Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian 2 mêtric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐINH BÍCH YẾN VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... 142.2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐINH BÍCH YẾN

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ HẦU CO

TRÊN KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 51.2 Không gian 2-mêtric 6

2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng 142.2 Điểm bất động chung của ánh xạ hầu co và hầu co suy rộng

trong không gian 2-mêtric 34

Nguyên lý điểm bất động của Banach (1921) đối với các ánh xạ co trên khônggian mêtric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học Ngày nay, các định lýđiểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh

xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau Các định lý điểm bất động có nhiềuứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình

vi tích phân Có thể nói sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động cónguồn gốc từ các ứng dụng rộng lớn của nó Các định lý điểm bất động là cơ

sở quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và xấp xỉ nghiệm của phươngtrình vi phân và phương trình tích phân (xem [3], [10]) Nó còn có ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác như: Kinh tế và kỹ thuật (xem [8], [9], ) Một trongnhững hướng mở rộng gần đây của nguyên lý điểm bất động của Banach đượcthực hiện bởi Berinde năm 2008 Kiểu ánh xạ co suy rộng mà Berinde đề xuất

được gọi hầu co, đó là các ánh xạ f từ không gian mêtric (X, d)vào chính nóthỏa mãn

d(f x, f y) ≤ δd(x, y) + Ld(y, f x)

với mọix, y ∈ X, trong đóδ ∈ (0, 1)và L ≥ 0

Năm 1963, S G¨ahler (xem [13]) đã đưa ra một lớp không gian có cấu trúckiểu không gian mêtric là không gian 2-mêtric Sau đó, nhiều nghiên cứu vềnhiều tính chất giải tích được thực hiện trên lớp không gian này Cụ thể, các vấn

đề hội tụ, liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co, trên lớpkhông gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem [12],

[15], )

Với mục đích tìm hiểu một vài định lý điểm bất động đối với một số lớp ánh

xạ hầu co trên không gian 2-mêtric, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của

mình là: Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co trên không gian 2-mêtric.

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các định lý điểm bất động cho cácánh xạ kiểu hầu co, hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric Các nội dungđược trình bày trong 2 chương, trong đó nội dung chương 2 cơ bản được chúngtôi đề xuất dựa trên những kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động, điểm bấtđộng chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian 2-mêtric

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệttình của thầy giáo TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến thầy Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáotrong Khoa Sư phạm Toán học cùng các bạn học viên cao học XX đã quan tâmgiúp đỡ Đặc biệt, tác giả xin được cảm ơn gia đình của mình đã luôn luôn độngviên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những saisót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện hơn Chúngtôi xin chân thành cảm ơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Đinh Bích Yến

MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2-mêtric

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày những kiến thức chuẩn bị về không gian mêtric và một

số kết quả liên quan cần dùng về sau Các kết quả được trích ra từ [1]

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng Hàmd : X × X → R được

gọi là một mêtric trênX nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1) d(x, y) ≥ 0, với mọix, y ∈ X, d(x, y) = 0khi và chỉ khix = y,

2) d(x, y) = d(y, x), với mọix, y thuộcX,

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), với mọi x, y, z thuộcX

Khi đó(X, d)được gọi là không gian mêtric.

1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d)là không gian mêtric Dãy {xn} ⊂ X được gọi

là hội tụ tớix ∈ X và kí hiệu làxn → x(xđược gọi là giới hạn của dãy{xn}),nếu lim

n→∞d(xn, x) = 0

Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d)là một không gian mêtric Dãy{xn} ⊂ X được

gọi là dãy Cauchy nếu

1.2 Không gian 2-mêtric

Mục này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian 2- mêtric Cáckết quả được trích ra từ [14] và [2]

1.2.1 Định nghĩa ([14]) Cho X là một tập gồm ít nhất 3 điểm Một 2-mêtric

trênX là một ánh xạ:

ρ : X × X × X → R

thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X màa 6= b, tồn tại một điểm c nào đó thuộc X

thỏa mãn

ρ(a, b, c) 6= 0

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thìρ(a, b, c) = 0

(2) ρ(a, b, c) = ρ(a, c, b) = ρ(b, a, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b) = ρ(c, b, a),

∀a, b, c ∈ X

(3) ρ(a, b, c) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, c) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X

Khi đó (X, ρ)được gọi là một không gian 2-mêtric Hay gọi tắt là không gian

2-mêtric X

1.2.2 Nhận xét ([2]). i) Điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.2.1 tương đương

với điều kiện sau:

(2’) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X

ii) Dễ dàng thấy ρkhông âm Thật vậy, trong(3) choa = cta được

ρ(a, b, a) ≤ ρ(a, b, d) + ρ(a, d, a) + ρ(d, b, a), ∀a, b, d ∈ X

Khi đó(X, ρ)là một không gian 2-mêtric

Thật vậy, X là tập hợp nhiều hơn 3 điểm thỏa mãn:

1) Với mỗi cặp điểm(x, y) ∈ X mà x 6= y, luôn tồn tạiz ∈ X \ {x, y}, nêntheo cách xác địnhρthì

ρ(x, y, z) 6= 0,

và nếu trong X có hai điểm nào bằng nhau thìρ(x, y, z = 0)

2) Rõ ràng ta cóρ(x, y, z) = ρ(y, z, x) = ρ(z, x, y), ∀x, y, z ∈ X

3) Vớia, b, c, d ∈ X,ta có

ρ(a, b, c) = 1 ≤ 11 = ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d),

ρ(a, c, d) = 4 ≤ 8 = ρ(a, b, c) + ρ(b, c, d) + ρ(a, b, d),

ρ(b, c, d) = 2 ≤ 10 = ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d),

ρ(a, b, d) = 5 ≤ 7 = ρ(b, c, d) + ρ(a, c, d) + ρ(a, b, c)

Do đó, bất đẳng thức ρ(x, y, z) ≤ ρ(x, y, t) + ρ(x, z, t) + ρ(y, z, t) luônđúng∀x, y, z, t ∈ X

1.2.4 Ví dụ ([14]). (R2, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diệntích tam giác tạo bởi ba đỉnhx, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ:

ρ : R2 ×R2 ×R2 →R(A, B, C) 7→ S4ABC

1) LấyA, B ∈ R2 là hai điểm phân biệt Khi đó, luôn tồn tạiC ∈ R2 sao cho

S4ABC = S4BCA = S4CAB, ∀A, B, C ∈ R2

3) LấyA, B, C ∈ R2.Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: NếuS4ABC = 0thì hiển nhiên

0 = S4ABC ≤ S4ABD + S4ACD + S4BCD, ∀D ∈ R2

Trường hợp 2: Nếu S4ABC > 0 Lấy D bất kỳ,D ∈ R2, có 3 khả năng sauxảy ra:

Khả năng 1:D nằm miền trong hoặc nằm trên các cạnh của tam giác ABC

(Hình 1) thì

S4ABC = S4ABD + S4ACD + S4BCD

Khả năng 2: D nằm ở miền (1), (3) và (5) (Hình 2) Không mất tính tổng

quát, giả sử D thuộc miền (1) Khi đó

S4ABC ≤ S4BCD < S4ABD+ S4ACD+ S4BCD

Khả năng 3:D nằm trên miền (2), (4), (6), và biên của mỗi miền (Hình 3).Không mất tính tổng quát, giả sửD thuộc miền (4) Khi đó

S4ABC = S4ABD + S4ACD − S4BCD < S4ABD + S4ACD + S4BCD

Vậy(R2, ρ)là không gian 2-mêtric

1.2.5 Định nghĩa ([14]) Cho(X, ρ)là một không gian 2-mêtric Dãy{xn} ⊂

X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu

lim

n→∞ρ(xn, x, a) = 0, ∀a ∈ X

1.2.6 Mệnh đề ([2]) Cho(X, ρ)là một không gian 2-mêtric Khi đó

1) Nếu dãy {xn} ∈ X hội tụ tới x ∈ X và hội tụ tớiy ∈ X thì x = y.

2) Nếu dãy {xn}hội tụ tới x ∈ X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x Chứng minh. 1) Giả sửx 6= y Khi đó, tồn tạiz ∈ X sao cho

ρ(x, y, z) 6= 0

Mặt khác, ta có

ρ(x, y, z) ≤ ρ(xn, x, z) + ρ(xn, y, z) + ρ(xn, x, y),

Do đóρ(x, y, z) = 0 Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy,x = y.

