Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan đến nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng và nửa nhóm thương, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TUẤN TÚ

TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TUẤN TÚ

TRÊN MỘT NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An – 2014

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 4

1.2 Tương đẳng Nửa nhóm thương 8

1.3 Băng và nửa dàn Băng các nhóm 13

Chương 2 TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN MỘT NỬA NHÓM 18

2.1 Tóm tắt các kết quả của P Dubreil và R Croisot 18

2.2 Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm 21

2.3 Nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm 27

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Congruences and group congruences on a semigroup của R S Gigon đăng trên tạp chí Semigroup

Forum năm 2012 để tìm hiểu cấu trúc các tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm

Luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan đến nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tương đẳng và nửa nhóm thương, băng và nửa dàn để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm

Trong chương này, trước hết chúng tôi tóm tắt các kết quả của P Dubreil và R Croisot về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm Sau đó trình bày các kết quả của R S Gigon về tương đẳng nhóm trên một nửa nhóm tùy

ý Phần cuối luận văn trình bày khái niệm nửa nhóm con chuẩn tắc của một nửa nhóm và một số đặc trưng của nó

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS.TS Lê Quốc Hán - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch

Tôi xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, các Thầy Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này

Nghệ An, ngày tháng năm 2014

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng Khi đó một tập con  của tích Descartes X X được gọi là một quan hệ trên tập X

Nếu  a b,  , trong đó  a b, là các phần tử của tập X thì ta cũng có thể viết a b và nói “ a nằm trong quan hệ  với b ”

Nếu  và  là các quan hệ trên X thì cái hợp thành   của chúng được định nghĩa như sau: a b,   nếu tồn tại phần tử xX sao cho

 a x,  và   x b,   Phép toán   là kết hợp Thật vậy, nếu  , và  là các quan hệ trên X thì mỗi một trong các điều khẳng định   a b,    

và  a b,     tương đương với điều khẳng định rằng tồn tại các phần tử

x,y sao cho  a x,   ,  x y,  và   y b,  Do đó, tập Bx tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với   Nửa nhóm Bx được

gọi là nửa nhóm các quan hệ trên X

1.1.2 Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt Giả sử X là một tập tùy ý

Quan hệ i được gọi là quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đường chéo) nếu

 a b, i khi và chỉ khi a b , với mọi a b X, 

Quan hệ  được gọi là quan hệ phổ dụng nếu  a b,   với mọi ,

a bX Dễ thấy i là đơn vị và  là phần tử không của nửa nhóm Bx

Giả sử Bx Khi đó, quan hệ ngược 1

của  được định nghĩa như sau:  a b,  1 khi và chỉ khi  b a, 

Giả sử  là một quan hệ trên X Khi đó  được gọi là đối xứng nếu

X

 Ta gọi a là lớp tương đương của tập X theo mod chứa a Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương đương  mà

P  X  , cụ thể a b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân

hoạch P Ta gọi ánh xạ a a là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ

tập X lên X

 và ký hiệu ánh xạ đó là  Chú ý rằng a   a  với mỗi

a X , nhưng để tránh nhầm lẫn ta dùng các kí hiệu khác nhau để chỉ quan hệ tương đương  trên tập X và ánh xạ tự nhiên từ X lên X



1.1.4 Quan hệ tương đương sinh bởi một quan hệ tùy ý cho trước

Giả sử  là một quan hệ tùy ý trên X Ta định nghĩa bao đóng bắc cầu

/

 của quan hệ  bằng cách đặt:

/ 1

n n

hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X , chứa 0 Bao đóng bắc cầu    1t

của quan hệ 1 là một quan hệ tương đương trên X chứa 0 Ta gọi  là

quan hệ tương đương trên X sinh bởi 0

Giao của một họ tùy ý các quan hệ tương đương là một quan hệ tương đương Khẳng định tương tự đối với hợp theo lý thuyết tập hợp không đúng

ngay cả trong trường hợp hai quan hệ Ta định nghĩa hợp   của hai quan

hệ tương đương  và  là quan hệ tương đương sinh bởi   , tức là

  là bao đóng bắc cầu của quann hệ  

1.1.5 Bổ đề Nếu  và  là các quan hệ tương đương trên X và

    

Chứng minh Vì hiển nhiên   được chứa trong   , nên chỉ còn phải chứng tỏ rằng   là quan hệ tương đương Từ i    suy ra rằng quan hệ   phản xạ, còn đẳng thức  1   1  1       , chứng tỏ   đối xứng Cuối cùng:

                        ,

do đó   là bắc cầu

1.1.6 Chú ý Giả sử  là một quan hệ trên X sao cho x 1 với mỗi

x X , khi đó ta có thể đồng nhất các tập x gồm một phần tử duy nhất của

nó và xem  như phép biến đổi x x của tập X Nếu  là một quan hệ khác thuộc loại đó trên X thì   cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra  

trùng với cái hợp thành của  và  xem như các phép biến đổi của tập X Bằng đối ngẫu, nếu x  với mọi x X1  thì ta có thể xem ánh xạ x  x

như một phép biến đổi của tập X Trong trường hợp đó   bằng cái hợp thành của  và  Như vậy Bx chứa X như một nửa nhóm con, trong đó

X là vị nhóm con các ánh xạ từ X vào chính nó với phép nhân ánh xạ

Giả sử  là ánh xạ từ tập X vào tập X/ Thế thì  có thể xem như một quan hệ trên tập X X/ Với mỗi x/X/, ta có  1 x/ x X | x x/

Cái hợp thành  1  được chứa trong X X , thành thử nó có thể xem như một quan hệ trên X và  x y,  1  khi và chỉ khi  x  y Từ đó

1.2 Tương đẳng Nửa nhóm thương

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và  là một quan hệ trên S

Khi đó  được gọi là ổn định bên phải (trái) nếu a b  a b S,   kéo theo

nếu  vừa là tương đẳng phải, vừa là tương đẳng trái

1.2.2 Nửa nhóm thương Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm

S Khi đó  là quan hệ tương đương trên S , do đó ta có thể xét tập thương

của các lớp A và B được chứa trong một lớp tương đương C nào đó Ta định

nghĩa phép nhân   trong S

 cũng là nửa nhóm giao hoán

Nếu S là vị nhóm với đơn vị e thì S

 là vị nhóm với đơn vị e 

Ta ký hiệu a a S  là lớp tương đương theo mod chứa a Điều

đã nói trong định nghĩa trên của phép toán   có nghĩa đơn giản là

 

a b  ab  với mọi a b S, 

1.2.3 Đồng cấu Giả sử : S S/ là ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa

nhóm S/ Khi đó  được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu  ab    a  b , với mọi , a b S Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ánh

xạ tự nhiên  từ S lên S xác định bởi   a a là một đồng cấu nửa

nhóm, nó được gọi là đồng cấu tự nhiên (hay chính tắc) từ nửa nhóm S lên nhóm S 

Như vậy, mỗi nửa nhóm thương của nửa nhóm S là một ảnh đồng cấu

của nó Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa

nhóm S đẳng cấu với một nửa nhóm thương nào đó của nó Như vậy, nếu

không phân biệt các nửa nhóm đẳng cấu với nhau, thì bài toán bên ngoài về

việc tìm tất cả các ảnh đồng cấu của nửa nhóm S đã cho được chuyển về bài toán bên trong tìm tất cả các tương đẳng trên S

1.2.4 Định lý (Định lý cơ bản về đồng cấu) Giả sử  là một đồng cấu

từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S/và giả sử     1 , nghĩa là a b a b S ,  

khi và chỉ khi  a   b Thế thì  là một tương đẳng trên S và tồn tại đẳng cấu  từ nửa nhóm S

 lên S/ sao cho    , trong đólà đồng cấu tự nhiên từ S lên S



Chứng minh Nếu a b và c S thì  ac     a  c     b  c   bc ,

từ đó ac bc Tương tự, ca cb Vì  hiển nhiên là một quan hệ tương

đương trên S , nên nó là tương đẳng Đối với phần tử A thuộc nửa nhóm S

,

ta đặt  A   a1 , trong đó a1A Để chứng tỏ  là một ánh xạ (từ S



vàoS/), ta chú ý rằng nếu a2  A thì a a1 2 và vì vậy  a1   a2 Vì  là

Vì điều này đúng với mọi a S nên ta kết luận rằng    

1.2.5 Chú ý Giả sử H là một nhóm con của nhóm ,G thế thì quan hệ

 trên ,G xác định bởi a b a b G ,   khi và chỉ khi ab1 là một tương H

đẳng phải trên ,G và mọi tương đẳng phải trên G đều thu được bằng cách đó

Các lớp tương đương của  là các tập Ha với a G Quan hệ  là tương đẳng khi và chỉ khi H là chuẩn tắc trong G (Dubreil, [1941]) Trong trường hợp S là nửa nhóm tùy ý, các tương đẳng nói chung không được xác định bởi

một lớp nào trong các lớp của nó (hoặc “hạt nhân”) như đối với một nhóm Tuy nhiên có một số loại tương đẳng có thể xác định như vậy Chẳng hạn, mỗi tương đẳng  mà S

 là một nhóm (hoặc nhóm với phần tử không) được

xác định bởi lớp là phần tử đơn vị của nhóm (hoặc nhóm với phần tử không)

1.2.6 Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh) Giả sử 1 và 2 là các đồng cấu từ nửa nhóm S tương ứng lên các nửa nhóm S1 và S2 sao cho

    thì bắt buộc phải xác định như đã làm ở trên

1.2.7 Hệ quả Nếu 1 và 2 là các tương đẳng trên nửa nhóm S sao cho 1  2 thì

1.2.8 Mệnh đề Giả sử C là một tính chất trừu tượng của nửa nhóm,

tức là một tính chất sao cho nếu một trong hai nửa nhóm đẳng cấu với nhau

có tính chất C thì nửa nhóm kia cũng có tính chất đó Ta nói tương đẳng 

trên nửa nhóm S có kiểu C nếu S

 có tính chất C Giả thiết rằng giao 

của tất cả các tương đẳng  trên S có kiểu C cũng có kiểu C Thế thì S



là ảnh đồng cấu tối đại của S có tính chất C và mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất C là ảnh đồng cấu nửa nhóm S



Chứng minh Nếu T là ảnh đồng cấu của nửa nhóm S có tính chất C ,

thì theo Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm, có T  S , với tương đẳng  nào

đó trên S Vì theo giả thiết, C là một tính chất trừu tượng, nên S

 có tính

chất C Do đó  có kiểu S , từ đó   theo định nghĩa của  Theo hệ

quả của Định lý 1.2.6, ta có S

 là ảnh đồng cấu của S và do đó T là ảnh

đồng cấu của S 

1.2.9 Chú ý Xem như các ví dụ áp dụng nguyên tắc trên , ta hãy chú ý

tới các sự kiện sau:

(1) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu nửa nhóm tối đại

(2) Mỗi nửa nhóm có ảnh đồng cấu giao hoán tối đại

Có thể thay thế trong (2) từ “giao hoán” bởi từ “ lũy đẳng” hoặc “với luật giản ước” hoặc bởi một tổ hợp tùy ý ba tính chất đó Cho đến nay việc khảo sát thành công nhất là đối với trường hợp “giao hoán và lũy đẳng” Đó là kiểu thứ nhất được Tamura và Kimura xét (1954) Tuy nhiên cần lưu ý rằng không phải mọi nửa nhóm đều có ảnh đồng cấu nhóm tối đại (Kimura đã chỉ

ra điều đó trong một bài báo của mình vào năm 1958)

1.2.10 Tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước Vì tương đẳng

có một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm, do đó người ta thường quan tâm đến việc xây dựng các tương đẳng thỏa mãn một số tính chất nào

đó Sau đây ta nêu lên cách xây dựng tương đẳng sinh bởi một quan hệ cho trước

Giả sử 0 là quan hệ tùy ý trên nửa nhóm S , khi đó tồn tại ít nhất một tương đẳng trên S chứa  , đó là quan hệ phổ dụng   Do đó , tồn tại S S.giao  của tất cả các tương đẳng trên S chứa 0, ta gọi  là tương đẳng sinh bởi quan hệ 0

Ta sẽ mô tả  một cách chi tiết hơn Giả sử 1

S và x y, nào đó thuộc S1  S  1 Ta gọi việc chuyển từ a đến b hoặc

ngược lại là 0- bắc cầu sơ cấp Rõ ràng quan hệ 2 là phản xạ, đối xứng và

ổn định, hơn nữa 0 12  Cuối cùng, bao đóng bắc cầu 2t của quan hệ 2 là tương đẳng trên S được chứa trong  và do đó bằng  Như vậy, a b khi và chỉ khi tồn tại các phần tử c1, c , ,2 c nS sao cho

2 1, c1 2 2, , n 2

Ta tóm tắt những điều đã nói vào định lý sau đây

1.2.11 Định lý Giả sử 0 là một quan hệ trên nửa nhóm S và  là một tương đẳng trên S , sinh bởi 0 Thế thì a b a b S,   khi và chỉ khi b có thể thu được từ a bằng một dãy hữu hạn 0 - bắc cầu sơ cấp

1.3 Băng và nửa dàn Băng các nhóm

1.3.1 Định nghĩa Một quan hệ thứ tự  trên một tập X được gọi là

một thứ tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta dùng ký hiệu a b để chỉ a b và a b

1.3.2 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S Khi đó quan hệ  xác định trên E bởi e  f e f , Enếu ef = = fe e là một thứ tự trên bộ phận E

Chứng minh Vì e E nên e2  , do đó e e e nên  phản xạ

Hơn nữa, nếu e f f, ethì ef = = fe e và fe ef f = = , do đó  phản đối xứng

Ta lại có: nếu e  và f f  thì g ef = = fe e và gf = = fg f nên:

eg ef g e fg ef e ge g fe  gf e fe e

Do đó, e g nên  bắc cầu

1.3.3 Định nghĩa Quan hệ  xác định trong Bổ đề 1.3.2 được gọi là

thứ tự bộ phận tự nhiên trên E

1.3.4 Định nghĩa Giả sử  là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là tập con của X

i) Phần tử b X được gọi là cận trên của Y nếu y b với mọi y Y

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c với mọi cận trên c của Y (nếu Y có một hợp trong X , thì rõ ràng hợp đó là duy nhất)

iii) Phần tử a X được gọi là cận dưới của Y nếu ayvới mọi y Y iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y

nếu d a với mọi cận dưới d của Y (Nếu Ycó một giao trong X , thì rõ ràng giao đó cũng duy nhất)

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu

mỗi tập con gồm hai phần tử  a b của , X có hợp (hay giao) trong X ; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao) của  a b, sẽ được kí hiệu là a b (hay a b  )

vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn

trên và nửa dàn dưới

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao

1.3.5 Ví dụ

1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ sung

thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của

lý thuyết tập hợp Vì giao của tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y

của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ

“nửa nhóm con hay tập rỗng của S ” bởi từ “tương đẳng trên S ”

2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung

thêm tập rỗng, đóng đối với các phép hợp cũng như giao, nên là một dàn đầy

đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S

1.3.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử

của S đều lũy đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó, S E  và S được sắp thứ tự bộ phận tự

nhiên a b a b S  ,    nếu và chỉ nếu ab ba a 

1.3.7 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ

tự bộ phận tự nhiên trên S Giao a b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao

Chứng minh Theo Bổ đề 1.3.2, quan hệ  là một thứ tự bộ phận trên

Do đó ab là cận dưới lớn nhất của  a b, Suy ra S là nửa dàn dưới

Mệnh đề đảo là hiển nhiên

1.3.8 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a bkhi và chỉ khi abba thì b S ,  là nửa dàn trên Tuy nhiên để cho thống nhất ta giữ định nghĩa nêu trong 1.3.4 Từ đây ta dùng nửa dàn đồng nghĩa với

từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không nói gì thêm

1.3.9 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý S  X Ylà tích Decartes của X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

x y1, 1x y2, 2  x y1, 2với x x1, 2X; y ,1 y2 Tính kết hợp và lũy đẳng Y.của phép toán đó là hiển nhiên

Ta sẽ gọi S là băng hình chữ nhật trên tập X Y Lý do của tên gọi đó như sau: Ta hãy tưởng tượng X Y là bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm  x y, nằm ở dòng x cột y của bảng Thế thì a1x y1, 1 và

Nếu X  1, Y  1 thì băng chữ nhật X Y đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử không bên phải

1.3.10 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của

các nửa nhóm con rời nhau S, I (I là tập hợp chỉ số nào đó) thì ta nói

rằng S phân tích được thành các nửa nhóm con S, I

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con S

thuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S  S, I là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mọi

cặp  ,  I, tồn tại  I để cho S S  S.Ta định nghĩa một phép toán đại