Sự tồn tại các điểm giả bất động, giả bất động chung trong không gian giả mêtric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐINH TIẾN DŨNG SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014... T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐINH TIẾN DŨNG

SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT

ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG

KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐINH TIẾN DŨNG

SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT

ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG

KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích

MỤC LỤC

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Nón trong không gian Banach 71.3 Không gian giả mêtric nón 13

2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co trong không giangiả mêtric nón 192.2 Sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếutrong không gian giả mêtric nón 26

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọngcủa giải tích hàm, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết xác suất, cácbao hàm thức vi phân và trong vật lí Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất độngnổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bấtđộng Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Sau đó, người ta đã

mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại khônggian khác nhau

Vào năm 2007, H Long - Guang và Z Xian [6] bằng cách thay tập số thựctrong định nghĩa mêtric bởi một không gian Banach có thứ tự và đã thu được lớpcác không gian rộng hơn lớp các không gian mêtric đó là lớp các không gian mêtricnón Một số tính chất tôpô và một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ cotrong không gian mêtric nón đầy đủ cũng đã được chứng minh Với mức độ ngàycàng tổng quát hơn, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chungtrong không gian mêtric nón đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và thuđược nhiều kết quả ([6, 7, 8, 10])

Vào năm 2013, dựa vào khái niệm không gian giả mêtric và không gian mêtricnón, bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị trong tập số thực không

âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gian Banach, Lê ThịDung [1] đã đưa ra khái niệm không gian giả mêtric nón đồng thời chứng minhđược một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co và ánh xạ

co suy rộng trong không gian này

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tổng quát hóa một số kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động từ không gian mêtric và không gian mêtric nón đầy đủ sang khônggian giả mêtric nón đầy đủ Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số kếtquả về sự tồn tại điểm giả bất động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếutrong không gian giả mêtric nón

Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Không gian giả mêtric nón

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản củatôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn Trình bàykhái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach.Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric nón vàmột số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng cần dùng trongchương 2

Chương 2 Một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động trong khônggian giả mêtric nón

Chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của ánh

xạ co, điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không giangiả mêtric nón

Đầu tiên, chúng tôi chứng minh kết quả tương tự như Định lý về sự tồn tạiđiểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ liên tục, dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều trongkhông gian mêtric nón đầy đủ vẫn đúng trong không gian giả mêtric nón đầy đủ.Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm giả bấtđộng chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nóncùng một số hệ quả và chỉ ra một số kết quả trong [5, 9] được suy ra từ các kếtquả của chúng tôi

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinhnghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ Nhiệm KhoaToán - Trường Đại học Vinh

Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích - KhoaToán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn tronglớp Cao học giải tích - K20 đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiệnhơn.

Thành phố Vinh, tháng 06 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN

Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cương,giải tích hàm, nón trong không gian Banach, không gian giả mêtric nón và một sốtính chất tôpô của không gian giả mêtric nón cần dùng trong luận văn

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương

và giải tích hàm Các kết quả này được lấy từ [1] và [2]

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T các tập con của X được gọi là tôpôtrên X nếu thỏa mãn các điều kiện

i) ∅ ∈ T và X ∈ T ;

ii) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I thì S

i∈I

Gi ∈ T ;iii) Nếu G1, G2 ∈ T thì G1∩ G2 ∈ T

Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là(X, T ) hoặc X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở

Giả sử E ⊂ X Tập E được gọi là tập đóng nếu X \ E là tập mở

1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cậncủa điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A

Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U (x) là họ tất cả các lân cận tại x HọB(x) ⊂ U (x) được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U (x) tồn tại

V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U

Cho không gian tôpô X, A là tập con của X Tập mở lớn nhất chứa trong Ađược gọi là phần trong của A Ký hiệu intA.

1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới

x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn ∈ U với mọi n ≥ n0.Khi đó, ta viết xn → x hoặc limn→∞xn = x

1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đượcthứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được.Không gian tôpô X được gọi là T1− không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y tồntại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho y /∈ U và x /∈ V

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y Ánh xạ

f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x), tồn tại lân cận

U của x sao cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liêntục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X

1.1.6 Định lý Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y Khi đó, cácđiều kiện sau đây tương đương

1) f liên tục trên X;

2) Nếu E là tập mở trong Y thì f−1(E) mở trong X;

3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f−1(E) đóng trong X

1.1.7 Định nghĩa Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R Hàm d đượcgọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là(X, d) hoặc X

1.1.8 Định nghĩa Cho tập X khác rỗng và ánh xạ

d :X × X → R(x, y) 7−→ d(x, y)

Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏamãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ x, y, z thuộc X

được gọi là chuẩn trên không gian vectơ E Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ

x ∈ E Ta thường ký hiệu chuẩn của x là kxk Không gian vectơ E cùng với mộtchuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn

1.1.10 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) = kx − yk ∀x, y ∈ Exác định một mêtric trên E Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtricchuẩn

1.1.11 Định nghĩa Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủtheo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là không gian Banach

1.1.12 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì các ánh xạ

x 7−→ kxk, ∀x ∈ E,(x, y) 7−→ x + y, ∀(x, y) ∈ E × E,(λ, x) 7−→ λx, ∀(λ, x) ∈ K × E

1.1.14 Định nghĩa Cho tập hợp X và ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X Quan

hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện saui) x ≤ x với mọi x ∈ X;

ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;

iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộphận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X

1.1.15 Định nghĩa Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X.a) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới ) của A nếu a ≤ x(tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A

b) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của

A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cậntrên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x) Khi đó, ta kí hiệu

x = sup A (tương ứng x = inf A)

1.2 Nón trong không gian Banach

Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach.1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực R Tậpcon P của E được gọi là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau

Vậy, P là một nón trên E

3) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên [a, b].

Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

kf k = sup

x∈[a,b]

|f (x)| ∀f ∈ C[a,b].Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f, g ∈ C[a,b]

f ≤ g khi và chỉ khi f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]

Cho P là một nón trong không gian Banach E Khi đó, trên E xét quan hệ thứ

tự ≤ xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P Chúng ta quy ước

x < y nếu x ≤ y và x 6= y, còn x  y nếu y − x ∈ intP với intP là phần trongcủa P

1.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E

1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi

x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có kxk ≤ Kkyk Số thực dương K nhỏ nhất thỏa mãnđiều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong Eđều hội tụ Nghĩa là, nếu {xn} là dãy trong E sao cho

x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ · · · ≤ y với y ∈ Ethì tồn tại x ∈ E sao cho kxn − xk → 0 khi n → ∞

1.2.4 Ví dụ Trong không gian Banach Rk với nón

P = (x1, x2, , xk) ∈ Rk : xi > 0, ∀i = 1, 2, , k Khi đó,

a) P là nón thỏa điều kiện:

∀x = (x1, x2, , xk) ∈ Rk, ∀y = (y1, y2, , yk) ∈ Rk và 0 6 x 6 y ta suy ra

Định lý sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.

1.2.5 Định lý ([6]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón chuẩntắc

1.2.6 Nhận xét ([6]) Điều ngược lại của Định lý 1.2.5 là không đúng, tức là cónhững nón chuẩn tắc nhưng không chính quy Thật vậy, xét không gian Banach

E = C[0,1] với chuẩn sup: kf k = supx∈[0,1]|f (x)|

Đặt P = {f ∈ E : f ≥ 0} Khi đó, P là một nón với hằng số chuẩn tắc K = 1.Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và 0 ≤ f ≤ g Khi đó, 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [0, 1]

là số thực dương Khi đó,

i) Nếu a  b và b  c thì a  c;

ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;

iii) Nếu a  b, c  d thì a + c  b + d;

iv) αintP ⊂ intP ;

v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;

vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c1  d và c2  d;vii) Với mọi c1, c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c1 và e  c2;

viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

ix) Nếu a ≤ εa với a ∈ P , 06 ε < 1 thì a = 0;

x) Nếu 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và limn→∞xn = x, limn→∞yn = y thì