2) Giả sử{xn}hội tụ tớixvà{xnk}là dãy con của dãy{xn} Ta chứng minh

1.2.7 Mệnh đề ([2]) Cho (X, ρ)là một không gian 2-mêtric Nếu {xn} ⊂ X

hội tụ tớix thìρ(xn, a, b) → ρ(x, a, b)khin → ∞, với mọia, b ∈ X

Chứng minh. Giả sử {xn} hội tụ tới x Khi đó ρ(xn, x, a) → 0 khi n → ∞,với bất kìa ∈ X Với mọia, b ∈ X ta có

ρ(xn, a, b) ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(x, a, b)

ρ(xn, a, b) − ρ(x, a, b) ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) (1.1)Tương tự ta có

ρ(x, a, b) ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(xn, a, b)

−ρ(xn, x, a) − ρ(xn, x, b) ≤ ρ(xn, a, b) − ρ(x, a, b) (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

|ρ(xn, a, b) − ρ(x, a, b)| ≤ ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b)

Chon → ∞ta nhận được điều phải chứng minh

1.2.8 Định nghĩa ([14]) Cho(X, ρ)là một không gian 2-mêtric Dãy{xn} ⊂

X được gọi là dãy Cauchy nếu

lim

n,m→∞ρ(xm, xn, a) = 0, ∀a ∈ X

1.2.9 Nhận xét ([2]) Sử dụng Mệnh đề 1.2.6 ta dễ dàng chứng minh được dãy

hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy Thật vậy, giả sử{xn}hội tụ tới

Do đó,{xn}là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric

1.2.10 Định nghĩa ([14]) Không gian 2-mêtric(X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu

mọi dãy Cauchy đều hội tụ

1.2.12 Định nghĩa ([14]) Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric, (Y, d) là khônggian 2-mêtric hoặc không gian mêtric.

1) Ánh xạf : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy {xn} ⊂ X

hội tụ tớixthì dãy{f (xn)}hội tụ tớif (x)trong Y

2) Ánh xạf : X → Y được gọi là liên tục trên X nếuf liên tục tại mọix ∈ X.

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ HẦU CO VÀ HẦU CO SUY RỘNG TRÊN

KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày các kết quả của chúng tôi về sự tồn tại điểm bấtđộng, điểm bất động chung của các ánh xạ trên không gian 2-mêtric

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ hầu co và hầu co

suy rộng

Trong mục này chúng tôi xây dựng các định nghĩa về ánh xạ co suy rộng

và hầu co suy rộng, đề xuất một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ hầu co suy rộng trong không gian 2-mêtric dựa trên các kết quả tương

tự đã có trong không gian mêtric (xem [4], [5], [6]) Ngoài ra, chúng tôi trìnhbày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ hầu co suy rộng(ánh xạ tam giác2 − α − η−chấp nhận, ánh xạα − η − C−co yếu, ánh xạ co

α − C dạng yếu, ) trong không gian 2-mêtric, được trích dẫn từ tài liệu [18]

Kí hiệu A là tập khác rỗng gồm tất cả các hàm số α: R3+ → R+ thỏa mãncác điều kiện sau:

i) α liên tục trong R3+,

ii) Tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho a ≤ kb nếu a ≤ α(a, b, b) hoặc a ≤α(b, a, b)hoặc a ≤ α(b, b, a),∀a, b ∈ R+

14

2.1.1 Định nghĩa Một ánh xạ f trong không gian 2-mêtric X vào chính nóđược gọi là mộtA − co nếu tồn tạiα ∈ Asao cho

ρ(f x, f y, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, f x, a), ρ(y, f y, a)), ∀x, y, a ∈ X (A)

2.1.2 Định nghĩa Một ánh xạf từ không gian 2-mêtric vào chính nó được gọilà

i) K − co nếu tồn tại một sốr ∈ [0,1

2)sao choρ(f x, f y, a) ≤ r[ρ(x, f x, a) + ρ(y, f y, a)], ∀x, y, a ∈ X (K).ii) M − co nếu tồn tại một sốh ∈ [0, 1)sao cho

ii) MỗiK − colà mộtA − co, từ đó suy ra mỗiM − co là mộtA − co.

Chứng minh i) Giả sử f : X → X là một M - co Khi đó, tồn tại hằng số

h ∈ [0, 1)thỏa mãn điều kiện(M ) Do đó, ta có

α(u, v, w) = r(u + v), ∀u, v, w ∈ R+

Trước tiên, ta sẽ chứng minhα ∈ A

Thật vậy, do phép cộng và phép nhân các số thực là liên tục nênα liên tục

Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng: tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) sao cho u ≤ kv nếu

u ≤ α(u, v, v)hoặc u ≤ α(v, u, v, ) hoặc u ≤ α(v, v, u), với mọiu, v ∈ R+

Thật vậy, ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếuu ≤ α(u, v, v) = r(u+v)hoặcu ≤ α(v, u, v, ) = r(u+v)

Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện(A)

Thật vậy, với u = ρ(x, y, a), v = ρ(x, f x, a) và w = ρ(y, f y, a) và sử dụng

2.1.4 Định nghĩa Một ánh xạ f trong không gian 2-mêtric (X, ρ) vào chính

nó được gọi là một hầu A - co nếu tồn tạiα ∈ Avà hằng số L ≥ 0sao cho

ρ(f x, f y, a) ≤ α(ρ(x, y, a), ρ(x, f x, a), ρ(y, f y, a)) + Lρ(y, f x, a) (2.1)

∀x, y, a ∈ X

2.1.5 Định lí Cho f là một hầu A - co trong không gian 2 - mêtric đầy đủ X Khi đó:

(i) f có một điểm bất động trongX,

(ii) Cho bất kì x0 ∈ X, dãy lặp Picard {xn}∞n=0 cho bởi xn+1 = f xn, n =

0, 1, 2, hội tụ tới điểm bất độngu nào đó củaf, và

ρ(xn, u, a) ≤ k

n

1 − kρ(x0, x1, a), n = 0, 1, 2, (2.2)

trong đó, klà hằng số trong định nghĩa của α.

Chứng minh (i)Do f là một hầu A -co, nên với bất kì x0 ∈ X tồn tại α ∈ A

và hằng số L ≥ 0, sao cho với x = xn−1, y = xn, n = 1, 2, 3, và với mọi

trong đók là hằng số nói trong định nghĩa củaα

Vậy tồn tại hằng sốk ∈ [0, 1),sao choρ(xn−1, xn, a) ≤ kρ(xn−1, xn, a),vớin =

Từ đây, chon, m → ∞, ta có 1−kkn → 0 dok ∈ [0, 1)nênρ(xn, xm, a) → 0.

Suy ra {xn}∞n=0 là dãy Cauchy trong (X, ρ) Do X đầy đủ nên tồn tại u ∈ X

= ρ(u, xn, a) + ρ(u, xn, f u)+α(ρ(xn−1, u, a), ρ(xn, xn−1, a), ρ(f u, u, a))

Từ tính liên tục củaα, xn → u và Mệnh đề 1.2.7 thì từ (2.5) chon → ∞ta có

ρ(u, f u, a) ≤ ρ(u, u, a) + ρ(u, u, f u) + α(ρ(u, u, a), ρ(u, u, a), ρ(f u, u, a))

+Lρ(u, u, a), ∀a ∈ X

Ta thu đượcρ(u, f u, a) ≤ α(0, 0, ρ(f u, u, a)) ≤ k.0 = 0

Suy raρ(u, f u, a) = 0, a ∈ X.Do đó,f u = u Nghĩa là,u là một điểm bấtđộng củaf

(ii) Từ chứng minh (i) ta có, cho bất kìx0 ∈ X, dãy lặp Picard hội tụ tới mộtđiểm bất độngu ∈ X Khi chom → ∞trong (2.4), ta dễ dàng thu được (2.1)

Từ chứng minh (i) trong Mệnh đề 2.1.3 ta có, tồn tại hằng số h ∈ [0, 1) và

Do đó, ta thu được hệ quả sau

2.1.6 Hệ quả Cho f là một ánh xạ từ không gian 2-mêtric đầy đủ (X, ρ)vào chính nó thỏa mãn

ii) Cho bất kì x0 ∈ X, dãy lặp Picard {xn}∞n=0 cho bởi xn+1 = f (xn), n =

0, 1, 2, hội tụ tới điểm bất độngu nào đó củaf, và

r(ρ(x, f x, a) + ρ(y, f y, a)) = α(ρ(x, y, a), ρ(x, f x, a), ρ(y, f y, a))

Do đó, ta thu được hệ quả sau

2.1.7 Hệ quả Chof là một ánh xạ từ không gian 2 - mêtric đầy đủ(X, ρ)vào chính nó thỏa mãn

ρ(f x, f y, a) ≤ r(ρ(f x, x, a) + ρ(y, f y, a)) + Lρ(y, f x, a), ∀x, y, a ∈ X,

vớir ∈ [0,1

2) Khi đó,

(i) f có một điểm bất động trongX.

(ii) Cho bất kì x0 ∈ X, dãy lặp Picard {xn}∞n=0 cho bởi xn+1 = f (xn), n =

0, 1, 2, hôi tụ tới điểm bất độngu nào đó củaf, và

2.1.8 Định nghĩa ([18]) ChoX là một không gian 2-mêtric và T : X → X,

α, η : X × X × X → [0, +∞) là các ánh xạ T được gọi là một ánh xạ tam giác2 − α − η−chấp nhận được nếu với mọia ∈ X ta có

(T1) α(x, y, a) ≥ η(x, y, a)kéo theoα(T x, T y, a) ≥ η(T x, T y, a),

x, y ∈ X,

(T2)

(

α(x, z, a) ≥ η(x, z, a)

α(z, y, a) ≥ η(z, y, a) kéo theo α(x, y, a) ≥ η(x, y, a).

Nếu η(x, y, a) = 1thìT được gọi là một ánh xạ tam giác2 − α−chấp nhận được.

Nếu α(x, y, z) = 1thìT được gọi là một ánh xạ tam giác2 − η−chấp nhận được.

2.1.9 Ví dụ ([18]) ChoX = [0, +∞) Các ánh xạ

T : X −→ X

x 7−→ 1

4x

Khi đó,T là một ánh xạ tam giác2 − α − η−chấp nhận được.

2.1.10 Bổ đề ([18]) Cho X là một không gian 2-mêtric và T : X → X là một ánh xạ tam giác 2 − α − η− chấp nhận được Giả sử tồn tại x0 ∈ X

sao choα(x0, T x0, a) ≥ η(x0, T x0, a) với mọia ∈ X Xác định dãy {xn}bởi

xn = Tnx0 Khi đó,

α(xm, xn, a) ≥ η(xm, xn, a), ∀m, n = 1, 2, , màm < nvà∀a ∈ X

Chứng minh. Thật vậy, giả sử tồn tạix0 ∈ X sao choα(x0, T x0, a) ≥ η(x0, T x0, a)

với mọia ∈ X Khi đó, kết hợp với (T1)ta có

α(x1, x2, a) = α(T x0, T2x0, a) ≥ η(T x0, T2x0, a) = η(x1, x2, a)

Tiếp tục quá trình trên, ta có

α(xn, xn+1, a) ≥ η(xn, xn+1, a), ∀a ∈ N (2.6)Giả sử m < n Từ

(

α(xm, xm+1, a) ≥ η(xm, xm+1, a)α(xm+1, xm+2, a) ≥ η((xm+1, xm+2, a),

kết hợp với(T2)ta có α(xm, xm+2, a) ≥ η(xm, xm+2, a)

Từ đó ta có

(

α(xm, xm+2, a) ≥ η(xm, xm+2, a)α(xm+2, xm+3, a) ≥ η(xm+2, xm+3, a)

Do đó, ta thu đượcα(xm, xm+3, a) ≥ η(xm, xm+3, a)

Làm tương tự quá trình trên ta cóα(xm, xn, a) ≥ η(xm, xn, a)

2.1.11 Định nghĩa ([18]) ChoX là một không gian 2-mêtric và các ánh xạ

T : X → X,

α, η : X × X × X → [0, +∞)

T được gọi là ánh xạ 2 − α − η−liên tục trênX nếu với mọia ∈ X

xn → x khin → ∞,α(xn, xn+1, a) ≥ η(xn, xn+1, a), ∀n = 1, 2 ,

thìT xn → T x

Nếu η(x, y, a) = 1 thìT được gọi là một ánh xạ 2 − α−liên tục.

Nếu α(x, y, z) = 1 thìT được gọi là một ánh xạ 2 − η−liên tục.

2.1.12 Ví dụ ([18]) Cho X = [0, +∞) và ρ(x, y, a) = min{|x − y|, |y −a|, |x − a|}.Giả sử rằngT : X → X và α, η : X × X × X → [0, +∞)đượcxác định bởi

T x =

(

x2 nếu x ∈ [0, 1]

ln x + 2 nếu x ∈ (1, +∞),α(x, y, a) =