, Arrow [4] và Debreu [8] đạt được bước tiếnquan trọng trong lí thuyết kinh tế học phúc lợi với những mô hình kinh

tế có thể không lồi trên các dữ liệu lồi Dựa trên các định lí tách cổ điểncho tập lồi, Arrow, Debreu và những người theo sau đã phát triển thànhmột lí thuyết đẹp trong toán học; đặc biệt là các điều kiện cần và đủcho phân bổ tối ưu Pareto, đồng thời chỉ ra rằng mỗi phân bổ như vậydẫn đến một trạng thái cân bằng trong mô hình kinh tế lồi Một kết quả

quan trọng của lí thuyết này được gọi là định lí cơ bản thứ hai của kinh

tế phúc lợi nói rằng bất kì phân bổ tối ưu Pareto đều có thể gắn với mộtvector giá khác không mà ở đó mỗi người tiêu dùng giảm thiểu chi phícủa mình và mỗi công ty tối đa hóa lợi nhuận của họ; xem [9] Tính lồicủa dữ liệu là một đòi hỏi căn bản trong mô hình Arrow-Debreu Lưu ýrằng các lí thuyết kinh tế của Arrow-Debreu và các kết quả toán học cóliên quan đã đóng một vai trò cơ bản trong sự phát triển của giải tíchlồi

Chúng ta biết rằng các giả thiết lồi thường là khó đạt được đối vớinhiều ứng dụng quan trọng Đặc biệt, những giả thiết này thường khôngđược thỏa mãn với sự gia tăng theo quy mô trong lĩnh vực sản xuất đãđược chỉ ra trong các tài liệu kinh tế Trong nghiên cứu tiên phong củaGuesnerie [11], một phiên bản tổng quát của định lí phúc lợi thứ hai

đã được thiết lập theo dạng điều kiện cần cấp một cho phân bổ tối ưuPareto đối với mô hình kinh tế không lồi Thay vì giả thiết tính lồi chocác tập sản lượng và ưu đãi ban đầu, Guesnerie chỉ đòi hỏi tính lồi đốivới các xấp xỉ tiếp tuyến địa phương của chúng và sau đó sử dụng định

lí tách cổ điển cho các nón lồi Cách tiếp cận này được triển khai dựatrên khái niệm nón chuyển vị phần trong của Dubovitskii và Milyutin[10] trong lí thuyết tối ưu hóa tổng quát

Cách tiếp cận của Guesnerie để nghiên cứu tối ưu Pareto trong môhình kinh tế không lồi sau đó đã được mở rộng và phát triển trong nhiều

ấn phẩm khoa học với không gian hàng hóa cả hữu hạn chiều và vô hạnchiều; xem, chẳng hạn, [5, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó Hầu

hết các ấn phẩm này sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến của Clarke [6]

mà như ta đã biết nó luôn là một nón lồi, và do đó ta có thể xử lí bằngcách sử dụng sự tách lồi cổ điển Với cách tiếp cận này, ta có biên giá làmột phần tử nằm trong nón pháp tuyến Clarke Tuy nhiên, trong nhiềutrường hợp nón này có thể là quá lớn đối với các mô hình không lồi như

đã được chỉ ra trong [12]

Trong bài báo vừa nêu, Khan [12] đã đạt được một phiên bản đầy

đủ hơn của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát cho nền kinh tế khônglồi với không gian hàng hóa hữu hạn chiều Trong phiên bản này, biêngiá là một phần tử của nón pháp tuyến không lồi Mordukhovich [16] màluôn chứa trong nón pháp tuyến Clarke và có thể nhỏ hơn thực sự trongnhiều trường hợp không lồi điển hình Cách tiếp cận của Khan không

sử dụng trực tiếp định lí tách lồi cổ điển nhưng đã được biến đổi đưa vềđiều kiện cần tối ưu trong quy hoạch không trơn do Mordukhovich xâydựng trong [17] Kết quả tương tự được thiết lập ở [17] với các mô hìnhkinh tế khác bằng cách sử dụng một chứng minh trực tiếp các điều kiệncần tối ưu cho các bài toán cực đại hóa tương ứng

Đề tài Nguyên lí cực trị và áp dụng trong kinh tế phúc lợinhằm nghiên cứu về tối ưu Pareto trong các mô hình kinh tế không lồitrên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng mà có thể được xem như là một

sự thống nhất của cả hai cách tiếp cận đã được thảo luận ở trên

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng khác nhau của định lí phúc lợi thứ hai tổng quáttrên cơ sở nguyên lí cực trị trừu tượng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nguyên lí cực trị, áp dụng nguyên lí cực trị để đưa radạng xấp xỉ và dạng chính xác của định lí phúc lợi thứ hai tổng quát

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu nguyên lí cực trị trong giải tích biến phân và ứng dụngcủa nó trong mô hình kinh tế phúc lợi có nền kinh tế không lồi với khônggian hàng hóa vô hạn chiều

5 Phương pháp nghiêm cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích, giải tích đa trị, giải tích biếnphân và lí thuyết tối ưu

NGUYÊN LÍ CỰC TRỊ

1.1 Một số kiến thức cơ sở về nón pháp tuyến

Cho E là một không gian Banach Tập K ⊂ E được gọi là một nóntrong E nếu với mọi x ∈ K, mọi số λ > 0, ta đều có λx ∈ K

Định nghĩa 1.1.1

Cho ánh xạ đa trị F : E ⇒ E∗ Giới hạn trên Painlevé-Kuratowskicủa ánh xạ đa trị F đối với cấu trúc tôpô sinh bởi chuẩn trong E và tôpôyếu* trong E∗ được xác định bởi

Ω ∩ U + tO ⊂ Ω + tC, ∀t ∈ (0, γ)

(ii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz địa phương tại điểm ¯xnếu tập compact C ở trên được chọn có duy nhất một phần tử

(iii) Tập Ω được gọi là epi-Lipschitz nếu nó là tập epi-Lipschitzđịa phương tại mọi điểm x ∈ Ω.

Dễ thấy, nếu Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x thì nó cũng là tậpCEL tại điểm đó

ra −c ∈ H(¯x; Ω) nên H (¯x; Ω) 6= ∅ Nếu H (¯x; Ω) 6= ∅ thì ∃y ∈ H(¯x; Ω)

và Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x với C ở định nghĩa lúc này đượcchọn là C = {−y} Trong [13], hai tác giả M.A.Khan và R.Vohra sửdụng tính chất này làm định nghĩa tính epi-Lipschitz địa phương của Ωtại ¯x

Ta nhận xét rằng nếu ¯x ∈ int Ω thì tồn tại ε > 0 sao cho ¯x + εBE ⊂ Ω.Chọn ε1 > 0, O = ε1BE, chọn ε2 ∈ (0, ε), U = ¯x + ε2BE ⊂ Ω, chọn tùy ý

Ta nhận thấy rằng nếu ϕ : E → R là hàm liên tục Lipschitz trên E,tức là tồn tại số thực L > 0 sao cho

|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ L kx − yk , ∀x, y ∈ E,thì tập

epi ϕ := {(z, α) ∈ E × R |α ≥ ϕ(z)}

là epi-Lipschitz trong không gian E × R Thật vậy, lấy tùy ý phần tử(¯z, ¯α) ∈ epi ϕ Trên E × R xét chuẩn tổng k(z, α)k = kzk + |α| và chọntập compact C = {(0, −L − 1)}, chọn lân cận tùy ý O của điểm (¯z, ¯α).Lấy tùy ý t > 0, với mọi phần tử

Ω ∩ (¯x + r1BE) + tr1BE ⊂ Ω + tv1, ∀t ∈ (0, γ) ,

suy ra ¯x − tv1+ tr1BE ⊂ Ω, ∀t ∈ (0, γ) , hay int Ω 6= ∅ Ngược lại, nếu tậplồi Ω có int Ω 6= ∅ và ¯x ∈ Ω thì có thể chọn v2 ∈ E sao cho ¯x + v2 ∈ int Ω(chẳng hạn, có thể chọn v2 = y − ¯x, trong đó y là phần tử tùy ý thuộcint Ω) Suy ra, tồn tại r2 > 0 sao cho ¯x + v2 + 2r2BE ⊂ Ω Mặt khác, vớimọi x ∈ ¯x + r2BE ta có

x + v2 + r2BE ⊂ ¯x + r2BE + v2 + r2BE = ¯x + v2 + 2r2BE ⊂ Ω

Do đó x + v2 + e ∈ Ω với mọi e ∈ r2BE Từ tính lồi của Ω ta suy rarằng với mọi x ∈ Ω ∩ (¯x + r2BE), t ∈ (0, 1) và e ∈ r2BE, x + t(v2 + e) =t(x + v2 + e) + (1 − t)x ∈ Ω Điều này suy ra rằng

x + t(v2 + r2BE) ⊂ Ω, ∀x ∈ Ω ∩ (¯x + r2BE), ∀t ∈ (0, 1) ,

và do đó

Ω ∩ (¯x + r2BE) + tr2BE ⊂ Ω + t(−v2), ∀t ∈ (0, 1) Vậy Ω là epi-Lipschitz địa phương tại ¯x ∈ Ω Hơn nữa, vì ¯x ∈ Ω tùy ýnên Ω là epi-Lipschitz

