Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng gianm¶tric nân câ thù tü bë phªn.. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà.. Khæng gian m¶tric nân.. Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng
Trang 1MÖC LÖC
Trang
MÖC LÖC 1
MÐ U 2Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng gianm¶tric nân câ thù tü bë phªn 51.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 51.2 Khæng gian m¶tric nân 71.3 Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng gianm¶tric nân câ thù tü bë phªn 10Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë æi trong khæng giangi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn 182.1 Khæng gian gi£ m¶tric nân 182.2 Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng giangi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn 25
KT LUN 38
TI LIU THAM KHO 39
Trang 2MÐ U
Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quantrång cõa gi£i t½ch h m, nâ câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch v mët sè
ng nh khoa håc kh¡c Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng nêi ti¸ng
¢ xu§t hi»n tø ¦u th¸ k XX, trong â ph£i kº ¸n nguy¶n lþ iºm b§t
ëng Brouwer (1912) v nguy¶n lþ ¡nh x¤ co trong khæng gian m¶tric ¦y
õ cõa Banach (1922) C¡c k¸t qu£ kinh iºn n y ¢ ÷ñc mð rëng choc¡c lîp ¡nh x¤ v c¡c lîp khæng gian kh¡c nhau Mët trong nhúng h÷îng
mð rëng â l ÷a ra kh¡i ni»m iºm b§t ëng bë æi cõa c¡c ¡nh x¤ tø
X2 v o X v t¼m i·u ki»n cho sü tçn t¤i c¡c iºm b§t ëng bë æi trongkhæng gian m¶tric (xem [5])
N«m 2007, H L Guang v Z Xian [7] ¢ ÷a ra kh¡i ni»m khæng giangi£ m¶tric nân b¬ng c¡ch thay gi£ thi¸t h m m¶tric nhªn gi¡ trà trong tªpc¡c gi¡ trà sè thüc khæng ¥m bði nhªn gi¡ trà trong mët nân ành h÷îngtrong khæng gian Banach Sau â nhi·u nh to¡n håc ¢ quan t¥m nghi¶ncùu sü tçn t¤i c¡c iºm b§t ëng bë æi trong khæng gian m¶tric nân (xem[6, 8, 9])
Trong [1], ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m khæng gian gi£ m¶tric nân v chùngminh mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian gi£m¶tric nân V§n · ÷ñc chóng tæi °t ra ð ¥y l t¼m c¡ch mð rëng mët
sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng gian m¶tric nâncho khæng gian gi£ m¶tric nân Vîi möc ½ch â, luªn v«n cõa chóng tæi
câ · t i l "V· sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë æi trong khænggian gi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn" v ÷ñc tr¼nh b y th nh haich÷ìng
Ch÷ìng 1 Sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trong khæng gian
Trang 3m¶tric nân câ thù tü bë phªn.
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i c¡c iºm b§t ëng
bë æi cõa c¡c ¡nh x¤ câ t½nh ìn i»u hén hñp trong khæng gian m¶tricnân câ thù tü bë phªn, ÷ñc tr¼nh b y trong t i li»u tham kh£o [6]
Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë æi trong khæng giangi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng
bë æi trong khæng gian gi£ m¶tric nân câ thù tü bë phªn Ph¦n thù nh§tcõa ch÷ìng n y d nh cho vi»c tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v mët sè t½nhch§t cõa khæng gian gi£ m¶tric nân, l m cì sð cho ph¦n sau Trong ph¦nthù hai, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m iºm gi£ b§t ëng bë æi v chùngminh mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm gi£ b§t ëng bë æi cõa c¡c ¡nhx¤ câ t½nh ìn i»u hén hñp trong khæng gian gi£ m¶tric nân câ thù tü bëphªn, â l ành lþ 2.2.2, 2.2.5 v c¡c h» qu£ 2.2.3, 2.2.6 C¡c k¸t qu£ n y
l sü mð rëng cõa ành lþ 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.7 trong [6] cho khæng gian gi£m¶tric nân Hìn núa, n¸u ch¿ x²t trong khæng gian m¶tric nân th¼ k¸t qu£cõa chóng tæi v¨n têng qu¡t hìn cõa ành lþ 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.7 trong [6].Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨nkhoa håc cõa th¦y gi¡o PGS.TS inh Huy Ho ng T¡c gi£ b y tä láng bi¸t
ìn s¥u sc nh§t tîi th¦y T¡c gi£ công xin b y tä láng c£m ìn ch¥n th nhtîi c¡c Th¦y, Cæ gi¡o trong tê Gi£i t½ch cõa Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håcVinh ¢ tªn t¼nh d¤y dé, gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu
T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t ¸n quþ Th¦y, Cæ gi¡o khoaTo¡n, Pháng o t¤o Sau ¤i håc - Tr÷íng ¤i håc Vinh, c¡c b¤n b±, çngnghi»p v gia ¼nh ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi¶n v gióp ï t¡c
Trang 4gi£ º t¡c gi£ ho n th nh khâa håc v thüc hi»n ÷ñc luªn v«n n y.
