Sự hội tụ đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trên không gian hilbert

Chóng tæi công chùng minh luªt m¤nh sè lîn Marcinkiewicz-Zygmund cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi nhªngi¡ trà trong H.. Ph¦n thù hai tr¼nh b y luªt m¤nh sèlîn Marcinkie

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC VINH

Möc löc

1 Ki¸n thùc chu©n bà 5

1.1 Khæng gian Hilbert 5

1.2 Bi¸n ng¨u nhi¶n v  c¡c t½nh ch§t li¶n quan 7

1.3 C¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m 9

1.4 C¡c b§t ¯ng thùc 11

2 Sü hëi tö èi vîi c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà tr¶n khæng gian Hilbert 14 2.1 Sü hëi tö h¦u ch­c ch­n cho tr÷íng hñp khæng còng ph¥n phèi 14 2.2 Sü hëi tö h¦u ch­c ch­n cho tr÷íng hñp còng ph¥n phèi 23

T i li»u tham kh£o 28

Líi nâi ¦u

Kh¡i ni»m li¶n k¸t ¥m ÷ñc ÷a ra bði Alam v  Saxena [7] n«m

1981 N«m 1983, Joag-Dev v  Proschan [5] ¢ ch¿ ra r¬ng nhi·u ph¥nphèi quan trång trong thèng k¶ câ t½nh ch§t li¶n k¸t ¥m Joag-Dev v Proschan công ¢ chùng minh nhi·u t½nh ch§t quan trång cõa bi¸nng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m Tø â ¸n nay kh¡i ni»m li¶n k¸t ¥m ÷ñc süquan t¥m cõa r§t nhi·u nh  nghi¶n cùu v  câ nhi·u ùng döng trongthèng k¶ to¡n

Kh¡i ni»m li¶n k¸t ¥m èi vîi c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n câ thº mð rëng

th nh kh¡i ni»m li¶n k¸t ¥m èi vîi vectì ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ tràtrong Rd Kh¡i ni»m n y ÷ñc mð rëng cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶nnhªn gi¡ trà trong khæng gian Hilbert thüc, kh£ ly H bði c¡c t¡c gi£

Ko, Kim v  Han trong [4]

Trong [4] c¡c t¡c gi£ ¢ thi¸t lªp luªt m¤nh sè lîn Kolmogorov èivîi d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà trong H b¬ngc¡ch sû döng ành lþ hëi tö Khintchine-Kolmogorov v  bê · Kro-nerker Trong · t i n y, chóng tæi mð rëng c¡c k¸t qu£ trong [4] sangtr÷íng hñp li¶n k¸t ¥m theo khèi b¬ng mët ph÷ìng ph¡p ho n to nkh¡c Chóng tæi công chùng minh luªt m¤nh sè lîn Marcinkiewicz-Zygmund cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi nhªngi¡ trà trong H Chóng tæi công ch¿ ra mët v½ dö l  d÷îi c§u tróc phöthuëc m  chóng tæi ang x²t, ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn trong [4] khængcán sû döng ÷ñc núa

Luªn v«n gçm câ hai Ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùcchu©n bà, cö thº l  tr¼nh b y c¡c ph¦n: khæng gian Hilbert, kh¡i ni»mbi¸n ng¨u nhi¶n v  c¡c t½nh ch§t li¶n quan, kh¡i ni»m bi¸n ng¨u nhi¶nli¶n k¸t ¥m v  tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t

¥m Chóng tæi công ¢ n¶u v  tr¼nh b y chi ti¸t mët sè b§t ¯ng thùcquan trång nh¬m ¡p döng cho Ch÷ìng 2 Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi

tr¼nh b y hai ph¦n, ph¦n thù nh§t x²t luªt m¤nh sè lîn èi vîi d¢y c¡cvectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi, khæng còng ph¥n phèi nhªngi¡ trà tr¶n khæng gian Hilbert Ph¦n thù hai tr¼nh b y luªt m¤nh sèlîn Marcinkiewicz-Zygmund cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥mtheo khèi, còng ph¥n phèi nhªn gi¡ trà trong khæng gian Hilbert.Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n tªn t¼nh cõa Th¦y gi¡o, TS L¶ V«n Th nh T¡c gi£ xin b y täláng c£m ìn s¥u s­c ¸n th¦y çng thíi t¡c gi£ công xin gûi líi c£m

ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ trong Khoa To¡n, °c bi»t l  c¡c th¦y

cæ trong Tê X¡c su§t thèng k¶ ¢ gi£ng d¤y v  ch¿ b£o trong suèt thíigian håc tªp v  nghi¶n cùu Cuèi còng T¡c gi£ xin gûi líi c¡m ìn tîigia ¼nh, ng÷íi th¥n, b¤n b± °c bi»t l  c¡c b¤n trong lîp Cao håc 20chuy¶n ng nh lþ thuy¸t x¡c su§t v  thèng k¶ to¡n v  c¡c çng nghi»pt¤i tr÷íng THPT Chuy¶n H  T¾nh ¢ ëng vi¶n, gióp ï v  t¤o i·uki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp v  ho n th nhluªn v«n

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng v¼ n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶nluªn v«n ch­c ch­n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât T¡c gi£ r§tmong nhªn ÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ b¡u cõa c¡c Th¦y Cæ gi¡o v gâp þ cõa b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Vinh, th¡ng 10 n«m 2014

T¡c gi£

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong suèt · t i n y, H kþ hi»u l  khæng gian Hilbert thüc, kh£

ly vîi cì sð trüc chu©n {ej, j ∈ B} v  t½ch væ h÷îng h., i H¬ng sè Ckhæng nh§t thi¸t ph£i gièng nhau trong méi l¦n xu§t hi»n v  log kþhi»u logarithm vîi cì sè 2

C¡c ph¦n tû cõa khæng gian vectì gåi l  c¡c vectì

Khæng gian vectì tr¶n tr÷íng K th÷íng vi¸t l  K-khæng gian vectì.1.1.2 Khæng gian m¶tric

·u hëi tö.

1.1.3 Khæng gian ành chu©n

Cho X l  mët K-khæng gian vectì Mët chu©n tr¶n X l  mët h m

x 7→ kxk tø X v o R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau vîi måi x, y ∈ X,måi λ ∈K

Khæng gian ành chu©n l  khæng gian m¶tric vîi m¶tric sinh bði chu©n

1.1.4 Khæng gian kh£ ly

Mët tªp con A cõa mët khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l  to n vµnn¸u tªp t§t c£ c¡c tê hñp tuy¸n t½nh húu h¤n cõa A trò mªt trong X.Khæng gian ành chu©n X kh£ ly n¸u v  ch¿ n¸u trong X tçn t¤i mëtd¢y (húu h¤n ho°c væ h¤n) to n vµn, ëc lªp tuy¸n t½nh

1.1.5 Khæng gian Hilbert

Gi£ sû X l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n K v 

ϕ : X × X → K(x, y) 7→ ϕ(x, y) := (x|y)

1.2 Bi¸n ng¨u nhi¶n v  c¡c t½nh ch§t li¶n quan

1.2.1 ành ngh¾a bi¸n ng¨u nhi¶n

Cho khæng gian x¡c su§t (Ω, F, P ) nh x¤ X : Ω → R ÷ñc gåi l bi¸n ng¨u nhi¶n n¸u X l  ¡nh x¤ o ÷ñc, tùc l  vîi måi a ∈R th¼

{ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F

1.2.2 H m ph¥n phèi x¡c su§t

Cho bi¸n ng¨u nhi¶n X, h m sè F (x) = P (X < x), x ∈ R ÷ñc gåi l 

h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa X

T½nh ch§t cõa h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X

7) N¸u X v  Y ëc lªp v  X, Y ∈ L1 th¼ E(XY ) = EX.EY

M»nh ·: N¸u bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc X câ h m ph¥n phèi F (x)

Gi£ sû X v  Y l  hai bi¸n ng¨u nhi¶n Khi â, covariance cõa X v 

Y, kþ hi»u l  cov(X, Y ) ÷ñc ành ngh¾a bði

cov(X, Y ) = E(X − EX)(Y − EY )

Rã r ng n¸u X, Y ëc lªp th¼ cov(X, Y ) = 0

1.3 C¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m

T½nh ëc lªp l  mët t½nh ch§t m¤nh cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n R§tnhi·u kh¡i ni»m phö thuëc kh¡c nhau ¢ ÷ñc c¡c nh  khoa håc ÷a

ra, º phò hñp vîi c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n trong thüc t¸ N«m 1981,Alam v  Saxena ¢ ÷a ra kh¡i ni»m li¶n k¸t ¥m cõa c¡c bi¸n ng¨unhi¶n nh÷ sau

1.3.1 ành ngh¾a

Mët hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xi, 1 ≤ i ≤ n} ÷ñc gåi l  li¶n k¸t ¥mn¸u

cov {f (Xi, i ∈ A), g(Xj, j ∈ B)} ≤ 0vîi måi c°p c¡c tªp con ríi nhau A, B cõa tªp {1, , n} v  vîi måi

h m khæng gi£m theo tåa ë f : R|A| → R, g : R|B| → R sao chocovariance ð cæng thùc tr¶n tçn t¤i, trong â |A| kþ hi»u lüc l÷ñng cõatªp A

Mët d¢y væ h¤n c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n {Xi, i ≥ 1} ÷ñc gåi l  li¶n k¸t

¥m n¸u vîi måi n ≥ 1 d¢y húu h¤n {Xi, 1 ≤ i ≤ n} l  li¶n k¸t ¥m.D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m câ mët sè t½nh ch§t quantrång sau ¥y C¡c t½nh ch§t n y ÷ñc chùng minh bði Joag - Dev v 

1.3.2 M»nh ·

Mët tªp hñp con cõa tªp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m l  tªp c¡c

bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m

Gi£ sû X = (X1, , Xn), Y = (Y1, , Ym)l  hai hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n

li¶n k¸t ¥m, X v  Y ëc lªp vîi nhau Khi â (X1, , Xn, Y1, , Ym)

l  hå c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m

1.3.5 M»nh ·

Gi£ sû {Xi, i ≥ 1}l  d¢y c¡c bi¹n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m, {Ai, i ≥ 1}l 

d¢y c¡c tªp con æi mët ríi nhau cõa tªp {1, 2, }, fi : RAi →R, i ≥ 1,

l  c¡c h m khæng gi£m theo tåa ë Khi â d¢y {fi(Xj, j ∈ Ai), i ≥ 1}

l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m

Gåi A, B l  hai tªp con ríi nhau cõa tªp {1, 2, , n}

Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû A = {1, 2, , k}, B = {k+1, , n}

f :R|A| → R, g : R|B| →R l  c¡c h m khæng gi£m theo tåa ë

°t Yr = fr(Xr,1, , Xr,mr), r = 1, 2, , n

f (f1(X1,1, , X1,m1), f2(X2,1, , X2,m2), , fk(Xk,1, , Xk,mk)) = f0(X1,1, , Xk,mk)

f (fk+1(Xk+1,1, , Xk+1,mk+1), , fn(Xn,1, , Xn,mn)) = g0(Xk+1,1, , Xn,mn)Khi â f0, g0 l  c¡c h m khæng gi£m theo tåa ë.

Bði v¼ c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n X1,1, , Xn,mn l  li¶n k¸t ¥m n¶n ta thu

Mët hå c¡c vectì ng¨u nhi¶n {X1, , Xn} nhªn gi¡ trà trong Rd

÷ñc gåi l  li¶n k¸t ¥m n¸u vîi måi c°p c¡c tªp con ríi nhau A, Bcõa tªp {1, , n} v  vîi måi h m thüc khæng gi£m theo tåa ë f tr¶n

R|A|d v  g tr¶n R|B|d

cov {f (Xi, i ∈ A), g(Xj, j ∈ B)} ≤ 0sao cho covariance ð cæng thùc tr¶n tçn t¤i

Mët hå væ h¤n c¡c vectì ng¨u nhi¶n {Xi, i ≥ 1} nhªn gi¡ trà trong

Rd ÷ñc gåi l  li¶n k¸t ¥m n¸u vîi måi n ≥ 1 d¢y húu h¤n {Xi, 1 ≤

Rd l  li¶n k¸t ¥m

Mët d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n {Xn, n ≥ 1} nhªn gi¡ trà trong H

÷ñc gåi l  li¶n k¸t ¥m theo khèi n¸u vîi måi k ≥ 0, c¡c vectì ng¨unhi¶n 

1.4.1 Bê · Toeplitz

Cho an i, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1 v  xi, i ≥ 1 l  c¡c sè thüc sao cho vîi måi i

cè ành, limn→∞ani = 0 v  vîi måi n, Pn

i=1

|ani| ≤ C < ∞.Khi â, n¸u lim

N¸u limn→∞xn = 0 th¼ vîi måi  > 0 tçn t¤i n sao cho

Gi£ sû bi¸n ng¨u nhi¶n X khæng ¥m, α > 0 v  EXα < ∞, khi â

Ch֓ng 2

Sü hëi tö èi vîi c¡c ph¦n tû ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà tr¶n khæng gian Hilbert

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y hai ph¦n Ph¦n thù nh§t x²tluªt m¤nh sè lîn èi vîi d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theokhèi, khæng còng ph¥n phèi nhªn gi¡ trà tr¶n khæng gian Hilbert Ph¦nthù 2 chóng tæi tr¼nh b y luªt m¤nh sè lîn Marcinkiewicz - Zygmundcho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi, còng ph¥n phèinhªn gi¡ trà tr¶n khæng gian Hilbert

2.1 Sü hëi tö h¦u ch­c ch­n cho tr÷íng hñp khæng còng

ph¥n phèi

K¸t qu£ ch½nh trong möc n y l  ành lþ 2.2 º chùng minh ành lþ2.2 ta c¦n bê · sau Bê · n y l  b§t ¯ng thùc cüc ¤i Kolmogorovcho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà trong H

2.1.1 Bê · 2.1

Cho {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m, ký vång 0

v  nhªn gi¡ trà trong H Khi â vîi måi n ≥ 1

2.1.2 ành lþ 2.2

Gi£ sû {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi,

ký vång 0 v  nhªn gi¡ trà trong H Gi£ sû {bn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c sèthüc d÷ìng khæng gi£m thäa m¢n

Chó þ r¬ng ph¦n ¦u ti¶n cõa (2.2) £m b£o r¬ng lim

n→∞bn = ∞.Vîi n ≥ 1 v  j ∈ B,

+ P (| hXn, eji | > bn)

+ P (| hXn, eji | > bn)] < ∞.

(2.6)Vîi n ≥ 1, j ∈ B, ta °t

Theo c¡ch ành ngh¾a cõa Yn, ta câ

+ P (| hXn, eji | > bn)]

(2.7)K¸t hñp (2.6) v  (2.7) ta thu ÷ñc

b2k+1 − b2k ≥ Cb2k+1, ∀k ≥ 0

k→∞akj = 0

2.1.3 Nhªn x²t

Cho khæng gian Hilbert l  ÷íng th¯ng thüc v  {bn, n ≥ 1} ÷ñc x¡c

ành trong ành lþ 2.2 Cho {Yn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶nli¶n k¸t ¥m, ký vång 0 sao cho P {Y1 6= 0} = 1 v  P∞

n=1

EYn2 < ∞.Cho m ≥ 1, x²t tªp

2.2 Sü hëi tö h¦u ch­c ch­n cho tr÷íng hñp còng ph¥n phèi

Trong ph¦n n y, chóng tæi th nh lªp luªt m¤nh sè lîn Zygmund cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi K¸t qu£trong ph¦n n y chóng tæi nhªn ÷ñc l  ành lþ sau

Marcinkiewicz-2.2.1 ành lþ 3.1

Cho {Xn, n ≥ 1} l  d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi,

ký vång 0 trong khæng gian H N¸u {Xn, n ≥ 1} ëc lªp còng ph¥nphèi sao cho

E||X1||p < ∞ Do â ành lþ (3.1) l  mð rëng cõa luªt m¤nh sè lînMarcinkiewicz-Zygmund sang tr÷íng hñp li¶n k¸t ¥m theo khèi.

K¸t luªn

Luªn v«n ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ ch½nh sau:

1 B§t ¯ng thùc cüc ¤i Kolmogorov cho d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶nli¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà trong khæng gian Hilbert ¢ ÷ñc chùngminh bði M H Ko, T S Kim v  K H Han trong [4] Trong ·

t i n y chóng tæi mð rëng k¸t qu£ n y sang tr÷íng hñp li¶n k¸t

¥m theo khèi (ành lþ 2.2)

2 Mð rëng luªt m¤nh sè lîn Marcinkiewicz-Zygmund cho d¢y c¡cvectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m theo khèi nhªn gi¡ trà trong khænggian khæng gian Hilbert (ành lþ 3.1)

H÷îng ph¡t triºn cõa luªn v«n:

1 Thi¸t lªp luªt y¸u sè lîn v  mët sè ành lþ giîi h¤n li¶n quan èivîi d¢y c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà trong khænggian Hilbert

2 Chùng minh b§t ¯ng thùc cüc ¤i Kolmogorov d¤ng 2 ch¿ sè èivîi c¡c vectì ng¨u nhi¶n li¶n k¸t ¥m nhªn gi¡ trà trong khæng gianHilbert

T i li»u tham kh£o

[1] Nguy¹n V«n Qu£ng (2008), X¡c su§t n¥ng cao, Nh  xu§t b£n ¤ihåc Quèc gia H  Nëi

[2] ªu Th¸ C§p (2000), Gi£i t½ch h m, Nh  xu§t b£n Gi¡o döc.[3] L V Th nh, On the almost sure convergence for dependent ran-dom vector in Hilbert spaces, Acta Math Hunga., 139 (3)(2013),276-285

[4] M H Ko, T S Kim and K S Han, A note on the almost sureconvergence for dependent random variables in a Hilbert space,

J Theoret Probab., 22 (2009), 506-513

[5] K Joag-Dev and F Proschan, Negative association of randomvariables, with applications, Ann Statist., 11 (1983), 286-295.[6] P Matula, A note on the almost sure convergence of sums ofnegatively dependent random variables, Statist Probab Lett 15(1992), 209-213

[7] Alam, Saxena, K M Lal Positive dependence in multivariate tributions, comm Statist A Theory methods 10 (1981), no 12,1183-1196