Khảo sát sự suy giảm và thăng giáng trong quang học lượng tử

Chẳng hạn như trong sự chuyển của nguyên tử từ trạng thái kích thích về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn hay sự phân rã của trường phát xạ bên trong hộp cộng hưởng với các gương phả

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huy Công, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tôi rất nhiều về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu đề tài để tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, Ban chủ nhiệm phòng đào tạo sau Đại học, chủ nhiệm chuyên ngành TS Nguyễn Huy Bằng, TS Nguyễn Văn Phú cùng các thầy cô của trường Đại Học Vinh đã giúp đỡ, giảng dạy và có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn cảm ơn Ban giám hiệu và Tập thể các thầy cô giáo Trường Đại Học Sài Gòn đã giúp đỡ quý báu cho tôi trong quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người thân, những đồng nghiệp và tập thể anh chị em học viên lớp cao học 19 quang học đã dành tình cảm, động viên giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn

Sài gòn, tháng 6 năm 2013

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn

Mở đầu ……… 4

Chương 1: Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển……….6

1.1 Khái niệm về sự suy giảm……… 6

1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên……….6

1.3 Các hàm tương quan cổ điển ……… 7

1.3.1 Hàm tương quan……… 7

1.3.2 Hàm tương quan cổ điển……… 9

1.4 Chuyển động Brown……… 9

1.4.1 Khái niệm chuyển động Brown……… 9

1.4.2 Phương trình Langevin……… 11

1.4.3 Mẫu Boltzmann – Lorentz………16

1.5 Phương trình Fock-Planck cổ điển……… 19

Kết luận chương 1……… 23

Chương 2 Sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng lượng tử…… 24

2.1 Khái niệm về các thăng giáng lượng tử………24

2.1.1 Thăng giáng lượng tử……… 24

2.1.2 Các hàm tương quan lượng tử………24

2.1.2.1 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu trắng……….25

2.1.2.2 Hàm tương quan lượng tử của các nhiễu màu (nhiễu telegraph)… 25

2.2 Dạng lượng tử của Phương trình Langevin và phương trình Fock-Planck 27

2.2.1 Dạng lượng tử của phương trình Langevin ………27

2.2.2 Dạng lượng tử của phương trình Fock-Planck……… 31

2.3 Ma trận mật độ và phương trình ma trận mật độ đối với trường được lượng tử hoá……… 33

2.3.1 Ma trận mật độ………33

2.3.2 Phương trình ma trận mật độ……… 34 2.3.3 Phương trình ma trận mật độ đối với trường đã được lượng tử hoá… 36 Kết luận của chương 2……… 42

Kết luận văn……… 43 Tài liệu tham khảo………44

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, trong quang lượng tử, sự suy giảm đóng một vai trò rất quan trọng Chẳng hạn như trong sự chuyển của nguyên tử từ trạng thái kích thích về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn hay sự phân rã của trường phát

xạ bên trong hộp cộng hưởng với các gương phản xạ không hoàn toàn thì khi đó các thông số của hệ lượng tử có sự tiến hóa, cụ thể là xuất hiện sự suy giảm do quá trình tương tác của hệ với môi trường Sự thay đổi đó được phản ánh trong các phương trình chuyển động của các thông số của hệ với các thông số xác định của môi trường

Vấn đề mà chúng ta đặt ra là khảo sát sự suy giảm của chuyển động của các phân tử, nguyên tử (hạt vật chất) trong môi trường Môi trường đó có thể là một môi trường thuần tuý cổ điển cũng có thể là một môi trường đã được lượng tử hoá Trường hợp môi trường được mô tả thuần túy cổ điển, đã có nhiều nghiên cứu đề cập đến vấn đề suy giảm này Chẳng hạn như việc nghiên cứu chuyển động của các hạt vật chất trong chất lỏng (chuyển động Brown)

Khi xét chuyển động của các hạt vật chất, chúng ta quan tâm đến những lực

có tác dụng gây nên sự thay đổi chuyển động của hạt đó Sự thay đổi này xẩy ra một cách hết sức ngẫu nhiên cả về hướng cũng như cả về độ lớn Đối với trường hợp các hạt chuyển động theo các quy luật cổ điển, tức là chuyển động theo các quỹ đạo cụ thể, chúng ta đã có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến Trong lý thuyết cổ điển, người ta đã thiết lập được các phương trình mô tả quy luật thay đổi của các thông số cổ điển dưới tác dụng của các lực cổ điển Tuy nhiên, hiện tượng suy giảm này xẩy ra như thế nào khi môi trường mà chúng ta khảo sát đã được lượng tử hóa

Trong luận văn này, ngoài việc trình bày về lý thuyết suy giảm cổ điển khi môi trường còn được xem là môi trường cổ điển, tức là chưa được lượng tử hoá, chúng tôi sẽ đề cập đến sự suy giảm khi có mặt môi trường đã được lượng tử hoá

và tính toán về những sự thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệ lượng tử khi

có mặt của các môi trường này

Đồng thời luận văn tập trung khảo sát ma trận mật độ cũng như phương trình ma trận mật độ cho trường hợp đại lượng vật lý, cụ thể ở đây là cường độ trường điện, được xem xét theo quan điểm lượng tử, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng toán tử Ngoài ra, luận văn đề cập đến việc giải phương trình ma trận mật độ và tìm ra dạng tường minh của ma trận mật độ ứng với một trạng thái lượng tử cụ thể của trường điện từ Được thông qua cấu trúc luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 - đề cập đến những vấn đề chung của sự suy giảm và thăng giáng của các đại lượng cổ điển

- Khảo sát chuyển động Brown, thiết lập phương trình Langevin đối với chuyển động brown, mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz

- Khảo sát phương trình Fock – Planck cũng như nghiệm của phương trình này đối với trường hợp suy giảm của trường điện khi có sự va chạm với các phần tử của môi trường dẫn

Chương 2 - của luận văn, chúng tôi đề cập đến sự suy giảm của các đại lượng

Chương 1

SỰ SUY GIẢM VÀ THĂNG GIÁNG CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG CỔ ĐIỂN

1.1 Khái niệm về sự suy giảm

Như chúng ta đã biết, khi khảo sát các thông số của một đại lượng vật lý nào

đó, chúng ta phải xét đại lượng đó nằm trong một mối quan hệ nào đó với các đối tượng xung quanh (tức là đối với một môi trường vật chất nào đó) Không gian chứa đựng các đối tượng xung quanh đó, thông thường, trong nhiệt động học, không gian đó được gọi là bể nhiệt; còn lại nói chung, không gian đó chứa một môi trường vật lý nào đó Chẳng hạn, đại lượng vật lý đó có thể là một vật

có khối lượng chuyển động trong trường hấp dẫn của quả đất (trường hấp dẫn) hay đại lượng vật lý đó có thể là một điện tích chuyển động trong trường điện từ, v.v

Dĩ nhiên khi một đại lượng vật lý nào đó, chuyển động trong một môi trường vật chất, nó sẽ tương tác với các hạt vật chất của chính môi trường đó Kết quả của sự tương tác đó là các thông số của đại lượng đó được thay đổi theo thời gian Chẳng hạn do va chạm với các phân tử trong chất lỏng mà một hạt vật chất chuyển động trong chất lỏng sẽ bị giảm tốc độ Thậm chí nếu mật độ phân tử của môi trường khá dầy đặc thì hạt vật chất đó hầu như không thể chuyển động được nữa Nghĩa là, các thông số đặc trưng cho chuyển động của hạt vật chất bị suy giảm Sự suy giảm đó là nhiều hay ít, phụ thuộc vào chính môi trường đó, tức là phụ thuộc vào trường vật lý mà trong đó hạt vật chất tồn tại

1.2 Khái niệm về các thăng giáng ngẫu nhiên

Một trong những vấn đề quan trọng nhất của quang học lượng tử là nghiên cứu tương tác của hệ lượng tử với trường ánh sáng kích thích Khảo sát sự tương tác này, chúng ta tìm được sự thay đổi theo thời gian của các thông số đặc trưng của hệ lượng tử thông qua việc giải phương trình chuyển động Phương trình này, dưới dạng ma trận, được biểu diễn như sau:

( ) MV(t)

dt t

dV = (1.1)

trong đó V là một véc tơ Bloch chứa một số thông số của hệ lượng tử M là một ma trận có các thành phần là các đại lượng như tần số Rabi (Ω), độ lệch tần (∆) và các hệ số Einstein ( )A đặc trưng cho sự phân rã ngẫu nhiên.

Phương trình này có dạng giống như phương trình Bloch trong cộng hượng thuận từ nên có tên gọi là phương trình quang học Bloch [1]

Như chúng ta đã biết, trong hệ lượng tử có rất nhiều mức năng lượng Nếu để ý đến tất cả các mức năng lượng, chúng ta sẽ vấp phải khó khăn về mặt toán học

và khó có thể giải được một cách giải tích Để có thể giải được phương trình quang học Bloch một cách giải tích, chúng ta phải sử dụng điều kiện gần đúng,

đó là xem hệ nguyên tử chỉ là một hệ nguyên tử hai mức

Với việc sử dụng điều kiện gần đúng hai mức này, chúng ta dễ dàng khảo sát được ảnh hưởng của các thăng giáng của trường kích thích lên các thông số của

hệ lượng tử một cách định lượng Những kết quả thu được từ điều kiện gần đúng này vẫn giúp chúng ta thu được những kết quả thực nghiệm khá phù hợp với thực nghiệm và cho phép chúng ta giải thích và hiểu thêm được nhiều bản chất vật lý liên quan đến các sự kiện thực nghiệm đó

1.3 Các loại hàm tương quan cổ điển

1.3.1 Hàm tương quan

Giả sử x là một biến số ngẫu nhiên Hàm số f(x) được gọi là một hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phgụ thuộc đơn giá vào biến số x Nghĩa là ở một giá trị của x, hàm f(x) có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau Khi đó ta chỉ

có thể nói về xác suất để ở giá trị x cho trước, f(x) có giá trị nằm trong khoảng từ f(x) đến f(x) + df(x) là bao nhiêu Nếu đại lượng ngẫu nhiên x là hàm của thời gian thì khi đó quá trình được mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian (thông thường được gọi một cách ngắn gọn là quá trình ngẫu nhiên) Đại lượng quan trọng nhất, đặc trưng cho một quá trình ngẫu nhiên là hàm tương quan của

đại lượng ngẫu nhiên

Hàm tương quan K(τ ) được định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàm

ngẫu nhiên ở hai thời điểm khác nhau t và t' (t'=t+τ ) [3]:

K

0

) ( ) (

1 lim )

( τ τ (1.2)

Hay:

K( τ ) =< f(t)f(t+ τ ) > (1.3)

ở đây đại lượng τ có thể nhận giá trị âm hay dương.

Như vậy hàm tương quan chính là số đo định lượng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau Nếu τ đủ lớn để các giá trị

của hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t và t+τ không phụ thuộc vào nhau thì:

K( τ ) =< f(t)f(t+ τ ) >=< f(t) >< f(t+ τ ) >= 0 (1.4)Còn khi τ = 0 thì:

K( 0 ) =< f2 (t) > (1.5) Nghĩa là K(τ ) trùng với trung bình của bình phương hàm ngẫu nhiên f (t) Dạng cụ thể của hàm tương quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên Ta có thể khai triển hàm ngẫu nhiên f (t) qua tích phân Fourier:

) ( )

(t f ω iωt dω

f (1.6)Khi đó ta biểu diễn < f2 (t) > dưới dạng:

exp )

exp 4

1 ) ( )

Thay t′ =t+ τ vào (1.10) và biến đổi ta được:

ω τ τ δ ω ω τ

π ω

2

1 ) ( )

2 (1.12)

So sánh (1.12) với (1.7) ta rút ra:

π τ τ ωτ π

1 )

( ) exp(

2

1 )

1.3.2 Hàm tương quan cổ điển

Nếu đại lượng chúng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng cổ điển (vĩ mô) thì chúng ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan cổ điển Chẳng hạn chúng ta cần xác định hàm tương quan của cường độ dòng điện

ở hai thời điểm gần nhau thì đại lượng I( ) ( )t I 't được gọi là hàm tương quan cổ điển

1.4 Chuyển động Brown

1.4.1 Khái niệm về chuyển động Brown

Trong trường hợp khi hạt chuyển động trong chất lỏng, vận tốc của hạt bị giảm đi do một lực cản tỷ lệ với vận tốc của hạt Khi nghiên cứu kỹ lưỡng chuyển động của hạt như vậy chúng ta thấy rằng hạt đó thực hiện một chuyển động hỗn loạn Hiện tượng này lần đầu tiên được quan sát bởi nhà sinh vật học

R Brown Vì thế mà nó có tên gọi là chuyển động Brown.[4]

Theo Albert Einstein, nguyên nhân của việc hình thành chuyển động Brown

(chuyển động lộn xộn của một hạt nhỏ xíu trong một chất lỏng) là do nhiều “cú sút” nhỏ mà hạt phải nhận lấy là hệ quả của chuyển động nhiệt của chất lỏng Ban đầu, Einstein và những nhà vật lí khác tin rằng những cú sút này là độc lập với chuyển động của hạt và được đặc trưng bởi sự nhiễu trắng Tuy nhiên, vào

giữa thế kỉ 20, các nhà vật lí bắt đầu nhận ra rằng khi mật độ của hạt và của chất lỏng bằng nhau, thì những cú sút đó không hoàn toàn ngẫu nhiên nữa Thậy vậy, người ta dự đoán có những “tương quan bền bỉ” giữa chuyển động của chất lỏng

và hạt Những tương quan này phát sinh do các hạt chuyển động trong một chất lỏng sẽ làm cho chất lỏng xung quanh chuyển động, thành ra sẽ ảnh hưởng đến chuyển động của hạt

Hình 1.1- Ảnh minh họa một quả cầu nhỏ xíu (ở giữa) được giữ bởi những nhíp quang học và chịu những cú sút ngẫu nhiên từ chất lỏng xung quanh (Ảnh: Alain Doyon và Sylvia Jeney)

Thí dụ, một người đang bơi ở một tốc độ không đổi sẽ đẩy một phần nước xung quanh đi cùng với người đó Nhưng nếu người đó dừng lại đột ngột, thì người đó sẽ chịu một lực đẩy về phía trước từ khối nước đang chuyển động Các nhà nghiên cứu gọi đây là “bộ nhớ thủy động lực học”, nhưng người ta vẫn khó quan sát thấy nó vì những hạt nhỏ xíu chịu sự chuyển động Brown

Trong khuôn khổ chuyển động Brown, thăng giáng nhiễu trắng có nghĩa là hạt thăng giáng với cường độ (hay năng lượng) như nhau, bất kể tần số các thăng giáng là khác nhau Tuy nhiên, các thí nghiệm của Jeney cho thấy những tần số cao thật sự có độ lớn thăng giáng cao hơn – nghĩa là sự nhiễu không còn trắng nữa mà đã có màu [2].

Xét hệ gồm hạt và môi trường (thông thường được gọi là bể nhiệt) Bể nhiệt này gây nên hai hiện tượng:

1 Làm giảm vận tốc chuyển động của hạt;

2 Tạo nên những thăng giáng thống kê (ngẫu nhiên);

Như vậy là bể nhiệt đóng một vai trò quan trọng trong

khi xét đến chuyển động của một hạt nào đó tồn tại trong nó

1.4.2 Phương trình Langevin

Để đơn giản ta xét chuyển động Brown một chiều Giả sử hạt có khối lượng

m, ở thời điểm t hạt có vận tốc v Dưới ảnh hưởng của ngoại lực, hạt có gia ( )t

tốc được xác định từ phương trình Newton [5]:

( ) K( )t

dt

t dv

Đại lượng ϕ đặc trưng cho độ lớn của lực, còn ( )±1 chỉ hướng tác động lên hạt

m ở thời điểm t Ta giả thiết va đập về bên trái và bên phải xảy ra cùng tần số

Khi đó căn cứ vào tính thống kê, việc lấy trung bình theo các va đập sẽ dẫn đến kết quả:

F VC( )t =0 (1.18) Tuy nhiên, để đưa được ảnh hưởng của các va đập này vào trong phương trình diễn tả sự thay đổi trạng thái chuyển động của hạt, chúng ta thay việc lấy trung bình này bằng việc lấy trung bình của đại lượng bình phương của lực (1.18) Nói cách khác, chúng ta xét đến đại lượng bậc 2 của lực F VC( )t , tức là xét đến hàm

tương quan của lực này F VC( ) ( )t F VC 't Để cho đơn giản, như ở trên chúng ta đã

đề cập là chúng ta giả thiết nhiễu gây bởi va đập là nhiễu trắng, tức là nhiễu có cường độ như nhau ở các thời điểm khác nhau:

F VC( ) ( )t F VC t' =Cδ(t−t') (1.19)Như vậy hằng số C tỷ lệ với ϕ2 tức là tỷ lệ với độ lớn của lực

Kết quả lực K( )t trong (1.15) chính là tổng hợp của hai lực: lực cản (1.19) và

lực va chạm ngẫu nhiên (1.17) Nghĩa là:

( ) v( )t F ( )t

dt

t dv

m =−γ0 + VC (1.20) Chia hai vế cho m và đưa vào các ký hiệu:

( ) ( )

m

t F t F m

VC

=

=γ0 ;

γ (1.21)Chúng ta có:

( ) v( )t F( )t

dt

t dv

+

−

= γ (1.22)Phương trình này được gọi là phương trình Langevin

Sử dụng (1.21), các giá trị trung bình (1.18) và hàm tương quan (1.19) được thay thế bằng:

F( )t =0 và F( ) ( )t F t' =Qδ(t −t') (1.23)

ở đây Q đặc trưng cho độ lớn của thăng giáng.

Phương trình (1.22) chính là phương trình vi phân bậc nhất, nghiệm của nó có dạng [2]:

t Ở những thời điểm dài sau đó (t→∞), số hạng thứ 2 của (1.24) có thể bỏ

qua Tiếp theo lấy trung bình theo tất cả các va chạm và sử dụng (1.23), ta có:

v( )t =0 (1.25) Chính vì thế ta có thể kết luận: vận tốc trung bình bằng 0 Mặt khác theo quan điểm vi mô, chúng ta thấy rằng, hạt liên tục va chạm, sau mỗi va chạm, hạt có một vận tốc nào đó theo một hướng nào đó Sự bằng 0 của vận tốc trung bình được suy ra từ điều là khi ta lấy vận tốc trung bình, các vận tốc theo chiều dương

và theo chiều âm sẽ làm triệt tiêu lẫn nhau Trong trường hợp như vậy, như đã lập luận ở trên, để thu được số đo thực tế của giá trị vận tốc, chúng ta phải thiết lập biểu thức để trong đó dấu của vận tốc (tức là chiều của vận tốc) không còn ý nghĩa nữa Biểu thức đơn giản nhất của loại đó là v2( )t

Một vấn đề mà chúng

ta quan tâm là giá trị của chính vận tốc tại một thời điểm được bảo toàn trong thời gian bao lâu? Tức là chúng ta quan tâm đến một đại lượng tổng quát hơn:

v( ) ( )t v 't (1.26)

Đây chính là hàm tương quan của vận tốc [3]

Khi t'=t thì chúng ta nhận được số đo vận tốc không phụ thuộc vào dấu, khi

Khi t và 't khác nhau rất xa, ta có thể xem hạt ở thời điểm t không thể “nhớ” được vận tốc của nó ở thời điểm 't vì trong khoảng thời gian đó hạt đã thực hiện

vô số lần các va chạm dẫn đến vô số lần thay đổi giá trị của vận tốc

Trong trường hợp như vậy, vận tốc ở thời điểm t và vận tốc ở thời điểm 't là

hoàn toàn độc lập thống kê Khi đó theo lý thuyết thống kê, chúng ta có:

v( ) ( )t v t' = v( ) ( )t v t' (1.27) Mặt khác, như trên chúng ta đã thấy khi t→∞ thì theo (1.26), v( )t =0 nên (1.30) sẽ bằng 0 khi t− 't lớn Điều này có nghĩa rằng đối với những khoảng thời gian lớn, thì giữa các giá trị của đại lượng vật lý ở các thời điểm khác nhau

sẽ chẳng có mối liên hệ (mối tương quan) gì với nhau cả Tuy nhiên, khi t và 't

khác nhau không nhiều thì chúng ta chờ đợi hàm tương quan (1.27) sẽ thay đổi một cách liên tục khi đi từ t −t'=0 đến t − 't=∞

Chúng ta sẽ khảo sát kỹ về sự thay đổi này

Muốn vậy, sử dụng nghiệm (1.26), chúng ta có hàm tương quan:

v( ) ( )t v t = ∫ ∫t t [− (t − ) ]F( )d [− (t− ) ]F( )d

0 '

= ∫ ∫t t [− (t +t− − ) ] F( ) ( )F d d

0 '

'exp

22

'exp

γτγτγ

Xét trường hợp giới hạn

γ

1'>>

+t

γ

1'<<

γ (1.28)

Biểu diễn qua đồ thị, ta có:

biểu diễn vận tốc của hạt chuyển động Brown giảm theo hàm mũ

Như vậy là hàm tương quan của vận tốc của hạt thực hiện chuyển động Brown giảm theo hàm mũ Biểu thức (1.28) cho phép ta xác định được độ lớn của giá trị bình phương trung bình của vận tốc, đồng thời chỉ rõ sự tương quan kết hợp giữa các vận tốc Rõ ràng sự tương quan kết hợp của vận tốc suy giảm theo hàm mũ với hằng số suy giảm là 1/γ Nghĩa là sau thời gian t −t'=1/γ , biên độ của

thăng giáng giảm đi chỉ còn lại ½ giá trị ban đầu

Từ biểu thức (1.28) thay thấy khi t t≠ ' thì:

( )2 /2γ

Q t

v = (1.29)

Để tìm hiểu mối liên hệ giữa thăng giáng và sự suy giảm của vận tốc, tức là sự suy giảm của động năng ứng với chuyển động của hạt, chúng ta nhân (1.29) với 2

v m

42

= (1.30)

Ở đây, vế trái là động năng trung bình của hạt Ta giả thiết hạt ở trạng thái cân bằng nhiệt động với môi trường Khi đó, theo nhiệt động lực học, động năng ứng với một bậc tự do ở trạng thái bân bằng nhiệt động tương ứng với nhiệt độ T là

1.4.3 Mẫu Boltzmann – Lorentz

Trong công trình nghiên cứu về sự mở rộng vạch phổ do va chạm [6],

Rautian và Sobelman đã trình bày sự phân tích về việc xuất hiện đồng thời của các hiệu ứng tương tác và sự thay đổi vận tốc thông qua việc lấy gần đúng tuyến tính phương trình Boltzmann từ lý thuyết động học Vấn đề cốt lõi của va chạm trong phương trình Boltzmann được nghiên cứu dựa trên hai mẫu như sau:

- Mẫu va chạm yếu, áp dụng cho trường hợp các phân tử của môi trường phát

xạ (emiter) là nặng hơn so với các phân tử của môi trường (perturber) Khi đó người ta giả thiết là sự thay đổi vận tốc của phân tử emiter là rất nhỏ sau mỗi va chạm

- Mẫu va chạm mạnh, áp dụng cho trường hợp khi phân tử của emiter là nhẹ hơn nhiều so với phân tử của môi trường (perturber) Khi đó, hiệu ứng va chạm xẩy ra rất mạnh và vận tốc của phân tử emiter sau va chạm thay đổi (cả về hướng lẫn độ lớn) không phụ thuộc vào vận tốc trước va chạm

Trong công trình [7] người ta đã nghiên cứu mẫu Boltzmann – Lorentz (từ

lý thuyết động học) để phân tích sự mở rộng do va chạm Mẫu này hoàn toàn tương tự như mẫu va cham mạnh ở trên của Rautian và Sobelman khi áp dụng cho trường hợp phân tử emiter nhẹ hơn phân tử của perterber

Trong mẫu Boltzmann – Lorentz (B-L), độ lớn của vận tốc được xem là không đổi giữa các va chạm, chỉ có hướng của vận tốc là thay đổi sau mỗi va chạm mà thôi Ngoài ra, tốc độ mà ở giá trị đó, phân tử phát xạ (emiter) va chạm được xem như là một biến số động lực, vì thế nó phụ thuộc vào vận tốc tức thời của phân tử emiter Tính chất này hoàn toàn khác so với mẫu va chạm mạnh, trong đó tốc độ liên kết chính là tốc độ được lấy trung bình Tốc độ trung bình này chính là nghịch đảo của thời gian tự do trung bình giữa các va chạm

Hiện tại, mẫu Boltzmann – Lorentz được sử dụng để nghiên cứu các hiệu ứng tương tác trong sự mở rộng vạch phổ Trong quang lượng tử, toán tử gây nên sự mở rộng vạch phổ được gọi tắt là LBO (Line Broadening Operator) Theo quan điểm thuần tuý toán học, LBO đóng vai trò như là ma trận suy giảm ngẫu nhiên ∑ [6] Sự khác nhau ở đây là về phương diện vật lý ở chỗ tính thống kê không liên quan đến trường ngoài mà là liên quan đến phương trình động học mô tả va chạm tương ứng Khi đó, ta có thể xem phương trình đối với các thông số của nguyên tử hai mức chịu tác dụng của va chạm và được kích thích bởi ánh sáng được mô tả bởi phương trình quang học Bloch hiệu dụng, trong đó LBO sẽ đóng vai trò là ma trận suy giảm Khi đó chúng ta thấy rằng mẫu ngẫu nhiên của thăng giáng được thể hiện thông qua mẫu xung telegraph liên quan khá chặt chẽ với các phương trình động học Boltzmann – Lorentz Việc mô tả thống kê tính chất của va chạm được giải thích như sau:

Các phân tử emiter ở trong một trạng thái nguyên tử nào đó dịch chuyển với một vận tốc nào đó trong trường của ánh sáng laser kích thích Do kết quả của hiệu ứng Doppler, tần số chuyển mức cộng hưởng của nguyên tử hai mức thay đổi Chúng ta giả thiết rằng va chạm giữa các phân tử của emiter và các phân tử của trường chỉ làm thay đổi hướng của vận tốc còn độ lớn của vận tốc thì vẫn được giữ nguyên không đổi Điều này có nghĩa là độ lệch tần giữa tần số chuyển

mứ và tần số của trường kích thích thay đổi là do kết quả của va chạm Ta có thể biểu diễn sự thay đổi đó về mặt toán học như sau:

∆ =(ω0 − ωL)+x(t) = ∆0 +( )v = ∆0 +kvcos ϑ = ∆0 +kvξ (1.33)Tiếp theo, ta giả thiết rằng sau mỗi va chạm, biến số ξ thay đổi một cách

ngẫu nhiên Nếu giả thiết sau mỗi va chạm, vận tốc đổi hướng ngược lại (quay

một góc 180 0) thì thăng giáng do va chạm kvcos ϑ (nhiễu va chạm) được giải thích như là một nhiễu telegraph [6] Do sự có mặt của va chạm trong công thức nên cần phải tính đến sự mở rộng không đồng nhất bằng cách lấy trung bình các kết quả theo phân bố vận tốc của các nguyên tử trong môi trường.

Như chúng ta đã biết, cách thức đơn giản nhất để mô tả sự phân bố ngẫu nhiên của môi trường kích thích đó là chúng ta thừa nhận rằng x(t) là một biến

số ngẫu nhiên (Random Telegraph Signal (RTS))

Bức tranh vật lý của các thăng giáng này hết sức đơn giản Chúng ta lập luận như sau:

Nếu k là véc tơ sóng của pho ton phát xạ và v là vận tốc tức thời của hạt emitter với sự thừa nhận rằng do kết quả của va chạm thì chỉ có hướng của v là thay đổi một cách ngẫu nhiên Tại mỗi thời điểm, khi hạt emitter va chạm với môi trường (khí đệm) thì góc ϑ giữa k và v thay đổi một cách đột ngột từ π

sang -π Giữa hai va chạm, độ lớn vận tốc của hạt emtter vẫn không thay đổi và

kết quả là chúng ta biểu diễn được RTS dưới dạng sau:

x(t) = vξ , (1.34)

ở đây ξ = cos α = ( − 1 )n t)

Trong biểu thức này n(t) là số ngẫu nhiên của sự thay đổi dấu do kết quả của

va chạm, tức là số thứ tự của thời gian, ở đó tín hiệu telegraph nhảy bậc do kết quả của va chạm Số các va chạm như vậy trong một thời gian hữu hạn được xác định bởi phân bố Poisson với n( )t = γ( )v / 2

Từ sự khảo sát vi mô, cháng ta có thể liên kết γ với tốc độ v mà hạt emitter

có trước khi xẩy ra va chạm kế tiếp Trong trường hợp như vậy, ta có:

( , ) (v)p( ,t) (v)p( ,t)

dt

t dp

ξ γ

ξ γ

(1.36) Phương trình master RTS này có thể được xem như là một mẫu của phương trình Boltzmann đã được tuyến tính hoá của lý thuyết động học Nếu như nguồn phát xạ là đơn sắc thì chỉ có một giá trị xác định Còn nếu như nguồn phát xạ chỉ

là một thành tố của một tổ hợp thống kê tồn tại trong sự cân bằng nhiệt động với môi trường khí đệm chứa trong buồng cộng hưởng ở nhiệt độ T thì vận tốc được xác định theo hàm phân bố Maxwell-Faraday như sau:

f(v) = 4 π ( 2 πk B T/m) − 3 / 2 exp( −mv2 / 2k B T)v2 (1.37)

ở đây m là khối lượng của hạt emitter, kB là hằng số Boltzmann Với các giả thiết đó, động lực học của vật bức xạ được kích thích bởi các va chạm thống kê dẫn tới phương trình chuyển động ngẫu nhiên

Như vậy là với mẫu va chạm Boltzmann – Lorentz, chúng ta cũng đã thấy rằng, va chạm chính là nguyên nhân gây ra sự suy giảm của vận tốc trong quá trình chuyển động Đồng thời ảnh hưởng của va chạm lên sự thay đổi theo thời gian của các thông số đặc trưng cho nguyên tử, với cách lập lập trên, sẽ được phản ánh trong các thành phần ma trận suy giảm hiệu dụng

1.5 Phương trình Fokker - Planck cổ điển

Phương trình Langevin (1.18) mô tả quy luật vận động brown và đóng một

vai trò quan trong trong lý thuyết về laser Quy luật chuyển động brown của hạt còn được mô tả thông qua phương trình Fokker – Planck

Phương trình này được thiết lập như sau:

Khi thực hiện một loạt thí nghiệm giống nhau, chúng ta thấy rằng sau mỗi lần

va chạm, hạt có khối lượng thực hiện một chuyển động brown Tại thời điểm t, người ta đo được giá trị vận tốc của hạt ở mỗi thí nghiệm Từ kết quả các thí nghiệm đó, chúng ta xác định được tập hợp số hạt f( )v dv có vận tốc nằm trong khoảng giữa v và v+dv

ở đây f( )v là hàm mật độ số hạt có vận tốc v Nói một cách chính xác hơn thì

bản thân hàm mật độ số hạt f( )v có ý nghĩa là xác suất tìm thấy hạt có vận tốc nằm trong khoảng giữa v và v+dv Theo quan điểm thống kê, hàm f( )v phải

thoả mãn điều kiện chuẩn hoá:

+∞∫ ( ) =1

∞

− f v dv (1.38)

Trong vật lý thống kê, người ta đã chỉ ra rằng, hàm phân bố xác suất f( )v liên

quan đến chuyển động brown của hạt, tức là liên quan đến phương trình chuyển động (1.18) Sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố này được diễn tả bởi phương trình Fock – Planck như sau:

( ) ( ) f( )v

v

Q v v t

v f

Đại lượng Q tương ứng với độ lớn Q của thăng giáng trong công thức (1.23), ở

đây được gọi là hệ số khuếch tán

Xét trường hợp, sự thay đổi theo thời gian của hàm phân bố là chậm, tức là chúng ta xét nghiệm dừng của (1.39) Khi đó ta có:

v f

γ (1.40)Nghiệm của (1.40) có dạng:

v

f d (1.41)

ở đây

2 / 1

( ) ( ) f( )q t

q

Q q K q t

t q f

,2

N q

f d q (1.44)

Chúng ta giả thiết rằng Q là một hằng số không phụ thuộc vào toạ độ q và thời gian t

Nói chung, rất đáng tiếc là trong trường hợp tổng quát thì phương trình Fokker – Planck (1.43) không giải được một cách giải tích, ngay cả khi hàm K(q) chỉ phụ thuộc bậc nhất vào q Khi đó chúng ta chỉ có thể giải phương trình (1.46) bằng phương pháp tính.

Xét trường hợp suy giảm của trường điện:

Như chúng ta đã biết, trong quá trình lan truyền trong dây dẫn, trường điện bị suy giảm Sự suy giảm này được gây bởi va chạm của các điện tử trong quá trình lan truyền với các ion và với các nút mạng tinh thể Sự tiêu tán năng lượng điện trường phụ thuộc vào độ dẫn điện σ

Phương trình sóng biểu diễn sự lan truyền sóng điện từ trong vật dẫn theo trục

x có dạng:

2 ( ), 0

2 2 0

∂

x

c t

σ

(1.45)Giả sử cường độ trường là hàm tuần hoàn:

E( ) ( )x,t =b t sinkx (1.46)với b đóng vai trò biên độ trường điện thay đổi theo thời gian( )t

Khi đó đặt (1.46) vào (1.45) và thực hiện việc lấy đạo hàm hai lần theo theo x ta được:

2 2 ( ) 0

0 2

2 2 0

0

3 − χω +ω =

ω i (1.50)

Nếu giả thiết rằng hệ số suy giảm χ là rất nhỏ so với tần số ω0 thì ta có thể biểu

diễn tần số ω trong (1.50) dưới dạng:

ω =±ω +iχ (1.51)

Thông thường, chúng ta chỉ lấy nghiệm ứng với dấu + của ω0, ứng với sóng lan truyền về phía chiều dương của trục x mà không xét trường hợp sóng truyền theo chiều ngược lại Khi đó (1.49) được biểu diễn lại thành:

Đồ thị của nghiệm (1.53) được biểu diễn trên hình dưới đây:

Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn sóng điện lan truyền trong dây dẫn với biên độ giảm dần theo hàm mũ với hệ số tắt dần χ.

Tương tự giá trị liên hợp của biên độ trường điện lan truyền trong môi trường dẫn có dạng:

b ( )t b ( )e t (i t)

0

*

* = 0 χ exp ω (1.54)

Chúng ta sẽ còn trở lại với biểu thức (1.53) và (1.54) ở chương sau, khi chúng

ta xét đến sự lượng tử hoá của trường điện

Kết luận chương 1