Giả sử Ω ∩ E là tập epi-Lipschitz và λ ∈ R, λ 6= 0, tập Ω1 là tập bất

kì Với mọi λ¯x ∈ λΩ, ở đó ¯x ∈ Ω, do Ω là tập epi-Lipschitz nên tồn tại

c ∈ E, tồn tại lân cận U của ¯x, tồn tại lân cận O của điểm gốc, tồn tại

số thực γ > 0 sao cho với mọi x ∈ Ω ∩ U thì x + te − tc ∈ Ω, ∀e ∈ O,

∀t ∈ (0, γ) Ta thấy λU là một lân cận của λ¯x ∈ λΩ, λO là một lâncận của điểm gốc, λc ∈ E Lấy tùy ý y ∈ (λΩ) ∩ (λU ) thì y = λx với

x ∈ Ω ∩ U Với mọi λe ∈ λO, với mọi t ∈ (0, γ) ta có y + tλe − tλc ∈ λΩ.Chứng tỏ

(λΩ) ∩ (λU ) + tλO ⊂ λΩ + tλc, ∀t ∈ (0, γ) ,

hay λΩ cũng là tập epi-Lipschitz Tương tự, nếu ¯z = ¯x+ ¯x1 ∈ Ω+Ω1, ¯x ∈

Ω, ¯x1 ∈ Ω1, thì U + ¯x1 là một lân cận của ¯z và với mọi z ∈ (Ω + Ω1) ∩(U + ¯x1) ta có z = x+ ¯x1, x ∈ Ω, và z+te−tc = (x+te−tc)+ ¯x1 ∈ Ω+Ω1,

Cho tập con khác rỗng Ω ⊂ E và số thực tùy ý ε ≥ 0

(i) Với mọi x ∈ Ω chúng ta định nghĩa tập các ε− pháp tuyếncủa Ω tại x bởi

Khi ε = 0, tập (1.1) là một nón được gọi là nón tiền pháp tuyếnhoặc nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x và kí hiệu là bN (x; Ω),mỗi phân tử của nó được gọi là một pháp tuyến Fréchet của Ωtại x Với những x /∈ Ω, ta đặt bNε(x; Ω) := ∅, ∀ε ≥ 0

(ii) Cho ¯x ∈ Ω Nón pháp tuyến cơ sở, hay nón pháp tuyếnqua giới hạn, hay nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại

(iii)Với ¯x ∈ Ω ⊂ E, nếu N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) thì ta nói tập Ω làchính quy theo pháp tuyến tại điểm ¯x.

Từ Định nghĩa 1.1.3 ta thấy, với mỗi ε ≥ 0, x ∈ Ω ⊂ E, U là một lâncận của x trong E thì bNε(x; Ω) = bNε(x; Ω ∩ U ) = bNε(x; cl Ω), bNε(x; Ω)

là tập lồi trong E∗, N (x; Ω) ⊂ N (x; clΩ)

Nhận xét rằng cả nón tiền pháp tuyến bN (.; Ω) và nón pháp tuyến

N (.; Ω) đều bất biến đối với các chuẩn tương đương trên E, trong khitập các ε− pháp tuyến lại phụ thuộc vào chuẩn cho trước trên E với

ε > 0 Giả sử trên E trang bị hai chuẩn tương đương là k.k1, k.k2 Tồntại các số dương λ, µ sao cho λk.k1 ≤ k.k2 ≤ µk.k1 Như thế

hx∗, u − ¯xiµku − ¯xk1 ≤ hx

∗, u − ¯xi

ku − ¯xk2 ≤ hx

∗, u − ¯xiλku − ¯xk1,

∀x∗ ∈ E∗, ∀u, ¯x ∈ Ω, u 6= ¯x, hx∗, u − ¯xi ≥ 0;

hx∗, u − ¯xiµku − ¯xk1 ≥ hx

∗, u − ¯xi

ku − ¯xk2 ≥ hx

∗, u − ¯xiλku − ¯xk1,

x∗ là một pháp tuyến cơ sở của Ω tại ¯x theo chuẩn k.k1 thì tồn tại cácdãy εk ↓ 0, xk −→ ¯Ω x, x∗k −→ xw∗ ∗ khi k → ∞, và

∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\ {¯x} , hx∗k, u − ¯xi ≥ 0,

và

hx∗k, u − ¯xiµku − ¯xk1 ≥ hx

∀k ∈ N, ∀u ∈ Ω\ {¯x} , hx∗k, u − ¯xi < 0,nên

Ta dễ dàng kiểm tra được tính đơn điệu của tập các ε− pháp tuyến,

pháp tuyến bN (¯x; Ω) và nón pháp tuyến N (¯x; Ω) ở Định nghĩa 1.1.3đều trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi

N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) = {x∗ ∈ E∗|hx∗, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω}

= {x∗ ∈ E∗|hx∗, xi ≤ hx∗, ¯xi , ∀x ∈ Ω}

= {x∗ ∈ E∗|hx∗, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U }

= {x∗ ∈ E∗|hx∗, xi ≤ hx∗, ¯xi , ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.4)(tức là x∗ ∈ N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) khi và chỉ khi phiếm hàm tuyếntính liên tục x∗ : E → R đạt cực đại trên Ω tại ¯x),

b

Nε(¯x; Ω) = {x∗ ∈ E∗|hx∗, x − ¯xi ≤ ε kx − ¯xk , ∀x ∈ Ω ∩ U } , ∀ε ≥ 0

(1.5)(iii) Nếu Ω là không gian tuyến tính con của không gian Banachthực E, ¯x ∈ Ω, thì

N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) = Ω⊥ := {x∗ ∈ E∗|hx∗, xi = 0, ∀x ∈ Ω} (1.6)(iv) Nếu a = (ai) = (a1, , an) ∈ Rn\ {0} và

N (¯x; Ω) 6= {0}

(vi) Nếu ¯x ∈ Ω ∩ bdΩ, Ω là tập lồi trong E và int Ω 6= ∅ thì

0 ∈ bN (¯x; Ω) và x∗ ∈ εBE∗ nên suy ra εBE∗ ⊂ bN (¯x; Ω) + εBE∗ Tương tựnhư thế, nếu x∗ ∈ εBE∗ + bN (¯x; Ω) thì x∗ = z∗ + y∗ với

và λ ↓ 0 thì xλ → ¯x Lấy tùy ý x∗ ∈ bNε(¯x; Ω) ta có

limsup

x λ Ω

Cho µ ↓ 0 và do u ∈ E tùy ý, ta thu được hx∗, ui ≤ ε kuk , ∀u ∈ E.Nghĩa là kx∗k ≤ ε hay bNε(¯x; Ω) ⊂ εBE∗ Theo chứng minh trên ta cób

Nε(¯x; Ω) ⊃ εBE∗ Vậy bNε(¯x; Ω) = εBE∗, ∀¯x ∈ intΩ, và (i) được chứngminh

(ii) Ta đặt M := {x∗ ∈ E∗|hx∗, x − ¯xi ≤ ε kx − ¯xk , ∀x ∈ Ω ∩ U } ⊂b

Nε(¯x; Ω ∩ U ) Với ¯x ∈ Ω và với mọi x ∈ Ω ∩ U , do Ω ∩ U là tập lồi trong

E nên xα := ¯x + α(x − ¯x) ∈ Ω ∩ U , ∀α ∈ [0; 1] Khi đó cho α ↓ 0 thì

xα → ¯x Nếu x∗ ∈ bNε(¯x; Ω ∩ U ) thì

limsup

x α Ω∩U

−−→x ¯

hx∗, xα− ¯xi

kxα− ¯xk ≤ ε,suy ra với mọi α > 0 đủ nhỏ và với mọi γ > 0 tùy ý thì

hx∗, α(x − ¯x)i = hx∗, xα− ¯xi ≤ (ε + γ) kxα − ¯xk = α(ε + γ) kx − ¯xk

⇒ hx∗, x − ¯xi ≤ (ε + γ) kx − ¯xk ,cho γ ↓ 0 ta được hx∗, x − ¯xi ≤ ε kx − ¯xk, ∀x ∈ Ω ∩ U Chứng tỏ

x∗ ∈ M Từ đó suy ra bNε(¯x; Ω ∩ U ) ⊂ M Vậy bNε(¯x; Ω ∩ U ) = M Mặtkhác bNε(¯x; Ω ∩ U ) = bNε(¯x; Ω) nên (1.5) được chứng minh Ở (1.5) cho

ε = 0 ta thu được

b

N (¯x; Ω) = {x∗ ∈ E∗|hx∗, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U }

= {x∗ ∈ E∗|hx∗, xi ≤ hx∗, ¯xi , ∀x ∈ Ω ∩ U } Bây giờ lấy tùy ý vector x∗ ∈ N (¯x; Ω) thì tồn tại các dãy εk ↓ 0, xk −→ ¯Ω x,

x∗k w

∗

−→ x∗ khi k → ∞, sao cho x∗k ∈ bNεk(xk; Ω), ∀k ∈ N Do U là mộtlân cận của ¯x nên xk ∈ Ω ∩ U với mọi k ∈ N đủ lớn Để ý Ω ∩ U là tậplồi, lập luận như trên ta có hx∗k, x − xki ≤ εkkx − xkk , ∀x ∈ Ω, ∀k ∈ N

đủ lớn Cho k → ∞ ta được hx∗, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U Dẫn tới

x∗ ∈ bN (¯x; Ω ∩ U ) Hay N (¯x; Ω) ⊂ bN (¯x; Ω ∩ U ) Mặt khác bN (¯x; Ω ∩ U ) =b

N (¯x; Ω) ⊂ N (¯x; Ω) nên bN (¯x; Ω) = N (¯x; Ω) Vậy (1.4) được chứng minh.Vì

Do Ω là không gian tuyến tính con nên từ hx∗, yi ≤ 0, ∀y ∈ Ω, ta có

hx∗, −yi ≤ 0, ∀y ∈ Ω, hay hx∗, yi ≥ 0, ∀y ∈ Ω Suy ra hx∗, yi = 0,

∀y ∈ Ω Vậy (1.6) được chứng minh

Nếu n > 1 thì khi đó từ a1x1 + + anxn = 0 suy ra

a1x2 + +

an

a1xn

với mọi

x2, , xn ∈ E) Với mỗi i ∈ {2, , n} ta cho tất cả x2, , xn bằng 0, chỉtrừ xi tùy ý thuộc E thì từ

E∗, thì hiển nhiên x∗ ∈ Ω⊥ Vậy

N (¯x; Ω) = bN (¯x; Ω) = Ω⊥ = {x∗ ∈ (E∗)n|x∗ = (aip∗), p∗ ∈ E∗} (v) Xem, chẳng hạn [13]

(vi) Áp dụng (v) với lưu ý rằng khi Ω là tập lồi trong E thì Ω làepi-Lipschitz khi và chỉ khi int Ω 6= ∅ Cũng có thể chứng minh (vi)bằng cách áp dụng Định lí Tách cho hai tập int Ω và {¯x}.

lim sup

(x 0 ,y 0 )−→Ω (0,0)

x∗x0+ y∗y0q

trong không gian Rn Đặt ¯x = (¯x1, , ¯xn) trong đó ¯xi = fi(t0), i =

1, , n Khi đó x∗ = (x∗1, , x∗n) ∈ bN (¯x; Ω) khi và chỉ khi

Ω =

(

x = (x1, , xn) ∈ Rn



(x1, , xn) ∈ Rn

N ((1, 0, 0, , 0); Ω) = bN ((1, 0, 0, , 0); Ω) = {(v, 0, 0, , 0) |v ≥ 0} Thật vậy, vì Ω là tập lồi nên N ((1, 0, 0, , 0); Ω) = bN ((1, 0, 0, , 0); Ω)

ở đó a = 1 nếu x∗i > 0, a = −1 nếu x∗i < 0 Vì

2atp1 + 2t2 ≤

... bNε(x; Ω) nên nguyên lí ε− cực trị đượcsuy từ ngun lí cực trị xấp xỉ với hệ thống cực trị trongkhơng gian Banach E

Xem xét hai phiên mờ (i) (ii) nguyên lí cực trị cho trườnghợp với... vậy, phiên ε− cực trị phiên cực trị xấp xỉ cungcấp tách gần tập lồi Ω1, Ω2 gần ¯x: Nếu nguyên lí ε− cực trịhoặc nguyên lí cực trị xấp xỉ giữ lại với hệ thống cực trị {Ω1,... Asplund

(b) Ngun lí cực trị xấp xỉ thỏa mãn E

(c) Nguyên lí ε− cực trị thỏa mãn E

Trong không gian Asplund, nguyên lí ε− cực trị nguyên lí cực trịxấp xỉ ln thỏa mãn Nhưng tính