Tính ổn định hậu chắc chắn của một dạng phương trình vi phân nhiễu ngẫu nhiên có trễ

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhPhạm Văn Định Tính ổn định hầu chắc chắn của một dạng phương trình vi phân nhiễu ngẫu nhiên có trễ Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2014... Bộ

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Phạm Văn Định

Tính ổn định hầu chắc chắn của một dạng phương trình

vi phân nhiễu ngẫu nhiên có trễ

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Phạm Văn Định

Tính ổn định hầu chắc chắn của một dạng phương trình

vi phân nhiễu ngẫu nhiên có trễ

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Diệu

Nghệ An - 2014

Mục lục

1.1 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô 3

1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ 8

Mở đầuPhương trình vi phân ngẫu nhiên là mô hình toán học cho các hệ động lựctrong vật lý, sinh học, y tế và trong khoa học xã hội Trong thực tế rất nhiều

hệ thống trạng thái tương lai của hệ không những phụ thuộc vào trạng thái hiệntại của hệ thống mà còn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống trong quá khứ.Phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ là mô hình toán học của những hệ thốngnhư vậy Bài toán ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ đã đượcquan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả [3, 7, 8, 9, ]

Ladde [5] sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và sử dụng bất đẳng thức

vi phân của các hàm đã nghiên cứu một số dạng tính ổn định cho phương trình viphân hàm ngẫu nhiên Sau đó Ladde [6] đã sử dụng phương pháp hàm lyapunov

và định lý so sánh để nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình đối vớimột lớp phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên tuyến tính Một điều đặc biệt là rất

ít tác giả nghiên cứu về tính ổn định hầu chắc chắn của trình vi phân ngẫu nhiên

có trễ Người đầu tiên nghiên cứu tính ổn đinh hầu chắc chắn cho phương trình viphân ngẫu nhiên có trễ là Mohamed Trong bài báo công bố trên tạp chí "Stoch.Stoch Rep" năm 1990 [2], ông đã đưa ra số mũ Lyapunov cho phương trình viphân tuyến tính ngẫu nhiên có trễ Sau đó, Mao [8] đã nghiên cứu tính ổn định

mũ hầu chắc chắn cho một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến có trễ

dx(t) = f (x(t), t)dt + F (ˆx(t), t)dt + G(ˆx(t), t)dW (t) (0.1)

ở đây W(t) là chuyển động Brown đa chiều và,x(t) = {x(t + s) : −τ 6 s 6 0}ˆ

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về tính ổn định mũ hầu chắc chắncủa một dạng phương trình vi phân nhiễu ngẫu nhiên có trễ dựa trên ý tưởng nhưsau: Giả sử một mô hình nào đó trong thực tế được giả thiết là hoạt động trongmôi trường tuyệt đối và được mô tả bởi phương trinh vi phân có trễ dạng tất định

dx(t) = f (x(t), x(t − τ ), t)dt (0.2)

Giả sử rằng phương trình (0.2) ổn định mũ Trong thực tế mô hình đượcmô tả bởi phương trình (0.2) luôn bị tác động bởi một yếu tố ngẫu nhiên bênngoài Do đó chúng được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên sau

Với mục đích đó luận văn được trình bày thành 2 chương Chương 1 chúngtôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho trình bày nội dung chính củaluận văn ở chương 2 Chương 2 chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính

ổn định mũ hầu chắc chắn cho một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ vàmột số ví dụ minh họa cho các nội dung lý thuyết được đưa ra ở trong luận văn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sựhướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Thanh Diệu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy trong suốt thời gian họctập và nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn GS TS Nguyễn VănQuảng, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, TS LêVăn Thành, TS VõThị Hồng Vân, các thầy cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại họcVinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đồngnghiệp đã quan tâm, góp ý, tạo điều kiện giúp tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Học viên mong nhận được những đóng góp củaquý thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày tháng năm 2014

Tác giả

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Tích phân ngẫu nhiên và công thức Itô

Lấy (Ω, F , P) là không gian xác suất với lọc là {Ft} thỏa mãn điều kiệnthông thường LấyW = {Wt}t>0 là quá trình chuyển động Brown xác định trênkhông gian xác suất phù hợp với lọc{Ft}t>0

Định nghĩa 1.1.1 Lấy 0 6 a 6 b < ∞ Ký hiệu M2

([a, b]; R) là không giancác quá trình f = {f(t)}t>0 nhận giá trị thực, (Ft)-phù hợp sao cho

kf k2a,b = E

Z b a

|f (t)|2dt < ∞ (1.1)Chúng ta đồng nhất f và f trên M2

([a, b]; R) nếu kf −f k2a,b = 0 Trong trườnghợp này chúng ta nói rằng f và f tương đương và viết là f = f

Rõ ràng, k ã ka,b xác định một metric trên M2

([a, b]; R) và không gianmetric này là không gian metric đầy đủ Với mỗi f ∈ M2([a, b]; R) tồn tại mộtquá trình đo được lũy tiến f ∈ Mb 2([a, b]; R)là bản sao của f Đặt

f (t) = lim sup

h↓0

1h

Z t t−h

b

f (s)ds

Khi đó, f là quá trình ngẫu nhiên khả đoán và f = f Do đó, không mất tínhtổng quát chúng ta có thể giả thiếtf ∈ M2([a, b]; R)là quá trình ngẫu nhiên khả

|f (t) − gn(t)|2dt = 0 (1.3)

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử g là một quá trình ngẫu nhiên đơn giản xác định bởi(1.2) trong M0([a, b]; R) Khi đó tích phân ngẫu nhiên của g đối vơi quá trìnhchuyển động Brown {Wt} được xác định như sau:

Z b a

|f (t) − gn(t)|2dt = 0

2

= E

Z b a

[gn(t) − gm(t)]dWt

... 15

trình vi phân ngẫu nhiên có trễ< /h3>

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ sau: