Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Sự ra đời của phương trình vi phâncũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiênliên tục, được biểu diễn bằng hàm yx và bên còn lại là độ biến thiêncủa đại lượng đó

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Bắc Cường

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Khai triển tiệmcận và áp dụng trong việc giải phương trình vi phân thường”được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Bắc Cường

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân thường 4

1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân thường 4

1.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân 5

1.1.3 Bài toán Cauchy 5

1.2 Khai triển tiệm cận 13

1.2.1 Một số khái niệm về “không” bậc 13

1.2.2 Dãy tiệm cận 15

1.2.3 Khai triển tiệm cận 16

Chương 2 Áp dụng khai triển tiệm cận giải phương trình vi phân thường 22

2.1 Phương trình vi phân thường cấp một 24

2.1.1 Tiệm cận tại các điểm chính quy 24

2.1.2 Tiệm cận tại các điểm kì dị 26

2.2 Phương trình vi phân thường cấp hai và các lớp biên 31

2.2.1 Khai triển ngoài 34

2.2.2 Khai triển trong 34

2.2.3 Các điều kiện tương thích 38

2.2.4 Khai triển tiệm cận tương thích (Matched asymptotic sions) 42

expan-2.3 Một số ví dụ 43Kết luận 46Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình vi phân là một phương trình toán học biểu diễn mối quan

hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó(có bậc khác nhau) Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong

kỹ thuật, vật lý, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác Trước hết, chúng ta xétphương trình vi phân đơn giản dưới dạng

y0(x) = dy

dx.Trong phương trình trên, nếu y(x) biểu diễn cho vận tốc của một chuyểnđộng thì y0(x) là gia tốc của chuyển động của nó (là đại là đại lượng đặctrưng cho độ biến thiên vận tốc) Sự ra đời của phương trình vi phâncũng xuất phát từ việc xác định giữa một bên là đại lượng biến thiênliên tục, được biểu diễn bằng hàm y(x) và bên còn lại là độ biến thiêncủa đại lượng đó được biểu diễn qua các mối liên quan với các đạo hàmbậc nhất hoặc các đạo hàm cấp cao hơn Điều này được thể hiện rõ từviệc nghiên cứu trong cơ học cổ điển qua Định luật Newton về xác định

vị trí của một chuyển động dựa vào vận tốc, gia tốc và một số tác độngđược biểu diễn dưới dạng đạo hàm theo biến thời gian

Đối với các phương trình đại số nghiệm cần tìm thường nhận được là giátrị số cụ thể Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân nghiệm cần tìm

là hàm chưa biết của các biến độc lập thỏa mãn mối quan hệ đề ra Do

tính quan trọng của các vấn đề thực tiễn liên quan đến lĩnh vực này, cácnhà Toán học đã xây dựng được một phần lý thuyết khá hoàn chỉnh vềphương trình vi phân thường và một lĩnh vực mới còn đang được quantâm mạnh mẽ về phường trình vi phân đạo hàm riêng Ngoài những vấn

đề mang tính căn bản trên đây, nhiều bài toán thực tiễn liên quan đếnlĩnh vực này không được giải quyết đơn thuần như vậy Theo xu hướngđược đặt ra từ thực tế, người ta rất quan tâm đến việc xử lý đối vớinghiệm của bài toán thuộc lĩnh vực này trong điều kiện chịu nhiều tácđộng ảnh hưởng khác Xử lý các bài toán thuộc dạng này, thường người

ta gọi chung một phương pháp “Xử lý nghiệm của phương trình vi phândưới dạng tiệm cận”

Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từcác công trình tính toán của L Euler Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cậnmới được xây dựng một cách hệ thống bởi T J Stieltjes và H Poincaré.Một trong các hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệmcận Trong đó, người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởicác dãy hàm tiệm cận Thường thì các hàm đó được biểu diễn dưới dạngtích phân, chuỗi lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình

vi phân

Giải tích tiệm cận là một ngành quan trọng của toán học ứng dụng và

có nội dung khá rộng Trong đó phương pháp khai triển tiệm cận đã vàđang được nhiều nhà Toán học nghiên cứu, đặc biệt là tính ứng dụngcủa nó trong việc giải quyết các bài toán

Với những lý do trên, được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào,

tôi chọn đề tài “Khai triển tiệm cận và áp dụng trong việc giảiphương trình vi phân thường” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ trongkhóa đào tạo thuộc chuyên ngành này.

2 Mục đích nghiên cứu

Xử lý nghiệm của phương trình vi phân thường dưới dạng tiệm cận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phânthường

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp tiệm cận xử lý nghiệm của phương trình vi phân thườngcấp một và cấp hai

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứutổng quan về phương pháp tiệm cận đối với phương trình vi phân thường

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Tổng quan phương pháp tiệm cận giải phương trình vi phân thường

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi

phân thường

1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp caonhất y(n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được đốivới y(n) hoặc ta còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phươngtrình (1.1) có dạng

Ví dụ 1.1 Phương trình vi phân cấp hai

y00 − 4y0 + 5y = exsin x

1.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng(a, b) nào đó thỏa mãn phương trình đã cho, tức là

1.1.3 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y = y(x) với biến độc lập x thuộc khoảng (a, b)nào đó, của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện

yo = y (xo) , yo0 = y0(xo) , , y(n−1)o = y(n−1)(xo) (1.3)được gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.3) được gọi là điều kiện đầucủa bài toán Cauchy

Định lý 1.1 (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình viphân cấp n dạng chính tắc

y(n−1) − y0(n−1)

≤ b

(a, b là những số dương), hàm f thỏa mãn hai điều kiện

1) f x, y, y0, , y(n−1)
≤ M với mọi x, y, y0, , y(n−1)
∈ D;

2) hàm số f x, y, y0, , y(n−1)
thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với

y, y0, , y(n−1) nghĩa là, tồn tại hằng số dương L sao cho

Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình thỏa mãnđiều kiện ban đầu (1.3) cùng với đạo hàm của nó đến cấp xác định nliên tục trong đoạn

|x − x0| ≤ h,trong đó

h = min



a, b

hmax



M, |y0| , ,

y(n−1)

≤

≤ M N

2

1 · 2

... kiện nêu Ta dễ dàng nhận thấy nghiệm phương trình viphân (1.4) thỏa mãn điều kiện đầu y0(x) = y0 tương đương với phươngtrình tích phân sau