Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán lượng giác

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu cách thức rèn luyện tưduy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác nhằmnâng cao năng lực giả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI LỜI GIẢI

BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI LỜI GIẢI

BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN THUẬN

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Thuận trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tác giả luận văn chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán, Tổ Phương pháp giảng dạy khoa Toán của trường Đại học Vinh Cảm ơn Ban giám hiệu, Tổ Toán trường THPT Nguyễn Xuân Ôn (Diễn Châu - Nghệ An).

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô giáo và các Bạn đồng nghiệp đã quan tâm giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình và những người thân

đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này.

Vinh, ngày 26 tháng 09 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh

CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

7 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 4

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN 4

Chương 1 4

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Đại cương về tư duy 4

1.2 Tư duy toán học 9

1.2.1 Khái niệm 9

1.2.2 Các loại hình tư duy 9

1.2.3 Một số nhận xét về cách phân loại tư duy toán học 14

1.2.4 Vai trò của tư duy toán học 15

1.3 Nội dung và đặc điểm của phân môn lượng giác 16

1.3.1 Nội dung chủ đề lượng giác ở trường phổ thông 16

1.3.2 Đặc điểm môn lượng giác ở trường THPT 16

1.4 Một số khó khăn sai lầm khi giải toán lượng giác 17

1.4.1 Sai lầm liên quan đến việc thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán 17

1.4.2 Sai lầm do phương pháp suy luận 18

1.4.3 Sai lầm do kết luận bài toán một cách vội vàng thiếu cơ sở lí luận 20

1.4.4 Sai lầm do không nắm bắt được các điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương 21

1.4.5 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 22

1.5 Một số thực trạng về phương pháp dạy học giải toán lượng giác 23

KẾT LUẬN CHƯƠNG I 24

Chương 2 25

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC 25

2.1 Một số thành tố tư duy ảnh hưởng quá trình giải toán lượng giác 25

2.1.1 Liên tưởng và huy động kiến thức 25

2.1.2 Biến đổi và tính toán 35

2.1.3 Dự đoán và suy luận có lí 39

2.1.4 Suy diễn và các thao tác tư duy 44

2.1.5 Diễn đạt vấn đề theo nhiều cách khác nhau 58

2.2 Các biện pháp rèn luyện tư duy học sinh trong quá trình tìm tòi giải bài toán lượng giác 61

2.2.1 Trang bị các kiến thức nền tảng xây dựng các bài toán gốc 61

2.2.2 Liên tưởng và huy động kiến thức 69

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 86

Chương 3 87

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

3.1 Mục đích thực nghiệm 87

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 87

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 87

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 88

3.3.1 Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm 89

3.3.2 Đánh giá bài kiểm tra 90

3.3.3 Đánh giá, phân tích kết quả kiểm tra 91

1 92

2 92

3 92

4 92

5 92

6 92

7 92

8 92

9 92

10 92

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO 97

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Bản chất của tư duy là sự suy nghĩ trong đầu óc con người Cuộc

sống mỗi ngày đều có thể có thêm sự mới lạ - đó là nhờ sức sáng tạo trong tưduy của con người Xã hội càng phát triển thì càng đòi hỏi con người phải suynghĩ nhiều hơn Do đó, rèn tư duy có nghĩa là rèn cho con người cách thứcsuy nghĩ Đây là vấn đề rất cần thiết

1.2 Toán học có những đặc điểm phân biệt so với các môn học khác.

Việc tìm ra cái mới trong toán học không đi theo con đường thực nghiệm nhưmột số khoa học khác mà chủ yếu là suy nghĩ trong trí óc Cho nên khoa họcnày có tính trừu tượng cao và quá trình tìm tòi cái mới chủ yếu là nhờ sự suynghĩ trong đầu óc con người

1.3 Lượng giác là phân môn rất quan trọng, xuất phát ban đầu là những

khái niệm rất cụ thể nhưng cũng trên các nền tảng đó nó đi tới nhiều vấn đềphong phú Ví như những hằng đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác, tachưa bao giờ thấy nó ngừng lại mà luôn luôn có mệnh đề mới Việc chứngminh những mệnh đề đó không hề đơn giản trừ khi ta đã biết trước về đườnghướng tiến hành Còn nếu chưa biết trước thì sự mày mò để tìm ra phươnghướng hợp lý là rất khó khăn

1.4 Cách dạy phổ biến hiện nay mang nặng ý nghĩa thầy giảng, trò

nghe, không chú trọng lắm đến việc dạy suy nghĩ và tìm tòi bởi như vậy sẽtốn nhiều thời gian và nhiều khi phá vỡ kịch bản dự kiến từ trước Cho nên,giáo viên nghĩ rằng trình bày lời giải cho xong chứ còn dẫn dắt đàm thoại thìkhông đủ thì giờ

1.5 Đến nay đã có nhiều công trình nhiên cứu về tư duy nhưng chưa đi

tới sự thống nhất hoàn toàn Các quan điểm về tư duy cũng rất phong phú vàcũng không thể nói được loại tư duy nào quan trọng hơn tư duy nào Tấtnhiên giữa chúng phải có sự giao thoa tác động lẫn nhau và khi đứng trướcmột vấn đề cụ thể thì thông thường chịu sự tác động của nhiều loại tư duymới có thể giải quyết được vấn đề Cho nên ta không chỉ nhấn mạnh vai tròcủa một loại tư duy nào mà ta sẽ sử dụng nhiều loại hình một lúc Tuy rằngtrong những tình huống cụ thể thì liều lượng mỗi loại là không giống nhaunhưng rốt cục phải đồng thời phối hợp để giải quyết xong vấn đề

1.6 Theo thời gian thì con người sẽ tích luỹ thêm nhiều kiến thức về

lượng giác Đó có thể là một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc một tínhchất Nhưng vấn đề quan trọng là ở chỗ khi đứng trước một bài toán cụ thể thìliệu ta có còn nhớ đến những kiến thức đã được tích luỹ từ trước hay không?

Có biết sử dụng cái nào để làm công cụ giải bài toán hay không? Điều đó liênquan đến năng lực huy động kiến thức và liên tưởng của người giải toán

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán

lượng giác”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu cách thức rèn luyện tưduy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác nhằmnâng cao năng lực giải toán của học sinh và đồng thời góp phần rèn luyệnđược năng lực tư duy toán học cho học sinh

3 KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học môn toán ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các thao tác tư duy và xây dựng các biện pháp rèn luyện tưduy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu trong quá trình dạy học giải bài tập lượng giác, người giáo viênchú trọng thích đáng vấn đề rèn luyện cho học sinh khả năng suy nghĩ để tìmtòi và phát hiện lời giải thì tư duy toán học của học sinh sẽ được nâng lên vàđồng thời năng lực giải toán lượng giác sẽ được phát triển

5 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề tư duy, nội dung

và đặc điểm của phân môn lượng giác

5.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy toán lượng giác, lựa chọn ra một

số thao tác tư duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải Toán

5.3 Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rènluyện tư duy cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán

5.4 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng

sư phạm đã đề xuất

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

6.1 Nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luậndạy học môn toán

- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trìnhkhoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài

6.2 Điều tra quan sát:

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trongquá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa

6.3 Thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả củaluận văn

7 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

Góp phần làm rõ vai trò của tư duy toán học và một số thành phần trongnăng lực giải toán cho học sinh thông qua việc rèn luyện tư duy giải toánlượng giác

Đưa ra được các biện pháp rèn luyện khả năng suy nghĩ góp phần nângcao năng lực tư duy toán học cho học sinh

Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toánnhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

8 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nộidung chínnh:

Phần nội dung

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2: Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải

bài toán lượng giác

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tưduy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụngnhững quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình Tư duy thực chất là sựsuy nghĩ trong đầu óc của con người Xã hội càng phát triển thì đòi hỏi conngười phải suy nghĩ nhiều hơn Do đó, tư duy chỉ xuất hiện khi con ngườiđứng trước một tình huống có vấn đề Có nhiều quan điểm về tư duy:

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chấtnhững mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượngtrong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo Tâm lý học đạicương – Nguyễn Quang Uẩn)

Theo Từ điển Triết học “tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thếgiới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuất hiệntrong quá trình sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tạimột cách gián tiếp và phản ánh những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉtồn tại trong những mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động vàlời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy củacon người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kếtquả tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quátrình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đềnhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ýniệm, kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Từ đó ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánhtích cực của thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ.

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđược phản ánh với những hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt độngcủa con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

Theo một số quan điểm trên thì tư duy là quá trình suy nghĩ Đề cập tớiviệc rèn luyện tư duy có nghĩa là rèn cho con người cách thức suy nghĩ chứkhông chỉ là tiếp nhận một cách thụ động kiến thức do người khác trình bàycho mình

Tất nhiên nói như trên không có nghĩa là mọi loại tư duy đều rất mạnh,rất có giá trị mà phải thừa nhận rằng tuỳ trường hợp, tuỳ đối tượng, tuỳ môitrường, tuỳ lứa tuổi, tuỳ tri thức sẵn có và tuỳ cách dạy tư duy nữa thì sảnphẩm của tư duy đạt đến mức độ nào là điều chưa thể ấn định trước Ta khôngnên đồng nhất giá trị của việc tư duy với kết quả đạt được bởi vì nhiều khi cónhững em còn rất bé, nghĩ ra một điều gì đó tuy rằng đối với người lớn rấttầm thường nhưng thực ra đối với lứa tuổi đó thì tư duy như vậy rất đáng ghinhận

Chẳng hạn một em học sinh lớp 3 được ra bài toán tìm tổng: 1 + 2 + 3+ 4 + + 9 + 10, thật ra kết quả 55 thì không có vấn đề gì đối với ngườilao động phổ thông tuy nhiên có em đã biết ghép số đầu với số cuối, số gầnđầu với số gần cuối để đi đến nhận xét rằng có “5 lần’’, 1 lần bằng 11 nên kếtquả là 55

Ví dụ trên cho thấy, với em bé lớp 3 làm bài toán đó thì tư duy của em

đó còn giá trị hơn nhiều so với việc một học sinh lớp 10 giải được phươngtrình bậc 4 trùng phương

Nói tóm lại, dạy tư duy là dạy cho con người biết suy nghĩ dĩ nhiêncũng phải thông qua kiến thức Ví dụ dạy tư duy toán học thì cũng phải thôngqua môn toán nhưng cái khác với bình thường là ở chỗ: Nhiều khi dạy toánđơn thuần chỉ trình bày lời giải có sẵn để học sinh chép, trong khi đó dạy tưduy thì phải có sự dẫn dắt và gợi ý có những sự khơi dậy để học sinh huyđộng và liên tưởng kiến thức, có những thủ thuật suy nghĩ để giải quyết vấn

đề, có những phán đoán để tìm phương hướng cho lời giải Cho nên, dạy tưduy bao giờ cũng khó và mất nhiều thời gian Nó còn đòi hỏi người dạy phải

am hiểu và hình dung rõ nét về quá trình của người học

tả quá trình suy nghĩ trong khi giải quyết bài toán ấy thì như thế ít nhiều cũng

đã dạy được tư duy còn hơn là chỉ âm thầm trình bày lời để học sinh ghi chép

Trở lại ví dụ trên, người giáo viên chỉ lặng lẽ trình bày phép chứng

Thầy giáo đặt vấn đề: Đây là một phương trình lượng giác 2 ẩn, lại cóbậc khá lớn Mặt khác mỗi ẩn lại nằm riêng một vế Do đó cách giải bài toán

có yếu tố không mẫu mực chứ không phải là chỉ biến đổi một cách thôngthường Ta nghiêng về yếu tố bất đẳng thức vì nói chung việc giải phươngtrình không mẫu mực thường gắn liền với chứng minh bất đẳng thức Nếu tađánh giá VT theo chiều ≤ thì lại đánh giá VP theo chiều ngược lại mới tạo rađược sự đối lập Tuy nhiên VT mà đánh giá theo chiều ≤ thì không được vìkhi ta cho tử số sát về 0 thì VT muốn lớn bao nhiêu cũng được Do đó bắtbuộc ta phải đánh giá cả 2 vế theo chiều ngược lại Đánh giá VP theo chiều ≤

