Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian

Môn Toán được xem là môn học quan trọng không chỉ vì là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, giúp học sinh có được cơ sở cần thiết để học tốt các môn học khác

NGUYỄN THÁI HỌC

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An – 2014

NGUYỄN THÁI HỌC

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Giáo viên hướng dẫn: TS Phạm Xuân Chung

Nghệ An – 2014

Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Phạm Xuân Chung Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầyNgười đã trực tiếp tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành Luận văn.

Tôi trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành lý luận vàphương pháp dạy học bộ môn Toán, trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảngdạy và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện Luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn

cổ vũ động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tôi rất mong nhận được những ý kiến,nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơnnữa

Nghệ An, ngày 15 tháng 6 năm 2014

Người viết

Nguyễn Thái Học

LỜI CẢM ƠN

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 3

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 4

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 4

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 4

8 KẾ HOẠCH THỰC HIỆN 6

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPH 7

1.1 Quan điểm hoạt động trong học phương pháp dạy môn toán 7

1.2 Một số quan điểm liên quan khác 8

1.3 Các khái niệm 9

1.3.1 Khái niệm thuật giải 9

1.4 Khái niệm tư duy và tư duy thuật giải 10

1.4.1 Khái niệm tư duy 10

1.4.2 Tư duy biện chứng trong toán học 12

1.4.3 Khái niệm tư duy thuật giải 12

1.5 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học khái niệm .24

1.5.1 Dạy học khái niệm phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng trong không gian: 24

1.6 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học định lý 27

1.6.1 Dạy học định lí vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian 28

1.7 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải bài tập toán 32

1.8 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng 32

1.9 Kết luận chương 1 34

2.1 Mục đích khảo sát 35

2.2 Nội dung khảo sát 35

2.3 Đối tượng điều tra 35

2.4 Công cụ điều tra 35

2.4.1 Phiếu khảo sát học sinh 35

2.4.2 Phiếu khảo sát giáo viên 35

2.5 Kết quả khảo sát 44

2.6 Kết luận chương 2 46

Chương 3: MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 47 3.1 Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh 47

3.2 Một số biện pháp sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 50

3.2.1 Biện pháp 1: Trong quá trình dạy các công thức cần quan tâm thiết kế các tình huống cho học sinh hoạt động tìm tòi, phát hiện các công thức đó 51

3.2.2 Biện pháp 2: Trong chừng mực có thể hướng dẫn học sinh tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán và đánh giá các lời giải đó 64

3.2.3 Biện pháp 3: Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc tập luyện thành thạo các thuật giải đã biết và xây dựng quy trình có tính thuật giải trong khi dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 68

3.2.4 Biện pháp 4: Trong quá trình dạy học giải bài tập chú ý xây dựng quy trình dạy học tri thức phương pháp giải bài tập 96

3.3 Kết luận chương 3 106

Chương 4: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 107

4.1 Mục đích thực nghiệm 107

4.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 107

4.3 Nội dung thực nghiệm 108

4.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm 1164.7 Kết luận chương 4 và đề xuất chung về dạy học phát triển tư duythuật giải cho học sinh THPT trong dạy học nội dung phương pháp tọa

độ trong không gian 118

KẾT LUẬN 119

TÀI LIỆU THAM KHẢO 120

Viết tắt Viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Công cuộc đổi mới của đất nước đã và đang đặt ra cho ngành giáodục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề, đó là đào tạo nguồn nhânlực chất lượng cao nhằm đáp ứng các yêu cầu về sự nghiệp công nghiệp hóa –hiện đại hóa đất nước và bắt kịp sự phát triển các nước tiên tiến trên thế giới Luật giáo dục (sửa đổi bổ sung năm 2010) quy định “Phương pháp giáodục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của họcsinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phươngpháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiếnthức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tậpcho học sinh”

Môn Toán được xem là môn học quan trọng không chỉ vì là một môn học

“công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, giúp học sinh có được cơ

sở cần thiết để học tốt các môn học khác, góp phần xây dựng nền tảng văn hóaphổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể, mà còn bởi lẽ nó đónggóp nhiều cho sự phát triển trí tuệ cho mỗi cá nhân học sinh Vì vậy việc dạyhọc Toán có hiệu quả sẽ quyết định đến chất lượng chung của ngành giáo dục.1.2 Phát triển tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong Trường phổthông đặc biệt trong dạy học toán Môn Toán, có nhiều dạng toán được giảiquyết nhờ thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạngtoán có thuật giải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì họcsinh lĩnh hội tri thức một cách dễ dàng hơn Thông qua các bước hoạt động,yêu cầu bài toán được giảm dần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là địnhhướng để học sinh giải quyết bài toán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, để giải từng bài toán, từng dạng toán, sẽ gópphần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: Phân

tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơn nữa, còn hìnhthành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết, tínhlinh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá toán học.

Tuy nhiên ở Trường phổ thông hiện nay, vấn đề phát triển tư duy thuậtgiải chưa được quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa có sựchỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện Do đó, giáo viên chưa thànhthạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm pháttriển tư duy thuật giải cho học sinh

1.3 Đã có một số các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh, trong các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sĩ của

Vương Dương Minh: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông”(1996); luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị: “Vận dụng tư duy thuật toán vào việc xác định hình để giải các bài toán hình học không gian ở trường phổ thông trung học”(1996); luận văn thạc sĩ của Lê Thị Thanh: “Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông trong dạy học nội dungđạo hàm và ứng dụng của đạo hàm " (2012);, Nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu phát triển tư

duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy học nội dung phương pháp tọa độtrong không gian

1.4 Thực chất của nghiên cứu phương pháp toạ độ ở trường phổ thông

là nghiên cứu một cách thể hiện khác của hệ tiên đề hình học (HH) phẳng vàkhông gian Việc sử dụng toạ độ để nghiên cứu HH thực chất là sử dụng côngcụ đại số để nghiên cứu HH Nói cách khác, thông qua một hệ toạ độ người tadịch những đối tượng, những tương quan giữa các đối tượng HH thành nhữngđối tượng và những mối liên hệ đại số; những tính chất HH thành những biểuthức, phương trình đại số; chuyển bài toán HH thành bài toán đại số và việc

giải bài toán HH chuyển về làm việc với các biểu thức hình thức bằng cáccông cụ đại số.

Qua đó có thể thấy nội dung phương pháp tọa độ trong không gian chứađựng nhiều tiềm năng để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài

nghiên cứu của luận văn là: “Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu của luận văn là phát triển tư duy thuật giải chohọc sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung phương pháp tọa độtrong không gian

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Tư duy thuật giải là gì? Tại sao cần phải phát triển tư duy thuật giảicho học sinh?

3.2 Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh Trung học phổ thông khi dạy học phương pháp tọa độ trongkhông gian theo một số biện pháp đã xây dựng thì sẽ góp phần phát triển tư

duy thuật giải cho học sinh đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạymôn Toán ở Trường phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán,các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học, Sách giáo khoa, Sách giáo viên,các tài liệu tham khảo có liên quan để làm điểm tựa đề xuất các biện phápphát triển tư duy thuật giải cho học sinh

Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

6.1 Hệ thống hóa cơ sở lý luận về việc phát triển tư duy thuật giải cho họcsinh

6.2 Xây dựng được các biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duythuật giải cho học sinh trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trongkhông gian

6.3 Kết quả nghiên cứu của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo chogiáo viên toán trung học phổ thông

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có bốnchương

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPH

1.1 Quan điểm hoạt động trong học phương pháp dạy môn toán

1.2 Một số quan điểm khác

1.3 Các khái niệm về tư duy thuật giải

1.4 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học khái niệm

1.5 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học định lý

1.6 phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải bài tập toán

1.7 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạyhọc toán nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng

1.8 Kết luận chương 1

CHƯƠNG 2 TÌM HIỂU THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Mục đích khảo sát

2.2 Nội dung khảo sát

2.3 Đối tượng khảo sát

2.4 Công cụ điều tra

2.5 Kết quả khảo sát

2.6 Kết luận chương 2

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

3.1 Một số nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giảicho học sinh

3.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển tư duy thuật giải cho

học sinh trong dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian

2.3 Kết luận Chương 3

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

4 1 Mục đích thực nghiệm

4 2 Tổ chức thực nghiệm

4.3 Nội dung thực nghiệm

4 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

5.5 Kết luận chung về thực nghiệm

6.6 Kết luận Chương 4.

8 KẾ HOẠCH THỰC HIỆN

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học môn toán

Như chúng ta đã biết, quá trình dạy học là một quá trình điều khiểnhoạt động của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập

là một quá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thôngtin vào, ghi nhớ thông tin, phân tích biến đổi thông tin, đưa thông tin ra vàđiều phối Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động củamình và thông qua những hoạt động đó nhằm thúc đẩy sự phát triển về trí tuệmột cách tự giác, tích cực và sáng tạo

Xuất phát từ một nội dung dạy học cụ thể ta cần phát hiện những hoạtđộng liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn những hoạtđộng để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện.Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổchức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa phải

Việc tiến hành các hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhấtđịnh, đặc biệt là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả củamột quá trình hoạt động khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở mộtmức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đócần phải phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sởđịnh hướng cho việc chỉ đạo quá trình dạy học Trên cơ sở việc phân tích nhưtrên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động Luận văn đượcnghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt độnglàm nền tảng tâm lý học giáo dục Nội dung của quan điểm này được thể hiệnmột cách tóm tắt thông qua những tư tưởng chủ đạo dưới đây:

- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học.

- Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.

- Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động.

- Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.

Như vậy, dựa trên ý đồ và tư tưởng này, luận văn lấy quan điểm hoạtđộng làm nền tảng, cơ sở lý luận cho mình

1.2 Một số quan điểm liên quan khác

Bên cạnh việc vận dụng quan điểm hoạt động, luận văn còn dựa vàoquan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểmdạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyếthoạt động như theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồmđồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn,những khó khăn hay sự mất cân bằng nào đó

Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động cụ thểnào đó Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra

sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh Do đó trong quá trìnhdạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tìnhhuống cho tri thức đó một nghĩa đúng) Sau đó ủy thác tình huống này chohọc sinh Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác vớimôi trường

Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học

Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi

sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thờiphát triển được trí tuệ và nhân cách của mình

Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống

và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tưduy thuật giải cho học sinh thêm đầy đủ

1.3 Các khái niệm

1.3.1 Khái niệm thuật giải

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đếnphức tạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tảquá trình giải Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trựcgiác về thuật giải

“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn nhữngchỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước vàđem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thànhthông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó [15, tr 375]

Còn theo tác giả Vương Dương Minh thì: “Thuật giải là một quy tắcchính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo mộttrình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn nhữngthao tác đó ta thu được kết quả mong muốn” [20, tr 12]

Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có nhữngtính chất cơ bản và quan trọng sau:

Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta đãđưa ra nhận xét sau:

+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theokiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không

+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhậnđược vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuậttoán đó khó đáp ứng

+ Có những bài toán được giải theo những cách giải vi phạm thuật toánnhưng vẫn chấp nhận được.

Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi mớicho khái niệm thuật toán Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán:tính xác định và tính đúng đắn Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toánđược thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên Tính đúng của thuậttoán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giảigần đúng Trong thực tế, có nhiều trường hợp người ta chấp nhận các cáchgiải thường cho kết quả tốt (nhưng không phải lúc nào cũng tốt) nhưng ítphức tạp và hiệu quả Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối ưuđòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thể chấpnhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặcvài giờ

Các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải Khái niệm

mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếmphương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra Ngoài việc mở rộng tínhđúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán Nócũng có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán Tuy nhiên, đối vớimột cơ cấu nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu diễn nhất định.Đặc biệt trong dạy học cần chú ý lựa chọn phương tiện biểu diễn phù hợp vớitrình độ và kiến thức hiện có của học sinh Sự hiểu biết về thuật giải, các tínhchất và phương tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải Ngônngữ lập trình là bước phát triển cao của văn hóa thuật giải

1.4 Khái niệm tư duy và tư duy thuật giải

1.4.1 Khái niệm tư duy

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụcủa cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cáichưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ranhững cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhậnthức đó gọi là tư duy.

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng tronghiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giớikhách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trongquá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thựctại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉtồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lờinói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của conngười được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quảcủa tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quátrình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đềnhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ýniệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phảnánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thểhiện qua ngôn ngữ, hoạt động

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượngđược phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con

người nhằm phản ánh đối tượng.

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

1.4.2 Tư duy biện chứng trong toán học

Trong Triết học, phương pháp tư duy biện chứng được coi là phươngpháp chủ đạo để cải tạo thế giới của phép biện chứng duy vật Không nhữngvậy, Triết học là khoa học nhất của các ngành khoa học nên kể cả trong Toánhọc ta không thể không có lối tư duy chủ đạo này

Nhằm phát triển và rèn luyện lối tư duy biện chứng trong Toán học tacũng phải rèn luyện khả năng nhìn nhận các đối tượng trong toán học của họcsinh trên mối liên hệ của chúng, sự ảnh hưởng và ràng buộc lẫn nhau Họcsinh cần xem xét các đối tượng ở trạng thái vận động, biến đổi và phát triểntheo một khuynh hướng chung của các đối tượng theo những quy luật vânđộng của chúng Có như vậy học sinh mới có thể linh hoạt trong tư duy, sángtạo và mềm dẻo trong việc áp dụng các tri thức của toán học Tư duy biệnchứng còn giúp cho người học toán có cách nhìn nhận nhiều chiều, cách nhìntổng thể, khái quát của một lớp đối tượng thông qua sự thể hiện của nó ởnhiều phương diện, nhiều mặt Hơn nữa còn giúp người học trở nên có cáchđánh giá đúng bản chất và thực sự khách quan của mọi sự vật hiện tượngtrong cuộc sống, cuối cùng con người trở nên hoàn hảo hơn

1.4.3 Khái niệm tư duy thuật giải

Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quátrình con người nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụngtoán học vào các khoa học khác Như vậy, tư duy toán học là tư duy biệnchứng

Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học Nó là phương

thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

T 1 : Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải.

T 2 : Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo trình tự xác định.

T 3 : Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.

T 4 : Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

T 5 : Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.

Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiệnnăng lực xây dựng thuật giải

Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phùhợp với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Tác giảMonakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chấtngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứngdụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết gópphần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh

Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển cáchoạt động tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững,củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Sau

đây là một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán khi dạy họcchương phương pháp tọa độ trong không gian ở trường trung học phổ thông.

Trước đây ta tìm hiểu về hình học không gian thì trong một số trườnghợp và khi mà các yếu tố về điểm, đường thẳng, mặt phẳng mà có yếu tố chéonhau thì việc giải toán như thế không phải khi nào cũng làm được Mà với sựtrang bị phương pháp vectơ thì ta đưa vào một không gian tọa độ và một phéptoán tương ứng không gian tọa độ mà hình thành các mối quan hệ giữa điểm,đường thẳng, mặt phẳng trong không gian

Sau đây là một số ví dụ thể hiện các hoạt động của tư duy thuật giải:

Ví dụ 1 Hoạt động T1

Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Đường thẳng d qua điểm M   1; 1;0  Đường thẳng d có vectơ chỉphương a  d 1;1; 2  

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0 2

x=-1+1=0 y=-1+1=0 z=-2.1=-2

Bước 2 : Kết luận H(0;0; 2) 

Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có phương trình tham số thì ta viết

phương trình tham số trước, khi đó mới áp dụng thuật giải trên

Ví dụ 2 Học sinh làm bài tương tự sau:

Cho hai điểm A0; 2;1 , 1; 1;3 B   và mp(P):2x y  3z 0 Tìm giao điểm

của đường thẳng AB và mp(P).

Bài giải

Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

Bước 1: Tìm một điểm mà đường thẳng đi qua.

Đường thẳng AB đi qua điểm A0; 2;1 hoặc đi qua điểm B1; 1;3  

Bước2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: u AB AB 1; 3; 2  

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1).

Do đó cần hướng dẫn các em vận dụng thực hiện đúng theo trình tự các bước

đã nêu trong quy tắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải bàitoán trong từng trường hợp, phần bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp vớitừng quy tắc Tiến hành nhất quán như vậy trong một thời gian nhất định sẽhình thành ở học sinh quy tắc giải bài toán dạng trên, đồng thời phát triển ởcác em năng lực thực hiện thuật giải

Ví dụ 3 Hoạt động T2

Qua các dạng toán về mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong chươngtrình sách giáo khoa, đa phần các em giải rất tốt, điều đó các em đã theo mộtchỉ dẫn thực hiện một cách có hiệu quả trong giải toán Như vậy qua các dạngtoán đó giáo viên yêu cầu học sinh nêu các bước giải của bài toán, từ đó giáoviên định hình tư duy thuật giải để học sinh làm quen đồng thời cho học sinhlàm bài sau

Viết phương trình mp(P) qua 2 điểmA3;1; 1 , 2; 1   B(  ; 4 ) và vuông gócvới mp  Q : 2x y  3z 1 0 

Hướng dẫn:

Học sinh hiểu được quy trình lập phương trình mặt phẳng, tìm đượcvectơ pháp tuyến từ giả thiết, giáo viên phân tích lại để học sinh nắm vữnghơn

Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B thì mặt phẳng sẽ nhận AB

làm mộtvectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) vuông góc mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) nhận vectơpháp tuyến của mặt phẳng (Q) làm một vectơ chỉ phương

Như vậy mặt phẳng (P) sẽ có vectơ pháp tuyến  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A3;1; 1  

- Vectơ pháp tuyến mp(Q)   

 Q

Bước 1:Tìm một điểm mà mp (P) đi qua

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:

 Sau đây là các bài toán tương tự:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua hai điểm A2; 1; 4 ,   B3; 2; 1   và vuông góc với mặt phẳng

 Q : x y  2z 3 0 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt

phẳng () đi qua hai điểm M2;1;1 ,  N3; 2; 2 và vuông góc với mặt phẳng

Qua đó, từ những quá trình giải toán của học sinh, giáo viên cần hướngdẫn cho học sinh những thao tác được thực hiện theo những trình tự mà trongquá trình đã diễn ra

Ví dụ 4 Hoạt động T3

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với G là trọng tâm.chứng

minh rằng với điểm O bất kỳ ta luôn có 1( )

Từ cách phân tích trên giáo viên có thể phát triển thành bài toán tổngquát với G là tâm của một hệ n điểm A1,A2, ,A n trong không gian, với điểm

Ví dụ 5 Hoạt động T4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp P : x y z 3 0     , đường

thẳng  : x 2 y 1 z

  Gọi I là giao điểm của và (P) Tìm tọa độ điểm

M thuộc (P) sao cho MI vuông với  và MI = 4 14

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu M   3; 7;13 và M5;9; 11  

Như vậy với cách giải dạng toán này mà học sinh đã biết, giáo viên cầntheo sát và hướng dẫn cho học sinh thực hiện tốt, đầy đủ và chính xác cáchoạt động diễn ra trên lớp đối tượng này Đây là vấn đề để kiểm tra học sinhnhìn nhận vấn đề một cách chính xác và đầy đủ hay không, bên cạch đó nócũng nói lên được khả năng thực hiện công việc theo một trình tự, một kếhoạch cụ thể của học sinh không những trong toán học mà cả trong cuộc sốnghằng ngày

Ví dụ 6 Hoạt động T5

Trong không gian Oxyz cho A 0;1;0 , B 2;2;2 ,C 2;3;1      và đường thẳng

 Tìm điểm M thuộc  để thể tích tứ diện MABC bằng 3

Hướng dẫn: Thực tế có nhiều bài toán không cho dưới dạng có thể sử

dụng các thuật giải quen thuộc ngay mà đòi hỏi người giải phải biết phân tích,biến đổi, biết nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của bài toán để có thể đưa bàitoán về dạng bài toán đã biết thuật giải Đối với các bài toán dạng này, trong

quá trình dạy học giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng huy động các

thuật giải đã biết, tri thức đã biết Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề

nghị cách giải quyết sau đây:

Vận dụng và huy động các tri thức nhằm biến đổi đưa bài toán về các bài toán quen thuộc (những dạng bài toán đã được đề cập trong sách giáo khoa hoặc bài toán tương tự)

Cách 1: Khai thác bài toán xuất phát từ công thức thể tích của tứ diện

1 ( ,( )).S 3

Để giải bài toán này giáo viên hướng dẫn học sinh các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) với tọa độ

điểm M    M(1 2t; 2 t;3 2t)    

Bước 3: Tính diện tích tam giác ABC

Bước 4: Thay bước 2,3 vào 1 ( ,( )).S

17 t 4

t t

1 , 6

33 12 18

17 4

t t

tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ra một cách rànhmạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt động khác.Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi giải một bàitoán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

1.5 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học khái niệm

Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố

và vận dụng khái niệm Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động

cơ bản để củng cố, vận dụng khái niệm Trong nhiều trường hợp ta có thể xâydựng thuật giải để nhận dạng khái niệm

1.5.1 Dạy học khái niệm phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng trong không gian

Tạo tình huống gợi vấn đề bằng tương tự hóa: Trong mặt phẳng Oxy

phương trình tham số của đường thẳng dcó dạng: x x at

trong đó

M x y( ; ) 0 0 d và u a b( ; ) 0 là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, t  

là tham số Tương tự như cách lập phương trình tham số của đường thẳng

trong mặt phẳng Hãy lập phương trình tham số của đường thẳng trong khônggian.

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm phương trình tham số và phương

(!) Mỗi hệ phương trình có dạng (1) với a2 b2 c2 0 đều là phươngtrình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ chỉphương là u a b c( ; ; )

Lưu ý: Từ nay để đơn giản, trong hệ phương trình (1) ta không viết

t  

Xét hệ phương trình (1) khi abc 0.

(?) Hãy khử t từ các phương trình của hệ (1).

(!) Biết được tọa độ của một điểm mà đường thẳng dđi qua và vectơ chỉphương của đường thẳng đó

Hoạt động 2: Củng cố khái niệm bằng hoạt động nhận dạng và thể hiện

Ví dụ 7 Cho đường thẳng dcó phương trình tham số:

(?) Hãy tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của d

có nghiệm

Do đó Ad, Bd và Cd

Ví dụ 8 Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường

thẳng dđi qua hai điểm A( ; ; )1 2 3 và B( ; ; )3 5 7

(?) Muốn lập phương trình đường thẳng d ta cần biết các yếu tố nào?(!) Ta cần biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng dvà một vectơ chỉphương của đường thẳng đó

(?) Hãy xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

(!) AB( ; ; ) 2 3 4

Phương trình đường thẳng d được xác định như sau: đi qua điểm

A ( ;1 2 3; ) và có một vectơ chỉ phương là AB( ; ; ) 2 3 4

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng u a b c( ; ; )

Bước 2: Tìm một điểm mà đường thẳng đi qua M x y z0( ; ; )0 0 0

Bước 3: Kết luận phương trình tham số của đường thẳng có dạng

1.6 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học định lý

Các định lí và các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản củamôn toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khảnăng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tưtưởng, phẩm chất và đạo đức cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp học sinh nắmđược hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó học sinh cókhả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết cácvấn đề trong thực tiễn

Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp học sinh xây dựng được các thuậtgiải, quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt đểhọc sinh tiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán

1.6.1 Dạy học định lí vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong hình học không gian lớp 11, giữa hai đường thẳng có bốn vị trítương đối: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau Vấn đề đặt ra là:Trong không gian, dựa trên những kiến thức được học ở lớp 11 khi cho trướcphương trình hai đường thẳng hãy xét vị trí tương đối giữa chúng

Hoạt động 1: Hình thành định lí

Trong không gian Oxyz, cho

đường thẳng d đi qua điểm M , có0

VTCP u và đường thẳng d' đi qua

điểm '

0

M có VTCP là u '

(?) Hai đường thẳng dvà d' trong hình vẽ trên có mối liên hệ gì ?

(!) Đường thẳng d song song với đường thẳng d'

(?) Hãy tìm mối liên hệ giữa các vectơ u, u '

(?)Ngược lại nếu u và u'

cùng phương với nhau nhưng không cùngphương với vectơ M M'



thì có kết luận gì về vị trí của hai đường thẳng dvà

d'

(!) Đường thẳng dsong song với đường thẳng d'

Như vậy: d// d' khi và chỉ khi u và u'

cùng phương nhưng không cùngphương với M M'



.(?) Hai đường thẳng

(?) Hai đường thẳng dvà d'

trong hình vẽ trên có mối liên hệ gì ?

(!) d và d' cắt nhau

u'u

(?) Hãy tìm mối liên hệ giữa các vectơ u, u'

và M M'



.(!) u và u'

không cùng phương, đồng thời ba vectơ u, u'

và M M'



đồng phẳng

(?) Ngược lại, nếu u và u'

không cùng phương đồng thời ba vectơ u, u'

Chú ý: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng d và d' thì ta cũng

có thể xét vị trí tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ gồm phương trình của

d và d'để tìm giao điểm

 Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d' cắt nhau

 Nếu hệ phương trình vô số nghiệm thì d và d'trùng nhau

 Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d'song song hoặc chéo nhau.Song song nếu hai vectơ chỉ phương của chúng cùng phương Chéonhau nếu hai vectơ đó không cùng phương

Hoạt động 2: Củng cố định lí

Ví dụ 9 Trong không gian Oxyz, xét cặp đường thẳng dm, dm' cóphương trình là:

m m m

2 1

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng theo m

4 thì hai đường thẳng đã cho chéo nhau.

 Nếu m 2 thì u( ; ; 2 2 3 ) và u '( ; ; )2 2 1 không cùng phương Suy rahai đường thẳng đã cho cắt nhau

Nhận xét: Nếu biết phương trình của hai đường thẳng dm ,

m

d' thì cũng

có thể xét vị trí tương đối của chúng nhờ việc xét hệ phương trình tương giao.Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng cắt nhau, nếu hệ có vô sốnghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau, nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳngsong song hoặc chéo nhau, song song khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phươngcùng phương và chéo nhau khi hai vectơ chỉ phương không cùng phương

1.7 Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải bài tập toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Bởi lẽ, nó khôngchỉ yêu cầu học sinh tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện,các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán, các hoạt động trí tuệ chung,…màcòn trực tiếp liên hệ thuật giải và qui tắc tựa thuật giải Thông qua giải bài tập

có thể rèn luyện, phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Mặc dù không cóthuật giải tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán, tuy nhiên Trong quátrình giải toán và tìm tòi, xây dựng những thuật giải, quy tắc tựa thuật giải chomột số lớp các bài toán sẽ giúp học sinh dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức,

hệ thống kiến thức và giúp học sinh có những tri thức phương pháp trong giảitoán

1.8 Những tư tưởng chủ đạo để phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập toán nói riêng

Phương hướng chung để phát triển tư duy thuật giải là tổ chức, điềukhiển học sinh tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải Muốn vậy, trước hếtgiáo viên cần phải thiết kế và xây dựng các bài dạy theo một quy trình có tínhchất thuật giải đối với các tình huống điển hình trong dạy học toán Nghĩa làphải xây dựng một hệ thống quy định nghiêm ngặt được thể hiện theo mộtquá trình chặt chẽ và dẫn tới cách giải quyết đúng đắn

Trong luận án của mình, tác giả Vương Dương Minh đã đưa ra hệ thốngcác tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán như sau:

* Rèn luyện cho học sinh các hoạt động tư duy thuật giải trong khi vànhằm vào thực hiện những yêu cầu toán học

* Gợi động cơ và hướng đích cho các hoạt động tư duy thuật giải bao gồm:

- Gợi động cơ và hướng đích mở đầu các hoạt động tư duy thuật giải

- Gợi động cơ và hướng đích trong khi tiến hành các hoạt động tư duy thuậtgiải

- Gợi động cơ kết thúc hoạt động tư duy thuật giải