0 ≤ x ≤ y

Chứng minh

i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a  b và b  c thì

a − b ∈ intP và c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP

Vậy a ≤ c

ii) Để ý rằng intP + P = ∪x∈P(x + intP ) là tập mở và P là nón nên suy ra

x + intP ⊂ P Do đó P + intP ⊂ intP Nếu a 6 b và b  c thì b − a ∈ P và

c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay a − c ∈ intP.Vậy a  c

iii) Ta có a  b và c  d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra b − a + d − c ∈intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a = c  b + d

iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP

v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ

vi) Do c1 ∈ intP nên mc1 ∈ intP với mọi m > 1 cho trước Đặt d = mc1+ c2

Do mc1 ∈ intP và c2 ∈ P nên d ∈ intP + P = [

x∈P

(x + intP ) ⊂ ontP ⇒ d ∈ intP

Rõ ràng d − c2 = mc1 ∈ intP ⇒ c2  d Mặt khác d − c1 = (m − 1)c1 + c2 ∈intP + P ⊂ P ⇒ c1  d

vii) Do c1 ∈ intP nên tồn tại hình cầu mở B(0, r) trong không gian định chuẩn

E sao cho c1 + B(0, r) ⊂ P Do B(0, r) là tập hút nên nó hút c2 tức là tồn tại số

n − a} ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P Như vậy, a và

x) Ta có xn ≤ yn suy ra yn− xn ∈ P Từ giả thiết ta có limn→∞(yn− xn) = y − x

mà P đóng nên suy ra y − x ∈ P do đó x ≤ y Hoàn toàn tương tự như trên, tachứng minh được từ 0 ≤ xn suy ra 0 ≤ x Vậy 0 ≤ x ≤ y 1.2.8 Bổ đề ([1]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {xn} là dãytrong P Khi đó, nếu xn → 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn 

c với mọi n ≥ n0 Hơn nữa nếu P chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng.Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong P và xn → 0 Với mọi c ∈ intP , vì intP

là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE(0, δ) ⊂ intP Do đó, nếu x ∈ E màkxk < δ thì c − x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n0 ∈ N sao cho

kxnk < δ ∀n > n0.Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n ≥ n0 Do đó xn  c với mọi n ≥ n0

Ngược lại, giả sử P chuẩn tắc và với mọi c ∈ intP tồn tại n ≥ n0 sao cho

xn  c Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ intP sao choKkck < ε Khi đó, từ giả thiết tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn  c với mọi n ≥ n0

Vì P là chuẩn tắc với hằng số K nên kxnk ≤ Kkck < ε với mọi n ≥ n0 Do đó

kxnk → 0

Vậy xn → 0 1.2.9 Hệ quả ([1]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E, {bn}

và dãy {cn} là hai dãy trong P Khi đó, nếu 0 ≤ bn ≤ cn với mọi n và cn → 0 thì

bn → 0

Chứng minh Vì cn → 0 nên theo Bổ đề 1.2.8, thì với mỗi c ∈ intP tồn tại

n0 ∈ N sao cho cn  c với mọi n ≥ n0

Mặt khác, vì 0 ≤ bn ≤ cn nên bn  c với mọi n > n0 Như vậy, với mỗi c ∈ intPtồn tại n0 ∈ N sao cho

và limn→∞an = limn→∞cn = d thì tồn tại limn→∞bn và limn→∞bn = d

Chứng minh Từ an ≤ bn ≤ cn với mọi n suy ra

d : X × X → P(x, y) 7−→ d(x, y)

Khi đó, ánh xạ d được gọi là khoảng cách nón hay là mêtric nón trên X nếu thỏamãn các điều kiện sau

i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón

và được kí hiệu là (X, d) hoặc X

1.3 Không gian giả mêtric nón

Từ đây về sau, ta quy ước P là một nón trong không gian Banach thực E saocho intP 6= ∅, ≤,  là các thứ tự trên E được xác định bởi P

1.3.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và

d : X × X → P(x, y) 7−→ d(x, y)

Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên Xnếu thỏa mãn các điều kiện sau

i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, nếu x = y thì d(x, y) = 0;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với giả khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian giả mêtricnón và được kí hiệu là (X, d) hoặc X

1.3.2 Ví dụ 1) Giả sử L[a,b] là tập các hàm nhận giá trị thực, khả tích Lebesguetrên đoạn [a, b] và d : L[a,b] × L[a,b] → R là hàm được cho bởi

d(f, g) =

Z b a

|f (x) − g(x)|dx ∀f, g ∈ L[a,b].Khi đó, d là giả mêtric nón trên L[a,b] và do đó L[a,b] là không gian giả mêtric nón

Chứng minh Đặt P = [0, ∞) Khi đó, P là nón trong không gian Banach các

số thực R Hơn nữa thứ tự bộ phận ≤ trên R được xác định bởi P chính là thứ tựnhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R

Rõ ràng d(f, g) ≥ 0, d(f, g) = 0 nếu f = g và d(f, g) = d(g, f ) với mọi f, g ∈

L[a,b] Giả sử f, g, h ∈ L[a,b] Ta có

d(f, g) =

Z b a

|f (x) − g(x)|dx =

Z b a

|f (x) − h(x) + h(x) − g(x)|dx

≤

Z b a

|f (x) − h(x)|dx +

Z b a

|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).Vậy d là giả mêtric nón trên L[a,b]

Chú ý.1) Nếu d là giả mêtric trên X và thỏa mãn điều kiện d(x, y) = 0 kéotheo x = y thì d là mêtric nón trên X Như vậy, không gian mêtric nón là trườnghợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón

2) Trong ví dụ trên, d không phải là mêtric nón trên L[a,b] Thật vậy, lấy f và

Khi đó f, g khả tích trên [a, b], nghĩa là f và g ∈ L[a,b] Rõ ràng f 6= g nhưngd(f, g) =Rab|f (x) − g(x)|dx = 0

3) Trong R, xét nón P như trong Ví dụ 1) thì ta thấy rằng mọi không gian giảmêtric là giả mêtric nón

Ví dụ 2) Ta đã biết P = {f ∈ C[a,b] : f ≥ 0} là nón trong không gian Banach

C[a,b] các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong R Hơn nữa quan hệ ≤ trên

C[a,b] được xác định bởi P trùng với quan hệ ≤ thông thường trên [a, b] Ta kí hiệu

X = {f ∈ C[a,b] : f có đạo hàm liên tục trên [a, b]}

và xác định hàm d : X × X → P bởi công thức d(f, g) = |f0− g0| với mọi f, g ∈ X,tức là d(f, g)(x) = |f0(x) − g0(x)|, ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b] Khi đó, d thỏa mãn cácđiều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức d là giả mêtric nón trên X

Ta thấy rằng d không là mêtric nón Thật vậy, nếu ta xét các hàm f, g ∈ X với

f (x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f 6= g nhưng d(f, g) = 0

Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d nhận giátrị trong nón P

1.3.3 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ

a ∈ X và c ∈ intP Đặt

B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}

Tập B(a, c) được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính c.

∪{Ai : i ∈ I} ∈ T Giả sử x ∈ ∪{Ai : i ∈ I} Khi đó, tồn tại i ∈ I sao cho x ∈ Ai Vì Ai ∈ T nên tồntại c ∈ intP sao cho B(x, c) ⊂ Ai Suy ra

B(x, c) ⊂ Ai ⊂ ∪{Ai : i ∈ I}

Do đó

∪{Ai : i ∈ I} ∈ T Giả sử A ∈ T , B ∈ T Lấy bất kỳ x ∈ A ∩ B Khi đó, x ∈ A, x ∈ B Do

A ∈ T , B ∈ T nên tồn tại c1 và c2 ∈ intP sao cho B(x, c1) ⊂ A và B(x, c2) ⊂ B.Theo Bổ đề 1.2.7.vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c1 và c  c2 Từ đó suy raB(x, c) ⊂ B(x, c1) ∩ B(x, c2) ⊂ A ∩ B Do đó, A ∩ B ∈ T

Vậy T là một tôpô trên X

b) Giả sử x ∈ B(a, c) Khi đó, 0 ≤ d(x, a)  c Đặt c0 = c − d(x, a) Vìd(x, a)  c nên ta có c0 ∈ intP Với mọi y ∈ B(x, c0) ta có d(y, x)  c0 Do đó từđiều kiện c) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra

d(y, a) ≤ d(y, x) + d(a, x)  c0+ d(x, a) = c − d(x, a) + d(x, a) = c

Từ đó y ∈ B(a, c) và do đó B(x, c0) ⊂ B(a, c)

Vậy B(a, c) ∈ T

c) Lấy x, y ∈ X sao cho x 6= y và d(x, y) = 0 Khi đó, mọi hình cầu B(x, c) đềuchứa y Từ đó suy ra X không là T1− không gian Chú ý Nếu X là không gian giả mêtric nón mà d(x, y) > 0 với mọi x 6= y thì

X là không gian mêtric nón Do đó, X là T2−không gian

Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón X ta hiểu tôpô trên X làtôpô T nói ở Mệnh đề 1.3.4

1.3.5 Hệ quả ([1]) Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X

Chứng minh Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.4 b) suy ra B(a, c) là tập mở 1.3.6 Định lý ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, {xn} ⊂ X, a ∈ X.Khi đó,

1) {xn} hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc saocho d(xn, a)  c với mọi n ≥ nc

2) Nếu P là nón chuẩn tắc thì xn → a khi và chỉ khi d(xn, a) → 0

Chứng minh 1) Giả sử xn → a Khi đó, với mỗi c ∈ intP Vì B(a, c) ∈ T nêntồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(a, c) với mọi n ≥ nc Do đó, d(a, xn)  cvói mọi n ≥ nc Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao chod(a, xn)  c với mọi n ≥ nc Với mỗi lân cận U của a tồn tại c ∈ intP sao choB(a, c) ⊂ U Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(a,c)⊂ U với mọi

Vì xn → a và xn → b nên từ Định lý 1.3.6 1) suy ra với mỗi c ∈ intP tồn tại số

tự nhiên nc sao cho d(a, xn)  c

2 và d(b, xn) 

c

2 với mọi n ≥ nc Kết hợp với (1)suy ra d(a, b)  c với mọi c ∈ intP Theo Bổ đề 1.2.7.viii), thì d(a, b) = 0

b) Điều kiện cần Giả sử xn → a Ta cần chứng minh xn → x, với mọi x ∈ Fa.Thật vậy, từ xn → a suy ra với mọi c ∈ intP tồn tại nc ∈ N sao cho d(a, xn)  cvới mọi n ≥ nc.Với mọi x ∈ Fa ta có d(x, a) = 0 Do đó

0 ≤ d(xn, x) ≤ d(xn, a) + d(a, x)  c ∀n ≥ nc

Từ đó suy ra xn → x

Điều kiện đủ Vì a ∈ Fa nên điều cần chứng minh là hiển nhiên 1.3.8 Mệnh đề ([1]) Giả sử (X, d) là không giả mêtric nón, a ∈ X và c ∈ intP.Khi đó, họ U = {B(a, c

n) : n = 1, 2, } là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X

là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất

Chứng minh Giả sử U là lân cận bất kỳ của điểm a Khi đó, tồn tại r ∈ intPsao cho B(a, r) ⊂ U Vì c

n → 0 khi n → ∞ và r ∈ intP nên Bổ đề 1.2.7, suy ratồn tại n sao cho c

c) Với mọi a, b ∈ X ta có d(x, y) = d(a, b) ∀x ∈ Fa, ∀y ∈ Fb

Chứng minh a) Với mọi b và b0 ∈ Fa ta có

0 ≤ d(b, b0) ≤ d(b, a) + d(a, b0) = 0

Do đó d(b, b0) = 0 Với mọi x ∈ X\Fa ta có

d(x, b) ≤ d(x, b0) + d(b0, b) = d(x, b0) (1)và

d(x, b0) ≤ d(x, b) + d(b, b0) = d(x, b) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d(x, b) = d(x, b0)

b) Giả sử {xn} ⊂ Fa và xn → x ∈ X Vì X thỏa mãn tiên đề đếm được thứnhất nên để chứng minh Fa đóng ta chỉ cần chứng minh x ∈ Fa Vì xn → x nênvới mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho d(xn, x)  c với mọi n ≥ nc Vì

xn ∈ Fa với mọi n nên d(xn, a) = 0 với mọi n = 1, 2, Do đó

d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y)