Lập luận như trên có thể do người thầy tự trình bày nhưng dẫu sao thì

sự hiển diện của những con số vẫn có cơ sở chứ không mang tính áp đặt

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Khái niệm

Tư duy toán học được hiểu một cách ngắn gọn quá trình suy nghĩ nhằmgiải quyết những vấn đề thuộc toán học hoặc trong môn toán Nó có các tínhchất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụngcác phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực,cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng

“Nội dung của tư duy toán học là những tư tưởng phản ánh hình dạngkhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Hình thức của

tư duy toán học là khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh” (Nguyễn VănLộc - Tr16,27)

1.2.2 Các loại hình tư duy

Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Có rất nhiều loạihình tư duy như tư duy lôgic, tư duy biện chứng, tư duy sáng tạo, tư duy kinhnghiệm, tư duy lý luận,… Về bản chất tư duy chỉ có một, đó là sự việc hìnhthành mới hoặc tái tạo lại các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ Sự phân chiacác loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu hơn và vận dụng tốt tư duy tronghoạt động của hệ thần kinh

Có nhiều cách phân loại tư duy Sau đây là một số cách phân loại tư duy:

1.2.2.1 Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành

và phát triển tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy:

a/ Tư duy trực quan - hành động: là loại tư duy bằng các thao tác cụthể, tay chân, hướng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan

b/ Tư duy trực quan - hình ảnh: là loại tư duy mà việc giải quyết cácvấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tượng

c/ Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ - lôgic) là loại tư duy phát triển

ở mức cao nhất, chỉ có người, đó là loại tư duy mà việc giải quyết vấn đề dựa

trên các khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ,lấy ngôn ngữ làm phương tiện.

Ba loại tư duy nói trên có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung và chiphối lẫn nhau, trong đó tư duy trực quan - hành động, tư duy trực quan - hìnhảnh là hai loại tư duy có trước làm cơ sở cho tư duy trừu tượng

1.2.2.2 Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lôgic hình thức và

lôgic biện chứng thì có 2 loại tư duy:

a/ Tư duy hình thức: là loại tư duy dựa vào lôgic hình thức

Lôgic hình thức là khoa học nghiên cứu những hình thức của tư duy(khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh) từ khía cạnh kết cấu lôgic hayhình thức, tức là bỏ qua nội dung cụ thể của các đối tượng, chỉ tách ra nhữngphương thức liên hệ giữa các bộ phận của nội dung mà thôi Lôgic hình thứcchỉ quan tâm đến các đối tượng dưới dạng tĩnh, cô lập Nhiệm vụ chính là xâydựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện cần thiết để đạt đếnnhững kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức

Sau đây là một số quy luật cơ bản của lôgic hình thức:

+ Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiệntồn tại của nó: A = A

+ Quy luật không mâu thuẫn: A và A không thể đồng thời cùngđúng

B

A B

A→ ,

+ Quy luật phản đảo: A→ B ⇔ B → A

Cuối thế kỉ XIX, bước ngoặt chủ yếu của sự phát triển lôgic hình thức

là lôgic toán (hay lôgic ký hiệu) nhờ áp dụng những phương pháp hình thứccủa toán học, dựa trên việc sử dụng ngôn ngữ đặc thù của các ký hiệu và cáccông thức

Trong lôgic toán, tư duy có nội dung lôgic (những quá trình lập luận vàchứng minh)

b/ Tư duy biện chứng: là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng

Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phátsinh phát triển của tư duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật

Là một bộ phận của nhận thức, lôgic biện chứng vận động theo quy luậtcủa phép biện chứng, của nhận thức và quy luật đặc thù của bản thân nó Cóthể nêu lên một số quy luật sau đây:

* Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biệnchứng

+ Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập vạch ra nguồngốc của sự phát triển Ăngghen viết: “… trong bản thân các sự vật và các quátrình, có một mâu thuẫn khách quan … sự sống trước hết chính là ở chỗ mộtsinh vật trong mỗi lúc vừa là nó vừa là một cái khác Như vậy sự sống cũng làmột mâu thuẫn tồn tại trong bản thân các sự vật và các quá trình, tự đề ra và

tự giải quyết không ngừng, và khi mâu thuẫn đã hết thì sự sống cũng khôngcòn nữa và cái chết xảy ra Cũng như chúng ta đã thấy rằng trong lĩnh vực tưduy cũng vậy, chúng ta không thể thoát khỏi mâu thuẫn? Chẳng hạn như mâuthuẫn giữa năng khiếu nhận thức vô tận bên trong của con người với sự tồn tạithực tế của năng khiếu ấy trong những con người bị hạn chế bởi hoàn cảnhbên ngoài… Mâu thuẫn này được giải quyết trong sự tiếp nối của các thế hệ”

+ Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi vạch ra hình thái của sự pháttriển Khi xem xét mọi sự vật hiện tượng như những “độ”, trong đó tính quyđịnh về chất bao giờ cũng phụ thuộc vào “ một số lượng”, mặc dù có thể xêxích trong những giới hạn nhất định Đặc biệt yết tố nhảy vọt, tức là sự đứtđoạn của cái liên tục trong sự phát triển Lênin viết: “Sự chuyển biến biệnchứng khác sự chuyển biến không biện chứng ở chỗ nào? Ở bước nhảy vọt, ởtính mâu thuẫn, ở sự đứt đoạn của tính liên tục, ở sự thống nhất giữa tồn tại vàkhông tồn tại”.

+ Quy luật phủ định của phủ định vách ra chiều hướng của sự pháttriển Những hình thức phủ định cũng có muôn hình muôn vẻ theo các hìnhthức khác nhau của tư duy cũng như các hoạt động lôgic cụ thể, cái trực tiếp

bị cái gián tiếp phủ định, cái cụ thể bị cái trừu tượng phủ định, cái cảm tính vàcái lý tính, cái đơn nhất và cái phổ biến, cái quy nạp và cái diễn dịch, cái phântích và tổng hợp… mỗi một phủ định đều bao hàm cả việc duy trì cái tích cực

và xóa bỏ cái tiêu cực và phát triển một cách biện chứng từ cái tích cực ấy

+ Quy luật nhận thức: Lôgic biện chứng không những tuân theo quyluật của phép biện chứng, mà còn tuân theo và thể hiện quy luật của nhậnthức trong toàn bộ quá trình hình thành và phát triển của tư duy lôgic Lý luậnnhận thức không những vạch ra nguồn gốc và bản chất của nhận thức, mà cònvạch ra quy luật phát triển của nhận thức và Lênin đã thể hiện trong luận đề

có tính quy luật sau: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tưduy trừu tượng đến thực tiễn” Đó là con đường nhận thức chân lý của sựnhận thức hiện thực khách quan

1.2.2.3 Cách phân loại thứ ba: phân loại dựa vào tính chất, kết quả của

quá trình tư duy thì có thể chia thành 3 loại tư duy:

a/ Tư duy tích cực: là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức củahọc sinh trong quá trình học tập “ Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạtđộng của học sinh, đặc trưng bởi khác vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nổ lực

b/ Tư duy độc lập: là loại tư duy dựa vào tính độc lập nhận thức củahọc sinh trong quá trình học tập Theo Anistôva, B P Êxipov “ Tính độc lập

là năng lực cá nhân học sinh tham gia hoạt động mà không có sự can thiệp từbên ngoài” Theo nghĩa rộng, bản chất của tính độc lập nhận thức là sự chuẩn

bị về mặt tâm lý cho sự tự học… Theo nghĩa hẹp: Tính độc lập nhận thức lànăng lực, nhu cầu học tập và tính tổ chức học tập, cho phép học sinh tự học

c/ Tư duy sáng tạo: là tư duy tạo ra được cái gì mới Tuy nhiên, họcsinh trong quá trình sáng tạo, tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội

mà là đối với chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng thời cũng có ý nghĩa xãhội, bởi vì khi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ

1.2.2.4 Cách phân loại thứ tư: phân loại dựa vào dấu hiệu cấu trúc

khác nhau của hiện thức

a/ Tư duy hình tượng: là tư duy biến đổi cấu trúc của tri giác Nhữngdấu hiệu cấu trúc của hiện thực trong trường hợp này là những quan hệ củacác đối tượng và những thuộc tính cảm tính của chúng trong tri giác (trong đó

có cả dấu hiệu như “gần hơn-xa hơn” “nhỏ hơn-lớn hơn” “giống nhau –không giống nhau” Tư duy đi theo con đường xây dựng lại cấu trúc thị giác,trong đó lời giải bài toán tìm được nhờ biến đổi hình dạng của hình khôngphải sử dụng các khái niệm toán học trừu tượng)

b/ Tư duy thực hành: là tư duy dựa vào những mối liện hệ và nhữngthuộc tính chức năng và những hoạt động của các sự vật mà con người đã biếtqua kinh nghiệm

c/ Tư duy khoa học: là tư duy dựa vào những quy luật và những thuộctính khách quan, bản chất do khoa học xác định Những tri thức về các mốiquan hệ của các sự vật được củng cố trong cấu trúc của các khái niệm và luậnđiểm khoa học, còn tư duy được thực hiện bằng con đường liên kết nhữngkhái niệm và những phán đoán này với nhau và những biến đổi tương ứng củachúng

d/ Tư duy lôgic: là tư duy thay thế các hoạt động với các sự vật có thựcbằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của lôgic học Những dấu hiệucấu trúc của hiện thực mà tư duy dựa vào là các quan hệ của các khái niệmnhư: quan hệ giữa giống và loài, chủ ngữ và vị ngữ, phủ định và khẳng định,liên kết và phân ly, cái riêng và cái chung, cái trừu tượng và cái cụ thể,…những tri thức về các quan hệ của các sự vật được củng cố trong cấu trúclôgic của tư duy còn bản thân tư duy được thể hiện trong việc sử dụng các cấutrúc này để xây dựng và biến đổi các khái niệm.

e/ Tư duy khái quát: là tư duy dựa vào hoạt động khái quát hóa Kháiquát hóa là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có ngoạidiên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm cácđối tượng ban đầu

1.2.2.5 Cách phân loại thứ năm: dựa vào các dấu hiệu đặc thù của đối

tượng tư duy, ví dụ như trong tư duy toán học ta chú ý tới tư duy hàm, tư duythuật toán,… Khi xuất phát từ ngôn ngữ toán học ta có tư duy ngữ nghĩa và tưduy cú pháp,…

1.2.3 Một số nhận xét về cách phân loại tư duy toán học

Nghiên cứu về tư duy là một vấn đề phức tạp và không dễ gì tìm ra kếtquả được mọi người thừa nhận bởi vì dưới góc nhìn của từng người thì có thểyếu tố này quan trọng nhưng yếu tố kia lại không quan trọng lắm.Cho nênkhi đọc công trình của tư duy toán học ta bắt gặp sự không thống nhất củacác tác giả Sự phân chia các loại hình tư duy hết sức đa dạng và có khá

nhiều quan điểm, mỗi một quan điểm đều có cách tiếp cận riêng và cũng

không nói được quan điểm nào là hoàn toàn đúng, quan điểm nào là chưađúng Rất khó có thể đứng trên quan điểm này để bác bỏ quan điểm kia.Trong mỗi quan điểm phân chia thì giữa các thành phần được xét đến cũngđộc lập tương đối chứ không tách bạch một cách rõ ràng, và nhiều khi loại

hình tư duy nào đó trong cách phân chia này lại rất gần với một loại hình tưduy khác trong cách phân chia kia

1.2.4 Vai trò của tư duy toán học

Giáo dục toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp, nhằm đạt cácmục tiêu:

a, Truyền thụ cho học sinh một hệ thống nhất định những kiến thức cơbản của Toán học;

b, Rèn luyện cho học sinh những kỹ năng và kỹ xảo toán học;

c, Phát triển tư duy toán học của học sinh

Những nghiên cứu của các nhà giáo dục học đã chỉ ra rằng, tư duy toánhọc không chỉ là một trong những thành phần quan trọng của sự hoạt độnghiểu biết ở học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển cóphương hướng rõ rệt, thì không thể đạt được những kết quả hữu hiệu trongviệc giảng dạy hệ thống các kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học

A N Lêônchiép đã nhiều lần vạch ra rằng việc giảng dạy và sự pháttriển trí tuệ ở trẻ có liên quan mật thiết với nhau, và dù rằng trẻ phát triểnđồng thời với học tập, nhưng phát triển trí tuệ của nó độc lập một cách tươngđối

Như vậy, những khái niệm toán học không hình thành ở học sinh mộtcách tách biệt khỏi quá trình nhận thức, mà dần dần được xác định với nhữngmức độ khác nhau, trên những giai đoạn cụ thể của việc giảng dạy Nói cáchkhác, học sinh có tư duy toán học phát triển kém thì không thể hiểu đượcnhững khái niệm toán học Để hiểu được khái niệm toán học một cách thựcchất, học sinh phải chính mình phát triển những khả năng thao tác trí tuệ nhấtđịnh; chỉ có học sinh mới có thể tích cực và tự giác tiếp thu kiến thức mớitrong khi trực tiếp hay không trực tiếp tham gia vào sự sáng tạo cái mới đó

1.3 Nội dung và đặc điểm của phân môn lượng giác

1.3.1 Nội dung chủ đề lượng giác ở trường phổ thông

Nội dung Lượng giác ở bậc THCS: Chương trình hình học lớp 8 học

sinh đã làm quen với các tỉ số lượng giác của góc hình học

Nội dung Lượng giác ở bậc THPT :

Ở chương trình lớp 10 nội dung lượng giác được trình bày:

Chương 4: Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm:

- Góc và cung lượng giác

- Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác

- Một số công thức lượng giác

Ở lớp 11 nội dung lượng giác được trình bày:

Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

- Hàm số lượng giác

- Phương trình lượng giác cơ bản

- Một số phương trình lượng giác thường gặp

1.3.2 Đặc điểm môn lượng giác ở trường THPT

Các kiến thức lượng giác được trình bày trong sách giáo khoa phổ thôngtuy không nhiều lắm, nhưng có thể nói nó đóng một vai trò quan trọng trongcác bài toán lượng giác Hầu hết các bài toán Lượng giác khi giải cần phảibiến đổi lượng giác Chẳng hạn, giải phương trình lượng giác tức là biến đổiphương trình về dạng quen thuộc; khi chứng minh bất đẳng thức chính là sựkết hợp biến đổi lượng giác và bất đẳng thức Nhiều bài toán tính đạo hàm,tích phân cũng phải biến đổi lượng giác mới tính được Hơn nữa, Lượng giác

có thể là công cụ để giải các bài toán khác có trong chương trình Lượng giác

là một phân môn có nhiều thuận lợi đối việc xây dựng các biện pháp sư phạm

nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo và kiến tạo kiến thức cho học sinh

1.4 Một số khó khăn sai lầm khi giải toán lượng giác

Khi học về chủ đề lượng giác hầu hết các học sinh đều cho rằng là khóbởi kiến thức của nó tương đối nhiều cả công thức lẫn bài tập Một bài toán cóthể vận dụng rất nhiều công thức khác nhau và có thể giải theo nhiều cáchkhác nhau dẫn đến lẫn lộn các công thức là điều không tránh khỏi Trong quátrình giải toán, học sinh thường ái ngại khi bắt gặp phương trình lượng giác

có điều kiện (chủ yếu là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số hoặc chứa ẩntrong hàm số tang, cotang) bởi đây là dạng toán khó và phức tạp Việc đốichiếu nghiệm tìm được với điều kiện bài toán hay kết hợp nghiệm cũng làmột vấn đề không đơn giản đối với các em Do đó việc mắc sai lầm là lẽđương nhiên xảy ra

1.4.1 Sai lầm liên quan đến việc thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán

Sai lầm của bài toán trên là khi chia hai vế của phương trình cho 2, họcsinh đã quên chia vế phải cho 2 Đây là một trong những sai lầm của học sinhkhi giải loại này

Ví dụ 3: Tính giới hạn: I =

0

1 cos2xlim

x→ x

−Sai lầm thường gặp:

I =

0

1 cos2xlim

x→ x

0

2sinlim

x

x x

Ta có : 2sin2 2 sin

2 sin

x x

sin 0sin 0

x x

≥pKhi giải bài toán trên học sinh đã quên xét giới hạn trái và giới hạn phảikhi x tiến về 0 Vì vậy giới hạn trên vẫn tồn tại nhưng thực chất ở bài toán nàygiới hạn trên không tồn tại do giới hạn trái và giới hạn phải khi x tiến về 0 khácnhau

1.4.2 Sai lầm do phương pháp suy luận

Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx cos2x =

4

1 (1) Sai lầm thường gặp:

π 2 4

2 4

l x x

k x x

3 2 π π

π

l x

k x

(k,l ∈Z)

Sai lầm ở bài toán là khi nhân hai vế của phương trình với sinx ta đượcphương trình hệ quả chứ không phải phương trình tương đương, do đó xuấthiện nghiệm ngoại lai x = kπ chứa trong 2 họ nghiệm trên.

2

6

(k ∈ Z)

Sai lầm ở cách giải trên là học sinh không đặt điều kiện bài toán trướckhi giải nên không thấy được nghiệm ngoại lai 2

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T = sinA + sin B + sinC + 1 1 1

sinA+sinB sinC+

Sai lầm thường gặp:

sinA + sin B + sinC + 1 1 1

sinA+sinB sinC+ 6 sin sin sin

6sin sin sin

≥  T ≥ 6

Vậy MinT = 6

Sai lầm ở chỗ là:

Khi MinT = 6  sinA = sinB = sinC = 1 1 1

sinA =sinB sinC= = 1

 A = B = C =

2

π

(điều này mâu thuẫn với giả thiết A + B + C = π).

1.4.3 Sai lầm do kết luận bài toán một cách vội vàng thiếu cơ sở lí luận

Ví dụ 7: Giải phương trình: sin3x = cos2x (a)

π π

π π

π π

2 ' 2

5

2 10 2

' 2 2 3

2 2 2 3

k x

k x

k x x

k x x

π

π k

+

Vậy phương trình (a) có một họ nghiệm x =

5

2 10

k x

2

k

x= π làm cho cos5x = 0 (mâu thuẫn vớiđiều kiện)

1.4.4 Sai lầm do không nắm bắt được các điều kiện để thực hiện

phép biến đổi tương đương

Với điều kiện (**) thì

(*)⇔ (cosx−sin )(cosx sinx)x + + (sinx cosx)+ 2 =2 cosx+sin )x

⇔ cosx+sin ( cosx x−sinx + cosx+sinx) 2 0− =

cos 1cos2 1

x

x x

x x

Do đó trong quá trình giải học sinh đã xét thiếu trường hợp :

Khi sinx + cosx = 0 tan 1 ,

4

⇔ = − ⇔ = − + ∈ và đó cũng lànghiệm của phương trình

1.4.5 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

Trong quá trình giải phương trình lượng giác có những khi học sinh phải

sử dụng đến phương pháp đặt ẩn số phụ Khi đặt ẩn số phụ thường lãng quênđặt điều kiện cho ẩn phụ, và cho rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi vàchỉ khi phương trình g(t) có nghiệm trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x)thông qua một phép đặt ẩn phụ t =ϕ( )x nào đó

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau luôn có nghiệm:

⇔ ∆ ≥' 0 ⇔ 1-m+1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 2

Rõ ràng ở bài toán trên, học sinh đã quên đặt điều kiện cho ẩn phụ t Domiền giá trị của hàm sinx là [−1;1] nên t ∈ [−1;1] Khi đó yêu cầu bài toán trởthành: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm

t ∈ [−1;1] Đến đây học sinh có thể sử dụng bảng biến thiên hàm số bậc hai

để làm

1.5 Một số thực trạng về phương pháp dạy học giải toán lượng giác

Lượng giác là một phân môn khá khó trong chương trình toán học phổthông Mặc dù, SGK mới đã có nhiều giảm tải về nội dung và yêu cầu đối vớihọc sinh nhưng để học tốt phần lượng giác không đơn giản bởi công thứclượng giác khá nhiều nên học sinh hay quên và bị nhầm lẫn Việc vận dụngđược công thức lượng giác đúng và linh hoạt vào giải các bài toán lượng giácthì không hề đơn giản và mất nhiều thời gian

Hiện nay, một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học phần lượnggiác một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các thầygiáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm đường lốigiải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó

Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việctìm lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn, không thể

tự tìm đường lối giải được Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quantrọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán Quá trình này là cơ sở choviệc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng không thểthiếu đối với một người giải Toán

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Trong chương 1, luận văn đã nêu lên những quan niệm của các tác giả có

uy tín về các vấn tư duy, tư duy toán học và vai trò cửa chúng trong giải toán Những vấn đề được đề cập tới luôn có cơ sở rõ ràng và đáng tin cậy

Luận văn đã làm rõ một số khó khăn, sai lầm cũng như thực trạng của học sinh trong quá trình giải toán lượng giác

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM

TÒI GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

2.1 Một số thành tố tư duy ảnh hưởng quá trình giải toán lượng giác

2.1.1 Liên tưởng và huy động kiến thức

Liên tưởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng vàcần thiết trong quá trình giải toán Nếu có năng lực liên tưởng tốt thì nhiều khiđứng trước một bài toán rất khó, nhưng ta vẫn nghĩ tới được một kiến thứcnào đó liên quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải Ngược lại,nếu ta liên tưởng kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trongmối liên hệ với các kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục

bộ và rời rạc Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệkhá mật thiết với nhau

2.1.1.1 Theo [30] thì liên tưởng có nghĩa là: "Nhân sự vật, hiện tượng nào

đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan"

Theo các nhà liên tưởng, có 4 loại liên tưởng: Liên tưởng giống nhau,liên tưởng tương phản, liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liêntưởng nhân quả Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong cácquá trình trí tuệ Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tưởng

Sự khác biệt về trình độ trí tuệ được quy về sự khác nhau, về số lượng cácmối liên tưởng, về tốc độ hoá các liên tưởng đó

Theo tác giả Vũ Dương Thụy: "Trong dạy học, cần chú ý rèn cho họcsinh kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau,nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời vớiviệc hình thành các liên tưởng thuận" (dẫn theo [12, tr.174])

L.B.Itenxơn cho rằng: "Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả,biết thực hiện được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp vớibài toán cần giải Vì vậy, để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏiphải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đốitượng, mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toánnào" (dẫn theo 18, tr.136]).

Vai trò của liên tưởng trong quá trình tư duy là rất quan trọng Một người

có tư duy tốt là người đó có tư duy đúng đắn và có hiệu quả, biết thực hiệnnhững liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với các vấn đề cần giảiquyết K.K.Plantônôv xem tư duy như là một quá trình gồm nhiều giai đoạn

kế tiếp nhau, mà hai trong các giai đoạn đó là: xuất hiện các liên tưởng, sànglọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Trong dạy học, đặc biệt trong hoạt động tư duy khi giải toán, liên tưởng

có vai trò rất quan trọng Đứng trước một bài toán cụ thể, nếu liên tưởng đượcnhiều những kiến thức từ các định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp vàcác bài toán liên quan thì việc giải quyết đó sẽ dễ dàng hơn

Ví dụ 11: Xét bài toán sau:

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có :

b2- c2 =a b( cosC - ccosB)

Đây là một bài tập không quá khó đối với học sinh trung bình Nhưngnhằm mục đích rèn luyện khả năng liên tưởng giáo viên có thể dẫn dắt họcsinh bằng cách đặt câu hỏi để hình thành cho học sinh nếp tư duy tìm lời giảimột bài toán:

- "Để chứng minh một đẳng thức chúng ta có cách biến đổi nào?" Ta cóthể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùngbằng một vế

Chẳng hạn ta biến đổi vế phải(ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giảnhơn)

- "Quan sát các đại lượng của vế phải và vế trái em liên tưởng đến định

lý nào ta đã học?" Học sinh nhận thấy rằng vế phải và vế trái đều chứa độ dàicạnh, sự khác biệt ở chỗ vế phải chứa thêm đại lượng là hàm số côsin, do đóliên tưởng ngay đến định lý côsin

2.1.1.2 Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, tất nhiên không

cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từtrước Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên

hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải toán Ngườigiải toán đã tích luỹ được những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vậndụng một cách thích hợp để giải bài toán G.Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọccác tri thức như vậy là sự huy động

Trước khi giải một bài toán, chúng ta chưa thể khẳng định được sẽ sửdụng những những kiến thức nào trừ những bài toán có thuật giải xác địnhhoặc đã biết lời giải nào tương tự như thế Toán học là một môn khoa học cótính lôgic, hệ thống và kế thừa rất cao Mọi kiến thức toán học đều được xâydựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau,tri thức sau dựa vào tri thức trước, tất cả như những mắt xích liên kết với nhaumột cách chặt chẽ Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán được đưa

ra thì nó luôn nằm trong hệ thống toán học đó, nó không thể tách rời, không

tự sinh ra một cách độc lập mà có những cơ sở nhất định liên quan đến nhữngkiến thức đã có trước đó Để giải quyết được vấn đề đặt ra chúng ta nhất thiếtphải dựa vào những kiến thức cũ, những cái đã biết trước đó Song để thấyđược kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra và việc huy động kiến thức sẽ

dần xuất hiện trong tư duy khi người giải lần lượt tìm ra các mối liên hệ củacác đối tượng trong bài toán.

Ví dụ 12: Giải phương trình:

sin2x + sin2y - sinx - siny = sinxsiny - 1

Đây là một bài toán tương đối khó đối với đại đa số học sinh, bởi các emthường lúng túng khi bắt gặp một phương trình mà lại chứa 2 ẩn Tuy nhiêngiáo viên có thể đặt câu hỏi: “Bài toán gợi cho em liên tưởng đến những điều

gì em đã biết?” nhằm dẫn dắt hợp lý để học sinh liên tưởng đến các kiến thức

đã học, từ đó huy động để giải bài toán

Sẽ không ít học sinh khi giải loại toán này sẽ dự đoán và liên tưởng đếncông cụ tam thức bậc hai Vì vậy giáo có thể định hướng cho học sinh cách giảinhờ biến đổi phương trình về dạng:

sin2x - sinx(siny + 1) + sin2y – siny + 1 = 0 (*).

Đến đây ta xem phương trình (*) là phương trình bậc hai với ẩn x còn y

đóng vai trò như là tham số Khi đó giáo viên đặt câu hỏi để phương trình cónghiệm thì các em liên tưởng đến vấn đề gì ? Một vấn đề rất quen thuộc khihọc về phương trình bậc hai ?

Mong đợi học sinh trả lời rằng : Đó là biệt thức ∆

Lẽ tự nhiên học sinh sẽ khẳng định được phương trình (*) có nghiệm khi

Thay siny = 1 vào phương trình (1) ta tìm được sinx = 1 Từ đó

2.1.1.3 Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức ở mỗi người một khác,

khi đứng trước một vấn đề cụ thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…)

Có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽgiúp cho việc giải quyết vấn đề khá đơn giản Nhưng có người không liêntưởng được hay chỉ liên tưởng được ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn

đề ấy sẽ bị bế tắc Sức liên tưởng và huy động phụ thuộc vào khả năng tíchlũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong khâu phát hiện vấn đề

Ví dụ 13: Tính tích phân:

/2

2 2

= ∫ +Việc giải bài toán này đối với mỗi đối tượng học sinh một khác vì sứcliên tưởng và huy động kiến thức khác nhau

Đối với học sinh dưới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khốikiến thức ít và sức liên tưởng có hạn

Đối với học sinh trung bình, có thể liên tưởng đến phương pháp đổi biến

số, nhưng việc giải đúng bài toán này theo phương pháp đổi biến số không phải

là đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải

Ta có: /2

2 2

Đặt I1 =

0

2 2

Thay I1 vào được: I = 0

Học sinh khá, giỏi thì sức liên tưởng và huy động kiến thức có thể lớnhơn nên nhìn vấn đề bài toán ở đây có sự liên hệ cận đối nhau, nghĩ đến việcxét hàm số dưới dấu tích phân:

Không có năng lực liên tưởng và huy động kiến thức thì sẽ không có trựcgiác và năng lực giải toán sẽ hạn chế, sẽ nghèo nàn về ý tưởng Tuy nhiên đứng

trước một bài toán cụ thể, không nhất thiết tất cả những sự liên tưởng và huyđộng đều có ích cho việc giải bài toán này Cần chọn lọc thông qua các phép thửsai để tiến tới một sự liên tưởng, huy động phù hợp nhất Điều này hoàn toànphù hợp với quan điểm của K K Plantônôv,

Ví dụ 14: Nếu khi gặp phương trình lượng giác có chứa các số hạng là

tích của nhiều thừa số đối với sin hoặc côsin thì đối với em học sinh có khảnăng liên tưởng tốt sẽ suy nghĩ rằng cần phải sử dụng công thức biến đổi tíchthành tổng sau tìm cách đưa phương trình đã cho về phương trình tích hoặcphương trình bậc 2,3

Chẳng hạn, giải phương trình :

cos x.cos cos3 sin x.sin sin3 1

Nhận thấy vế trái của phương trình là một biểu thức mà các số hạng của

nó là tích của nhiều thừa số đối với sin hoặc cosin , học sinh nếu biết huyđộng đến công thức biến đổi tích thành tổng thì giải quyết bài toán trên đơngiản rất nhiều

Thật vậy :

(1) ⇔cos x.(cos x cos 2x) sin (cos2x cos x) 1+ − x − =

⇔cos x.cos2x+sinx.cos2x sinx.cos x sin− − 2 x=0

⇔cos2x.(cosx sin ) sin (cosx sin ) 0+ x − x + x =

⇔(cosx sin )(cos 2x sin ) 0+ x − x = (2) Đến đây việc giải phươngtrình (2) không khó khăn gì

Ví dụ 15: Giải phương trình :

ý rằng, nếu áp dụng công thức lượng giác góc nhân ba thì phương trình đãcho sẽ được biến đổi về phương trình bậc 6 đối sinx và cosx dẫn đến cách giảibài toán phức tạp lên rất nhiều Bởi vậy, nếu sử dụng công thức biến đổi tíchthành tổng đồng thời huy động thêm công thức nhân đôi, hằng đẳng thứclượng giác sin2x+cos2x=1 thì kết quả :

2

16 2

k x

x

k x

2.1.1.4 Để làm xuất hiện liên tưởng, có khi ta phải biến đổi bài toán Nói

cách khác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuấthiện liên tưởng, nhưng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tưởng cólợi cho việc giải nó Sự kiện này có thể giải thích bằng nhiều cách Chẳng hạnmuốn đi tới cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiếnthức đã có từ trước Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt nhữngyếu tố cần thiết cho việc giải toán Biến đổi bài toán giúp ta nhớ lại những yếu

tố đó Hoặc theo một cách khác, việc giải bài toán ban đầu phụ thuộc vào chỗ

có tìm được bài toán phụ thích hợp hay không? Không có một phương pháptoàn năng cho phép tìm bài toán phụ cũng như không có một phương pháp toàn

mỹ, luôn dẫn tới cách giải Tuy nhiên có những câu hỏi và lời khuyên có ích,chẳng hạn: hãy xét cái chưa biết?

Trong quá trình tìm tòi để giải quyết vấn đề đặt ra, nhiều khi chúng taphải tiến hành biến đổi vấn đề đó và thông qua một chuỗi liên tiếp các hoạtđộng liên tưởng, huy động Nhờ các hoạt động này ta có thể chuyển dần đốitượng cần nghiên cứu sang đối tượng mới dễ nghiên cứu hơn, làm vấn đề lộ

Ta có ' sinx cos x sinx=xcosx 0 x 0;

2

≥ ∀ ∈    và f' =0khi và chỉ khi x=0 hoặc

Suy ra 0<xsinx cos x 1+ − hay sinx cos x 1 0x + − >

Từ đó rút ra điều phải chứng minh

2.1.1.5 Biết nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ từ đó huy động và liên

tưởng được nhiều kiến thức liên quan giúp chúng ta có thể giải được bài toánbằng nhiều cách khác nhau Điều này thực sự có lợi vì khi đứng trước một bàitoán cụ thể không phải mọi sự lên tưởng, huy động đều có thể giải quyết đượcbài toán Hai bài toán có cùng một đặc trưng đối tượng giúp ta liên tưởng đếnmột kiến thức nào đó nhưng nó có thể thành công với bài toán này nhưng lạithất bại với bài toán kia Vì vậy đứng trước một vấn đề nào đó ta không bị bỡngỡ, không bị ngợp mà luôn có đường lối suy nghĩ định hướng để tìm tòi lờigiải và nhiều khi ta có thể giải quyết được vấn đề một cách sáng tạo khôngngờ

Như vậy vai trò của liên tưởng, huy động trong tư duy rất quan trọng.Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức của từng học sinh là không giốngnhau Trước một vấn đề cần giải quyết, một bài toán cụ thể, có học sinh liêntưởng được nhiều kiến thức, phương pháp, định lý, bài toán đã giảiquyết, giúp cho việc giải quyết vấn đề, giải bài toán, Có em chỉ liên tưởngđược số ít, thậm chí không có liên tưởng nào Sức liên tưởng và huy độngkiến thức phụ thuộc vào tiềm năng tích lũy kiến thức, phương pháp và sựnhạy cảm trong khâu phát hiện vấn đề Năng lực liên tưởng và huy động kiếnthức ở người học sinh luôn luôn phát triển (giáo viên Toán phải có tác động

sư phạm vào quá trình phát triển này) J.A Komenxki: "Dạy học là một quátrình từ từ và liên tục, những điều hôm nay phải củng cố cái hôm qua và mở

ra con đường cho ngày mai" Do đó giáo viên thường xuyên rèn luyện chohọc sinh năng lực huy động và liên tưởng trong quá trình dạy học nhằm pháttriển tư duy cho học sinh, đặc biệt đó là tư duy sáng tạo