Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình của môn toán ở trường phổ thông (thể hiện qua nội dung đại số và giải tích)

PHAN ANH DUYSỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích LUẬN VĂN THẠC SĨ

PHAN ANH DUY

SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH

CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014

PHAN ANH DUY

SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG

TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH

CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

(Thể hiện qua nội dung Đại số và Giải tích)

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2014

Thuận người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành Luận văn này trong thời gian qua.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa sau Đại học trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên

đề Thạc sĩ khoá XX, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán tại trường Đại học Vinh.

Tôi cũng xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Trần Quốc Đại, Gò Dầu, Tây Ninh - nơi tôi đang công tác, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp những người luôn cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Nghệ An, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Phan Anh Duy

PTTQ Phương tiện trực quan

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán 7

1.1.1 Khái niệm PTTQ tượng trưng trong dạy học Toán 7

1.2 Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường

phổ thông 11

1.2.1 Trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số 11

1.2.2 Trực quan tượng trưng trong dạy học Giải tích 22

1.3 Kết luận Chương 1 30

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 31

2.1 Các cơ sở căn cứ để đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng 31

2.2 Đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình của Đại số và Giải tích 33

2.2.1 Tình huống 1 Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong việc hình thành các khái niệm và củng cố các khái niệm Toán học 33

2.2.2 Tình huống 2 Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong việc dạy học các tính chất, định lý Toán học 45

2.2.3 Tình huống 3 Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng việc dạy học sinh giải bài tập Toán 60

2.2.4 Tình huống 4 Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng để vạch ra sai lầm và sửa chữa các sai lầm, thiếu sót của học sinh trong quá trình dạy học Toán 86

2.3 Kết luận Chương 2 95

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 96

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 100

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 104

KẾT LUẬN CHUNG CỦA LUẬN VĂN 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn

diện giáo dục và đào tạo đã khẳng định: “…Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo

và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích

tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực…” Một trong những mục tiêu tổng quát của Nghị quyết cũng xác

định giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềmnăng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân Khi đã xác định được mục tiêu chung

là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện thì chương trình cần quantâm hơn đến những nội dung dạy học gắn liền với cuộc sống Nói cách khác làgiáo dục con người phải có cả kiến thức, kỹ năng và vận dụng được vào trongthực tiễn

1.2 Đại thi hào William A.Ward một nhà giáo dục lỗi lạc người Mỹ cũng

từng nói: “Người thầy trung bình chỉ biết nói, người thầy giỏi biết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, còn người thầy vĩ đại biết cách truyền cảm hứng” Do đó trong dạy học môn Toán để học sinh hiểu bài một cách

sâu sắc và có hệ thống, bên cạnh việc phối hợp nhuần nhuyễn các phương phápdạy học nhằm giúp cho học sinh có một phương pháp suy nghĩ, tìm tòi, khámphá thì người thầy cần phải biết sử dụng phương tiện trực quan trong dạy họcnhằm dẫn dắt, minh họa cho bài giảng tạo sự đam mê hứng thú trong học tập chohọc sinh, tạo điều kiện cho học sinh có óc quan sát, nhật xét, so sánh, từ đó có

được niềm tin vào toán học, có được khả năng trình bày, chứng minh chặt chẽmột mệnh đề toán học bằng cơ sở lập luận.

1.3 Toán học là một bộ môn khoa học chính xác và mang tính trừu tượngcao Đối với chương trình Toán phổ thông, nếu trình bày các định nghĩa, kháiniệm, tính chất một cách hàn lâm thì dễ cho người dạy, nhưng lại nặng nề, khóhiểu cho người học Cái khó nhất đối với người giáo viên là trình bày các kháiniệm Toán học cho dễ tiếp thu nhưng không làm mất đi tính chính xác của Toán

học Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng giúp người học dễ tiếp thu kiến

thức mới, tạo hứng thú trong học tập Rõ ràng, phương tiện trực quan tượngtrưng là một tiền đề cho sự khám phá mới trong tư duy, từ những hình ảnh tượngtrưng nhằm minh họa, thể hiện các kiến thức Toán học Hơn nữa, bản chất củaquá trình học là quá trình nhận thức của học sinh, mà phương tiện trực quan

tượng trong dạy học Toán thể hiện được nguyên lý của sự nhận thức: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn”

1.4 Vấn đề sử dụng phương tiện trực quan trong dạy học nói chung và bộ

môn Toán nói riêng đã từng được nghiên cứu Tuy nhiên, việc sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những nội dung cụ thể, những tình

huống điển hình của môn Toán chưa được quan tâm nghiên cứu một cách toàndiện

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình của môn Toán ở trường phổ thông (Thể hiện qua nội dung Đại số

và Giải tích)”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề khi sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học Đại

số và Giải tích đồng thời đề xuất các biện pháp thích hợp khi sử dụng PTTQtượng trưng trong dạy học góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ởtrường THPT

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Tính khả thi khi sử dụng phương tiện trực quan tượng

trưng trong dạy học Toán

3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.

4 Giả thuyết khoa học

Trong quá trình giảng dạy, nếu biết khai thác và sử dụng hợp lý phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình môn Toán thì sẽ góp

phần nâng cao hiệu quả của hoạt động dạy và học ở trường phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lý luận và thực tiễn, vai trò và chức năng của phương tiệntrực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích

- Nghiên cứu các tình huống sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng trongtừng nội dung cụ thể của quá trình dạy học Toán

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả khigiảng dạy bằng phương tiện trực quan tượng trưng

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạyhọc Toán có liên quan đến đề tài cần nghiên cứu

- Nghiên cứu các sách, bài báo khoa học trên các tạp chí, công trình Luận án củanghiên cứu sinh, tài liệu viết về phương tiện trực quan tượng trưng; các quanđiểm về lý luận và phương pháp dạy học Toán.

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Tiến hành dự giờ, trao đổi tổng kết rút kinh nghiệm

- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và kỹ năng vận dụng phương tiện trực quan tượngtrưng vào dạy học

- Phân tích những khó khăn, sai lầm và chướng ngại của học sinh trong nhữngnội dung cụ thể

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của cáctình huống đã đề xuất thông qua việc so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp

thực nghiệm khi sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng vào quá trình dạy

- Xây dựng được các tình huống áp dụng phương tiện trực quan tượng trưng

trong dạy học Đại số và Giải tích nhằm nâng cao chất lượng dạy học

7.2 Về mặt thực tiễn

- Đề xuất những tình huống cụ thể nhằm sử dụng phương tiện trực quan tượngtrưng một cách có hiệu quả trong dạy học Đại số và Giải tích của chương trìnhToán phổ thông

- Giáo viên Toán ở trường THPT có thể sử dụng luận văn này làm tài liệu thamkhảo trong quá trình giảng dạy.

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, luận văn

gồm có 3 Chương

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán

1.2 Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ởtrường phổ thông

1.3 Kết luận Chương 1

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1 Các cơ sở căn cứ để đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượngtrưng

2.2 Đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy họcnhững tình huống điển hình môn Toán

2.3 Kết luận Chương 2

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.

1.1.1 Khái niệm phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học Toán.

Chúng ta biết rằng phương tiện trực quan là một phận của phương tiện dạyhọc, nó là công cụ để GV sử dụng làm khâu trung gian tác động đến HS trongquá trình dạy học nhằm giúp giảm thiểu sự trừu tượng của kiến thức Toán họctrong quá trình nhận thức Nói đến trực quan tức là sử dụng nhiều giác quan đểquan sát trực tiếp quá trình thu nhận và xử lý thông tin Do đó phương tiện trựcquan có vai trò quan trọng trong quá trình dạy học môn Toán Do đặc điểm của

toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu…) Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu, tách rời khỏi tất cả các tính chất khác của đối tượng và hiện tượng nhằm cụ thể hóa cái trừu tượng của đối tượng cần nghiên cứu [36, tr.9]

Hoàng Chúng cho rằng: trực quan tượng trưng là một hệ thống quy ướcnên trực quan tượng trưng là một loại ngôn ngữ, do đó cũng như mọi ngôn ngữkhác, nó phải được nghiên cứu, học tập, luyện tập mới có thể hiểu được, mới rõràng trực quan được, mới trở thành một phương tiện dạy học có hiệu quả Chẳnghạn hình thành khái niệm là một quá trình tâm lý phức tạp theo sơ đồ: Cảm giác– Tri giác – Biểu tượng, lúc này trực quan đóng một vai trò rất quan trọng để dẫntới việc định nghĩa của khái niệm [36, tr.9]

Như vậy, theo chúng tôi trong quá trình dạy học Toán chúng ta sử dụngcác phương tiện như: mô hình, máy chiếu, các phần mềm Cabri, The Geometer'sSketchpad, trình chiếu PowerPoint cũng được xem là phương tiện trực quan

Tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ muốn đề cập đến một dạng

trực quan, đó chính là: Phương tiện trực quan tượng trưng Ta gọi là tượng trưng

vì ta không cần đến máy móc thiết bị hay công cụ gì ghê gướm cả mà ta chỉ dùngnhững gì thô sơ sẵn có như là : phấn với bảng, nhưng bằng sự khéo léo tinh tếcủa người GV thì nhiều bài toán khó nếu chúng ta chịu khó để tâm vào đó thì sẽgiải quyết được dễ dàng

Ý nghĩa của chữ tượng trưng ở đây chính là: hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng biểu, kí hiệu, thậm chí là tóm tắt một công thức Toán học theo cách riêng của mình giúp cho HS tiếp thu kiến thức mới dễ dàng và việc ghi nhớ trở nên bền

vững hơn

1.1.2 Vai trò của phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học môn Toán

Triết học Mác - Lênin đã khẳng định con đường biện chứng của tư duy là

đi từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng trở vềthực tiễn Vì vậy trong quá trình dạy học, muốn đạt được hiệu quả chúng ta phảituân theo quy luật đó Thực tế trong quá trình dạy học chúng tôi nhận thấy rằng

HS thường gặp khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức mới vì họ gặp khó khănkhi chuyển từ cái cụ thể lên cái trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụthể của quá trình tư duy Nguyên nhân là do: HS không phát hiện ra cái chung,cái bản chất bị che lấp bởi cái riêng; trong khi vận dụng định nghĩa, đính lý, tínhchất vào giải bài tập HS cũng còn lúng túng do không hiểu được bản chất của

chúng Một yếu tố có ảnh hưởng rất lớn đến quá trình tiếp thu kiến thức, giảiquyết vấn đề của học sinh chính là tính trực quan của tri thức được GV truyềnthụ Do đó, với đặc thù riêng của bộ môn Toán việc nghiên cứu, khai thác và sửdụng PTTQ tượng trưng là điều hết sức cần thiết.

Phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học tạo điều kiện thuận lợi

cho việc tổ chức quá trình học tập Bởi vì từ trực quan HS có được cảm nhận đầutiên về vấn đề cần tiếp thu Điều đó giúp cho HS sau này khi gặp vấn đề cần phải có

sự liên tưởng tới kiến thức đã học thì HS sẽ có tư duy tốt hơn

Trong dạy học Toán nói riêng việc sử dụng hợp lý các PTTQ tượng trưngđóng một vai trò rất quan trọng PTTQ tượng trưng không chỉ giúp cho việcminh họa và tập trung sự chú ý của HS vào những thuộc tính và đặc điểm bênngoài của đối tượng mà còn giúp HS nhanh chóng phát hiện những thuộc tínhbên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra nónhư một cái toàn bộ thống nhất

Chúng ta thấy rằng PTTQ tượng tượng trưng không chỉ tham gia vào quátrình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giảibài tập toán và phát hiện ra những sai lầm thiếu sót của học sinh Phương tiệntrực quan tượng trưng là chiếc cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừutượng hóa và cả trong giai đoạn cụ thể hóa

Khẳng định của V.I Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rấtsâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếutố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn Mỗi yếu tố đó đều cầnthiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được Sự tác động lẫn

nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan

sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn Đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách quan” [36, tr.9]

1.1.3 Chức năng của phương tiện trực quan tượng trưng trong dạy học môn Toán

Trong quá trình dạy học, phương tiện trực quan tượng trưng giúp học sinh

mở rộng kinh nghiệm cảm tính, làm nổi rõ cái chung, cái cơ bản qua cái riêng lẻ

Từ đó giúp các em có khả năng hình thành và nắm vững khái niệm, lĩnh hội định

lý, giải bài tập cũng nhưng khắc phục những sai lầm thiếu sót của mình trongquá trình học Toán Khi mức độ trừu tượng của các đối tượng nhận thức trongmôn Toán được nâng cao thì các PTTQ tượng trưng lại trở thành phương tiệnnhận thức có hiệu quả, giúp học sinh tìm thấy được các mối liên hệ giữa các yếu

tố thành phần trong sự vật hiện tượng hoặc giữa các sự vật hiện tượng với nhau

Trong dạy học toán vai trò và chức năng của PTTQ tượng trưng là rấtquan trọng, ảnh hưởng rất nhiều đến sự nhận thức, tư duy của học sinh trong quátrình học tập Phương tiện trực quan tượng trưng tác động một cách tích cực cóđịnh hướng đến học sinh nhằm đạt được mục tiêu của bài dạy Theo chúng tôiPTTQ tượng trưng có những chức năng sau đây

Chức năng 1: Truyền thụ tri thức.

