Tính ổn định hậu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên itô

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhNguyễn Thị Thu Hiền Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã s

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Thu Hiền

Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Thu Hiền

Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Diệu

2.1 Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 12

2.2 Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên

có trễ 26

Kết luận 34

Mở đầuTính ổn định mũ moment cấp p cũng như tính ổn định mũ hầu chắc chắncủa phương trình vi phân ngẫu nhiên được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học.Trong những năm gần đây, chúng ta có thể kể đến các kết quả của một số nhàtoán học như: Arnold [1], Bell và Mohamed [2], Hasminkii [3], Komanovskii vàNovos [7], Xuerong Mao [8] Trong các kết quả nghiên cứu về tính ổn định hầuchắc chắn của các tác giả ở trên, khái niệm ổn định hầu chắc chắn của nghiệmcủa phương trình vi phân ngẫu nhiên(1.13) được định nghĩa như sau:

Nghiệm X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là ổn định

mũ hầu chắc chắn nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

khi đó nghiệm của phương trình (0.1) ổn định đa thức theo quỹ đạo hầu chắcchắn Một trường hợp khác, chúng ta xét phương trình

dXt = ( 1

2(1 + t) +

q(1 + t) log(1 + t))Xtdt + (1 + t)

Tuy nhiên nếu thay log t bởi log log t ta có

lim sup

t→∞

1log log t log |Xt| < −q (h.c.c)

Qua hai bài toán trên chúng ta thấy rằng nghiệm của phương trình vi phân ngẫunhiên có thể không ổn định hầu chắc chắn với tốc độ mũ nhưng lại ổn định hầuchắc chắn đối với tốc độ đa thức, hoặc không ổn định với tốc độ đa thức nhưng lại

ổn định với tốc độ logarit Từ đó, bài toán đặt ra là: Xét tính ổn định của phươngtrình vi phân ngẫu nhiên với tốc độ tiệm cận đến0của nghiệm được xác định bởivết λ(t) > 0; limt→∞λ(t) = ∞ Bài toán này được nghiên cứu bởi Kai Liu vàXuerong Mao trong [8] và tiếp tục được nghiên cứu bởi một số nhà toán học kháctrong những năm gần đây Dựa vào tài liệu tham khảo [8] trong khuôn khổ luậnvăn Thạc sỹ tôi chọn đề tài ''Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình

vi phân ngẫu nhiên Itô.''

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn tậptrung trình bày các kết quả cơ bản của quá trình ngẫu nhiên và phương trình viphân ngẫu nhiên làm cơ sở cho việc thiết lập các kết quả chính

Chương 2 Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phânngẫu nhiên Itô Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu hai nội dung chính Thứnhất, chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định hầu chắc chắn của phươngtrình vi phân ngẫu nhiên Itô Kết quả đạt được là Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.3,

Định lí 2.1.4, Hệ quả 2.1.5 Thứ hai, chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho tính

ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Kết quả đạt

được là Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.2 Ngoài ra, trong mỗi phần chúng tôi trình bàycác ví dụ để làm rõ nội dung của các định lí, hệ quả

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình của Thầy giáo, TS Nguyễn Thanh Diệu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc nhất đến Thầy Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS

TS Nguyễn Văn Quảng cùng các Thầy Cô trong tổ Xác suất thống kê đã giảngdạy và chỉ bảo trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu Cuối cùng, xin gửilời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đặc biệt là các bạn trong lớp Caohọc 20 chuyên ngành Lí thuyết xác suất và thống kê toán đã động viên, giúp đỡ

và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của cácThầy Cô và bạn đọc

Nghệ An, ngày tháng năm 2014

Tác giả

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô

Lấy(Ω, F , {Ft}t>0, P)là không gian xác suất đầy đủ với lọc{Ft}t>0 thỏamãn các điều kiện thông thường (nghĩa là nó là dãy tăng các σ-trường liên tụcphải, chứa các tập có xác suất không) Lấy W = {Wt}t>0 là quá trình chuyển

động Brown xác định trên không gian xác suất phù hợp với lọc {Ft}t>0

Định nghĩa 1.1.1 Lấy 0 6 a 6 b < ∞ Ký hiệu M2

([a, b]; R) là không giancác quá trình f = {f(t)}t>0 nhận giá trị thực, (Ft)-phù hợp sao cho

kf k2a,b = E

Z b a

f (t) = lim sup

h↓0

1h

Z t t−h

b

f (s)ds

Khi đó, f là quá trình ngẫu nhiên khả đoán và f = f Do đó, không mất tínhtổng quát chúng ta có thể giả thiếtf ∈ M2([a, b]; R)là quá trình ngẫu nhiên khả

|f (t) − gn(t)|2dt = 0 (1.3)

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử g là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản xác định bởi(1.2) trong M0([a, b]; R) Khi đó tích phân ngẫu nhiên của g đối với quá trìnhchuyển động Brown {Wt} được xác định bởi

Z b a

|f (t) − gn(t)|2dt = 0

2

= E

Z b a

[gn(t) − gm(t)]dWt

u

2QV (Xs, s)ds] > v

)

6 e−uv,

LV (Xs, Xs−δ(s), s)ds + ξ(k − 1

2N )+

Z t 0

ξ( k

2N)QV (Xs, Xs−δ(s), s)ds

6 V (X0, 0) +

Z t 0

LV (Xs, Xs−δ(s), s)ds + ξ( k

2N)−1log(k − 1

2N )+

Z t 0



LV (Xs, Xs−δ(s), s)

+ ξQV (Xs, Xs−δ(s), s)

ds

6 V (x0, 0) + ξ( k

2N)−1log(k − 1

2N ) +

Z t 0

ψ1(s)ds

+(c2/c1)λ(l)m

Z l 0

(c2/c1)ψ2(s)ds +

Z t 0

(c2/c1)λ(l)mψ3(s)ds

Tính ổn định hầu chắn phương trình vi phân< /h2>

ngẫu nhiên Itơ

2.1 Tính ổn định hầu chắn phương trình< /h3>

vi phân ngẫu nhiên Itơ

Trong... trình ổn định đa thức hầu chắn

2.2 Tính ổn định hầu chắn phương trình< /h3>

vi phân ngẫu nhiên có trễ

Trong phần này, để thuận tiện cho vi? ??c trình bày kết chúng tơi... log(t) ta có khái niệm ổn định tiệm cận hầu chắn vớitốc độ đa thức.

Định lí sau điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hầu chắn củaphương trình (2.1) với vết λ(t)

Định lý 2.1.2 Giả sử V