Sự tồn tại điểm bất động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

NGUYỄN TIẾN TUẦN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014... NGUYỄN TIẾN TUẦN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

………

NGUYỄN TIẾN TUẦN

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ

THỨ TỰ BỘ PHẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

………

NGUYỄN TIẾN TUẦN

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ

THỨ TỰ BỘ PHẬN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG

NGHỆ AN - 2014

Không gian mêtric và lý thuyết điểm bất động là đối tượng nghiên cứu quan trọng của giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi cũng như trong nhiều ngành khoa học ứng dụng khác Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Với việc chỉ ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý ánh xạ co Banach đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong việc chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp

xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích Có nhiều hướng nghiên cứu, tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric thành các lớp không gian tổng quát hơn hoặc các lớp không gian có cấu trúc tương tự, đồng thời các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric cũng được nghiên cứu phong phú cho nhiều loại ánh xạ trên nhiều lớp không gian khác nhau

Huang và Zhang( 3 )   đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra khái niệm không gian mêtric nón

Cũng tương tự như đối với không gian mêtric nón, có thể đưa ra khái niệm không gian giả mêtric nón bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong nón định hướng trong không gian Banach Với cách làm này, trong   1 ,Lê Thị Dung đã giới thiệu khái niệm không gian giả mêtric nón và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón

Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề tìm điều kiện đủ để cho các ánh xạ xác định trên các không gian có trang bị thứ tự, có điểm bất động cũng được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Xem [4]; [5]

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các tính chất của không gian giả mêtric nón, tìm các điều kiện để cho các ánh xạ co suy rộng có điểm bất động trên các không gian giả mêtric nón có

thứ tự bộ phận Vì thế, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về sự tồn tại điểm bất

động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận”

Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương

Chương I Không gian giả mêtric nón

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian giả

Phần thứ hai đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của cặp

ánh xạ tăng yếu trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

Các kết quả trong Chương II là mới, đó là sự mở rộng một số kết quả đã có trong không gian mêtric hoặc không gian mêtric nón cho không gian giả mêtric nón

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa

sư phạm Toán – Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ về chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành tốt luận văn

Vinh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn Các kết quả này được lấy từ  2 và  3

1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp Họ các tập con của được gọi là tôpô trên nếu thỏa mãn điều kiện

Các phần tử của được gọi là điểm trong không gian tôpô

Các phần tử thuộc được gọi là tập mở

Giả sử Tập được gọi là tập đóng nếu \ là tập mở

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập con A của được gọi là lân cận

của điểm nếu tồn tại tập mở sao cho A

Cho không gian tôpô , , ( ) là họ tất cả các lân cận tại Họ ( )

( được gọi là cơ sở lân cận của nếu với mọi ( tồn tại (

sao cho

1.1.3 Định nghĩa Dãy{ n}trong không gian tôpô được gọi là hội tụ tới nếu với mỗi lân cận của tồn tại 0 cho

n với mọi 0

Khi đó, ta viết xn x hoặc lim n

x x x

 

1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm có một cơ sở lân cận ( ) có lực lượng đếm được Không gian tôpô được gọi là T1 – không gian nếu với mọi , ,

tồn tại lân cận của và lân cận của sao cho và

Không gian tôpô của được gọi là T2–không gian hay không gian Hausdorff

nếu hai điểm bất kỳ , tồn tại các lân cận tương ứng U U x, y của sao cho U U

của sao cho f U ( )  V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên nói gọn là liên tục

nếu nó liên tục tại mọi điểm của

1.1.6 Định lý Giả sử và là các không gian tôpô f : Khi đó các điều kiện sau đây tương đương

i) f liên tục trên ;

ii) Nếu là tập mở trong thì 1

f  ( ) mở trong ; iii) Nếu là tập đóng trong thì 1

f  ( ) đóng trong

1.1.7 Định nghĩa: Giả sử là các tập khác rỗng và d X:  X R Hàm được

gọi là một mêtric trên nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

i) 0 ( với mọi X và ( = 0 khi và chỉ khi ;

ii) ( ( với mọi X ;

iii) ( ( ( với mọi X

Tập cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian metric và ký hiệu là

được gọi là một chuẩn trên không gian vectơ Số ( được gọi là chuẩn của

vectơ Ta thường ký hiệu chuẩn của là Không gian vectơ cùng

với chuẩn xác định trên nó được gọi là một không gian định chuẩn

1.1.10 Mệnh đề Nếu là không gian định chuẩn thì công thức

(

xác định một mêtric trên Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn

1.1.11 Định nghĩa Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ

theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là một không gian Banach

1.1.12 Định lý Nếu là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn

x ; phép cộng: ( (

và phép nhân với vô hướng: ( ( là các ánh xạ liên tục

1.1.13 Định lý Giả sử là không gian định chuẩn Khi đó, với mỗi và mỗi , các ánh xạ

,  x E

là các phép đồng phôi lên

1.2 Nón trong không gian Banach

Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach

1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho là không gian Banach trên trường số thực Tập con của được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) là tập đóng , và { }

ii) Với mọi mọi ta có

iii) Nếu và thì

1.2.2 Ví dụ ([4]) 1 Trong không gian các số thực với chuẩn thông thường, tập = { } là một nón

2 Giả sử = 2, ={( } 2 Khi đó, thỏa mãn ba điều kiện

3 Giả sử C[a,b] là tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên [ ] Ta đã biết

C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

{ [a,b] : 0 } Khi đó thỏa mãn ba điều kiện

Cho là một nón trong không gian Banach Khi đó, trên xét quan hệ thứ

tự xác định bởi như sau nếu và chỉ nếu Chúng ta quy ước nếu và còn nếu với là phần trong của

1.2.3 Định nghĩa ([4]) Cho là một nón trong không gian Banach E

1) Nón được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực > 0 sao cho mọi ,

và ta có Số thực dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện

này được gọi hằng số chuẩn tắc của

2) Nón được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong đều hội tụ Nghĩa là, nếu { n} là dãy trong E sao cho

1 2 … n … với thì tồn tại n - khi 

Định lý sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc

1.2.4 Định lý ([4]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón chuẩn tắc

1.2.5 Nhận xét ([4]) Điều ngược lại của Định lý 1.2.4 là không đúng, tức là có

những nón chuẩn tắc nhưng không chính quy Thậy vậy, xét không gian Banach

E = [0,1] với chuẩn sup :

1.2.6 Bổ đề ([4]) Giả sử là nón trong không gian Banach , và là

v) Với mỗi > 0 và tồn tại 0 < < ;

vi) Với mỗi 1 và 2 tồn tại 1 và

c 2

vii) Với mọi 1, 2 tồn tại e sao cho e 1 và e 2 ;

viii) Nếu và a với mọi thì

ix) Nếu a   a với aP , 0  1 thì ;

x) Nếu 0 n y n với mỗi n và lim n , lim n

n x x n y y

    thì 0 x y Chứng minh i) Vì phép cộng liên tục nên + Nếu a và

thì và Suy ra – = – + – +

Vậy

ii) Để ý rằng + = ( là tập mở và là nón nên suy ra + Do đó + Nếu và b thì và – Suy ra – = – + – + hay – Vậy

iii) Ta có a và d – c suy ra b – a + d – c hay (b +d) – (a + c) do đó a + c

iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên

v) Với mỗi > 0 và chọn số tự nhiên > 1 sao cho

Do tính hút của (0, tồn tại sao cho c2 ( suy ra

2 ( và 1 – 2 Đặt = 1 – 2 Khi đó, d thỏa mãn vi) vii) Chọn > 0 sao cho 1 + (0, ’) , 2+ (0, ) trong đó (0, ) = { x < } Do tính hút của (0, ) tồn tại m > 0 sao cho

1 ( , 2 ( , suy ra – 1 ( , 2 ( và

1 – 1 , 2 – c2 Đặt e = 1 – 1 + 2 – 2 Khi đó, e thỏa mãn vii)

viii) Giả sử Từ giả thiết suy ra với mọi với mọi Do đó Mặt khác, vì dãy { } và đóng trong nên –

Như vậy, và Vì là nón nên = 0

ix)Vì nên hay ( nên

Từ đó suy ra – do đó Hoàn toàn tương tự như trên ta chứng minh được n suy ra 0 Vậy 0

1.2.7 Bổ đề Giả sử là nón trong không gian Banach E và {x n } là dãy trong Khi đó,nếu

x n thì với mỗi c int tồn tại n 0 sao cho x n c với mọi n n 0 Hơn nữa nếu chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong và xn 0 Với mọi c vì

là tập mở nên tồn tại sao cho BE (0, ) Do đó, nếu x E mà < Với xác định như trên tồn tại

0 N sao cho

n < n > 0

Suy ra c – x với mọi 0 Do đó xn c với mọi 0

Ngược lại, giả sử chuẩn tắc và với mọi c tồn tại n0 sao cho

xn Gọi là hằng số chuẩn tắc của P Với mỗi > 0, chọn c sao cho

0 và , từ giả thiết tồn tại 0 sao cho

x n c với mọi nn0

Vì là chuẩn tắc với hằng số K nên xn < với mọi nn0 Do đó

xn 0

Vậy xn

1.3 Không gian giả mêtric nón

Từ đây về sau ta quy ước là một nón không gian Banach thực E sao cho ; ; ;<< là các thứ tự bộ phận trên E được xác định bởi

1.3.1 Định nghĩa Giả sử là tập khác rỗng và

( (

Ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên nếu thỏa

mãn các điều kiện sau

i) ( với mọi , ( = 0 nếu

ii) ( ( với mọi ;

iii) ( ( ( với mọi

Tập cùng với giả khoảng cách nón d trên được gọi là không gian giả mêtric nón và ký hiệu là ( ,d) hoặc

1.3.2 Ví dụ 1) Giả sử L[a,b] là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tích trên đoạn [a,b] và d: L[a,b] x L[a,b] là hàm được cho bởi

( ∫ f x( ) g x( ) L[a,b] Khi đó, là giả mêtric nón trên L[a,b] và do đó L[a,b] là không gian giả mêtric nón

Chứng minh Đặt = [0, ) Khi đó, là nón trong không gian Banach các

số thực Hơn nữa thứ tự bộ phận trên được xác định bởi chính là thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên

Rõ ràng ( ( nếu và ( ( với mọi [ ] Giả sử [ ] Ta có

( ∫| ( ( | ∫| ( ( ( ( |

∫| ( ( | ∫| ( ( | ( ( Vậy là giả mêtric nón trên [ ]

Chú ý 1) Nếu là giả mêtric trên và thỏa mãn theo điều kiện ( kéo theo thì là mêtric nón trên Như vậy, không gian mêtric nón là trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón

2)Trong ví dụ trên không phải là mêtric nón trên [ ].Thật vậy lấy và với

Ví dụ 2) Ta đã biết { [ ] } là nón trong không gian Banach

[ ] các hàm liên tục trên [ ], nhận giá trị trong Hơn nữa quan hệ ≤ trên

[ ] được xác định bởi trùng với quan hệ ≤ thông thường trên [ ] Ta kí hiệu

 

 a b, :

X  f C có đạo hàm liên tục trên a b, 

và xác định hàm bởi công thức ( | | với mọi , tức là ( ( | ( ( | [ ] Khi đó, thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức là giả mêtric nón trên

Ta thấy rằng không là mêtric nón Thật vậy, nếu ta xét các hàm với ( ( [ ] thì nhưng (

Từ đây về sau, ta giả thiết ( là không gian giả mêtric nón với nhận giá trị trong nón

1.3.3 Định nghĩa Giả sử ( là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ và Đặt

( { ( } Tập ( được gọi là hình cầu mở tâm , bán kính

1.3.4 Mệnh đề Đặt

{ ( } Khi đó,

( { }

Do đó

{ } Giả sử Lấy bất kỳ Khi đó, Do nên tồn tại và sao cho ( và ( Theo Bổ

đề 1.2.6.vii) tồn tại sao cho và Từ đó suy ra ( ( ( Do đó,

Vậy là một tôpô trên

ii) Giả sử ( Khi đó ( Đặt ( Vì ( nên ta có Với mọi ( ta có ( Do đó

từ điều kiện iii) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra

Chú ý: Nếu là không gian giả mêtric nón mà ( với mọi thì

là không gian mêtric nón Do đó là không gian

Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón ta hiểu tôpô trên là tôpô nói ở Mệnh đề 1.3.4

1.3.5 Hệ quả Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X

Chứng minh Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.4.ii) suy ra ( là tập mở 

1.3.6 Định lý Giả sử (X,d) là không gian giả mêtric nón, { } Khi đó, i) { } hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi tồn tại số tự nhiên sao cho ( với mọi

ii) Nếu P là nón chuẩn tắc thì khi và chỉ khi (

Chứng minh

i) Giả sử Khi đó, với mỗi Vì ( nên tồn tại số tự nhiên sao cho ( với mọi Do đó, ( với mọi

Ngược lại, giả sử với mỗi tồn tại số tự nhiên sao cho (

với mọi Với mỗi lân cận của tồn tại sao cho (

Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên sao cho ( với mọi Do

đó,

ii) Từ i) và Bổ đề 1.2.7, suy ra điều cần chứng minh 

1.3.7 Mệnh đề Giả sử { } là dãy trong X, a và Khi đó,

i) Nếu và thì (

ii) khi và chỉ khi với mọi , trong đó

{ ( }

Chứng minh i) Với mọi ta có ( ( ( (1) Vì

và nên từ Định lý 1.3.6.i) suy ra mỗi tồn tại số tự nhiên

sao cho ( và ( với mọi Kết hợp với (1) suy ra ( với mọi Theo Bổ đề 1.2.6, thì (

ii) Điều kiện cần Giả sử Ta cần chứng minh , với mọi Thật vậy, từ suy ra với mọi tồn tại sao cho ( với mọi Với mọi ta có ( Do đó

( ( (

Từ đó suy ra:

Điều kiện đủ Vì nên điều cần chứng minh là hiển nhiên 

1.3.8 Mệnh đề Giả sử ( là không giả mêtric nón, và Khi đó,

họ { ( ) } là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X là không gian thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Chứng minh Giả sử là lân cận bất kỳ của điểm Khi đó, tồn tại sao cho ( Vì khi và nên Bổ đề 1.2.7, suy ra tồn

tại sao cho Do đó, ( ) ( Suy ra là cơ sở lân cận tại điểm

Hiển nhiên là tập đếm được Do đó là không gian thỏa mãn tiên đề đếm

iii) Với mọi ta có ( (

Chứng minh i) Với mọi b và ta có

ii) Giả sử { } và Vì thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nên

để chứng minh đóng ta chỉ cần chứng minh Vì nên với mọi tồn tại số tự nhiên sao cho ( với mọi Vì với mọi nên ( với mọi Do đó

( ( ( ( (

và

( ( ( ( (

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận

2.1.1 Định nghĩa Giả sử Điểm được gọi là điểm bất động của

(ii) không giảm và tồn tại sao cho ;

(iii) liên tục hoặc