- Tạo ra các hình ảnh, các biểu tượng về đối tượng nghiên cứu, giúp quá trìnhnhận thức chuyển từ cái cụ thể đến cái trừu tượng Tức là PTTQ tượng trưnggiúp học sinh biểu tượng về đối tượng đang được nghiên cứu

- Phương tiện trực quan tượng trưng còn đóng vai trò diễn đạt khái niệm bằng sựbiểu thị khoa học chính xác dưới dạng ký hiệu

Chức năng 2: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh.

- Giúp học sinh vượt qua được một số khó khăn về mặt tư duy để từ đó phát triểncác kỹ năng cần thiết khi học toán

- Hình thành cho học sinh quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học

Chức năng 3: Phát triển hứng thú học tập cho học sinh.

- Huy động được các giác quan của học sinh tham gia vào quá trình nhận thức,làm cho việc tiếp thu kiến thức mới trở nên dễ dàng và việc ghi nhớ trở nên bềnvững hơn

- Tái tạo cho học sinh nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọnnhằm củng cố và áp dụng kiến thức

Chức năng 4: Điều khiển quá trình dạy học.

- Phương tiện trực quan tượng trưng là công cụ hướng dẫn phương pháp trìnhbày các chủ đề nghiên cứu cho GV

- Nhanh chóng làm xuất hiện các thông tin học tập trong hoạt động nhận thức khikiểm tra và đánh giá kết quả học tập của học sinh

1.2 Vấn đề trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường phổ thông

1.2.1 Trực quan tượng trưng trong dạy học Đại số

Chúng ta biết rằng trực quan chính là quan sát trực tiếp theo nghĩa thôngthường, tức là khi chúng ta muốn diễn giải vấn đề gì mang tính trừu tượng, khóhiểu thì ta cần có một mô hình để nghiệm thấy làm cho vấn đề đỡ xa lạ hơn, dễ

hiểu hơn Trực quan tượng trưng ở đây chính là: hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, ký hiệu toán học thậm chí là có thể tóm tắt một công thức toán học theo cách riêng của mình nhằm làm cho học sinh dễ hiểu hơn Trực quan tượng trưng nhằm cụ

thể hóa cái trừu tượng trong một đối tượng Thật sự mà nói, có nhiều bài toánkhó nhưng nếu chúng ta chịu khó để tâm vào đó nhằm đưa ra những hình vẽ trựcquan, những mối quan hệ thì vấn đề có thể giải quyết được dễ dàng hơn Trongtrực quan tượng trưng ta chỉ dùng những công cụ thô sơ sẵn có, không cần đòihỏi về đầu tư máy móc thiết bị mà ta chỉ dùng phấn với bảng mà thôi để hỗ trợcho quá trình suy nghĩ đỡ trừu tượng hơn, gần gũi hơn và dễ hiểu hơn.

Sau đây là những ví dụ mang tính chất như vậy.

Ví dụ 1: Ta xét bài toán: Cho hàm số 2 1

Ta thấy rằng tìm tập xác định là một bài toán quen thuộc, tuy nhiên đây

không phải là bài toán tìm tập xác định một cách thông thường, mà bài toán yêucầu tìm điều kiện để hàm số xác định trên tập I Thực tế dạy học thấy học sinhthường lúng túng với dạng toán này nếu gặp lần đầu Để làm được bài toán này

học sinh phải nắm được kiến thức sau: “Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D và tập I   Khi đó hàm số y=f(x) xác định trên tập I  I D ”.

Như vậy để giải được bài tập này đòi hỏi học sinh phải tìm được tập xácđịnh D của hàm số, từ đó theo yêu cầu bài toán, hàm số phải xác định trên [0;1)tức là [0,1)D Do đó theo chúng tôi, khi giải những dạng toán như trên giáoviên nên mô tả tượng trưng I D bằng hình ảnh trên trục số, cách làm như vậygiúp học sinh tiếp cận lời giải bài toán đỡ trừu tượng hơn và dễ dàng hơn

Lời giải bài toán: Hàm số xác định khi 2 0 2

Hàm số xác định trên [0;1) khi và chỉ khi [0;1) [ m 2;2m 1).

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để hàm số xác định trên một khoảng

Xét bài toán: Cho hàm số y  x m  2x m Tìm m sao cho hàm số xác định với mọi x 2.

22

hay âm nên việc giao hai điều kiện sẽ khó khăn vì phải chia nhiều trường hợp,

cho nên ta không làm việc đó Ta dựa vào điều kiện x 2 để tìm giá trị tham số

m của đề bài bằng cách vẽ hình minh họa trên trục số như sau:

Hình 1.3

Ta có x m là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện x 2 ta thấy số 2

phải nằm bên phải của m như hình trên, nếu số 2 nằm bên trái của m, tức là nằm

vào phần bị gạch bỏ thì không thỏa mãn Nhìn vào hình vẽ ta được m 2

Một cách tương tự ta giải thích vì sao ; 2

Hình 1.4

Ta lại có

2

m

x  là phần không bị gạch bỏ, còn điều kiện x 2 thì ta thấy

số 2 phải nằm bên phải của

2

m như hình trên, nếu số 2 nằm bên trái của

vào trực quan hình vẽ trên trục số Ví dụ trên là một minh chứng của việc sử

dụng phương tiện trực quan tượng trưng trong việc dạy và học môn Toán, nhiều

bài toán khó nhưng thông qua hình vẽ như thế thì lại thấy nó gần gũi hơn, lập luận của chúng ta sẽ có căn cứ xác đáng hơn Sau đây ta xem xét bài toán sau:

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số xác định với điều kiện cho trước.

Bài toán: Cho hàm số y (m1)x m  mx m 2 Tìm m sao cho hàm số xác định với mọi x 1

Nhận xét: Vừa nhìn qua chúng ta cứ ngỡ rằng có thể tìm tòi lời giải của bài toán này theo hai cách đã làm ở trên Nhưng nếu để ý chúng ta nhận thấy hệ

số của x còn chứa tham số, ta không thể rút x trong bất phương trình ra được vì

chưa biết m dương hay âm nên chưa biết dấu bất đẳng thức có đổi chiều hay

không Như vậy đây là một bài toán khó đối với học sinh Ta giải bài toán nhưsau:

Rõ ràng ta có lời giải trong sáng và ngắn gọn, dựa vào suy luận sau đây

bằng hình ảnh trực quan Để giải một bất phương trình bậc nhất có kèm theo

điều kiện như (m1) x m 0,   x 1và mx m  2 0, x 1 của bài toán trên

ta đi xét bài toán tổng quát như sau đây: Bất phương trình ax b 0 xảy ra khi

Khi số 1 nằm bên phải của A thì ta có f(1) 0 Một cách tương tự khixem xét trực quan trên hình vẽ ta thấy trường hợp a<0 sẽ không xảy ra Như vậy

Qua ví dụ này GV nên có một chú ý đặc biệt khi giải phương trình bậcnhất kèm theo điều kiện ta nên dựa vào đồ thị hàm số, từ đó GV có chú ý rấtquan trọng sau đây:

Xét bài toán: Cho hàm số 4

Hình 1.8 Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán khá hay, với nửa khoảng [4;6) là

một nửa khoảng cụ thể nên ta vẽ tập [4, 6) trước, còn giá trị m ta chưa biết là

nằm ở đâu trên trục số? Chúng ta không biết, do đó một cách tự nhiên ta phải chia ra các trường hợp, nên tham số m chỉ có 3 vị trí như các hình vẽ trên, để cho

thuận lợi ta xếp m từ bên trái sang Do đó, đối với những dạng toán như trênchúng tôi nhận thấy rằng GV cần phải có hình vẽ minh họa để học sinh hiểuđược lời giải

Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: x2  x 6 x 1

Ta có:

2 2

Nhận xét: Cách giao nghiệm trên trục số trong trường hợp này là cách lý giải dễ

hiểu nhất đối với học sinh

Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm âm: 4 x2  2x m

Hai parabol ( ) & (P )P1 2 cắt nhau tại A(-2;-4) và B(2;4).

Miền gạch chéo là tập hợp tất cả các điểm M(x,y) thỏa mãn:

Hình 1.10

Bất phương trình có nghiệm âm khi và chỉ khi đường thẳng y=m có điểmchung với miền bị gạch chéo Như vậy yêu cầu bài toán là: -5<m<4

1.2.2 Trực quan tượng trưng trong dạy học Giải tích

Trong dạy học giải tích thì vấn đề trực quan tượng trưng được áp dụngtương đối thường xuyên, tuy nhiên nhiều giáo viên chưa có sự quan tâm mộtcách thích đáng, GV thường chỉ quan tâm đến việc áp dụng các công cụ của Đại

số Quả thật nhiều bài toán trong giải tích nếu giáo viên sử dụng trực quan hình học thì bài toán trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh, từ đó rèn luyện được cho

học sinh khả năng suy luận, phát triển tư duy logic Chẳng hạn chúng ta xét các

ví dụ sau:

Ví dụ 1: Sử dụng đồ thị để giải phương trình.

Xét bài toán sau: Với giá trị nào của m thì phương trình x4  2x2  3 có 4m

nghiệm phân biệt

Bài toán trên chúng ta có hai cách làm như sau:

Cách 1:

Phương trình x4  2x2  3m x4  2x2  3 m (1)0

Đặt t x t 2; 0, khi đó (1) có dạng t2  2t 3 m (2).0

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệmphân biệt dương, tức là:

4 0

3 00

m

m S

Vậy -4<m<-3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: (Dựa vào đồ thị hình bên dưới)

Phương trình x4  2x2  3 chính là phương trình hoành độ giao điểm củam

hàm số y x 4  2x2  3 và y m

Ta có đồ thị hàm số y x 4  2x2 3 được vẽ như sau:

Hình 1.11

Dựa vào đồ thị ta thấy ngay đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4điểm phân biệt   4 m 3.

Như vậy: Nếu bài toán trên không yêu cầu khảo sát hàm số

y x  x  thì lời giải theo cách 1 là hợp lý Nếu bài toán có câu yêu cầukhảo sát hàm số y x 4 2x2  3 thì chỉ cần chúng ta linh động áp dụng trực quan hình vẽ ta sẽ có được lời giải gọn gàng nhanh chóng.

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình vô tỷ bằng phương pháp hàm số.

Ta xét bài toán: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 x44x m  x4 4x m 6

Lời giải:

Điều kiện: x4 4x m 0, (*)

Đặt t4 x4 4x m  x4 4x m t  với 2 t 0

Khi đó, phương trình đã cho trở thành t2  t 6 0   (do t 2 t 0)

Với t 2 ta có 4 x4 4x m  2 x4 4x m 16, (Thỏa mãn điều kiện (*))

Từ bảng biến thiên suy ra:

- Nếu m 19thì phương trình đã cho vô nghiệm

- Nếu m 19 thì phương trình đã cho có một nghiệm

- Nếu m 19 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: Chúng ta thấy rằng phương trình đã cho là phương trình vô tỷ chứa

các căn thức không đồng bậc, do đó việc giải bằng công cụ đại số sẽ khó khăn vì phải xét nhiều trường hợp Với cách làm như trên chúng ta có thể giải quyết

nhiều câu hỏi khác nhau của bài toán: Như tìm điều kiện của m để phương trình

có 1 nghiệm, vô nghiệm, 2 nghiệm, v.v Học sinh cũng dễ hiểu lời giải hơn, vì lời giải rất "tự nhiên" khi nhìn vào bảng biến thiên là chúng ta nhận được câu trả

lời, GV cũng không phải giải thích nhiều bởi vì trên bảng biến thiên đã thể hiệntất cả rồi

được dữ kiện đã cho, và phải tìm tòi lời giải như thế nào Nhằm giúp cho họcsinh hiểu được yêu cầu bài toán, GV nên minh họa những gì mà giả thiết chobằng hình vẽ Từ đó ta có lời giải sau.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại C (hình vẽ bên dưới) nên B và C có cùng hoành

độ Tọa độ các điểm A, B, C như sau: A(-4;0), B x x x( ;4  2), C(x;0) với

Như vậy mấu chốt để có thể tìm được lời giải trên là phải phát biện được

"B và C có cùng hoành độ x khi tam giác ABC vuông tại C" như trên hình vẽ.

Nhưng thật sự không dễ dàng để HS có thể hình dung được điều này nếu GV

không sử dụng trực quan hình vẽ Từ đó phát hiện ra được chìa khóa giải bài toán chính là tìm được "hình ảnh" của điểm B là B x x x( ;4  2)

Ví dụ 4: Giải phương trình mũ dạng a x x bằng phương pháp đồ thị.

Sau khi học sinh đã học xong khái niệm hàm số mũ, các phương pháp giảimột số phương trình cơ bản có trong SGK, giáo viên có thể ra thêm bài toán saunhằm áp dụng các kết quả và khắc sâu thêm những kiến thức đã biết của họcsinh, chẳng hạn: Giải phương trình sau: 2x  3 x

Nhận xét: Trong phương trình trên chứa hai loại hàm số: hàm số mũ và

hàm đa thức, nên khó có thể giải phương trình trên bằng đại số GV chỉ ra chohọc sinh rằng phương trình trên thực chất là phương trình hoành độ giao điểmcủa hàm số 2x

y  và y  3 x Như vậy chúng ta có thể giải phương trình trên

bằng phương pháp đồ thị, ta vẽ đồ thị hai hàm số trên lên cùng một hệ trục tọa độOxy như sau:

Hình 1.13

Từ mô hình trực quan như trên học sinh sẽ phát hiện các đồ thị chỉ có một

điểm chung duy nhất không còn điểm chung nào khác nữa; hoành độ của điểm A

là x=1, điều đó cũng có nghĩa là phương trình 2 x = 3 - x có một nghiệm duy nhất

Chúng ta giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số như sau:

Cách khác: Ta thấy x=1 là một nghiệm của phương trình (điều này ta có

được bằng cách dùng lệnh shift  solve trên máy tính bỏ túi)

Ta chứng minh nghiệm trên là nghiệm duy nhất

Thật vậy hàm số mũ ở vế trái có hệ số a=2>1, nên đồng biến trên , vế

phải là hàm số bậc nhất có hệ số góc a=-1<0 nên nghịch biến trên  Do đó đồthị của hai hàm số này chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất

Nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 5: Tính tích phân nhưng không dựa vào tìm nguyên hàm.

Ta xét bài toán: Không tìm nguyên hàm, hãy tính tích phân

được của một vật nhằm làm cho học sinh thấy được các ý nghĩa của phép tính

tích phân chúng ta có các câu hỏi như trên, học sinh thấy được "hình ảnh" của

 thực chất là diện tích của hình thang ABCD như hình vẽ trên

Trong dạy học tích phân, nếu GV chuẩn bị những ví dụ được giải bằnghình ảnh trực quan như vậy học sinh sẽ hiểu được ý nghĩa của Toán học gắn liềnvới thực tiễn

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn một sốnội dung cơ bản liên quan đến PTTQ tượng trưng trong dạy học Đại số và Giảitích Điều cơ bản của việc sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng là GVphải biết vận dụng vào từng tình huống trong quá trình dạy học nhằm hướng dẫn

HS khám phá tri thức mới, giải quyết nhiều bài toán khác nhau Để làm đượcđiều này đòi hỏi GV phải có sự tinh tế, chịu khó để tâm vào bài giảng thì có rấtnhiều bài toán khó, học sinh rất khó tiếp thu, nếu ta đưa ra được các công thức,hình vẽ cũng như các mối quan hệ, thì vấn đề sẽ được giải quyết dễ dàng hơn

Qua việc tìm hiểu thực tiễn việc dạy học ở trường phổ thông, chúng tôinhận thấy còn nhiều hạn chế về khả năng sử dụng phương tiện trực quan tượngtrưng của HS, đồng thời nhiều GV chưa chú trọng vào việc khai thác loạiphương tiện trực quan này Việc vận dụng PTTQ tượng trưng trong dạy họcToán sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Do đó ở chương 1 chúng tôi

đã đưa ra một số bài toán về Đại số và Giải tích mà cách giải của chúng khó cóthể sử dụng phương pháp khác ngoài cách dựa vào yếu tố trực quan Những cơ

sở lý luận trình bày trong chương này sẽ định hướng cho quá trình vận dụng cụthể ở chương 2

CHƯƠNG 2

SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TƯỢNG TRƯNG

TRONG DẠY HỌC NHỮNG TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH

CỦA MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1 Các cơ sở căn cứ để đề xuất các tình huống sử dụng phương tiện trực quan tượng trưng

Thực tiễn dạy học cho thấy, học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển từcái cụ thể lên cái trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng trở về cái cụ thể trong tưduy Nguyên nhân là do: học sinh không phát hiện ra cái chung, cái bản chất bịche lấp bởi cái riêng và thứ yếu của cái cụ thể trong quá trình tri giác Bên cạnh

đó, không phải tất cả cái cụ thể nào cũng có thể mang đến cho học sinh tri giáctrực tiếp được, vì vậy trong dạy học người ta nghiên cứu một dạng phương tiệndạy học đó là: Phương tiện dạy học trực quan

Nhà toán học nổi tiếng A.N Kôlmôgorôv lưu ý giáo viên “đừng để hứng thú đến mặt lôgic của giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư duy trực quan cho học sinh”, một khi chương trình và sách giáo khoa đã được hiện đại hóa.

Với câu hỏi: Người ta đã dành kiến thức như thế nào? A.Đixtervec trả lời

một cách dứt khoát: "Không có con đường nào khác ngoài con đường trực quan".

[36, tr 9]

Các phương tiện trực quan không chỉ cung cấp cho học sinh những kiếnthức bền vững, chính xác, mà còn giúp học sinh kiểm tra lại tính đúng đắn của lýthuyết đã học, sửa chữa và bổ sung, đánh giá lại chúng nếu không phù hợp vớithực tiễn Nhờ PTTQ học sinh sẽ học tập hứng thú hơn, tăng cường sức chú ý đốivới các hiện tượng nghiên cứu, dễ dàng tiến hành các quá trình phân tích, tổnghợp các hiện tượng để rút ra kết luận đúng đắn

Phương tiện trực quan có vai trò rất quan trọng trong dạy học môn Toán

Do đặc thù riêng của môn Toán, mà hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi

và có ý nghĩa, chính là trực quan tượng trưng, được hiểu như là: hình vẽ, ký

hiệu, sơ đồ, đồ thị, bảng biểu, thậm chí là tóm tắt một công thức Toán học theocách riêng của mình sao cho học sinh dễ hiểu và dễ nhớ trong quá trình dạy học

PTTQ tượng trưng là công cụ hỗ trợ hiệu quả trong quá trình dạy học

Toán V.I Lênin từng có luận điểm: "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ đó trở về thực tiễn - đó là con đường biện chứng của nhận thức chân

lý, nhận thức hiện thực khách quan" luận điểm này đã được sử dụng trong nhiều

công trình nghiên cứu về tâm lý học sư phạm, lý luận dạy học nói chung và lýluận dạy học Toán nói riêng

Trong dạy học môn Toán việc khai thác và sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan tượng trưng đóng vai trò vô cùng quan trọng khi dạy những tình huống điển hình của môn Toán, các PTTQ tượng trưng không chỉ đóng góp một

cách có hiệu quả trong dạy học hình thành khái niệm, dạy định lý, dạy học sinhgiải bài tập mà nó còn hỗ trợ đắc lực trong việc vạch ra sai lầm và sửa chữa cácsai lầm, thiếu sót của học sinh khi giải toán PTTQ tượng trưng còn được xem làkhâu trung gian và cũng là chiếc cầu nối giữa cụ thể và trừu tượng trong dạy họcToán

Hơn nữa, "Việc hình thành bất kì khái niệm toán học nào cũng diễn ra ởhình thức hai mặt đối lập Sự vận động từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, và từ cáitrừu tượng trở về cái cụ thể, cái cụ thể trực quan định hướng cho cái trừu tượng,làm cho sự tưởng tượng được chính xác, thể hiện được những mối liên hệ lôgiccần thiết càng làm cho cái trực quan được nhận thức sâu sắc hơn, đúng đắn hơn"(dẫn theo [36, tr 14])

2.2 Đề xuất các tình huống sử dụng PTTQ tượng trưng trong dạy học những tình huống điển hình của Đại số và Giải tích

Sau đây là các tình huống điển hình trong dạy học môn toán có sử dụngPTTQ tượng trưng mà chúng tôi đã thiết kế được

2.2.1 Tình huống 1: Sử dụng PTTQ tượng trưng trong việc hình thành và củng cố các khái niệm Toán học.

Toán học là một khoa học suy diễn, nghĩa là một khoa học được xây dựng

từ những khái niệm cơ bản và những tiên đề ban đầu dựa vào việc áp dụngnhững quy tắc và phương pháp suy luận lôgic Các khái niệm trước là cơ sở xâydựng các khái niệm sau, chính vì vậy các khái niệm chính là thành tố cơ sở củaviệc xây dựng toàn bộ ngành khoa học Toán học

Dạy học khái niệm là một trong những tình huống điển hình trong dạy họcmôn Toán nó có một vị trí quan trọng trong quá trình lĩnh hội tri thức mới chohọc sinh Nắm vững bản chất của các khái niệm toán học là chìa khóa giúp chohọc sinh vận dụng một cách hiệu quả các kiến thức đã học, góp phần nâng caonăng lực giải toán, rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo và hình thành thế giớiquan duy vật biện chứng.

Hình thành các khái niệm toán học cho học sinh là một trong những nhiệm

vụ mấu chốt của dạy học Toán ở trường phổ thông Theo Hoàng Chúng: “Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức

đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học)” [3, tr.116]

Theo Nguyễn Bá Kim, trong dạy học người ta phân biệt ba con đường đểtiếp cận khái niệm: Con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiếnthiết Mỗi con đường hình thành khái niệm điều có những ưu điểm và hạn chếriêng, do đó giáo viên là người phải lựa chọn con đường nào phù hợp với từngkhái niệm khác nhau nhằm giúp cho học sinh tiếp thu kiến thức mới được dễdàng

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phảilàm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu sau: