skkn Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS

Trong khi đó,việc hệ thống toàn bộ các dạng phương trình và trang bị các phương pháp giải phươngtrình từ đơn giản đến nâng cao hầu như không được đề cập tới trong sách g

Trang 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học 2014 - 2015

Trang 2

Mỗi dạng phương trình có cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của từngphương trình

1.1.2 Cơ sở thực tiễn

Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh kháđầy đủ kiến thức về phương trình đại số cùng các phương pháp giải Trong khi đó,việc hệ thống toàn bộ các dạng phương trình và trang bị các phương pháp giải phươngtrình từ đơn giản đến nâng cao hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa

và ngay cả hệ thống sách tham khảo toán cấp THCS hiện chưa có dành cho học sinhtrung học cơ sở

Việc giải được các phương trình từ đơn giản đến phức tạp, đòi hỏi học sinhphải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đốivới riêng từng phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức củahọc sinh Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9,đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên , đề thi khảo sát chất lượng học kì môntoán 9 nhiều năm gần đây của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam luôn xuất hiện cáccâu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các phương trình Với mục đích phân loại đốitượng học sinh

Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề phương trình cấp THCS chưa có, chính vì thế giáo viên dạy gặprất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến chuyên đề này

Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng kiến của mình

là:“Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS”.

Trang 3

1.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống cácphương pháp thường được sử dụng để giải phương trình cấp THCS dùng bồi dưỡnghọc sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở, ôn thi vào cấp 3

Nhiệm vụ cần đạt:

- Chỉ ra được kiến thức về phương trình có liên quan mà học sinh cần nắmvững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải các dạng phương trình

- Phân loại, hệ thống các phương pháp giải cho mỗi dạng phương trình có sựsắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn

- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theotừng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâukiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú chotứng phương pháp

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là phân loại hệ thống cácdạng phương trình cấp THCS và phương pháp giải, những điểm học sinh cần lưu ýkhi tiến hành giải các dạng phương trình

1.4 Giới hạn, phạm vi nghiên cứu

- Giới thiệu nghiên cứu các dạng phương trình trong chương trình đại số cấp THCS

- Làm trắc nghiệm trong học kỳ I

- Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học

- Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua Giải phương trình đối với HS cấp

THCS

1.5: Phương pháp nghiên cứu

Tôi đã chọn các phương pháp nghiên cứu sau:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận, phương pháp bộ môn

- Tham khảo tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mớiphương pháp dạy học ở trường THCS.Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu

kĩ SGK

- Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm dạy toán ở lớp 8B năm học 2013-2014; lớp 9A, 9B năm học

20142015 trường THCS Thanh Thuỷ trên ba đối tượng học sinh: Khá, Giỏi Trung bình Yếu, Kém

Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm

-Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hướng giảibài tập Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể

-Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy của đồng nghiệp thông qua cácbuổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp , các buổi hội thảo, hội giảng các cấp

- Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện

- Tham khảo tài liệu, sách báo trên internet

- Tham khảo các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiềukinh nghiệm

Trang 4

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1: Cơ sở lý luận:

Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình được đề cậpđến nhiều, và có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng Các bài toán dạng nàyđòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một sốkiến thức từ cơ bản như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phươngtrình chứa ẩn ở mẫu ; ĐKXĐ của một số loại biểu thức Nó nâng cao khả năngvận dụng, phát triển khả năng tư duy cho học sinh, ngoài ra nó còn là một trongnhững kiến thức được sử dụng thi tuyển sinh vào lớp 10 dưới dạng bài tập khó.Trên thực tế, với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy họcsinh lúng túng khi giải một phương trình như :

- Không biết nên làm như thế nào đẻ giải một phương trình

- Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK

- Ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ nănggiải rất hạn chế, các em thường không có cơ sở kiến thức để phát triển phương phápgiải

- Có rất ít tài liệu đề cập sâu về các dạng phương trình và phương pháp giải

- Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức vềphương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó

- Khi giải phương trình còn thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phương trình (chủ yếu làĐKXĐ của căn thức)

- Khi bình phương hai vế của phương trình thường các em không tìm điều kiệnđể cả hai vế đều dương

Để giúp các em học sinh nắm đúng, nắm chắc từng dạng phương trình và cáchgiải từng dạng phương trình từ cơ bản đến nâng cao , tôi mạnh dạn viết sáng kiếnkinh nghiệm: ''Một số phương pháp giải phương trình môn toán cấp THCS'' áp dụngcho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em học sinhkhi giải phương trình và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạnđồng nghiệp Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều,sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Do vậy tôi rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc đểsáng kiến này có thể được áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lượng họctập của các em học sinh

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán Giải phương trình, nhanh

chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên phải xâydựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt

là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà

ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cáchgiải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn toán

Để giải quyết tốt các vấn đề về giải phương trình thì học sinh cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau:

+ Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, ĐKXĐ của phương

trình

+ Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương

Trang 5

+ Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn,phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn ởmẫu, phương trình bậc hai một ẩn số

+ Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số

+ Định nghĩa phương trình

+ Các kiến thức cơ bản về căn thức, phân tích đa thức thành nhân tử,

+ Các dạng phương trình, cách giải từng dạng

+ Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bàitập này Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ

thông tôi đó mạnh dạn viết đề tài :“ Một số phương pháp giải các dạng phương trình môn toán ở trường THCS”cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS Thanh Thuỷ.

-Phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việclĩnh hội kiến thức Toán

-Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi, khám phá, khaithác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy họctrong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xâydựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

- Thực trạng kỹ năng giải bài toán Giải phương trình của học sinh trường THCS

Thanh Thuỷ là rất yếu

- Một số em không có kiến thức cơ bản về toán học

- Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm

- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài yếu

- Khó khăn của học sinh khi giải loại toán này là kỹ năng của các em còn hạn chế,khả năng phân tích khái quát hoá, tổng hợp của các em rất chậm, các em khôngquan tâm đến ý nghĩa thực tế của bài toán

2.2.2.Thành công, hạn chế

a,Thành công:

-Dạng toán Giải phương trình và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít.

Nếu như rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đó trang bị cho các em

Trang 6

lượng kiến thức không phải là nhỏ Trong chương trình toán phổ thông của chúng tacòn rất nhiều dạng toán khác

-Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trongsách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giảidạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới

b, Hạn chế:

- Mỗi dạng toán mới chỉ đưa được một số bài toán điển hình làm mẫu

- Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của một bài toán

- Một số em còn hổng kiến thức cơ bản về toán học

- Khả năng nắm kiến thức mới của các em còn chậm

- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào bài tập của các em cũng hạn chế

2.2.4:Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

a, Về phía giáo viên

- Các tài liệu để giáo viên tham khảo chưa đồng nhất.

- Do giáo viên chưa tìm được phương pháp tối ưu, chưa khái quát hóa tất cả caccs

dạng phương trình và phương pháp giải, chưa đầu tư nhiều để suy nghĩ đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cần thiết cho học sinh trong các tiết học, ít chú ý đến cách suy nghĩ ,phân tích đẻ giải bài toán

b, Về phía học sinh

- Những chỉ dẫn tản mạn của giáo viên thông thường học sinh không nhớ và hệ thống hóa được Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh, học sinh lại nhanh quên

- Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích tổng hợp bài toán

2.3 Giải pháp, biện pháp

2.3.1:Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

- Tăng cường quản học sinh trong các giờ tự học, đồng thời tăng thời gian phụ đạohọc sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh bị hổng để phụ đạo

- Lập ra cán sự bộ môn để kiểm tra và hướng dẫn các tổ nhóm làm bài tập, phâncông học sinh khá kèm cặp học sinh yếu dưới sự giám sát của giáo viên

- Tạo ra hứng thú cho học sinh trong các giờ học

- Hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài, nghiên cứu trước bài mới ở nhà

-Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan khác,tôi đó cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao trongcông tác Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải phương trình

- Tôi thường xuyên chú ý tới hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ khi đứng trước mộtbài giải phương trình , sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em.Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết

Trang 7

Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân vàtập thể

2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

* Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở.-Nhiệm vụ năm học 2014-2015 của BGD đào tạo, của sở, của Phòng Giáo Dục

- Sách giáo viên, sách giáo khoa môn toán lớp 8, lớp 9 ; Nâng cao và phát triển triểnĐại Số 8,9 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9, tài liệu tham khảo của đồngnghiệm, trên internet

-Một số đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8, 9 Một số bài toán thi vào lớp 10

- Đưa ra những yêu cầu của một lời giải, chỉ ra được sai lầm học sinh thường mắcphải

- Phân loại được các dạng toán và đưa ra một vài gợi ý để giải từng dạng qua các ví

dụ đồng thời rèn cho học sinh cách định hướng tìm lời giải

- Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 8B, 9A, 9B trường THCS Thanh Thuỷ

- Đề xuất một vài biện pháp có tính khả thi sau khi đó vận dụng

Trang 8

CÁC NỘI DUNG CỤ THỂ TRONG ĐỀ TÀI:

“Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS”

I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH:

1 Khái niệm về phương trình - nghiên cứu của phương trình:

Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x)

Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x đểcác giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau

Biến x được gọi là ẩn số

Giá trị tìm được của ẩn số gọi là nghiệm của phương trình

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình

2 Điều kiện xác định của phương trình:

Điều kiện xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm chomọi biểu thức trong phương trình có nghĩa

Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ

3 Hai phương trình tương đương:

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợpnghiệm

4 Hai quy tắc biến đổi phương trình tương đương:

* Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử

từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó.

* Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng

một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :

*Phương pháp chung:

Để tiến hành giải một phương trình ta thường vận dụng một số phương pháp sau:

+ Dùng các phép biến đổi tương đương ( quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân để được phương trình mới đơn giản hơn và tương đương với phương trình đã cho )

+ Đưa về phương trình tích

+ Bình phương hai vế, khử căn thức

+Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc nhất , phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình…

+Phương pháp xét khoảng giá trị (dùng cho phương trình có chưa dấu giá trị tuyệt đối) + Dùng bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki

+Dùng phương pháp đối lập.

+Phương pháp tổng bình phương các số không âm (A 2n +B 2m =0 =>>A=0 hoặc B = 0) + Các phương pháp giải đặc biệt khác.

Trang 9

III CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:

1.1

Định nghĩa : PT bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó a,

b là hai số tùy ý và a ≠ 0.

1.2

Phương pháp giải:

- Áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:

+ Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí và đổi dấu hạng tử đó.

+ Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

- Phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất

x = -

- Phương trình ax + b = 0 được giải như sau:

ax + b = 0  ax = - b

 x = Tập nghiệm S =

1.3 Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 3x - 9 = 0

+ Chuyển - 9 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu, ta được 3x = 9

 x = 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =

* Lưu ý: Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0

Trang 10

 0x = 0  0x = -2

Phương trình có vô số nghiệm Phương trình vô nghiệm

* Sai lầm của học sinh giáo viên cần sửa:

Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng 0x = -2  x = = 0

Nâng cao: Giải và biện luận phương trình:

* Nhận xét : Giải phương trình mx+n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là

phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp

+ Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -n/m

+ Nếu m= 0 thì phương trình có dạng 0x = n

+ Nếu n = 0 thì phương trình vô số nghiệm

+ Nếu n  0 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình:

+ Nếu 2m + 5 ≠ 0  m ≠ , phương trình có nghiệm x = -2

+ Nếu 2m + 5 = 0  m = , phương trình có dạng 0x = 0 hay phương trình có vô số nghiệm

Kết luận: + Với m ≠ , tập nghiệm của phương trình là S =

+ Với m = , tập nghiệm của phương trình là S = R

2 PHƯƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN:

* Dạng tổng quát: ax 2 + bx+c = 0, trong đó a, b, c  R,a 0

a/Cách giải:

* Dùng công thức nghiệm:

+  <0, PT vô nghiệm + ' <0, PT vô nghiệm

+  = 0, PT có nghiệm kép + ' = 0, PT có nghiệm kép

Trang 11

- Nếu a+b+c =0 thì : x1 = 1; x2 =c/a

- Nếu a- b+c =0 thì : x1 = -1; x2 = -c/a

* Phân tích vế trái thành tích:

* Dấu các nghiệm:

 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu   P 00





 Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương

000

P S

)2(

Có: a - b + c = 1 - (-60) - 61 = 0 Phương trình có hai nghiệm : x1 = -1 ; x2 = 61

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 2 1

Trang 12

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m  0 ; ' ≥0

2 

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m

 m2 - 10m + 16 = 0

 m = 2 hoặc m = 8Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0  m  4

Vậy với m = 2 thì 2

x x x x





Bài giải:

5

xxx

1x1

0.xx

03)2m(m

2))(m(

2 1 2 1

2 1

2 2 '

Δ

(1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m <

67

2 1

2

1 x x  x x  x x 

x x

 Trường hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 không thoả mãn điều kiện(1)

m

(lo¹i) 2m

Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

5

xx

1x

2 1

x







Ví dụ 4: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Trang 13

4

) 1 ( 2

2

2 1

m m m

m x

m x x

m

m x

x

Từ (1) và (3) tính được:

m

m x m

m x

3

85

;3

2

1 2

m

9

)85)(

2(

2

1 thoả mãn điều kiện (4)

Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phương trình thoả mãn

Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm

0

2

0  mx  

x

Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x0 = m - 2

Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm

Nếu m  2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3

Với m = - 3: (1) là x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3

21

Trang 14

* Các bài toán có liên quan đến tham số m

Bài: 1 Cho phương trình 2 2( 1) 2 0







 m x m

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b.Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn x1x2 9

Bài 2: Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0

a Giải phương trình trên khi m = 2

b Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm képp, vô nghiệm

c Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

x12 + x22 = 20

x1 - x2 =10

Bài 3: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

Bài 4: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm,nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Trang 15

3.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

* Phương trình tích là phương trình có dạng: A(x).B(x) M(x) = 0

* Phương pháp giải:

Muốn giải PT tích A(x).B(x) M(x) = 0, ta giải từng PT

A(x) = 0; B(x) = 0; ; M(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) ( 3x - 2)( 4x + 5) = 0 b) 2x( x-3 ) + 5( x - 3 ) = 0

 3x - 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0  ( x - 3 )( 2x + 5 ) = 0

+) 3x - 2 = 0  x =  x - 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

Vậy tập nghiệm của pt S = +) 2x + 5 = 0  x =

Vậy tập nghiệm của pt S = c/ x3 + 3x2 + 2x = 0

Trang 16

4

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU :

4.1: Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

- Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình

- Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa nhận được

- Kết luận: Trong các giá trị tìm được của ẩn, các giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐchính là các nghiệm của phương trình đã cho

4.2: Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình

3 2

10 1

3 2

) 2

x

Bài giải:

ĐKXĐ: x 23

3 2

10 1

x



3 2

10 3

2

3 2 ) 2

x x

Khử mẫu ta được: (x + 2)2 – 2x + 3 = x2 + 10

Bài giải:

ĐKXĐ của PT là x –1

1

6 1

4.3 Một số phương pháp giải cụ thể

4.3.1 Phương pháp biến đổi

4.3.1.1 Phân tích hoặc nhóm các phân thức

* Ví dụ 1: Giải phương trình

Trang 17

So sánh với ĐKXĐ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = – 3.

(5 8)( 2)( 3) (5 12)( 1)( 4) 0

1605

Trang 18

4.3.1.2 Đưa về phương trình bậc cao giải được

* Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2 213 6

 Nếu 0 < x < 1 thì vế trái của (1) là số âm, trong khi vế phải là số

dương Vậy phương trình đã cho không có nghiệm

 Nếu x > 1 thì hai vế của (1) đều dương, bình phương hai vế ta được:

1331

1

x x x x

t t

Trang 19

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

Trang 20

* Ví dụ 9: Giải phương trình

 Với a = 2, b = 1 ta được x2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm).

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.

4.4/ Bài tập tự luyện:

Giải các phương trình sau:

Trang 22

min(

) ( ) ( ) ( ) ( 2

1 ) ( );

(

max(

x g x f x g x f x

g x

f

x g x f x g x f x

g x f

x



 x 2 x2

 x 2 x

5.1.3 Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối.

 Định lí 1 : Nếu x, y là hai số thực thì :

y x y

x    Dấu"=" xảy ra  x y 0

Chứng minh :

Ta có :

 x  y 2  x2  2 x y  y2  x2  2 x y  y2  x2  2 xy  y2  ( x  y )2.Vậy x  y  x  y



mà : x  y  y  x  y  x

Nên

Trang 23

)1(

y x y x

y x y x y x

y x y x

Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏ các Dấu" giá trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứ vào :

+ Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ở trên

+ Quy tắc về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :

* Nhị thức ax + b (a  0) cùng dấu với a khi

b ax

x  0 0    0   cùng dấu với a.

a

b ax x

x 00  0  trái dấu với a.

*) Tam thức bậc hai ax 2 + bx + c (a 0) trái dấu với a trong khoảng giữa hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trường hợp khác.

5.1.5 Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 Cho x, y là hai số thỏa mãn xy 0 tính giá trị của biểu thức :

Trang 24

2 2 2

2

222

2

1      x  y 

xy y

x xy

x

2

22

2 2

4 4

x A

2 1

3 2

x

x x

ANếu x<1 thì :

1 3

2

2 3 3

2

2 1

x x

A

Nếu 1 x 2 thì :

3 2

1 3

2

2 1

x x

A

Trang 25

Nếu x 2 thì :

1 3 2

3 2 3

2

2 1

x x

A

Tóm lại :

-1 nếu x1

A =

3 2

b a bc

ac c

b a C

c b a c

b a C

c c b a b

a c

c b a b

a C

2 2

2

2 3

x x C

Trang 26

d)

6 5

x x D

e) E  x  x  1

Bài 2 Cho A   x  2 x  2 2 x  1  2 x  8  6 2 x  1

a) Tìm đoạn [a,b] sao cho A(x) có giá trị không đổi trên đoạn đó.

b) Tìm x sao cho A(x) > 4.

Bài 3 Rút gọn biểu thức :

a)

1

1 2

2 2

x b

a x

2 1

b)

a a

b B

1 1

1 4

1 2

1

1 4

1 2

a) Nếu B < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm.

b) Nếu B0 thì đưa về phương trình A=B hoặc A=-B

c) Nếu chưa biết rõ dấu của B thì biến đổi như sau :

B0



 B A

A=B hoặc A=-B

 Bài tập áp dung :

Bài 1 Giải các phương trình sau :

2005 2005

)

1 3

)

4 3 2 1 3

c

x x

b

x x

a

Trang 27

1 3

x x

 1x0  1x0

(Vô lí)

Trang 28

2005 2005

2005

) x   x   x    x 

c

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm thỏa mãn x2005

Bài 2 Giải và biện luận phương trình với m là tham số:

m x  3  4  m (1)

Giải :

Nếu m = 0 thì   1   3  4  3  4 : Vô lí

Nếu m > 4 thì 4  m  0    1 vô nghiệm

Nếu 4 m0 m4 thì   1  4 x  3  0

4 3

3 4

0 3 4

Trang 29

Đối với phương trình bậc nhất dạng A  B trong đó A, B là những nhị thức

bậc nhất đối với ẩn số Muốn loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì phải biến đổi phương trình đã cho thành phương trình tương đương sau đây :

B A

2x - 2015 = 2 – 2015x 2017x = 2017 x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = -1 và x = 1

Bài 2 Giải phương trình : x  1  2  4 x  3 (1)

5 x  1  2  4 x  3 5 x  1  4 x  1 ( 2 )

5 x  1  2  3  4 x 5 x  1  5  4 x ( 3 )

Trang 30

Đối với loại phương trình bậc nhất dạng A  B  C trong đó A, B, C là

những nhị thức bậc nhất thì nên dùng phương pháp lập bảng biến đổi

1 2

Trang 31

Nếu 2x3 phương trình (1)  1 = 4 : Vô lí => phương trình (1) vô nghiệm.Nếu x > 3 phương trình (1)  2x 54

2 9

9 2

Vậy phương trình (1) có nghiệm là

Nếu x2 Do  7 2005nên phương trình (2) vô nghiệm

Nếu -2 < x < 1 phương trình (2)  2x 32005

) ( 1004 2 2008 2008

loai x

x x

2010 4

loai x

x x

Nếu x3 Do 7 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm

Kết luận : Phương trình (2) vô nghiệm

Bài 3 Giải phương trình :  m  1   x  x  2   3 m  4

Giải :

Xét ba trường hợp :

Trang 32

Nếu x < -2 thì ( m  1 )(  x  x  2 )  3 m  4

 ( m  1 )(  2 x  2 )  3 m  4

Với m1, thì x 2

2 2

6 5

x : đúng với mọi m2,m1 hoặc m > 2

5.2 1.4 phương trình quy về phương trình bậc nhất

Ví dụ 1 Giải các phương trình :

0 2 3

)

1 1 3

x

a

Giải :

1 1 3

1 4

3 4

1 2 2

1 1

2 2

1 1 3

2 2

x

x x x

 x2  3 x 

22



x x

1

2 2

(Thỏa mãn điều kiện đang xét)Nếu x3 phương trình (1)  x ( x  3)  2 2



x x

Trang 33

  x2  3 x 

22



x x

1

0 1

0 )

1 (

0 1 2

0 2 4 2

2 2 4

x x

(Không thỏa mãn điều kiện đang xét)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 1.

0 2 3

trở thành phương trình: 3 3 2 0





 t t

0 )

2 ( ) 1 (

0 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (

0 ) 2 2

)(

1 (

0 )

2 )(

1 (

0 ) 1 ( 2 ) 1 )(

1 (

0 )

1 ( 2 ) 1 (

0 )

1 ( 2 ) (

0 2

2

2 2

2 3 3

t t

t t t t

t t t

t t

t

t t

t

t t t

2

) 1 (  t = 0 t = 1(Thỏa mãn điều kiện t > 0)

 

t2 =0 t = -2 (Không thỏa mãn điều kiện t

> 0)

Với t = 1, ta có: 1  x  x   1

Vậy phương trình có tập nghiệm là : S = {-1;1}

Ví dụ 2 Giải phương trình: 3 100 2 100 ( 1 )





 x x x

Trang 34

0 1

Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x1; x = -100.

Ví dụ 3 Giải phương trình: x  5  4 x  1  x  10  6 x  1  1

Giải:

TXĐ của phương trình: x1

1916

14

1

11

6101

45

x x

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	3,63 MB

skkn Phương pháp giải một số dạng phương trình môn toán ở cấp THCS

PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: