Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm e ngược và e nửa nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHPHẠM VĂN CÔNG TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA NHÓM E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 Cán bộ hướng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM VĂN CÔNG

TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA NHÓM

E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

Mã số : 60.46.01.04

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS LÊ QUỐC HÁN

NGHỆ AN - 2014

2.1 Một số lớp nửa nhóm chính quy suy rộng 15

2.1.1 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm chính quy suy rộng 152.1.2 Nửa nhóm E - ngược E - nửa nhóm 162.2 Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược 182.3 Tương đẳng nhóm trên một E - nửa nhóm 23

Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toántrung tâm của lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một nhómthì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn được xác định bởi lớp tương đẳng chứa đơn

vị Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tuỳ ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng trên

S nói chung rất phức tạp

Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc củamột tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của nó.Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được cấutrúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó Dựatrên ý tưởng đó, cấu trúc của nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm chínhquy( Nửa nhóm E- ngược, E - nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm chínhquy suy rộng ) được mô tả một cách khá tường minh

Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả chuyển sang quan tâm đến bài toán:tìm điều kiện của một tương đẳng ρ trên nửa nhóm S sao cho nửa nhóm thươngS/ρ có tính chất nào đó ( nói riêng, S/ρ là một nhóm) Trong trường hợp S lànửa nhóm tùy ý, cấu trúc của ρ khá phức tạp Tuy nhiên, đối với một số lớp nửanhóm đặc biệt, cấu trúc ρ được xác định tường minh hơn

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Congruences and group

congruences on a semigroupcủa Roman S Gigo´n đăng trên tạp chí SemigroupForum năm 2013 để tìm hiểu về tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và

E - nửa nhóm

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trước hết chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về tươngđẳng của nửa nhóm như tương đẳng, tương đẳng cú pháp, nửa nhóm thương,đồng cấu tự nhiên Sau đó trình bày về băng, nửa dàn để làm cơ sở cho việctrình bày chương sau

Chương 2 Tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm

Đây là nội dung chính của luận văn

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tínhchất của nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhóm Sau đó trình bày những tính chấtđặc trưng của tương đẳng nhóm trên nửa nhóm E - ngược và E - nửa nhómLuận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của thầy giáo PGS TS Lê Quốc Hán Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầygiáo, cô giáo trong Khoa Sư phạm Toán học cùng các bạn học viên cao học 20

- Đại số đã quan tâm giúp đỡ và hướng dẫn tận tình tác giả trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những saisót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiệnhơn Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tương đẳng Nửa nhóm thương

1.1.1 Định nghĩa Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên nửa nhóm S Khi

Nếu ρ là một tương đẳng thì nó bảo toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần

tử x1, y1 và x2, y2 thuộc cùng những lớp tương đẳng (x1ρ = y1ρ , x2ρ = y2ρ ) thìtích x1x2, y1y2 cũng thuộc cùng một lớp tương đẳng

1.1.2 Bổ đề Một quan hệ tương đương ρ trên nửa nhóm S là một tương đẳng

nếu và chỉ nếu với mọi x1, x2, y1, y2 có: x1ρ y1, x2ρ y2⇒ x1x2ρ y1y2.

Chứng minh. Giả sử ρ là một tương đẳng Nếu x1ρ y1 và x2ρ y2 thì theo địnhnghĩa, x1x2ρ x1y2và x1y2ρ y1y2, do tính chất bắc cầu của ρ suy ra x1y1ρ x2y2.Khẳng định ngược lại là hiển nhiên.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S Xác định một quan

hệ ΓX như sau: (x, y ∈ ΓX) ⇔ ∀u, v ∈ S1, uxv ∈ X , uyv ∈ X Khi đó ΓX là một

tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng cú pháp của X trong S.

Chúng ta nói rằng một tương đẳng ρ bão hoà một tập con X của nửa nhóm S

nếu X là hợp của các lớp tương đẳng của ρ

1.1.4 Bổ đề Một tương đẳng ρ bão hoà X ⊆ S nếu và chỉ nếu X = S

xρ Khẳng định ngược lại là hiển nhiên

1.1.5 Bổ đề Đối với mọi tập con X ⊆ S, quan hệ ΓX là tương đẳng lớn nhất bão hòa X

Chứng minh. Khẳng định ΓX là tương đẳng trên S được suy ra trực tiếp từ cáchxác định ΓX

Rõ ràng, X được chứa trong hợp của tất cả xΓX(x ∈ X ) Hơn nữa, nếu y ∈ xΓXthì bằng cách chọn u = v = λ trong định nghĩa của ΓX, chúng ta nhận được

x∈ X kéo theo y ∈ X Từ đó xΓX ⊆ X với mọi x ∈ X và do đó X = S

đó uxv ∈ X nếu uyv ∈ X , vì ρ bão hòa X Như vậy (xy) ∈ ΓX và do đó ρ ⊆ ΓX.Vậy ΓX là tương đẳng lớn nhất trên S bão hòa X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên S, và giả sử S/ρ = {xρ|x ∈

S} là tập hợp tất cả các lớp tương đẳng của S Khi đó tương ứng (xρ, yρ) 7−→ xyρ

là một phép toán hai ngôi trên S/ρ và với phép toán đó, S/ρ trở thành một nửa

nhóm được gọi là nửa nhóm thương (của S modul ρ) Để chứng tỏ Định nghĩa

1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác định trong S/ρ như trên

có tính chất kết hợp Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ S, ta có xρ.(yρ.zρ) = xρ.(yzρ) =(x(yz))ρ = ((xy)z)ρ = (xy)ρ.zρ = (xρ.yρ).zρ

1.1.7 Ví dụ a) Xét nửa nhóm S = {a, b, e, f } với bảng nhân dưới đây

Khi đó e và f là các lũy đẳng, e là đơn vị của S

Giả sử ρ là một quan hệ trên S khác quan hệ đồng nhất Thế thì chỉ có f ρb

và bρ f , và ρ là một tương đẳng trên S với các lớp tương đẳng x = {c}, y = {a}

và z = { f , b} Bảng nhân của nửa nhóm thương S/ρ được cho bởi bảng sau

Quan hệ đối xứng ρ2 sao cho aρ2b không phải là một tương đẳng vì a.a = e

và a.b = f trong S nhưng (e, f ) /∈ ρ2 Trong trường hợp này, ρ2 không tươngthích với tích của S : (a, b) ∈ ρ2 nhưng (aa, ab) /∈ ρ2

b) Nếu ρ là một tương đẳng của S = (Z, +), thì nρm kéo theo (n + k)ρ(m +

k), ∀k ∈ Z Giả thiết rằng k là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho nρ(n + k)với n nào đó thuộc Z Nói riêng, 0ρk Ký hiệu m là số dư còn lại của của m được

chia bởi k: 0 ≤ m ≤ m và m = m( mod k) Khi đó mρm Điều ngược lại cũngđúng, và như vậy các tương đẳng của (Z, +) thực chất là các tương đẳng đã xéttrong Lý thuyết số, ρ bằng mod k (k >0).

Bây giờ, ta chứng minh các tương đẳng của một nửa nhóm S đóng dưới phéplấy giao

1.1.8 Mệnh đề. (i) Nếu {ρi|i ∈ I} là một họ các tương đẳng của S, thì ρ =

T

i∈I

ρi cũng là một tương đẳng của S.

(ii) Giả sử δ ⊆ S.S là một quan hệ trên S Thế thì: δc = ∩{ρ|ρ là một tương

đẳng trên S, ρ ⊇ δ } là tương đẳng bé nhất của S chứa δ

Chứng minh (i)Giả sử xρy và z ∈ S Khi đó xρiy, với mọi i ∈ I và do đó zxρizy,xzρiyz, với mọi i ∈ I, vì ρi là tương đẳng, với mọi i ∈ I Từ đó zxρzy và xzρyz

Do đó ρ là một tương đẳng trên S

(ii) Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định

nghĩa giao của các tập hợp

1.1.9 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên S Khi đó ánh xạ

ρ : S −→ S/ρ, ρ (x) = xρ

là một toàn cấu và được gọi là đồng cấu tự nhiên.

Vì ρ là một toàn ánh, nên để chứng tỏ định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cầnchứng minh ρ là đồng cấu

Thật vậy, ∀x, y ∈ S có ρ (xy) = xyρ = xρ.yρ = ρ (x).ρ (y)

1.1.10 Định nghĩa Giả sử α : S −→ P là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó quan

hệ {(x, y) ∈ S.S|α(x) = α(y)} là một tương đẳng trên S, được gọi là hạt nhân

của α và được ký hiệu là ker(α)

Người ta cũng viết ker(α) = αα−1, trong đó α−1(y) = {x ∈ S|α(x) = y} và

α α−1được hình dung như là tích các quan hệ (thực hiện từ trái qua phải)

Sự kiện ker(α) là một tương đẳng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đồngcấu nửa nhóm và cách xác định ker(α) Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng trên

S, thì ρ = ker(ρ ) Thật vậy,

xρy ⇔ xρ = yρ ⇔ ρ (x) = ρ (y) ⇔ (x, y) ∈ Ker(ρ )

Gộp các kết quả trên, ta nhận được

1.1.11 Hệ quả Mỗi tương đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó.

Bây giờ ta chuyển sang chứng minh các Định lý về đồng cấu và đẳng cấu nửanhóm

1.1.12 Định lí Giả sử α : S −→ P là một đồng cấu tùy ý Tồn tại duy nhất một

phép nhúng β : S/ker(α) −→ P sao cho biểu đồ sau đây giao hoán:

nghĩa là α = β ker(α)

Chứng minh. Giả sử ρ = ker(α) và ρ : S −→ S/ρ là đồng cấu tự nhiên.Tương ứng β : S/ρ −→ P xác định bởi β (xρ) = α(x) với mọi x ∈ S là một ánh

xạ Thật vậy, xρ = yρ ⇔ (x, y) ∈ ker(α) ⇔ α(x) = α(y) ⇔ β (xα) = β (yα)

Từ đây cũng trực tiếp suy ra α là đơn ánh

Hơn nữa, β là đồng cấu, vì β (xρ.yρ) = β (xyρ) = α(xy) = α(x).α(y) =

β (xρ ).β (yρ )

Cuối cùng, β là duy nhất vì nếu γ : S/ρ −→ P là một phép nhúng thỏamãn α = γ.ρ thì α(x) = γ(xρ), ∀x ∈ S nên β (xρ) = γ(xρ), ∀xρ ∈ S/ρ Do đó

γ = β

1.1.13 Định lí (Định lý đồng cấu nửa nhóm).Giả sử α : S −→ P là đồng cấu

nửa nhóm và ρ ⊆ ker(α) là một tương đẳng của S Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất β : S/ρ −→ P sao cho α = β ρ , trong đó ρ : S −→ S/ρ là đồng cấu tự nhiên.

Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý 1.1.12

Ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạ β cho bởi β (xρ) = α(x) là hoàn toàn xácđịnh, vì xρ = yρ ⇒ xρy ⇒ (x, y) ∈ ρ ⇒ (x, y) ∈ ker(α) ⇒ α(x) = α(y), do

ρ ∈ ker(α )

Định lý đồng cấu cũng như Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả đại

số phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng được thỏa mãn trong tất cả các cấu trúcđại số (nhóm, vành, đại số Bool )

1.1.14 Định lí (Định lý đẳng cấu nửa nhóm) Giả sử α : S −→ P là một đẳng

cấu Thế thì α(S) ' S/ker(α)

Chứng minh. Vì α : S −→ P là một đồng cấu nên α : S −→ α(S) là một toàncấu Theo Định lý 1.1.12, chúng ta nhận được một phép nhúng duy nhất β :S/ker(α) −→ α(S) Hơn nữa, β là toàn ánh vì α là toàn ánh từ S vào α(S) và

α = β γ với γ = ker(α ) Do đó β là một đẳng cấu, từ đó S/ker(α) ' α(S)

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nhóm

1.2.1 Định nghĩa Một quan hệ ≤ trên một tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ

phậnnếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng kí hiệu

a< b để chỉ a ≤ b và a 6= b

1.2.2 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S Khi đó

quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f (e, f ∈ E) nếu e f = f e = e là một thứ tự

bộ phận trên E

Chứng minh. Vì e ∈ E nên e2 = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ.

Hơn nửa, nếu e ≤ f , f ≤ e thì e f = f e = e và f e = e f = f nên e = f , do đó

≤ phản đối xứng

Ta lại có: nếu e ≤ f và f ≤ g thì e f = f e = e và f g = g f = f nên:

eg= (e f )g = e( f g) = e f = e, ge = g( f e) = (g f )e = f e = e Do đó, e ≤ gnên ≤ bắc cầu

1.2.3 Định nghĩa Quan hệ ≤ xác định trong Bổ đề 1.2.2 được gọi là thứ tự bộ

phận tự nhiên trên E

1.2.4 Định nghĩa Giả sử ≤ là một thứ tự bộ phận trên tập X và Y là một tập

con của X

(i) Phần tử b ∈ X được gọi là cận trên của Y nếu y ≤ b với mọi y ∈ Y

(ii) Cận trên b của Y được goi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y , nếu b ≤ c

với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X , thì rõ ràng hợp đó làduy nhất)

(iii) Phần tử a ∈ X được gọi là cận dưới của Y nếu a ≤ y với mọi y ∈ Y

(iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu d ≤ a

với mọi cận dưới d của Y (Nếu Y có một giao trong X , thì rõ ràng giao đó

là duy nhất)

(v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu mỗi tập

con gồm hai phần tử {a, b} của X có hợp (hay giao) trong X ; trong trườnghợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao)của {a, b} sẽ được kí hiệu là a ∪ b (hay a ∩ b)

(vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và

nửa dàn dưới

(vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp và một

giao

1.2.5 Ví dụ a) Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàmcủa lý thuyết tập hợp Vì giao của tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc

là nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của

X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y , trong lúc

đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp của lý thuyết tập hợp của các nửanhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ ”nửanhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ ”tương đẳng trên S”

b) Tập hợp tất cả các idean trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm

tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy đủ củađại số Boole tất cả các tập con của S

1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S

đều là lũy đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó S = E và S được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận

tự nhiên (a ≤ b, (a, b ∈ S) nếu và chỉ nếu ab = ba = a)

1.2.7 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận

tự nhiên trên S Giao a ∩ b của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab của chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.2, quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên S(= E)

Ta chứng tỏ tích ab(= ba) của hai phần tử a, b ∈ S trùng với cận dưới lớn nhấtcủa {a, b}

Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = a2b= ab và a(ab) = (aa)b = a2b = absuy ra ab ≤ a Tương tự ab ≤ b nên ab là cận trên của {a, b} Giả sử c ≤ a và

c≤ b Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tương tự, c(ab) = c, từ đó c ≤ ab Do

đó ab là cận dưới lớn nhất của {a, b} Suy ra S là nửa dàn dưới.

Mệnh để đảo là hiển nhiên

1.2.8 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a ≤ b khi và chỉ

khi ab(= ba) = b thì (S, ≤) là nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống nhất, ta giữđịnh nghĩa nêu trong 1.2.4 Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn như đồng nghĩavới từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới,nếu không nói thêm gì

1.2.9 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý S = X ×Y là tích Decartes của

X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

(x1, y1)(x2, y2) = (x1, y2)với x1, x2 ∈ X; y1, y2 ∈ Y Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiểnnhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X ×Y Lý do của tên gọi đó như sau: Ta

hãy tưởng tượng X ×Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm (x, y)nằm ở dòng x cột y của bảng Thế thì a1 = (x1, y1) và a2 = (x2, y2) là hai đỉnhđối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a1a2= (x1, y2) và a2a1= (x2, y1).Các băng chữ nhật trên X × Y và X0× Y0 đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu

|X| = |X0| và |Y | = |Y0|

Nếu |X | = 1, |Y | = 1 thì băng chữ nhật trên X ×Y đẳng cấu với nửa nhóm cácphần tử không bên phải

1.2.10 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα, α ∈ I (I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S

phân tích đượcthành các nửa nhóm con Sα, α ∈ I

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sα thuộcvào lớp các nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S = ∪{Sα, α ∈ I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với mọi cặp

α , β ∈ I, tồn tại γ ∈ I sao cho Sα.Sβ = Sγ Ta định nghĩa một phép toán đại sốtrong I bằng cách đặt α.β = γ nếu Sα.Sβ ≤ Sγ, khi đó I trở thành một băng đối

với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα

Ánh xạ ϕ : S → I xác định bởi ϕ(a) = α nếu a ∈ S là một toàn cấu và cácnửa nhóm con Sα là các lớp của tương đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu ϕ làmột toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược Sα = ϕ−1(α)

của mỗi phần tử α ∈ I là một nửa nhóm con của S và S là hợp của nửa dàn I

các nửa nhóm Sα, α ∈ I

TƯƠNG ĐẲNG NHÓM TRÊN NỬA

NHÓM

E - NGƯỢC VÀ E - NỬA NHÓM.

2.1 Một số lớp nửa nhóm chính quy suy rộng.

2.1.1 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm chính quy suy rộng.

Giả sử S là một nửa nhóm Phần tử a ∈ S được gọi là phần tử chính quy nếu

có phần tử x ∈ S sao cho axa = a Tập hợp tất cả các phần tử chính quy của S

được kí hiệu bởi Reg(S) Phần tử x ∈ S được gọi là phần tử ngược của phần tử

a∈ S nếu axa = a, xax = x Khi đó a cũng là phần tử ngược của x và ta nói rằng

avà x là hai phần tử ngược nhau trong S Với mỗi a cho trước, tập hợp tất cả cácphần tử ngược của a được ký hiệu bởi V (a) Như vậy

Reg(S) = {a ∈ S : a ∈ aSa}

V(a) = {x ∈ S : axa = a, xax = x}

Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều

là phần tử chính quy, nghĩa là Reg(S) = S hay tương đương, V (a) 6= /0 với mỗi

a∈ S Chú ý rằng nếu a là phần tử chính quy của S và x ∈ S nào đó thoả mãnaxa= a thì xax ∈ V (a)

Phần tử a ∈ S được gọi là phần tử chính quy suy rộng nếu có số tự nhiên n