M°c dò t¡c gi£ ¢ r§t cè gng nh÷ng do cán nhi·u h¤n ch¸ v· m°t n«nglüc, ki¸n thùc v thíi gian n¶n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi c¡c thi¸u sât.R§t mong nhªn ÷ñc c¡c þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ º luªnv«n ÷ñc ho n thi»n hìn
Xin tr¥n trång c£m ìn!
Ngh» An, th¡ng 10 n«m 2014
T¡c gi£
Trang 5CH×ÌNG 1
SÜ TÇN TI IM BT ËNG BË ÆI
TRONG KHÆNG GIAN MTRIC NÂN
CÂ THÙ TÜ BË PHN
Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i c¡c iºm b§t ëng
bë æi cõa c¡c ¡nh x¤ câ t½nh ìn i»u hén hñp trong khæng gian m¶tricnân câ thù tü bë phªn
1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà
Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n v· khæng gianm¶tric, khæng gian Banach, ¡nh x¤ li¶n töc l m cì sð cho vi»c tr¼nh b yluªn v«n C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc l§y tø c¡c t i li»u [3] v [4]
1.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû X l mët tªp kh¡c réng v ” ≤ ” l mët quanh» hai ngæi tr¶n X Quan h» ” ≤ ” ÷ñc gåi l thù tü bë phªn tr¶n X n¸uvîi måi x, y, z ∈ X, ta câ
Trang 6ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X;
÷ñc gåi l m¶tric (hay kho£ng c¡ch) tr¶n X
Tªp X còng vîi m¶tric d tr¶n nâ ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric v kþhi»u l (X, d) ho°c X
1.1.3 ành ngh¾a D¢y {xn}trong khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi l hëi
tö tîi x ∈ X n¸u d(x, xn)→0 khi n→∞ v kþ hi»u xn→x ho°c lim
n→∞xn = x.1.1.4 Nhªn x²t
i) Trong khæng gian m¶tric (X, d) måi d¢y hëi tö v· mët iºm duy nh§t.ii) N¸u xn→x v yn→y th¼ d(xn, yn)→d(x, y)
1.1.5 ành ngh¾a Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric, d¢y {xn} ⊂ X ÷ñcgåi l d¢y Cauchy (d¢y cì b£n) n¸u lim
n,m→∞d(xn, xm) = 0.Khæng gian m¶tric (X, d) ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric ¦y õ n¸u méid¢y Cauchy trong X ·u hëi tö
1.1.6 ành ngh¾a Gi£ sû X l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K(K = R ho°c K = C) v k.k : X→R H m k.k ÷ñc gåi l chu©n tr¶n Xn¸u
Trang 7Khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l khæng gian Banach n¸u X vîi m¶tricsinh bði chu©n l khæng gian ¦y õ.
1.2 Khæng gian m¶tric nân
Möc n y tr¼nh b y ành ngh¾a, v½ dö v mët sè t½nh ch§t cì b£n cõakhæng gian m¶tric nân
1.2.1 ành ngh¾a.([7]) Cho E l khæng gian Banach tr¶n tr÷íng sè thüc
R Tªp con P cõa E ÷ñc gåi l nân n¸u
Ta vi¸t x < y n¸u x ≤ y v x 6= y Vi¸t x y n¸u y − x ∈ intP
1.2.2 ành ngh¾a.([7]) Cho P l mët nân trong khæng gian Banach E.i) Nân P ÷ñc gåi l chu©n tc n¸u tçn t¤i sè thüc k > 0 sao cho vîimåi x, y ∈ E v 0 ≤ x ≤ y ta câ kxk ≤ k kyk Sè thüc d÷ìng k nhä nh§tthäa m¢n i·u ki»n n y ÷ñc gåi l h¬ng sè chu©n tc cõa P
ii) Nân P ÷ñc gåi l ch½nh quy n¸u måi d¢y t«ng v bà ch°n tr¶ntrong E ·u hëi tö (mët c¡ch t÷ìng ÷ìng l måi d¢y gi£m v bà ch°nd÷îi trong E ·u hëi tö) Ngh¾a l , n¸u {xn} l mët d¢y trong E sao cho
x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ ≤ y vîi y ∈ E th¼ tçn t¤i x ∈ E m kxn− xk → 0khi n → ∞
Trang 81.2.3 ành lþ.([7]) Måi nân ch½nh quy trong khæng gian Banach ·u l nân chu©n tc.
1.2.4 M»nh ·.([7]) N¸u k l h¬ng sè chu©n tc cõa nân P th¼ k ≥ 1.1.2.5 Bê ·.([7]) Gi£ sû P l nân trong khæng gian Banach E, a, b, c l c¡c ph¦n tû thuëc E v α l sè thüc d÷ìng Khi â,
i) N¸u a b v b c th¼ a c;
ii) N¸u a ≤ b v b c th¼ a c;
iii) N¸u a b v c d th¼ a + c b + d;
iv) αintP ⊂ intP (trong â αintP = {αx : x ∈ intP });
v) Vîi måi δ > 0 v x ∈ intP tçn t¤i 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;vi) Vîi måi c1 ∈ P v c2 ∈ P tçn t¤i d ∈ intP sao cho c1 d v c2 d;vii) Vîi måi c1, c2 ∈ P tçn t¤i e ∈ intP sao cho e c1, e c2;
viii) N¸u a ∈ P v a x vîi måi x ∈ intP th¼ a = 0;
ix) N¸u E l khæng gian Banach thüc vîi nân P v n¸u a ≤ λa vîi
a ∈ P, 0 < λ < 1 th¼ a = 0;
x) N¸u 0 ≤ xn ≤ yn vîi måi sè tü nhi¶n n v lim
n→∞xn = x, lim
n→∞yn = yth¼ 0 ≤ x ≤ y
1.2.6 Bê ·.([7]) Cho P l nân trong khæng gian Banach E v {xn} l d¢y trong X N¸u xn→0 th¼ vîi måi c ∈ intP , tçn t¤i sè tü nhi¶n n0 saocho xn c vîi måi n ≥ n0
1.2.7 ành ngh¾a.([7]) Cho X l tªp kh¡c réng v d : X2→E, P l mëtnân trong E H m d ÷ñc gåi l m¶tric nân trong X n¸u thäa m¢n c¡c
i·u ki»n sau
i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v d(x, y) = 0 khi v ch¿ khi x = y;ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X;
Trang 9iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) vîi måi x, y, z ∈ X.
Tªp X còng vîi m¶tric nân d tr¶n X ÷ñc gåi l khæng gian m¶tric nân
Trang 10Ta gåi B(a, c) l h¼nh c¦u mð t¥m a, b¡n k½nh c.
1.2.10 M»nh ·.([3]) Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân v T ÷ñc x¡c
ành bði
T := {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ P : B (x, c) ⊂ G}.Khi â,
i) T l mët tæpæ tr¶n X;
ii) B(a, c) ∈ T vîi måi x ∈ X, c ∈ intP ;
iii) (X, T ) l T2 khæng gian;
iv)(X, T ) thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t
Tø m»nh · tr¶n ta câ h» qu£ sau ¥y
1.2.11 H» qu£.([3]) Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân, n¸u d¢y {xn}hëi tö ¸n x v y th¼ x = y
1.2.12 ành ngh¾a.([7]) Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân D¢y {xn}trong X ÷ñc gåi l d¢y Cauchy n¸u vîi måi c ∈ intP , tçn t¤i sè tü nhi¶n
n0 sao cho d(xm, xn) c vîi måi m > n ≥ n0
1.2.13 ành ngh¾a.([7]) Khæng gian m¶tric nân (X, d) ÷ñc gåi l ¦y õn¸u vîi måi d¢y Cauchy trong X ·u hëi tö
Tªp con Y cõa khæng gian m¶tric nân (X, d) ÷ñc gåi l ¦y õ n¸u måid¢y Cauchy trong Y ·u hëi tö tîi iºm thuëc Y
1.2.14 ành ngh¾a.([7]) Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân nh x¤
g : X→X ÷ñc gåi l li¶n töc t¤i x ∈ X n¸u {xn} l d¢y trong X v xn→xth¼ g(xn)→g(x)
1.3 Mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi trongkhæng gian m¶tric nân câ thù tü bë phªn
Trang 11Möc n y tr¼nh b y mët sè ành lþ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æicõa c¡c ¡nh x¤ câ t½nh ìn i»u hén hñp trong khæng gian m¶tric nân câthù tü bë phªn ¢ câ trong t i li»u tham kh£o.
1.3.1 ành ngh¾a.([2]) Gi£ sû (X, d) l khæng gian m¶tric nân, ¡nh x¤
F : X2 → X iºm (x, y) ∈ X2 ÷ñc gåi l iºm b§t ëng bë æi cõa Fn¸u F (x, y) = x, F (y, x) = y
nh x¤ F ÷ñc gåi l li¶n töc n¸u {xn}, {yn} l hai d¢y trong X, xn →
X l ¡nh x¤ câ t½nh ìn i»u hén hñp v thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau
A1) Tçn t¤i α, β, γ ≥ 0 vîi 2α+3β+3γ < 2 sao cho vîi måi u ≤ x, y ≤ v
ta câ
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αd(x, u) + d(y, v)
2+ βd(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v)
2+ γd(x, F (u, v)) + d(u, F (x, y)) + d(y, v)
A2) Tçn t¤i x0, y0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0, y0) v F (y0, x0) ≤ y0;
Trang 12A3) F li¶n töc ho°c X câ t½nh ch§t
a) N¸u {xn} l d¢y t«ng trong X v xn → x th¼ xn ≤ x vîi måi
d(x1, x2) = d(F (x1, y1), F (x0, y0))
≤ αd(x1, x0) + d(y1, y0)
2+ βd(x1, F (x1, y1)) + d(x0, F (x0, y0)) + d(y1, y0)
2+ γd(x1, F (x0, y0)) + d(x0, F (x1, y1)) + d(y1, y0)
Trang 13Do â
d(x1, x2) ≤ 2(α + β + γ)
2 − β − γ e = λe,trong â 0 ≤ λ < 1 bði v¼ 2α + 3β + 3γ < 2
d(yn, yn+1) ≤ λne vîi måi n = 1, 2,
Trang 14Ti¸p theo, ta chùng minh {xn} v {yn} l hai d¢y Cauchy Thªt vªy, vîimåi m > n ta câ
B¥y gií, gi£ sû F khæng li¶n töc nh÷ng X câ t½nh ch§t a) v b) Khi
â, v¼ {xn} l d¢y t«ng, xn → x v {yn} l d¢y gi£m, yn → y n¶n ta câ
xn ≤ x v y ≤ yn,vîi måi n = 0, 1, 2, Khi â, sû döng (A1) ta câ
d(F (x, y), xn) = d(F (x, y), F (xn−1, yn−1))
≤ αd(x, xn−1) + d(y, yn−1)
2+ βd(x, F (x, y)) + d(x, xn−1) + d(y, yn−1)
2+ γd(x, xn) + d(xn−1, F (x, y)) + d(y, yn−1)
2
Trang 15≤ αd(x, xn−1) + d(y, yn−1)
2+ βd(x, xn) + d(x, xn−1) + d(y, yn−1)
2+ γd(x, xn) + d(x, xn−1) + d(y, yn−1)
2+ β + γ
2+ γd(x, xn) + d(x, xn−1) + d(y, yn−1)
Trang 16d(yn, xn) = d(F (yn−1, xn−1), F (xn−1, yn−1))
≤ αd(xn, yn−1) + βd(xn−1, xn) + d(yn−1, yn) + d(xn−1, yn−1)
2+ γd(xn−1, yn) + d(yn−1, xn) + d(xn−1, yn−1)
2+ (α + β
2 + γ)[d(xn−1, x) + d(y, yn−1)]
+ (1 + γ
2)[d(y, yn) + d(x, xn)].
Trang 172 − 2α − β − 3γ c, vîi måi c ∈ intP.
Trang 18CH×ÌNG 2
SÜ TÇN TI IM GI BT ËNG BË ÆI TRONG KHÆNG GIAN GI MTRIC NÂN
CÂ THÙ TÜ BË PHN
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi s³ ÷a ra kh¡i ni»m iºm gi£ b§t ëng bë
æi trong khæng gian gi£ m¶tric nân v xem x²t mët sè k¸t qu£ v· sü tçnt¤i cõa iºm b§t ëng bë æi trong khæng gian m¶tric nân cán óng chokhæng gian gi£ m¶tric nân núa khæng?
2.1 Khæng gian gi£ m¶tric nân
Trong möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m, v½ dö v mët sè t½nh ch§t cõa khænggian gi£ m¶tric nân C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [1].2.1.1 ành ngh¾a Gi£ sû P l nân trong khæng gian Banach thüc E, ” ≤ ”
l thù tü bë phªn tr¶n E t÷ìng ùng vîi P Cho tªp hñp X kh¡c réng v
d : X × X → E(x, y) 7→ d(x, y)
nh x¤ d ÷ñc gåi l gi£ kho£ng c¡ch nân hay gi£ m¶tric nân tr¶n Xn¸u thäa m¢n i·u ki»n
Trang 19gi£ m¶tric nân v kþ hi»u l (X, d) ho°c X.
2.1.2 V½ dö 1) Gi£ sû L[a,b] l tªp c¡c h m nhªn gi¡ trà thüc, kh£ t½chtr¶n [a, b] v d : L[a,b]× L[a,b] →R l h m ÷ñc cho bði
Chùng minh °t P = [0, ∞) Khi â, P l nân trong khæng gian Banachc¡c sè thüc R Hìn núa, thù tü bë phªn ” ≤ ” tr¶n R ÷ñc x¡c ành bði Pch½nh l thù tü nhä hìn ho°c b¬ng thæng th÷íng tr¶n R
Rã r ng d(f, g) ≥ 0, d(f, g) = 0 n¸u f = g v d(f, g) = d(g, f), vîi måi f, g ∈
L[a,b] Gi£ sû f, g, h ∈ L[a,b] Ta câ
Chó þ a) N¸u d l gi£ m¶tric tr¶n X v thäa m¢n theo i·u ki»n d(x, y) = 0k²o theo x = y th¼ d l m¶tric nân tr¶n X Nh÷ vªy, khæng gian m¶tric nân
l tr÷íng hñp °c bi»t cõa khæng gian gi£ m¶tric nân
b) Trong R ta x²t nân P nh÷ trong V½ dö 1) th¼ ta th§y r¬ng måi khænggian m¶tric l gi£ m¶tric nân
2) Ta ¢ bi¸t P =
f ∈ C[a,b] : f ≥ 0 l nân trong khæng gian Banach
C[a,b] c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b], nhªn gi¡ trà thüc trong R Hìn núa, quanh» ” ≤ ” tr¶n C[a,b] ÷ñc x¡c ành bði P tròng vîi quan h» ” ≤ ” thængth÷íng tr¶n [a, b] Ta kþ hi»u
X = f ∈ C[a,b] :f li¶n töc tr¶n [a,b]
Trang 20v x¡c ành h m d : X×X → P bði cæng thùc d(f, g) = |f0 − g0| , ∀f, g ∈ X,tùc l d(f, g)(x) = |f0(x) − g0(x)| , ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b] Khi â, d thäam¢n c¡c i·u ki»n cõa ành ngh¾a 2.1.1, tùc h m d l gi£ m¶tric nân tr¶n
2.1.3 ành ngh¾a Gi£ sû (X, d) l khæng gian gi£ m¶tric nân, vîi b§t ký
Chùng minh a) ∅ ∈ T v X ∈ T v¼ vîi méi x ∈ X v c ∈ intP ta
câ B(a, c) ⊂ X Gi£ sû {Ai, i ∈ I} l hå c¡c ph¦n tû thuëc T Khi â,
Ai ∈ T vîi måi i ∈ I Ta c¦n chùng minh
∪ {Ai, i ∈ I} ∈ T
Trang 21Gi£ sû x ∈ ∪ {Ai, i ∈ I} Khi â, ∃i ∈ I sao cho x ∈ Ai V¼ Ai ∈ T n¶ntçn t¤i c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ Ai Suy ra
B(x, c) ⊂ Ai ⊂ ∪ {Ai, i ∈ I}
Do â
∪ {Ai, i ∈ I} ∈ T.Gi£ sû A, B ∈ T L§y b§t ký x ∈ A ∩ B Khi â, x ∈ A, x ∈ B.DoA, B ∈ T n¶n tçn t¤i c1, c2 ∈ intP sao cho B(x, c1) ∈ A v B(x, c2) ∈ B.Suy ra tçn t¤i c ∈ intP sao cho c c1, c c2 Tø â, ta câ
B(x, c) ⊂ B(x, c1) ∩ B(x, c2) ⊂ A ∩ B
Do â, A ∩ B ∈ T Vªy T l mët tæpæ tr¶n X
b) Gi£ sû x ∈ B(a, c) Khi â, 0 ≤ d(x, a) c °t c0 = c − d(x, a) V¼d(x, a) c n¶n ta câ c0 ∈ intP Vîi måi y ∈ B(x, c0) ta câ d(y, x) c0 Do
â, tø i·u ki»n c) cõa ành ngh¾a 2.1.1, suy ra:
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(a, x) c0 + d(x, a) = c − d(x, a) + d(x, a) = c
Tø â y ∈ B(a, c) v do â B(x, c0) ⊂ B(a, c)
Trang 22Chùng minh Tø M»nh · 2.1.4 b) suy ra B(a, c) l tªp mð.
2.1.6 ành lþ Gi£ sû (X, d) l khæng gian gi£ m¶tric nân, d¢y {xn} ⊂
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû vîi méi c ∈ intP tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao chod(xn, a) c,vîi måi n ≥ nc Vîi méi l¥n cªn U cõa a tçn t¤i c ∈ intP saocho B(a, c) ⊂ U Tø â suy ra tçn t¤i sè tü nhi¶n nc sao cho xn ∈ B(a, c) ⊂
U,vîi måi n ≥ nc Do â, xn → a
2) Tø 1) v P l nân chu©n tc suy ra i·u ph£i chùng minh
2.1.7 M»nh · Gi£ sû {xn} l d¢y trong X, a, b ∈ X Khi â,
a) N¸u xn → a v xn → b th¼ d(a, b) = 0;
b) xn → a khi v ch¿ khi xn → x vîi måi x ∈ Fa trong â
Fa = {x ∈ X : d(a, x) = 0}.Chùng minh a) Vîi måi sè tü nhi¶n n ta câ
0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) (1.1)V¼ xn → a v xn → b n¶n tø ành lþ 2.1.6 1) suy ra vîi méi c ∈ intP tçnt¤i sè tü nhi¶n nc sao cho
d(a, xn) c
2, d(b, xn)
c2